因式分解法解一二次方程

因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。

它的基本思路是将二次方程转化成两个一次方程相乘的形式，然后通过求解这两个一次方程得到方程的解。

下面我们来详细介绍因式分解法的步骤。

步骤1：确定一元二次方程的形式首先，我们要确定一元二次方程的形式，即确认方程为a*x^2 +b*x + c = 0，其中a、b和c是实数，且a ≠ 0。

确保方程满足这个条件后，我们才能使用因式分解法进行求解。

步骤2：计算二次项系数a将已知的一元二次方程写成标准形式，我们可以直接从方程中读取二次项系数a的值。

这一步很重要，因为我们后续的计算都会用到a 的值。

步骤3：计算常数项c同理，我们从方程中读取常数项c的值。

这一步同样很关键，因为我们在解方程时，需要用到常数项的值。

步骤4：根据二次项系数a和常数项c的符号确定因式的形式根据二次项系数a的符号，一元二次方程的因式形式分为两种情况：当a > 0时，我们可以使用“差平方”的形式进行因式分解；当a < 0时，我们可以使用“和平方”的形式进行因式分解。

步骤5：根据因式的形式进行因式分解对于“差平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x - n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ n。

将原方程的右侧展开并整理，得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后通过求解m和n的值，可以得到方程的解。

对于“和平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x + n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ -n。

也是通过展开右侧等式并整理得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后求解m和n的值，得到方程的解。

步骤6：求解方程通过步骤5的因式分解，我们得到了一元二次方程的两个一次因式，接下来，我们可以将每个因式设置为零，分别求解得到方程的解。

步骤7：检验解的有效性最后，我们还需要检验求得的解是否满足原方程。

将解代入原方程中，如果方程两侧相等，那么我们的解就是有效的，否则需要重新检查求解过程。

一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中常见的方程类型，解一元二次方程有多种方法。

下面将介绍五种解一元二次方程的方法。

一、因式分解法通过因式分解的方法，将一元二次方程化简为两个一次方程，进而求解方程的解。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过因式分解得到(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2或x = -3。

二、配方法通过配方法，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，进而得到x = -3。

三、求根公式法一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。

通过代入系数，计算出方程的解。

例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1，b = 2，c = -3，然后利用求根公式计算出x的值。

四、完成平方法通过将一元二次方程的两边进行平方，化简为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。

例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，我们可以通过将其两边进行平方得到(x + 2)^2 = 0，进而得到x = -2。

五、图像法通过绘制一元二次方程的图像，观察图像与x轴的交点来求解方程的解。

例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以绘制出抛物线的图像，观察到抛物线与x轴的交点为x = 2和x = -2，因此方程的解为x = 2和x = -2。

解一元二次方程有多种方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法、完成平方法和图像法。

不同的方法适用于不同的方程，选择合适的解法可以更快地求解一元二次方程的解。

在实际应用中，根据方程的形式和已知条件，选择合适的解法可以简化计算，提高效率。

用因式分解法解一元二次方程的步骤一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 是已知实数且a≠0。

