集合与常用逻辑用语(高三复习、教案)

《第一章集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计一、内容分析与整合（一）教学内容分析《第一章集合与常用逻辑用语》是高中数学学习的起点，为学生后续学习函数、数列、不等式等数学内容提供了重要的逻辑基础。

本章内容主要分为五个部分：集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、以及全称量词与存在量词。

这些内容不仅在数学内部逻辑上紧密相连，而且在实际问题解决中也具有广泛的应用价值。

集合是现代数学的基本概念之一，它是描述事物群体及其相互关系的重要工具。

通过学习集合的概念，学生能够理解集合的确定性、互异性、无序性，并掌握集合的表示方法（如列举法、描述法等）。

集合的学习有助于学生形成分类讨论的数学思想，为后续学习打下坚实基础。

集合间的基本关系主要包括子集、真子集、相等关系等。

这些关系揭示了集合之间的层次结构和相互联系，是学习集合运算和逻辑推理的基础。

学生需要掌握判断集合间关系的方法，并能根据具体问题灵活应用。

集合的基本运算包括并集、交集、补集等。

这些运算是集合论中的重要内容，也是解决实际问题中常用的数学工具。

学生需要掌握集合运算的定义、性质及运算法则，并能够进行复杂的集合运算。

充分条件与必要条件是逻辑推理中的基本概念，它们描述了条件与结论之间的逻辑关系。

通过学习充分条件与必要条件，学生能够理解命题之间的逻辑关系，掌握推理的基本方法，提高逻辑思维能力。

全称量词与存在量词是数学语言中的重要组成部分，它们用于描述具有普遍性或特殊性的数学命题。

学生需要理解全称命题与特称命题的区别，掌握全称量词与存在量词的含义及用法，并能够运用量词进行逻辑推理和命题证明。

（二）单元内容分析本单元内容不仅涵盖了集合论和逻辑推理的基础知识，更在数学学科中占据着举足轻重的地位。

集合论，作为现代数学大厦的基石之一，为我们提供了一个描述和研究数学对象及其相互关系的强大框架。

它使我们能够更清晰地理解和表达数学中的基本概念，为深入学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。

第1讲集合与常用逻辑用语【知识导图】【知识讲解】知识点1 集合1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系3.＝{x |x ∈U 且例题1.1 （1）已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6（2）已知集合A ＝{2a －1，a 2，0}，B ＝{1－a ，a －5，9}，且A ∩B ＝{9}，则a ＝( )A.±3，5B.3，5C.－3D.5（3）已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 （1）C ，（2）C ，（3）C解析 （1）A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，且y ≥x }＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}. （2）易知a 2＝9或2a －1＝9，∴a ＝±3或a ＝5.当a ＝3时，则1－a ＝a －5＝－2，不满足集合中元素的互异性，舍去. 当a ＝5时，则A ∩B ＝{9，0}，与题设条件A ∩B ＝{9}矛盾，舍去.当a ＝－3时，A ＝{－7，9，0}，B ＝{4，－8，9}，满足A ∩B ＝{9}，故a ＝－3.（3）∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1，1，3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.例题1.2 (1)若集合M ＝{x ||x |≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，则( )A.M ＝NB.M ⊆NC.M ∩N ＝∅D.N ⊆M(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}.若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________.答案 (1) D ，(2) 5(,2)[0,]2−∞− 解析 (1)易知M ＝{x |－1≤x ≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}＝{y |0≤y ≤1}，∴N ⊆M .(2)A ＝{x |－1≤x ≤6}. ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m <－2.符合题意.当B ≠∅时，⎩⎨⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52.得m <－2或0≤m ≤52.例题1.3 （1）设全集U ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{－3，0，2，3}，则A ∩(∁U B )＝( )A.{－3，3}B.{0，2}C.{－1，1}D.{－3，－2，－1，1，3}(2)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}，B ＝{x |4x >2m }，若A ∩B 中有三个元素，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](3)已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) B.[－1，2] C.[－2，1]D.[2，＋∞)答案 (1) C ，(2) C ，(3) C解析 (1) ∁U B ＝{－2，－1，1}，∴A ∩(∁U B )＝{－1，1}.故选C.(2)因为x 2－4x －5<0，解得－1<x <5，则集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B ＝{x ⎪⎪x >m 2}.又因为A ∩B 中有三个元素，所以1≤m2<2，解之得2≤m <4.故实数m 的取值范围是[2，4). (3)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}， 因A ∪B ＝A ，则B ⊆A .又B ≠∅，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1.例题1.4 (1) 对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝________.(2) 若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，B ＝{x |ax 2＝1，a ≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a 的值为________.(3) 定义：设有限集合A ＝{x |x ＝a i ，i ≤n ，n ∈N *}，S ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，则S 叫做集合A 的模，记作|A |.若集合P ＝{x |x ＝2n －1，n ≤5，n ∈N *}，集合P 含有四个元素的全体子集为P 1，P 2，…，P k ，k ∈N *，则|P 1|＋|P 2|＋…＋|P k |＝________.答案 (1) {x |－3≤x <0或x >3}，(2) 0或1或4，(3) 100. 解析 (1) ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}， ∴A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}. ∴A *B ＝{x |－3≤x <0或x >3}.(2) 因为B ＝{x |ax 2＝1，a ≥0}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B 为A 的真子集，此时A 与B 构成“全食”， 若a >0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x 2＝1a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，－1a . 若A 与B 构成“全食”或“偏食”，则1a ＝1或1a ＝12，解得a ＝1或a ＝4.综上a 的值为0或1或4. (3) 集合P ＝{1，3，5，7，9}，依题意，集合P 含有四个元素的全体子集为{1，3，5，7}，{1，3，5，9}，{1，3，7，9}，{3，5，7，9}，{1，5，7，9}，根据“模”的定义，|P 1|＋|P 2|＋…＋|P k |＝(1＋3＋5＋7)＋(1＋3＋5＋9)＋(1＋3＋7＋9)＋(3＋5＋7＋9)＋(1＋5＋7＋9)＝4×(1＋3＋5＋7＋9)＝100.知识点2 常用逻辑用语 1. 命题及其关系（1）命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题， 判断为假的语句叫做假命题． （2）四种命题及其关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.2.充分条件与必要条件3.存在量词与全称量词(1)全称量词和存在量词（3）常用逻辑连接词命题中的或、且、非叫做逻辑联结词，命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断例题2.1 （1）命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1（2）下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案（1）D，（2）A解析（1）命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若¬q，则¬p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.（2）命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误．故选A.例题2.2 (1)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.答案 (1) B ，(2) A ，（3）[0，3]解析 (1)由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交.由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内.故选B.(2)因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以┐p ：x ＋y ＝－2，┐q ：x ＝－1且y ＝－1，因为┐q ⇒┐p ，但┐p ⇒┐q ，所以┐q 是┐p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件. （3）由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].例题2.3 （1）命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 013＝x 015B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 013＝x 015 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15（2）下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，e x ＞0B ．∀x ∈N ，x 2＞0C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1（3）若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是____________． 答案 （1）A ，（2）B ，（3）(,1]−∞−解析 （1）由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 013＝x 015，故选A.（2）对于B.当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题．（3）因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.例题2.4 设a，b，c是非零向量．已知命题p：a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中是真命题的是()A．p∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．p∧(¬q)答案A解析取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b；由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题．综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．又∵¬p为真命题，¬q为假命题．∴(¬p)∧(¬q)，p∧(¬q)都是假命题．。

