圆锥曲线中的最值问题
一 重点：求圆锥曲线中的各种最值问题。
二 难点：题目中各种基本思想方法的灵活应用。
三 基本方法：本节所用到换元、数形结合、目标函数等数学思想和方法。 四 例题 １．几何法
（Ⅰ）有关点的最值问题
【练习１】椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的点到原点距离的最大值是 ；最小值是
；相应点的坐标是 ．
【练习２】双曲线22
221x y a b
-=上的点到原点距离的最小值是 ；相应点的坐标是
．
【练习３】椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的点到焦点距离的最大值是 ；最小值是
；相应点的坐标是 ．
【练习４】双曲线22
221x y a b
-=上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是
．
【练习５】抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ．
【例１】点P 为抛物线上24x y =上一动点，定点(8,7)A ，则点P 到x 轴与到A 点的距离之和的最小值为 ，并求此时点P 的坐标 。
【解析】1019PB PA PC BC PA PF PA BC FA BC +=-+=+-≥-=-=，当且仅
当点P 是抛物线与FA 的交点时，9PB PA +=最小。此时，由243440x y
x y ⎧=⎨-+=⎩解得(4,4)
P 或1
(1,)4
P -（舍去．但，是PF PA -的最大值点．P 在线段外，有向线段方向问题。
PF PA -的最小值点即线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点）。
【评析】（１）如何判断点A 的位置。参照区域判断方法。 （２）折线和化为直线段。 （３）此题无最大值。
（４）若点A 在抛物线内部，如何？（过A 作x 轴的垂线，垂线段长即为所求，垂线与抛物线的交点即为P 点。此情况也无最大值。）PF PA -的最大、最小值点？
说明：①“兜底”；②细节。
【变式１】F 是椭圆221259x y +
=的右焦点，P 是其上一点，定点(2,1)B ，则5
4
PB PF +最小值为 ；PB PF +的最大、最小值为 ．
【解析】首先判断定点(2,1)B 的位置． ①5
4PB PF PB PQ BC +
=+≥； ②222a BF PB PF PB PF a a BF '-≤
'+=-+'
≤+
【评析】（１）5
4
PB PF +
的最大值存在，但求不出．（涉及４次方程） （２）55
(2)44
PB PF PB PF a '-=+-能求最小，最大求不出．
（３）PB PF -的最大、最小值点？ （４）(2,4)B 点在椭圆外，5
4
PB PF +如何？无法求出．PB PF +最小可求，即连接BF 与椭圆的交点；
PB PF +最大也可求，2PB PF PB PF a '+=-+，连接BF '与椭圆的交点；
PB PF -的最大值可求，最小值与BF 的垂直平分线和椭圆有无交点有关――有交点可求，无交点存在最小值但求不出．
【变式２】已知双曲线2
2
13
y x -=上有动点P 和定点(2,1)A ,且F 为双曲线的右焦点，则1
2
PA PF +
的最小值 ；PA PF +的最小值（分P 点在左、右支） 。
(8,7)
x
总结：（１）圆锥曲线上点到定点和焦点的距离和解法：①折线化直线段；②PF 与
PF '转化。
（２）任意一点到圆锥曲线的距离最值存在，但求不出． （Ⅱ）有关弦上的点最值问题
【例２】定长为3的线段AB 的端点A B ,在抛物线2y x =上移动，则AB 中点M 到y 轴距离的最小值为 。
【解析】AB ≥通径长2p=1，所以AB 1
222
AC BD AF BF MR MN NR NR NR AB NR ++=-=
-=-≥- 315
244
=
-=，当且仅当直线AB 过焦点F 时取最小值。 【评析】（１）最大值不存在。
（２）一般，设AB l =，点,A B 在抛物线22y px =上，讨论AB 中点M 到y 轴距离的最
小值？
【解析】设直线AB 的方程：,x ky m =+
由22,
,y px x ky m ⎧=⎨=+⎩ 消去x ，得 2220y pky pm --=．
设1122(,),(,)A x y B x y ，由,A B 是直线与抛物线的交点，所以， 22(2)84(2)0pk pm p pk m ∆=+=+> （﹡） 设00(,)M x y ，韦达定理，得 12122,2,y y pk y y pm +==-从而 0,y pk = 200x ky m pk m =+=+．
由AB l =，得2222221212(1)[()4](1)(48)l k y y y y k p k pm =++-=++ 224(1)(2)p k pk m =++，
∴ 2222
221()24(1)8(1)2
l l pk m pk p k p k =-=-++．
于是，
22222
0222
22(1)28(1)28(1)2
1[(1)].24(1)2
pk l p k l p
x pk m p k p k l p
p k p k +=+=+=+-
++=++-+
（令22
2
(1)4(1)l p k p k +=+，得2
12l k p
+=．为下面分析提供依据） ①
当2l p ≥时，022l p x ≥
-，当且仅当212l k p =-，且2
p
m =时，（﹡）成立，取得最小值22
l p
-；
②
当2l p <时，由“对号”函数的单调性，得22
01()2428l p l x p p p
≥+-=，当且仅当
0k =，且28l m p =时，（﹡）成立，取最小值2
8l p
． 【变式１】定长为22(2)b l l a a ≤<的线段AB 的端点A B ,在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上移动，则AB 中点M 到右准线距离的最小值为 ；最大值为 。
【解析】1112AA BB MM +=
2AF BF
e
+=