解一元二次方程的方法有多种，其中一种常用的方法是因式分解法。

下面将详细介绍用因式分解法解一元二次方程的步骤。

步骤一：将方程化为标准形式我们需要将给定的一元二次方程化为标准形式，即ax^2 + bx + c = 0。

确保方程的各项系数已经排列好，并且a≠0。

如果方程不是标准形式，可以通过移项、合并同类项等基本代数运算将其化简。

步骤二：对方程进行因式分解接下来，我们将对方程进行因式分解。

因式分解的目的是将二次方程表示为两个一次因式的乘积形式。

设方程为(ax + m)(nx + p) = 0，其中m、n、p是待确定的实数。

展开括号后得到(ax + m)(nx + p) = anx^2 + (am + np)x + mp = 0。

比较展开后的方程与原方程的系数，即可得到m、n、p的关系。

步骤三：求解因式的根确定了m、n、p的关系后，我们可以分别解出(ax + m) = 0和(nx + p) = 0这两个一次方程。

解一次方程的方法比较简单，可以直接得到一次方程的根。

步骤四：检验解的有效性在得到一次方程的根之后，我们需要将这些根代入原方程进行检验。

将根代入原方程，如果等式成立，则该根是方程的解；如果等式不成立，则该根不是方程的解。

步骤五：总结解的形式根据一次方程的根和检验结果，我们可以总结出一元二次方程的解的形式。

一元二次方程的解通常有两种情况：一种是有两个不同的实数解，即方程有两个不相等的根；另一种是有一个重根，即方程有两个相等的根。

步骤六：给出最终解我们将解的形式具体化，给出一元二次方程的最终解。

将步骤五中总结出的解的形式代入即可得到方程的解。

通过以上六个步骤，我们可以用因式分解法解一元二次方程。

这种方法相对简单直观，适用于一些较为简单的二次方程。

当方程较为复杂时，可以尝试其他解方程的方法，如配方法、求根公式等。

解一元二次方程的各种方法一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，且a不等于0。

解一元二次方程的方法有多种，下面将介绍常见的三种方法：因式分解法、配方法和求根公式法。

一、因式分解法因式分解法是解一元二次方程的最简单直观方法之一，它基于一个数学原理：若两个数的乘积等于0，则其中至少一个数为0。

1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 尝试将方程因式分解为一个一次因式和一个一元二次式的乘积。

即将方程的左边分解为两个乘积，形如(ax + m)(x + n)，其中m和n为待确定的数。

3. 比较方程两边的系数，得到两个等式：a(m + n) = b和mn = c。

4. 根据上述两个等式求解m和n的值。

5. 将m和n的值代入方程(ax + m)(x + n) = 0，得到方程的解。

二、配方法配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程进行配方，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求得方程的解。

1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 若a不等于1，可以通过除以a将一元二次方程化为a(x^2 +(b/a)x + c/a) = 0。

3. 将方程的中间项(b/a)x进行配方，即加减一个常数d，并在方程两边同时加减同样的值，得到a(x^2 + (b/a)x + d^2) = d^2 - c。

4. 将方程的左边进行平方运算，并使用求平方根的性质将方程转化为完全平方的形式：(x + m)^2 = n，其中m为(b/2a)(b/2a) + d，n为(d^2 - c)。

5. 对完全平方形式的方程求解，得到方程的解。

三、求根公式法求根公式法是解一元二次方程的一种通用方法，通过使用一元二次方程的求根公式来求解方程。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的口诀：一移，二分，三转化，四再求根容易得。

步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

数学中用以求解高次一元方程的一种方法。

把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。

在使用因式分解法解一元二次方程时：
①因式分解法解一元二次方程时，等式右边必须为0。

②方程中如果有括号不要急于去掉括号，要先观察方程是否可采用因式分解法求解。

③因式分解法有提公因式法，公式法，分组分解法等（十字相乘法最常用）。

④利用因式分解法解一元二次方程时，注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。

2.4分解因式法解一元二次方程教案本课的教学目标是：1、知识与技能目标：1、会应用分解因式的方法求一元二次方程的解.2、能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择一元二次方程的解法。

1、方法与过程目标: 1、理解分解因式法的思想,掌握用因式分解法解一元二次方程；2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。

通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法。

3、情感与态度目标：通过学生探讨一元二次方程的解法,使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算,提高了解题速度和准确程度。

再之,体会“降次"化归的思想。

从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。

教学重点与难点教学重点:运用分解因式法解一些能分解因式的一元二次方程.教学难点：发现与理解分解因式的方法。

1．复习提问如果AB=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．“至少"有下列三层含义①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0三、教学过程设计1:复习：将下列各式分解因式(为新知识学习做铺垫）将下列各式分解因式：(1)5X2-4X （2)X2—4X+4 （3）4X（X—1）—2+2X(4) X2-4 （5) (2X—1)2-X2理由是：通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度。