第一章集合与常用逻辑用语【高考研究·备考导航】【三年考情】角度考查内容课程标准高考真题考题统计集合1.了解集合的含义,了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.2023年:新高考Ⅰ卷·T12023年:新高考Ⅱ卷·T22022年:新高考Ⅰ卷·T12022年:新高考Ⅱ卷·T12021年:新高考Ⅰ卷·T12021年:新高考Ⅱ卷·T2常用逻辑用语1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义,能正确对两种命题进行否定.2023年:新高考Ⅰ卷·T7命题趋势1.题型设置:主要以选择题、填空题为主.2.内容考查:集合的基本关系、集合的基本运算、充分必要条件的判断和含有一个量词命题的否定.3.能力考查:运算求解能力及逻辑推理能力.【备考策略】根据近三年新高考卷命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面:1.全面系统复习,深刻理解知识本质(1)理解集合、空集、子集等概念;会根据具体条件求集合的子集的个数;理解并集、交集、补集的含义,注意符号语言的正确应用.(2)理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.(3)理解全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的概念.2.熟练掌握解决以下问题的方法规律(1)能准确判断所给集合中元素的特征,会根据问题情境选择恰当的方法表示集合.(2)掌握集合并集、交集、补集运算,注意与解不等式、解方程和函数基本概念的交汇问题.(3)能准确判断命题的真假,并能根据具体问题情境判断充分条件、必要条件和充要条件.(4)能准确地对全称量词命题(或存在量词命题)进行否定.3.重视思想方法的应用(1)方程思想:涉及元素与集合的关系及集合相等的题目,可以利用集合中元素间的相等关系,列出方程或方程组求解.(2)数形结合思想:集合与不等式、方程、函数交汇考查是集合题型常见的考查模式,解决此类问题时,要重视Venn图、数轴等图形工具的应用,目的是形象直观地表示题目条件,全面准确地理解题意,避免失分.(3)化归与转化思想:充分条件、必要条件的判断问题,通常要转化为集合包含关系的判断;全称量词命题(或存在量词命题)与其否定真假性相反,解题时应注意此结论的应用.(4)分类与整合思想:在集合间关系的判断、集合运算、充分条件、必要条件的判断等问题中,若出现参数,常对参数进行分类讨论.。