2．新课讲解引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几?你是怎样求出来的？板演小颖小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法例1 解方程5x2＝4x．解：原方程可变形x（5x-4）＝0……第一步∴x＝0或5x—4＝0……第二步∴x1=0，x2=-4/5．教师提问、板书，学生回答．分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程,这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次"的目的,解高次方程常用转化的思想方法．例2 用分解因式法解方程解方程x—2＝x(x-2）解：原方程可变形为x—2—x（x-2）＝0．（x-2）（1—x）＝0得，∴x—2＝0或1—x＝0．∴x1＝2,x2＝1．教师板演,学生回答，总结分解因式的步骤：（一)方程化为一般形式；(二)方程左边因式分解；（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．练习:P．69想一想你能用分解因式法解方程（1)x2-4=0 （x＋1）2-25＝0．吗？练习P．69T1．T2学生练习、板演、评价．教师引导，强化．当堂演练P42例3、解下列方程1、(x-4)2=(5—2x)22、x2－6x+9=03、(x+3）（x+1）=-1（四）总结、扩展引导学生从以下2个方面进行小结,（1）本节课我们学习了哪些知识?（2)因式分解法解一元二次方程的步骤是（3）学习过程中用了哪些数学方法？整个过程让学生自己进行，以培养学生的归纳、概括的能力。

因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。

解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。

因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积，然后令每个因式等于零，得到多个简单的方程，再解这些方程得到所有的解。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先需要判断方程的根的个数。

根据判别式Δ（delta）=b^2-4ac的值，可以得到如下结论：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

此时可以使用因式分解法求解。

2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。

此时可以使用因式分解法求解。

3.当Δ<0时，方程没有实根。

此时无法使用因式分解法求解。

对于情况1和情况2，下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。

步骤一：将方程整理成一般形式。

将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。

步骤二：将方程左边进行因式分解。

根据二次三项完全平方式分解公式，将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0，其中p和q是待定常数。

步骤三：将方程化简并分别解得p和q的值。

将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比，得到以下等式：ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较，可得到以下等式组：a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组，得到p和q的值。

步骤四：求解x的值。

将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中，分别令每个因式等于零，求解得到x的值。

以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。

下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。

例题：解方程2x^2+7x+3=0。

解：根据判别式Δ=b^2-4ac，计算出Δ=49-24=25>0，所以方程有两个不相等的实根。

步骤一：将方程整理成一般形式。

将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。

数学教研组◆九年级数学导学案◆我们的约定：我的课堂我作主！执笔：陈招22.4用因式分解法解一元二次方程1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。

重点、难点1．重点：应用分解因式法解一元二次方程2．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.一、课前准备1．用配方法解方程：x2-2x=02. 用公式法解方程：x2-x+2=03．一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？小明是这样解的：解设这个数是x. 依题意得：x2 = 3x两边同时约去x，得 x = 3 这种解法正确吗？二、新课导学1．问题：方程x2–3=0 左边能否化成两个一次因式的乘积？结论：如果A·B = 0 A = 0或B = 0简记歌诀：左分解，右化零，两因式，各求解。

2．（1）方程 (x + a)(x + b) = 0的两个根为x1 =_____，x2 = ______（2）方程(x + 2)(x -3) = 0的两个根为x1 =_____，x2 = ______三、例题精析例 1.解下列方程(1) (3x+2)(4-x)=0 (2) 3 x2=12(3) 4x(x-2)=5(x-2) (4) 2（3－x）2=3x-9例2．解下列方程（1）x2－3x-10=0 (2) x2+2x-3=0(3) x2+11x+10=0四、当堂检测1．填空（1）方程11x2= x的解是_____，（2）方程x（x-1）=0，则x的值是____，（3）（3－x）（x+1）= x-3的解是_____，2．解方程(1) 4x2 -9=0(2) (2x+1)2-5=0。

因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。

要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。

因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。

首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。

这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。

将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。

需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。

最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。

首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。

如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。

总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。

（用因式分解法求解一元二次方程）教案（用因式分解法求解一元二次方程）教案一、教学目标（知识与技能）掌握应用因式分解的方法，会正确求一元二次方程的解。

（过程与方法）通过利用因式分解法将一元二次方程转化成两个一元一次方程的过程，体会“等价转化〞“降次〞的数学思想方法。

（感情态度价值观）通过探讨一元二次方程的解法，体会“降次〞化归的思想，逐渐养成主动探究的精神与积极参与的意识。

二、教学重难点（教学重点）运用因式分解法求解一元二次方程。

（教学难点）发觉与理解分解因式的方法。

三、教学过程(一)导入新课复习回忆：和学生一起回忆平方差、完全平方公式，以及因式分解的常用方法。

(二)探究新知问题1：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗如果相等，这个数是几你是怎样求出来的学生小组商量，探究后，展示三种做法。

问题：小颖用的什么法——公式法小明的解法对吗为什么——违背了等式的性质，x可能是零。

小亮的解法对吗其依据是什么——两个数相乘，如果积等于零，那么这两个数中至少有一个为零。

问题2：学生探讨哪种方法对，哪种方法错;错的原因在哪你会用哪种方法简便]师引导学生得出结论：如果a·b=0，那么a=0或b=0(如果两个因式的积为零，则至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零。

)“或〞有以下三层含义①a=0且b≠0 ②a≠0且b=0 ③a=0且b=0问题3：(1)什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解(2)用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么(3)用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么(4)用因式分解法解一元二方程，必需要先化成一般形式吗因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解。

这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。

老师提示：1.用分解因式法的条件是：方程左边易于分解，而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零。