第一节集合课程标准1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.考情分析考点考法:高考命题常以方程、不等式为载体,考查集合之间的关系及运算,多以选择题的形式出现.核心素养:数学运算、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系:①属于,记为∈;②不属于,记为∉.(3)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.(4)常见数集的记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N+)Z Q R【微点拨】元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,解含参数的集合问题要注意用此性质检验.2.集合间的基本关系关系文字语言符号语言子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A,则x∈B)A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B或B⫌A相等集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集A=B空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集⌀3.集合的基本运算运算运算表示法集合语言图形语言记法并集{x|x∈A,或x∈B}A∪B交集{x|x∈A,且x∈B}A∩B补集{x|x∈U,且x∉A}∁UA 【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.任何一个集合都至少有两个子集B.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}C.若{x2,1}={0,1},则x=0D.对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立【解析】选CD.A错误.空集只有一个子集.B错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.CD正确.2.(必修第一册P10例1变条件)已知集合A={x|x2-2x<0},集合B={y|y=2−},则A∪B=()A.(0,+∞)B.[0,2)C.(-∞,2]D.[0,+∞)【解析】选D.因为A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={y|y=2−}={y|y≥0},所以A∪B=[0,+∞).3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2【解析】选C.因为x2-x-6≥0⇔(x-3)(x+2)≥0,所以N=(-∞,-2]∪[3,+∞),又因为M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.4.(忽视空集致误)集合A={x|ax=1},B={y|y=−1}且A∩B=A,则a的取值范围为()A.[0,+∞)B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,1)【解析】选A.由题意知A⊆B,而B={y|y≥0},方程ax=1,当a=0时,方程无解,则A=⌀,符合题意;当a>0时,x=1>0,符合题意;当a<0时,x=1<0,不符合题意;所以a的取值范围为[0,+∞).【巧记结论·速算】1.已知集合A有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,它有2n-1个真子集,它有2n-1个非空子集,它有2n-2个非空真子集.2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.3.∁U (A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).4.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).【即时练】1.已知集合A={x∈N|x<2},则集合A的子集个数为()A.1B.2C.4D.8【解析】选C.由已知可得A={0,1},其子集个数为22=4.2.2023年高考后某校考生取得佳绩,其中收到重点大学录取通知书的有172人,收到师范类大学录取通知书的有121人,这些人中收到重点师范类大学(既是重点大学又是师范类大学)录取通知书的有33人,那么该校考生2023年收到重点大学或师范类大学录取通知书的总人数为()A.293B.260C.205D.154【解析】选B.设收到重点大学录取通知书的学生构成集合A,收到师范类大学录取通知书的学生构成集合B,根据card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),card(A∪B)=172+121-33=260.【核心考点·分类突破】考点一集合的基本概念[例1](1)(2024·莆田模拟)设集合A={x|x≥-1},则下列四个关系中正确的是() A.1∈A B.1∉AC.{1}∈AD.1⊆A【解析】选A.由题意知,集合A={x|x≥-1}表示所有不小于-1的实数组成的集合,所以1是集合中的元素,故1∈A.(2)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.a∈{1,2,3},b∈{4,5},则M={5,6,7,8},即M中元素的个数为4.(3)(2024·石家庄模拟)若{a2,0,-1}={a,b,0},则(ab)2024的值是()A.0B.1C.-1D.±1【解析】选B.因为{a2,0,-1}={a,b,0},所以①2==−1或②2==−1,由①得=0=−1或=1=−1,其中=0=−1与元素互异性矛盾,舍去,=1=−1符合题意,由②得=1=−1,符合题意,两种情况代入(ab)2024=(-1)2024=1,答案相同.(4)(多选题)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a的可能取值为()A.92B.94C.0D.98【解析】选CD.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=23,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=98,符合题意.综上a的值为0或98.【解题技法】解决与集合的基本概念有关问题的关键点(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集,还是其他类型的集合;(2)含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【对点训练】1.(2024·郑州模拟)已知集合A={x|(2a-x)(x-a)<0},若2∈A,则实数a的取值范围为()A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.[1,2)C.(1,2)D.[1,2]【解析】选A.因为集合A={x|(2a-x)(x-a)<0},且2∈A,所以(2a-2)(2-a)<0,即(a-1)(a-2)>0,解得a>2或a<1.2.已知集合M={1,0},则与集合M相等的集合为()A.(s p−=−1+=1B.{(x,y)|y=−1+1−}C.=(−1)−12,∈ND.=|sinχ2|,∈N∗【解析】选D.A:集合(s p−=−1+=1与集合M的元素不同,A不符合题意; B:{(x,y)|y=−1+1−}与集合M的元素不同,B不符合题意;C:=(−1)−12,∈N={0,-1}≠M,C不符合题意;D:=|sinχ2|,∈N∗={1,0}=M,D符合题意.3.(多选题)(2024·南昌模拟)已知集合M={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z},则下列选项中正确的是()A.2∈MB.3∉MM D.5+26∈M【解析】选ACD.对于A,2=1×2+0×3∈M,所以A正确,对于B,3=0×2+1×3∈M,所以B错误,对于2+33-2=(-1)×2+1×3∈M,所以C正确,对于D,5+26=2+3∈M,所以D正确.【加练备选】已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2020a的值为____________;若1∉A,则a不可能取得的值为______________.【解析】若a+2=1,则a=-1,A={1,0,1},不符合题意;若(a+1)2=1,则a=0或-2,当a=0时,A={2,1,3},符合题意,当a=-2时,A={0,1,1},不符合题意;若a2+3a+3=1,则a=-1或-2,显然都不符合题意;因此a=0,所以20200=1.因为1∉A,所以a+2≠1,所以a≠-1;(a+1)2≠1,解得a≠0,-2;a2+3a+3≠1,解得a≠-1,-2.又因为a+2,(a+1)2,a2+3a+3互不相等,所以a+2≠(a+1)2得a≠−1±52;a+2≠a2+3a+3得a≠-1;(a+1)2≠a2+3a+3得a≠-2;综上a的值不可以为-2,-1,0,−1+52,−1−52.答案:1-2,-1,0,−1+52,−1−52考点二集合间的基本关系[例2](1)设全集U=R,则集合M={0,1,2}和N={x|x·(x-2)·log2x=0}的关系可表示为()【解析】选A .因为N ={x |x ·(x -2)·log 2x =0}={1,2},M ={0,1,2},所以N 是M 的真子集.(2)已知集合A ={x |x =2k +13,k ∈Z },B ={x |x =2r13,k ∈Z },则()A .A ⊆B B .A ∩B =∅C .A =BD .A ⊇B【解析】选A .对于集合B ={x |x =2r13,k ∈Z },当k =3n (n ∈Z )时,x =6r13=2n +13,当k =3n +1(n ∈Z )时,x =6r33=2n +1,当k =3n +2(n ∈Z )时,x =2n +53,所以A ⊆B.(3)(2024·武汉模拟)已知集合A ={x |x -a ≤0},B ={x ∈N |x 2-3x ≤0},若B ⊆A ,则a 的取值范围是()A.{a |a ≥3} B.{a |a >3}C.{a |a >0}D.{a |a ≥0}【解析】选A.B ={x ∈N |x 2-3x ≤0}={x ∈N |0≤x ≤3}={0,1,2,3},因为B ⊆A ,故0,1,2,3均为A ={x |x -a ≤0}中的元素,所以−≤01−≤02−≤03−≤0⇒a ≥3.(4)已知集合A ={1,2},B ={x |x 2+mx +1=0,x ∈R },若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________.【解析】①若B =∅,则Δ=m 2-4<0,解得-2<m <2.②若1∈B ,则12+m +1=0,解得m=-2,此时B={1},符合题意;③若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=-52,此时B={2,12},不符合题意.综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).答案:[-2,2)【解题技法】1.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键两种方法(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系;(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系一个关键关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系,包括相等和真子集两种关系2.根据两集合的关系求参数的方法(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性.(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.提醒:若有条件B⊆A,则应注意判断是否需要分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.【对点训练】1.已知集合A={x x =2+16a∈Z},B={x x=2-13,b∈Z},C={x x=c+16c∈Z},则A,B,C之间的关系正确的是()A.A=B⊇CB.A=B⊆CC.A=B=CD.A⊆B=C【解析】选A.由题意知A={x=2+16,a∈Z}={x x=3r16,a∈Z},B={x x=2-13,b∈Z}={x x=3K26,b∈Z}=U=3(K1)+16,b∈Z},C={x x=c+16,c∈Z}={x x=3×(2p+16,c∈Z},由此可知集合A,B表示被3除余1的数再除以6的数的集合,集合C表示被6除余1的数再除以6的数的集合,故A=B⊇C.2.(多选题)(2024·盐城模拟)已知集合A={0,1},B={x|ax2+x-1=0},若A⊇B,则实数a 的取值可以是()A.0B.1C.-1D.12【解析】选AC.当a=0时,B={1},满足条件,当a≠0时,若B={1},则=1+4=0+1−1=0,无解,若B={0},则=1+4=0−1=0,无解,若B={0,1},则=1+4>0−1=0+1−1=0,无解,若B=⌀,则Δ=1+4a<0,得a<-14,综上可知,a=0或a<-14,只有AC符合条件.3.(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=()A.2B.1C.23D.-1【解析】选B.若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意.【加练备选】1.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0<x<5},则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为________.【解析】由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}.又因为A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},所以有4个.答案:42.已知集合A={x|x2-2024x+2023<0},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是__________.【解析】由x2-2024x+2023<0,解得1<x<2023,故A={x|1<x<2023}.又B={x|x<a},A⊆B,如图所示,可得a≥2023.答案:[2023,+∞)考点三集合的运算【考情提示】高考对集合的考查以集合的运算为主.通常与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等交汇命题.角度1集合的基本运算[例3](1)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=()A.∁U (M∪N)B.N∪∁UMC.∁U (M∩N)D.M∪∁UN【解析】选A.由题意可得M∪N={x|x<2},则∁U(M∪N)={x|x≥2},选项A正确;∁U M={x|x≥1},则N∪∁UM={x|x>-1},选项B错误;M∩N={x|-1<x<1},则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},选项C错误;∁U N ={x |x ≤-1或x ≥2},则M ∪∁U N ={x |x <1或x ≥2},选项D 错误.(2)(2024·天津模拟)若关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a >0)的两个实数根为x 1,x 2,集合S ={x |x >x 1},T ={x |x >x 2},P ={x |x <x 1},Q ={x |x <x 2},则关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为()A .(S ∩T )∪(P ∩Q )B .(S ∩T )∩(P ∩Q )C .(S ∪T )∪(P ∪Q )D .(S ∪T )∩(P ∪Q )【解析】选A .不妨设x 1<x 2,则ax 2+bx +c >0(a >0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2},S ∪T ={x |x >x 1},P ∪Q ={x |x <x 2},S ∩T ={x |x >x 2},P ∩Q ={x |x <x 1},所以(S ∩T )∪(P ∩Q )={x |x <x 1或x >x 2}.(3)(2024·南阳模拟)如图所示,用集合A ,B 及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合,正确的表达式是()A.(A ∪B )∩(A ∩B )B.∁U (A ∩B )C.[A ∩(∁U B )]∪[(∁U A )∩B ]D.∁U (A ∪B )∩∁U (A ∩B )【解析】选C.阴影部分由两部分构成,左边部分在A 内且在B 外,转换为集合语言为A ∩(∁U B ),右边部分在B 内且在A 外,转换为集合语言为B ∩(∁U A ),故阴影部分表示的集合为[A ∩(∁U B )]∪[(∁U A )∩B ],C 正确;其他选项,经过验证均不符合要求.角度2根据集合之间的关系进行运算[例4]金榜原创·易错对对碰(1)已知M ,N 均为R 的子集,且∁R M ⊆N ,则M ∪(∁R N )=()A .⌀B .MC .ND .R 【解析】选B .如图所示,易知M ∪(∁R N )=M.(2)已知M ,N 均为R 的子集,且M ⊆∁R N ,则(∁R M )∩N =()A .⌀B .MC .ND .R 【解析】选C .用Venn 图表示M ,N 如图:由Venn 图看出,M ⊆∁R N ,∁R M ∩N =N.角度3根据集合的运算求参数的值(范围)[例5](1)(2024·南昌模拟)已知集合A ={x |2a <x <a +1},B ={x |-2≤x <3},若A ∩B ≠⌀,则实数a 的取值范围是()A.(-3,1)B.[-3,1)C.(-1,0)D.(-1,1)【解析】选A.由题得2a <a +1,解得a <1,所以a +1<2,又A ∩B ≠⌀,所以只需a +1>-2,解得a >-3,所以-3<a <1.(2)(2024·北京模拟)已知集合A ={x |x (x -1)≤0},B ={x |ln x ≤a },为使得A ∪B =A ,则实数a 可以是()A.0B.1C.2D.e【解析】选A.由题得A=[0,1],B=(0,e a],因为A∪B=A,所以B⊆A.所以e a≤1=e0,所以a≤0.【解题技法】1.集合基本运算的方法技巧2.根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.【对点训练】1.(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=()A.{x|0≤x<2}B.U13≤<2C.{x|3≤x<16}D.U13≤<16【解析】选D.M={x|0≤x<16},N={x|x≥13},故M∩N=U13≤<16.B)=()2.(2024·朝阳模拟)已知集合A={x|y=+1},B=(-∞,2)∪(2,+∞),则A∩(∁RA.{-1}B.{2}C.[-1,+∞)D.[-1,2)∪(2,+∞)【解析】选B.由A={x|y=+1}={x|x≥-1}=[-1,+∞),而∁R B={2},所以A∩(∁RB)={2}.3.(2024·沈阳模拟)设全集U为实数集R,已知集合M={x|x2-4>0},N={x|x2-4x+3<0},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{x|x<-2}B.{x|x>3}C.{x|1≤x≤2}D.{x|x≥3或x<-2}【解析】选D.M={x|x2-4>0}={x|x>2或x<-2},N={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},又题图中阴影部分所表示的集合是(∁UN)∩M,而∁UN={x|x≥3或x≤1},即(∁UN)∩M={x|x≥3或x<-2}.4.(2023·全国甲卷)设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集,∁U(A∪B)=()A.{x|x=3k,k∈Z}B.{x|x=3k-1,k∈Z}C.{x|x=3k-2,k∈Z}D.⌀【解析】选A.因为整数集Z={x|x=3k,k∈Z}∪{x|x=3k+1,k∈Z}∪{x|x=3k+2,k∈Z},U=Z,所以∁U(A∪B)=U=3s∈Z.【加练备选】1.已知集合A={x|x2≥4},B={m}.若A∪B=A,则m的取值范围是()A.(-∞,-2)B.[2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)【解析】选D.因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得m≥2或m≤-2.2.(2024·揭阳模拟)已知集合M={x|x2-2x-3<0},N={x|lg(x-2)<1},则M∪N=()A.{x|2<x<12}B.{x|-1<x<12}C.{x|-12<x<1}D.⌀【解析】选B.因为M={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},N={x|lg(x-2)<1}={x|0<x-2<10} ={x|2<x<12},因此,M∪N={x|-1<x<12}.。