用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1 •因式分解法若一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，X2—9 = 0,这个方程可变形为(x + 3)( X—3) = 0,要(x + 3)( X—3)等于0，必须并且只需(x+ 3)等于0或(x —3) 等于0,因此，解方程(x+ 3)( x —3) = 0就相当于解方程x+ 3 = 0或x —3= 0 了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解•这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2•因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程. 其理论根据是：若A-B= 0=A=0 或B= 0.【基础知识讲解】1 •只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程•分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法.2 •在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程•但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便•因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解.配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法•而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法.【例题精讲】例1:用因式分解法解下列方程：2(1) y + 7y+ 6 = 0; (2) t(2t —1) = 3(2 t —1); ⑶(2 x —1)( x—1) = 1.解：(1)方程可变形为(y+1)( y + 6) = 0, y+ 1 = 0 或y+ 6 = 0，二y1 = —1, y2=—6•1(2) 方程可变形为t(2t —1) —3(21 —1) = 0, (2t —1)( t —3) = 0, 2t —1 = 0 或t —3 = 0,二t =2 12=3.2(3) 方程可变形为2x —3x = 0 • x(2x —3) = 0, x = 0 或2x—3= 0 •3…X1= 0, X2=2说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.(2) 应用因式分解法解形如(x —a)( x —b) = c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x—e)( x —f) = 0的形式，这时才有X1 = e, X2 = f,否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x— 1 = 1 或X—1 = 1 X1 = 1, X2= 2.(3) 在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t —1)，请同学们思考？例2:用适当方法解下列方程：；2 ' 2 2 2(1) ,3(1 —X) = 27 ;⑵x —6x —19= 0; (3)3 x = 4x+ 1; (4) y —15= 2y; (5)5 x(x —3) —(x —3)( x+ 1) = 0 ；2 2(6)4(3 x+ 1) = 25( x—2).剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了.2 移项，得x2—6x= 19,配方，得x2—6x+ ( —3)2= 19+ ( —3)2, (X —3) 2= 28, X—3 =± 27 ,解：(1)(1 —x) 2= . 9 , (x—1) 2= 3, x—1 = ± \ 3 ,二X1= 1 + ••. 3 , X2= 1 —, 3 .X i = 2 ,73^(y —5)( y+ 3) = 0；• X1 = b -a a bX i= 3 + 2 , 7 , X2 = 3—2、L7 .2⑶移项，得3x —4x— 1 = 0,■/ a= 3, b=—4, c =—1,—(⑷2一4 3(_i)2^3⑷移项，得y2—2y—15= 0,把方程左边因式分解，得• y — 5 = 0 或y + 3= 0,二y i = 5, y2= —3.⑸将方程左边因式分解，得(x —3) :5x—(x + 1) ]= 0, (x—3)(4 X—1) = 0,• x — 3 = 0 或4x— 1 = 0, • X1= 3, X2 = 1.4(6)移项，得4(3x+ 1) —25(x—2) = 0,2 2[2(3 x + 1): —[ 5(x—2): = 0,:2(3 x + 1) + 5( x —2): • : 2(3 x + 1) —5( x —2) ]= 0,(11 x —8)( x + 12) = 0,8• 11X—8= 0 或x + 12= 0, • X1= , X2=—12.11说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简.(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成般式了.例3:解关于x 的方程：(a2—b2)x2—4abx= a2—b2.解：(1)当a2—b2= 0,即 | a | = | b | 时，方程为一4abx= 0.当a= b = 0时，x为任意实数.当| a | = | b |工0时，x = 0.(2)当a2—b2^ 0，即a+ 0且a—b* 0时，方程为一元二次方程.分解因式，得[(a+ b)x+ (a—b) ] [(a—b)x —(a+ b) ]= 0,a +b 工0 且a —b* 0,a +bX2 =a -b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解.本题实际上是分三种情况，即① a = b= 0；②| a | = | b |* 0；③| a |*| b | .例4:已知x2—xy —2y2= 0，且x* 0, y *0,求代数式剖析：要求代数式的值，只要求出x、y的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x、y的二次齐次式，所以知道x与y的比值也可.由已知x2—xy —2y2= 0因式分解即可得x与y的比值.2 2解：由x —xy —2y = 0,得(x —2y)( x + y) = 0, • x —2y= 0 或x+ y = 0, • x= 2y 或x = —y.当x= 2y时，x2 -2xy -5y2 =(2y)2 -2 2y y - 5y2=-5y2 = 一5 x2 +2xy +5y2(2y)2 +2 2y y+5y213y2 131A. . x = —B . x = 22方程 5x ( x + 3) = 3( x + 3)解为()33 A . X 1 =, X 2= 3B . x =C.55方程(y — 5)( y + 2) = 1的根为() A . y 1 = 5, y 2=— 2B. y = 5方程(x — 1)2— 4(x + 2)2= 0 的根为()A . X 1 = 1, X 2=— 5 B. X 1=—1, X =— 5 C. x = 1 X 1=— 3 , X 2=— 35 D. x =— 1D. X 1 = — , X 2= — 35C. y =— 2D.以上答案都不对 C. X 1 = 1, X 2 = 5D. X 1 =— 1, X 2= 52m x — 3x + 2= 0较小的根设为 n ,则m^ n 的值为（ 2⑶ X = 7x ;当x — y 时，与2Xy驾二超2("y 5y筠x +2xy +5y(_y) +2 .