《第一章集合与常用逻辑用语复习课》教学设计一、内容和内容解析1.内容2.内容解析本章学习内容包括集合的有关概念，关系和运算，还有充分条件、必要条件、充要条件、全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题及其否定。

这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础。

复习本章所学知识，在知识的复习和再现的基础上，用联系的观点和递进的方式可以加深对本章内容的理解。

复习本章知识能有效总结和提升学习内涵，整理学习方法提高学习效率，对于全章知识的联系和整合也能有更好的效果。

在本章内容的复习中，首先应掌握集合语言的表述方式，学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性、互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研究对象的某些关系。

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具。

充分条件、必要条件和充要条件，全称量词命题，存在量词命题及它们的否定都能与许多已学过的内容进行融合，如初中学习过的数学定义、定理、命题及许多代数结论等都可以用常用逻辑用语表示。

利用常用逻辑用语表述数学内容，进行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，提升逻辑推理素养。

结合以上分析，确定本节课的教学重点是：引领复习全章重点内容。

二、目标和目标解析1.目标（1）理解集合的含义，表示法，明确元素与集合，集合与集合的关系；（2）理解并掌握集合的运算法，能解决集合的交、并、补运算问题；（3）能通过“若p，则q”形式命题的真假性，判断充分条件、必要条件、充要条件；（4）能辨别全称量词命题和存在量词命题的真假，并能写出否定形式。

第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全A⊆B，A＝B相同B⊆A空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( )A ．a ∈PB ．{a }∈PC ．{a }⊆PD ．a ∉P解析：选D.因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a ∉P .故选D.2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．答案：{x |x 是直角}3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．解析：集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 答案：2 [易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或32．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或123．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞) 集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．92B ．98C ．0D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2.故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素． (2)当a ＝0时，显然成立； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0， 即a ＝98.(3)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1. 所以b －a ＝2.【答案】 (1)C (2)D (3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3解析：选B.因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所以m 的值为3或1.2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为________．解析：因为32－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：4集合的基本关系(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2，0，1，8}，C ＝{1，9，3，8}，则集合A 可以为( )A ．{1，8}B ．{2，3}C ．{0}D ．{9}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆{B ∩C }＝{1，8}，故选A.(2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.【答案】 (1)A (2)(－∞，3]1．(变条件)在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.2．(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．解析：由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0.答案：－2或03．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．答案：4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集∁U A∩B＝( )合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁U A＝{2，4，5}．故选C.(2)由题意可得∁U A＝{－1，3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.(3)因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．又因为A∩B＝{x|1<x<2}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．【答案】(1)C (2)A (3)(－1，3) (－∞，1]∪[2，＋∞)角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B ＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}．若A∪B＝R，则m的值可以是( )A．－1 B．0C．1 D．2【解析】(1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1－4＋m＝0，所以m＝3.由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.所以B＝{1，3}．经检验符合题意．故选C.(2)因为A∪B＝R，所以m>1.故m的值可以是2，故选D.【答案】(1)C (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁R Q＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁R Q)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁S A＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中xi1＝xi2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．【解析】(1)由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3项和为2.(2)由已知可得子集P 为{a 1，a 3，…，a 99}，子集Q 为{a 1，a 4，a 7，…，a 100}，则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项，即a 1，a 7，…，a 97，共17项．【答案】 (1)2 (2)17解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．解析：在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝{x |23≤x ≤34}， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝{x |14≤x ≤13}， 长度为13－14＝112. 综上，M ∩N 的长度的最小值为112. 答案：112[基础题组练]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，1]B ．(0，1]C ．[1，e]D ．(0，e]解析：选A.因为A ＝{}x |e x ≤1＝{}x |x ≤0， B ＝{}x |ln x ≤0＝{}x |0＜x ≤1，所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A.3．(2020·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁U B)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.4．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B.因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}解析：选C.由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B)∩A，因为∁R B＝{x|x≥0}，所以(∁R B)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C ．(0，1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B.因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{4，5，6}C ．{6，7，8}D ．{4，5，6，7，8} 解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U A ＝{4，5，6，7，8}，所以(∁U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去． 9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117 解析：选B.由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5有相同的元素，当y ＝3，x ＝5，15，25，…，95时，与y ＝5，x ＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.10．(2020·温州质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：选D.因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1.所以A ＝{x |x >2或x <1}，因为B ＝{x |x ≤a }，所以∁U B ＝{x |x >a }．因为∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.答案：412．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∪B＝________；A∩(∁U B)＝________．解析：log2(x－2)<1⇒0<x－2<2⇒2<x<4⇒B＝(2，4)，所以A∪B ＝[－1，4)，A∩(∁U B)＝[－1，2]．答案：[－1，4) [－1，2]13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B ＝________，A∩(∁R B)＝________．解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁R B＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．答案：{x|x<－2或x>4} {－1，2}14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R(M∩N)＝________．解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝(3，＋∞)，所以∁R(M∩N)＝(－∞，3]．答案：(3，＋∞)(－∞，3]15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＝________，n＝________．解析：由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N ＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4.答案：3 416．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B ＝________．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B .所以B ＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1][综合题组练]1．(2020·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝RB ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A 解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选 B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}．故选B.3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．解析：由题意，当m ＝2时，A ＝{1，2，2}，B ＝{1，2}，满足B ⊆A ；当m ＝m ，即m ＝0或1时，若m ＝0，则A ＝{1，2，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A .若m ＝1，则A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1舍去．当m ＝2时，∁A B ＝{2}；当m ＝0时，∁A B ＝{2}．答案：0或2 {2}或{2}4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅；②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅；③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ；④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R .其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错．②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错．③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}，则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}，则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .解：不等式18<2x <8的解为－3<x <3， 所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3， 所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1；若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

第一章集合与常用逻辑用语1．1 集合的概念第二课时集合的表示方法教学目标1．掌握集合的表示法——列举法和描述法，使学生正确把握集合的元素构成与集合的特征性质的关系，从而可以更准确地认识集合．2．能选择适当的方法表示给定的集合，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：集合的表示法．教学难点：集合的特征性质的概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单的集合．课时安排1课时教学过程提出问题①上节所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容，并思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法？活动：①学生回顾所学的集合并作出总结．教师提示可以用字母或自然语言来表示．②教师可以举例帮助引导：例如，24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号“{}”内，即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式，这种表示集合的方法是列举法．注意：大括号不能缺失；有些集合所含元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如：从1到100的所有整数组成的集合：{1,2,3,,100}，自然数集N：n；区分a与{}a：{}a表示一个集合，该集合只有一个元素，a表示这{0,1,2,3,4,,,}个集合的一个元素；用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序，相同的元素不能出现两次．又例如，不等式32x ->的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示． 可以表示为{|32}x x ∈->R 或{|32}x x ->，这种表示集合的方法是描述法． ③让学生思考总结已经学习了的集合表示法．讨论结果：方法一(字母表示法)：大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N 、Q ，所有的正方形组成的集合记为A 等等；方法二(自然语言)：用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”组成的集合等等． 方法三(列举法)：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．方法四(描述法)：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．注：在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式，只需去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为{|x x 是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}．③表示一个集合共有四种方法：字母表示法、自然语言、列举法、描述法．应用示例例1．用列举法表示下列集合：（1）小于5的正奇数组成的集合；（2）能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；（3）方程290x -=的解组成的集合；（4）{15以内的质数}；（5）6{|,}3x x x∈∈-Z Z ． 活动：教师指导学生思考列举法的书写格式，并讨论各个集合中的元素．明确各个集合中的元素，写在大括号内即可．提示学生注意：（2）中满足条件的数通常按从小到大排列时，从第二个数起，每个数比前一个数大3；（4）中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数；（5）中3x -是6的约数，6的约数有±1，±2，±3，±6.解：（1）满足题设条件小于5的正奇数有1、3，故用列举法表示为{1,3}；（2）能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12，故用列举法表示为{6,9,12}；（3）方程290x -=的解为3-、3，故用列举法表示为{3,3}-；（4）15以内的质数有2、3、5、7、11、13，故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}；（5）满足63x∈-Z 的x 有31x -=±、2±、3±、6±，解之，得2x =、4、1、5、0、6、3-、9，故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,3,9}-．点评：本题主要考查集合的列举法表示．列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合．用列举法表示集合：先明确集合中的元素，再把元素写在大括号内并用逗号隔开，相同的元素写成一个.变式训练1用列举法表示下列集合：（1）24x -的一次因式组成的集合；（2）方程2690x x ++=的解集；（3）{20以内的质数}；（4）2{|5140}x x x ∈+-=R ；（5）{(,)|6,,}x y x y x y +=∈∈N N ．分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内．【解析】（1）24(2)(2)x x x -=+-，故符合题意的集合为{2,2}x x +-；（2）由2690x x ++=，得123x x ==-，∴方程2690x x ++=的解集为{3}-；（3）{20以内的质数}{2,3,5,7,11,13,17,19}=；（4）25140x x +-=的解为17x =-，22x =，则2{|5140}{7,2}x x x ∈+-==-R ；（5）{(,)|6,,}{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}x y x y x y +=∈∈=N N ． 例2．用描述法分别表示下列集合：（1）二次函数2y x =图象上的点组成的集合；（2）数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；（3）不等式73x -<的解集．活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点，如何表示数轴上的点，如何表示不等式的解．学生板书，教师在其他学生中间巡视，及时帮助思维遇到障碍的同学．必要时，教师可提示学生：（1）集合中的元素是点，它是坐标平面内的点，集合元素代表符号用有序实数对(,)x y 来表示，其特征是满足2y x =；（2）集合中元素是点，而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，集合元素代表符号用x 来表示，其特征是对应的实数绝对值大于6；（3）集合中的元素是实数，集合元素代表符号用x 来表示，把不等式化为x a <的形式，则这些实数的特征是满足x a <．【解析】（1）二次函数2y x =上的点(,)x y 的坐标满足2y x =，则二次函数2y x =图象上的点组成的集合表示为2{(,)|}x y y x =；（2）数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合， 则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{|||6}x x ∈>R ；（3）不等式73x -<的解是10x <，则不等式73x -<的解集表示为{|10}x x <．点评：本题主要考查集合的描述法表示．描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合．用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代表符号是(,)x y ，数集的元素代表符号常用x ．集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述，最好用数学符号表示，必须抓住其实质．变式训练2用描述法表示下列集合：（1）方程25x y +=的解集；（2）小于10的所有非负整数的集合；（3）方程组11x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合；（4）{1,3,5,7,}；（5）非负偶数；【解析】（1）,25{()|}x y x y +=；（2）{|010,}x x x ≤<∈Z ；（3）1{(,)|}1x y x y x y +=⎧⎨-=⎩； （4）*{|21,}x x k k =-∈N ；（5）*{|2,}x x k k =∈N ．当堂检测1．(口答)说出下面集合中的元素：（1）{大于3小于11的偶数}；（2）{平方等于1的数}；（3）{15的正约数}．【解析】（1）其元素为4,6,8,10；（2）其元素为-1,1；（3）其元素为1,3,5,15．2．用列举法表示下列集合：（1）所有绝对值等于8的数的集合A ；（2）所有绝对值小于8的整数的集合B ．【解析】（1）{8,8}A =-；（2）{7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7}B =-------．3．定义集合运算{|(,)}AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，，设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B 的所有元素之和为（ ） A ．0 B ．6C ．12D ．18【解析】∵x ∈A ，∴x ＝0或x ＝1．当x ＝0，y ∈B 时，总有z ＝0．当x ＝1时，若x ＝1，y ＝2，有z ＝6；若x ＝1，y ＝3，有z ＝12．综上所得，集合A B 的所有元素之和为061218++=，故选D ．4．分别用列举法、描述法表示方程组322327x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集．【解析】322327x yx y+=⎧⎨-=⎩的解为37xy=⎧⎨=-⎩，用描述法表示该集合为32 {(,)|}2327x yx yx y+=⎧⎨-=⎩；用列举法表示该集合为{(3,7)}-．。