(_y) ,y +5y 亠4y说明：因式分解法体现了“降次” “化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在 「元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用.【同步达纲练习】 选择题方程（x — 16）（ x + 8） = 0的根是（） A . X i =— 16, X 2= 8B . x i = 16, X 2=— 8C. x i = 16, X 2= 8D.x i = — 16, X 2=— 8下列方程 4x — 3x — 1 = 0, 5x — 7x + 2= 0, 13x — 15x + 2 = 0 中，有一个公共解是 （） A . 1 B . 2 C.— 4 D. 4已知三角形两边长为 4和7 ,第三边的长是方程x 2— 16X + 55= 0的一个根，则第三边长是（）A . 5B . 5 或 11 C. 6D. 11方程x 2— 3| X — 1| = 1的不同解的个数是（）A . 0B . 1C. 2D. 3填空题2方程 t (t + 3) = 28 的解为 _________ . (2)方程(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0 的解为 ______________方程(2y + 1)2+ 3(2y + 1) + 2 = 0 的解为 ____________ .关于x 的方程x + (耐n )x + mn= 0的解为 _____________. 方程x (x —J5) = J5 — x 的解为 ______________ .用因式分解法解下列方程：2 2(1) x + 12x = 0; (2)4 X — 1= 0;2解- 1.⑴ ⑵⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ （8）2.（1）⑶⑷ ⑸ 3.2(4) X —4x—21 = 0;(5)( x—1)( x + 3) = 12;2(6)3 x + 2x—1 = 0;2(7)10 x —X—3= 0;4 .用适当方法解下列方程:2（1）x —4x+ 3 = 0;2(2)( x—2) = 256;2(3) x —3x + 1 = 0;2(9)2 x — 8x = 7(精确到 0.2 2 (3) x — 2mx- 8m = 0;(8) ,5x 2 — (5 ,2 + 1)x + ,10 = 0;201) ; (10)( x + 5) — 2( x + 5) — 8= 0.5 .解关于x 的方程：2 2 2 2(1) x — 4ax + 3a = 1 — 2a ； (2) x + 5x + k = 2kx + 5k + 6；2 2(4) x + (2 m + 1) x + m + m = 0.6 .已知x 2+ 3xy — 4y 2= 0( y 丰0)，试求 m 的值. x + y7.已知(x 2+ y 2)( x 2— 1 + y 2) — 12 = 0.求 x 2 + y 2 的值.8•请你用三种方法解方程： x (x + 12) = 864.9.已知x 2+ 3x + 5的值为9,试求3x 2 + 9x — 2的值.10 .一跳水运动员从 10米高台上跳水，他跳下的高度 h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h =— 5( t — 2)( t + 1).求运动员起跳到入水所用的时间.11.为解方程(X 2— 1)2— 5(x 2— 1) + 4= 0,我们可以将x 2— 1视为一个整体，然后设 x 2 — 1 = y ,贝U y 2=(x 2— 1)2,原方程化为y 2— 5y + 4= 0,解此方程，得 y 1= 1, y 2= 4.22当 y = 1 时，x — 1 = 1, x = 2 ,••• x =± 2 . 当 y = 4 时，x — 1 = 4, x = 5, • x =± \ 5 .•原方程的解为 X 1 =—、、2 , X 2 = -.2 , X 3=— . 5 , X 4= 5 .⑷ X 2— 2x — 3 = 0;⑸(2 t + 3)2= 3(21 + 3);2 2(6)(3 — y ) + y = 9 ；(7)(1+ , 2 ) x — (1 —、、2 ) x = 0;以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想.(1) 运用上述方法解方程：X4—3X2—4 = 0.(2) 既然可以将x2—1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗当x = — 4y 时, 参考答案【同步达纲练习】1. ⑴B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D132. (1) 11 = — 7, 12= 4(2) x i = — — , X 2 =— 2(3) y i =— 1 , y 2=——⑷ x i = — m X 2=—n (5) x i=^5 , X 2=— 12 2113. (1) X 1 = 0, X 2 =— 12; (2)X 1=——,X 2=； (3) X 1= 0, X 2 = 7; (4) X 1 = 7, X 2=— 3; (5)X 1=— 5, X 2 = 3; (6)X 1 =22—1 , X 2 =13(7) X 1 =3 X =一 1; (8) X 1 = 8 , X 2 =— 2523 . . 53 ― '54.(1) X 1 = 1, X 2= 3; (2) X 1 =18, X 2=— 14; (3)为= ,X 2= ；(4) X 1= 3, X 2=— 1 ；2 2(5) 11 = 0, 12=— — ; (6) y 1 = 0, y 2 = 3; (7)为=0, X 2 = 2 . 2 — 3;2(8) X 1=5, X 2= ,10 ; (9) X 1~ 7.24 , X 2=— 3.24 ; (10) X 1=— 1, X 2=— 7. 55. (1) x 2 — 4ax + 4a 2 = a 2— 2a + 1, (x — 2a )2 = (a — 1)2,二 x — 2a =± (a — 1), 二 X 1 = 3a — 1, X 2= a +1.(2) x 2+ (5 — 2k ) x + k 2— 5k — 6= 0,2x + (5 — 2k ) x + (k + 1)( k — 6) = 0, :x — (k + 1)] :x — (k — 6)]= 0,•:X 1 = k + 1, X 2= ( k — 6).(3) x 2— 2m 才 m = 9m , (x —m 2=(3 m 2二 X 1 = 4 m, X 2=— 2m2⑷ x + (21)x +1) =0 ,(x + m [x + (计 1) ]= 0 ,--X 1 = — m X 2= — ir — 16. (x +4y )( x — y ) = 0 ,x =— 4y 或 x = yx — y = -4y _ y _ 5x y -4y y 37. (x 2 + y 2)( x 2+ y 2— 1) —12 = 0 , 2 2 2 2 2(x + y ) — (x + y ) — 12= 0 , (x 2 + y 2— 4)( x 2 + y 2+ 3) = 0 ,x2+ y2= 4 或x2+ y2=—3(舍去)8. X1=—36 , X2= 242 29. v x+3x+ 5 = 9, . x+ 3x= 4 ,.3x2+ 9x—2 = 3( x2+ 3x) —2 = 3 X 4—2 = 1010. 10=- 5( t —2)( t + 1)，二t = 1(t = 0 舍去)11. (1) x i=—2, X2 = 2(2)( x2—2)( x2—5) = 0,(x+ , 2 )( x — .、2)(x+ ...5)(x—、. 5) = 0出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