精品教案――集合与简易逻辑一、本章知识结构：二、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

三、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论例1、下面四个命题正确的是（A ）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B ）方程x 2－4x ＋4＝0的解集是{2，2}（C ）0与{0}表示同一个集合 （D ）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}解：选（D ），最小的质数是2，不是1，故（A ）错；由集合的定义可知（B ）（C ）都错。

第一课时集合与逻辑用语1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 4.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.5.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p7.(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真8.(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)全称命题：含有全称量词的命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x).(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.(4)特称命题：含有存在量词的命题.特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0).9.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，非p(x)真题回顾1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,2) C.(-1,2) D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2017.全国1.理.T3)设有下面四个命题（）1p：若复数z满足1z∈R，则z∈R；2p：若复数z满足2z∈R，则z∈R；3p：若复数12z z，满足12z z∈R，则12z z=；4p：若复数z∈R，则z∈R．A．13p p， B．14p p，C．23p p，D．24p p，【答案】B【解析】1:p设z a bi=+，则2211a biz a bi a b-==∈++R，得到0b=，所以z∈R.故1P正确；2:p若z=-21，满足2z∈R，而z i=，不满足2z∈R，故2p不正确；3:p若1z1=，2z2=，则12z z2=，满足12z z∈R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p不正确；4:p实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p正确.6.(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析x>y x>|y|(如x＝1，y＝－2).但x>|y|时，能有x>y.∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.答案 C7.命题“∃x0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x0>sin x0”的否定是 .答案∀x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x≤sin x。

教学过程知识点梳理1．集合的概念、关系与运算(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.(3)集合的运算：∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(∁U A)＝A.2．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．4．简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．5．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.考点一集合间的关系及运算例1(1)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3 B．6 C．8 D．10(2)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．[－1,0]B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．(1)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．5D ．9(2)设全集U ＝R ，集合P ＝{x |y ＝ln(1＋x )}，集合Q ＝{y |y ＝x }，则 右图中的阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－1<x ≤0，x ∈R }B ．{x |－1<x <0，x ∈R }C ．{x |x <0，x ∈R }D ．{x |x >－1，x ∈R }考点二 四种命题与充要条件例2 (1)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3(2)设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥9”是“x >3且y ≥3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．(1)(2012·天津)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．②③考点三 逻辑联结词、全称量词和存在量词例3 (1)(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数(2)已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－12；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q(1)全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论；而命题的真假可以先分清命题的构成，然后通过真值表直接判断． (2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时，往往可以将条件进行等价转化．若是由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤11． 解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助 数轴和韦恩图加以解决．。

集合与常用逻辑用语(高三复习、教案)A，但不属于___在B中的相对补集通常写作"A\B"，读作“A减去B”，用符号语言表示：A\B={x|x∈A,且x∉B}补集：若A是一个集合，则A的补集是这样一个集合：其元素不属于A。

A的补集通常写作"Ac"，读作“A的补集”，用符号语言表示：Ac={x|x∉A}笛卡尔积若A和B是两个集合，则A和B的笛卡尔积是这样一个集合：它的元素是有序对(x,y)，其中x∈A，y∈___和B的___积通常写作"A×B"，用符号语言表示：A×B={(x,y)|x∈A。

y∈B}第一章：集合与常用逻辑用语集合的概念及运算一、知识清单1.集合的含义与表示1）集合是指具有某种特定性质的具体或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。

2）常用的集合表示法有：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn图法。

2.集合的特性集合中的任意两个元素都是不同的，要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一。

通常用该性质判断两个集合的关系。

3.常用的集合集合的不同与元素的排列无关。

常见数集的记法有：自然数集N，正整数集N或N+，整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C。

4.集合间的基本关系1）集合间的关系有：子集、真子集、相等。

2）有限集合中子集的个数：有限集合A中有n个元素，集合A的子集个数为2^n，非空子集个数为2^n-1，真子集个数为2^n-1，非空真子集个数为2^(n-1)。

5.集合的运算集合的运算包括交集、并集、补集和笛卡尔积。

交集表示A和B共有的元素组成的集合，通常写作"A∩B"，读作“A交B”，用符号语言表示：A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

并集表示A和B所有元素组成的集合，通常写作"A∪B"，读作“A并B”，用符号语言表示：A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

清泉州阳光实验学校赣榆县智贤中学高三数学总复习专题一第1讲集合与常用逻辑用语〔1〕教学案复备栏教学内容：集合与常用逻辑用语〔1〕教学目的：理解集合间的关系，掌握集合的运算；掌握充分条件与必要条件。

教学重点：1.集合间的关系及运算；2.充分条件与必要条。

教学难点：充分条件与必要条．教学过程：一、知识点复习：1．必记的概念与定理(1)四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．(2)充分条件与必要条件假设p⇒q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件；假设p⇔q，那么p，q互为充要条件．2．记住几个常用的公式与结论(1)(A∩B)⊆(A∪B)；(2)A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B；(3)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.(4)集合的运算：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(∁UA)＝A.3．需要关注的易错易混点(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进展检验．(2)有些全称命题并不含有全称量词，这时我们要根据命题涉及的意义去判断．对命题的否认，首先弄清楚是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否认．(3)“p是q的充分不必要条件〞与“p的一个充分不必要条件是q〞两者的不同，前者是“p⇒q〞但q p而后者是“q⇒p，p q〞．二、根底训练：1．(2021·模拟)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，那么A∩B＝________.解析：∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16.∴B＝{1,4,9,16}．∴A∩B＝{1,4}．答案：{1,4}2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数〞的否认是____________．答案：任意一个无理数，它的平方不是有理数3．a，b，c∈R，命题“假设a＋b＋c＝3，那么a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________．解析：命题的否命题是原命题的条件与结论分别否认后组成的命题，所以应填“假设a＋b＋c≠3，那么a2＋b2＋c2<3”．答案：假设a＋b＋c≠3，那么a2＋b2＋c2<34．(2021·模拟)以下命题中真命题的序号是________．①∃x∈R，x＋＝2；②∃x∈R，sinx＝－1；③∀x∈R，x2>0；④∀x∈R,2x>0解析：对于①x＝1成立，对于②x＝成立，对于③x＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．答案：①②④三、例题教学：例1(1)(2021·高考卷)集合A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，那么A∩B＝________. (2)(2021·模拟)集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，那么B中所含元素的个数为________．[解析](1)A∩B＝{－2，－1,3,4}∩{－1,2,3}＝{－1,3}．(2)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.[答案](1){－1,3}(2)10[方法归纳](1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对于给出集合，进展交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．变式训练：1．(1)(2021·高考卷改编)集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，那么A∩B＝________.(2)集合A＝{0,1,2}，那么集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．(3)假设集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，那么N 中元素的个数为________．解析：(1)∵A＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}∩{0,1,2}＝{0,2}.(2)x－y∈{－2，－1,0,1,2}，即B中元素有5个．(3)集合N是一个点集，横纵坐标都从集合M中选取，涉及的点个数有限，所以可以逐个代入验证．x，y∈M时，所有点中，只有(0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,1)四个点能同时适宜集合N中的不等式，所以N中只有4个元素．答案：(1){0,2}(2)5(3)4例2写出原命题的否认和否命题(1)假设一个三角形为锐角三角形，那么它的三个内角都为锐角；(2)菱形的对角线互相垂直．[解](1)原命题的否认：假设一个三角形为锐角三角形，那么它的三个内角不都为锐角．原命题的否命题为：假设一个三角形不为锐角三角形，那么它的三个内角不都为锐角．(2)原命题的否认：菱形的对角线不互相垂直．原命题的否命题：非菱形的四边形的对角线不互相垂直．[方法归纳]一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否认，等于的否认是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．“都是〞的否认是“不都是〞，“不都是〞包含“都不是〞，“至少有一个〞的否认是“一个都没有〞，“所有的〞的否认是“某些〞，“任意的〞的否认是“某个〞，“至多有一个〞的否认是“至少有两个〞，“至多有n个〞的否认是“至少有n＋1个〞，“任意两个〞的否认是“某两个〞．像这类否认同学们不妨探究一下．变式训练：2．(1)假设命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数〞，其否认为________．(2)命题“面积相等的三角形是全等三角形〞的否认为________，否命题为________．答案：(1)所有能被2整除的整数都不是奇数(2)面积相等的三角形不是全等三角形面积不相等的三角形不是全等三角形考点三充分条件与必要条件稳固练习：1．(2021·调研)假设“x2>1”是“x<a〞的必要不充分条件，那么a的最大值为________．解析：由x2>1，得x<－1或者者x>1，又“x2>1”是“x<a〞的必要不充分条件，知由“x<a〞可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案：－12．全集为R，集合A＝，B＝，那么A∩(∁RB)＝________.解析：A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩(∁RB)＝{x|x≥0}∩{x|x>4或者者x<2}＝{x|0≤x<2或者者x>4}．答案：{x|0≤x<2或者者x>4}3．假设∃θ∈R，使sinθ≥1成立，那么cos的值是________．解析：由题意得sinθ－1≥0.又－1≤sinθ≤1，∴sinθ＝1.∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．故cos＝.答案：4．(2021·调研)设a，b为向量，那么“|a·b|＝|a||b|〞是“a∥b〞的________条件．解析：由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，那么有cos〈a，b〉＝±1.即〈a，b〉＝0或者者π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或者者反向，所以〈a，b〉＝0或者者π，所以|a·b|＝|a||b|.答案：充要课后反思：。