一元二次方程的解法一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别代表不为零的实数常数。

解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。

下面将逐一介绍这些解法。

一、因式分解法当一元二次方程的因式分解形式为(x + m)(x + n) = 0时，方程的解即为x = -m和x = -n。

通过因式分解法求解一元二次方程的具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

2. 如果方程可以因式分解为两个一次式的乘积，即可直接得到方程的解。

3. 如果方程无法因式分解，可以通过配方法或求根公式等其他方法求解。

二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，通过配方法将其变形为(a'x + p)(b'x + q) = 0的形式，从而得到方程的解。

具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

2. 根据配方法的原则，首先将方程中二次项的系数a拆分为两个数m和n，使得a = m * n，并保证m + n等于一次项的系数b。

3. 将方程进行变形，得到(ax^2 + mx + nx + c = 0)。

4. 对方程进行因式分组，将前两项和后两项分组并提取公因式，得到((ax^2 + mx) + (nx + c) = 0)。

5. 分别对括号中的项进行因式分解，得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。

6. 化简方程，继续合并同类项，得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。

7. 根据方程(x(a + m) + (n + c) = 0)，可得到方程的解。

三、求根公式法求根公式法是一种比较常用的解一元二次方程的方法，通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到方程的解。

求根公式法的具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

一元二次次方程因式分解法一元二次方程因式分解法是解决一元二次方程的一种常用方法。

在这种方法中，我们将一元二次方程转化为一个或多个因式的乘积，从而得到方程的解。

一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

我们可以通过因式分解法将其转化为(a·x+m)·(n·x+p)=0的形式，其中m、n、p为实数。

我们需要找到一对数m和n，使得它们的和等于b/a，而它们的积等于c/a。

这个过程可以通过试错法或配方法来完成。

例如，对于方程x²+5x+6=0，我们可以将6分解为2×3或者1×6，然后找到一对数，使得它们的和等于5。

显然，这对数是2和3，因为2+3=5。

因此，我们可以将方程转化为(x+2)·(x+3)=0的形式。

接下来，我们需要解出方程中每个因式的根。

对于(a·x+m)·(n·x+p)=0的形式，我们可以得到x=-m/a和x=-p/n两个根。

因此，对于(x+2)·(x+3)=0的方程，我们可以得到x=-2和x=-3两个根。

我们需要检验解是否正确。

我们可以将每个根代入原方程中，看是否满足方程的等式。

例如，对于方程x²+5x+6=0，我们可以将x=-2代入原方程中，得到(-2)²+5(-2)+6=0，这个等式成立。

同样地，我们可以将x=-3代入原方程中，得到(-3)²+5(-3)+6=0，这个等式也成立。

因此，我们得到的解是正确的。

一元二次方程因式分解法是一种简单而有效的解方程的方法。

通过将方程转化为因式的乘积，我们可以更容易地求出方程的根，并且可以通过检验解的方法来验证解的正确性。