1．1 集合(教师独具内容)1．能够在现实情境或数学情境中概括出数学对象的一般特征，并用集合语言表达，初步学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研究对象，并能进行转换，掌握集合的基本关系与基本运算．2．“交”“并”“补”运算是集合部分的重点内容，除了理解运算的意义外，更重要的是利用集合的性质正确地进行集合运算，包括数集、点集的运算，养成利用数轴解决数集运算、利用直角坐标系解决点集运算的习惯，体会数形结合思想．3．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．(教师独具内容)1．了解集合的含义，会用“列举法”“描述法”“区间”表示集合是重点，而利用集合中元素的“三性”(确定性、互异性、无序性)解决问题及集合相等在历年的考试中有不少涉及．对特殊集合的符号(复数集C，实数集R，有理数集Q，整数集Z，自然数集N，正整数集N*)必须会熟练运用．2．关于子集，首先要理解子集的概念，其次是子集的判断、证明(A⊆B⇔任意x∈A⇒x∈B)有限集中子集的个数．3．集合内容常常结合不等式进行考查，方法是先从元素的结构特点入手，通过通分、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．4．高考中，在选择题中直接考查，每年必考，难度较小．一般作为“工具”类知识点出现在各类题型的答案中，尤其与不等式和方程结合较多．(教师独具内容)(教师独具内容)1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：□01确定性、□02无序性、□03互异性．(2)□04属于或□05不属于，用符号□06∈或□07∉表示．(3)常见数集的符号表示集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号□08N□09N *(或N＋) □10Z□11Q□12R2．集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A和B，如果集合A中□01任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作：□02A⊆B或□03B⊇A．读作“A包含于B”(或“B包含A”).(2)相等：一般地，如果集合A的□04任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的□05任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作□06 A＝B，也就是说，若□07A⊆B，且□08B⊆A，则A＝B.(3)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且□09x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作□10A B(或B A)．(4)空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做□11空集，记为□12∅，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝□01{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}性质A∪∅＝AA∪A＝AA∪B＝B∪AA∪B＝A⇔□02B⊆AA∩∅＝∅A∩A＝AA∩B＝B∩AA∩B＝A⇔□03A⊆BA∪(∁U A)＝UA∩(∁U A)＝□04∅∁U(∁U A)＝□05A∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B) 4．区分下列集合的表示含义5．集合中元素与子集个数的关系若有限集A中有n个元素，则A的子集有□012n个，真子集有□022n－1个，非空子集有□032n－1个，非空真子集有□042n－2个．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.()(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C 等于()A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}答案 B解析A∪B＝{1，2，4，6}，(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.3．已知全集U，集合A＝{1，3，5，7，9}，∁U A＝{2，4，6，8}，∁U B＝{1，4，6，8，9}，则集合B＝________．答案{2，3，5，7}解析由A＝{1，3，5，7，9}，∁U A＝{2，4，6，8}，得全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以B＝{2，3，5，7}．4．集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{x|x－a≥0}，若A∪B＝B，则a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析集合A＝{x|y＝x－1}，所以A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x－a≥0}，所以B＝{x|x≥a}.由A∪B＝B，得A⊆B，所以a≤1.5．已知集合A＝{7，2m－1}，B＝{7，m2}，且A＝B，则实数m＝________．答案 1解析若A＝B，则m2＝2m－1，即m2－2m＋1＝0，即m＝1.1．(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B ＝()A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}答案 B解析因为A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}．故选B.2．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A．{5} B．{1，2}C．{3，4} D．{1，2，3，4}答案 A解析因为M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}，所以∁U(M∪N)＝{5}．故选A.3．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z }，则S ∩T ＝( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z 答案 C解析 因为s ＝2n ＋1，n ∈Z ，当n ＝2k ，k ∈Z 时，s ＝4k ＋1，k ∈Z ；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，s ＝4k ＋3，k ∈Z ，所以TS ，S ∩T ＝T .故选C.4．(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C ．{x |4≤x <5} D ．{x |0<x ≤5} 答案 B 解析 由已知得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4.故选B.一、基础知识巩固 考点集合的概念例1 设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．无数个 答案 C解析 依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．例2 若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________． 答案 0或98解析 当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.1.已知集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜log 2k }，集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为________．答案 (16，＋∞)解析 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k ＞4，所以k ＞24＝16. 2．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 由题意，得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意．故m ＝－32.解决集合概念问题的一般思路研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．考点集合间的关系例3 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．例4 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，3]解析 因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2；②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3].3.设M 为非空的数集，M ⊆{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个 答案 A解析 由题意知，M ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．4．若集合A ＝{1，2}，B ＝{x ∈R |x 2＋mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 [－2，2)解析 ①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2，符合题意；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不符合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，2).判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中元素之间的关系．集合之间一般是包含或相等关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么； (2)两个集合中元素之间的关系是什么． 考点集合的基本运算例5 已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3} 答案 C解析 因为N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}，所以M ∩N ＝{x |－2<x <2}．故选C.例6 已知A ＝[1，＋∞)，B ＝[0，3a －1]，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．(1，＋∞)答案 C解析 由题意可得3a －1≥1，解得a ≥23，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C.5.若集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x >－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－2<x <－1}D ．{x |－1<x <2} 答案 A解析 画出数轴如图所示，故A ∪B ＝{x |x >－2}．6．如图，设全集U ＝N ，集合A ＝{1，3，5，7，8}，B ＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{2，4}B ．{7，8}C ．{1，3，5}D ．{1，2，3，4，5}答案 A解析 由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ，因为集合A ＝{1，3，5，7，8}，B ＝{1，2，3，4，5}，U ＝N ，所以(∁U A )∩B ＝{2，4}．故选A.集合间的运算问题要进行集合之间的运算，先确定要运算的集合．集合Q的补集是由全集U 中不属于集合Q中的所有元素组成的．特别要注意求某一集合的补集的前提是明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．考点集合新定义问题例7定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为()A．1 B．0C．－1 D．sin α＋cos α答案 B解析因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.故选B.7.设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝() A．{x|0<x≤1} B．{x|0≤x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<1}答案 D解析由题意得P＝{x|0<x<2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0<x<1}．故选D.集合运算问题的四种常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解．(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解．(3)已知集合的运算结果求集合，借助数轴、Venn图求解．(4)根据集合运算求参数，先化简集合，然后把符号语言译成文字语言，最后应用数形结合求解．二、核心素养提升例1 若数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”．则( )A ．{1，3，4}为“权集”B ．{1，2，3，6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1 答案 B解析 对于A ，由于3×4与43均不属于数集{1，3，4}，故A 不正确；对于B ，选1，2时，有1×2属于{1，2，3，6}，同理取1，3，取1，6，取2，3时也满足，取2，6时，有62属于{1，2，3，6}，取3，6时，有63属于{1，2，3，6}，所以B 正确；对于C ，由“权集”定义知1≤a 1<a 2<…<a n 且a ja i需要有意义，故不能有0，故C 不正确；对于D ，如集合{2，4}，符合“权集”定义，但不含1，所以D 不正确．例2 对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M ).设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞)答案 C 解析 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥－94，B ＝{y |y ＜0}，所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y <－94，A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥0或y <－94.故选C.例3 定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝mn ，m ∈A ，n ∈B .已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合⎝ ⎛⎭⎪⎫B A ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 B解析 由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，16，14，13，12，1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，16，14，13，12，1，2，共有7个元素．以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．课时作业一、单项选择题1．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1，2} D ．{0，1，2} 答案 C解析 由题意知，A ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝{1，2}．2．已知集合A ＝{1，2，3，5，7，11}，B ＝{x |3<x <15}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 ∵A ＝{1，2，3，5，7，11}，B ＝{x |3<x <15}，∴A ∩B ＝{5，7，11}，A∩B中有3个元素．故选B.3．已知M，N均为R的子集，且(∁R M)⊆N，则M∪(∁R N)＝()A．∅B．M C．N D．R答案 B解析如图所示，易知答案为B.4．(2021·山西长治二中第六次模拟)设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－2x＋m ＝0}，若A∩B＝{3}，则B＝()A．{－1，3} B．{－2，3}C．{－1，－2，3} D．{3}答案 A解析依题意可知3是集合B的元素，即32－2×3＋m＝0，解得m＝－3，由x2－2x－3＝0，解得x＝－1，3.故选A.5．A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是()A．3≤a<4 B．－1<a<4C．a≤－1 D．a<－1答案 C解析利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.6．已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是()A．[3，6) B．[1，2)C．[2，4) D．(2，4]答案 C解析 集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |4x >2m }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >m 2，∵A ∩B 有三个元素，∴1≤m2＜2，解得2≤m ＜4，∴实数m 的取值范围是[2，4).7．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.8.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |2x －x 2≥0}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B ＝( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |x ≤1，或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1，或x >2} 答案 D解析 因为A ＝{x |2x －x 2≥0}＝[0，2]，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，由题图知A ⊗B ＝[0，1]∪(2，＋∞).故选D.二、多项选择题9．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值可以为( )A ．15B ．0C ．3D ．13 答案 ABD解析 ∵x 2－8x ＋15＝0的两个根为3和5，∴A ＝{3，5}，∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，B ＝∅或B ＝{3}或B ＝{5}或B ＝{3，5}，当B ＝∅时，满足a ＝0即可，当B ＝{3}时，满足3a －1＝0，∴a ＝13，当B ＝{5}时，满足5a －1＝0，∴a ＝15，当B ＝{3，5}时，显然不符合条件，∴实数a 的值可以是0，13，15.10．若X 是一个集合，集合Γ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：(1)X 属于Γ，∅属于Γ；(2)Γ中任意多个元素的并集属于Γ；(3)Γ中任意多个元素的交集属于Γ，则称Γ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合Γ：①Γ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}；②Γ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}；③Γ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④Γ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的拓扑的集合Γ的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 BD解析 ①不是集合X 上的拓扑，因为{a }∈Γ，{c }∈Γ，但{a }∪{c }∉Γ；②是集合X 上的拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；③不是集合X 上的拓扑，因为{a ，b }∈Γ，{a ，c }∈Γ，但{a ，b }∪{a ，c }∉Γ；④是集合X 上的拓扑，可以逐一验证三条性质都满足．三、填空题11．已知全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x <b }，∁U A ＝{x |x <1，或x ≥2}，则实数b ＝________．答案 2解析 因为∁U A ＝{x |x <1，或x ≥2}，所以A ＝{x |1≤x <2}．所以实数b ＝2. 12．定义集合P ＝{p |a ≤p ≤b }的“长度”是b －a ，其中a ，b ∈R .已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋12，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪n －35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．答案 110解析 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋12，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪n －35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ＋12≤2，可得1≤m ≤32；由⎩⎪⎨⎪⎧n －35≥1，n ≤2，可得85≤n ≤2.易知M ∩N ＝{x |m ≤x ≤n }或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪n －35≤x ≤m ＋12，故有“长度”的最小值为n min－m max ＝85－32＝110或⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12min －⎝ ⎛⎭⎪⎫n －35max ＝32－75＝110，即集合M ∩N 的“长度”的最小值是110.13．已知集合A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}＝{x |0＜x ＜1}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝{x |0＜x ＜c }，若A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.14．定义：设有限集合A ＝{x |x ＝a i ，i ≤n ，n ∈N *}，S ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，则S 叫做集合A 的模，记作|A |.若集合P ＝{x |x ＝2n －1，n ≤5，n ∈N *}，集合P 含有四个元素的全体子集为P 1，P 2，…，P k ，k ∈N *，则|P 1|＋|P 2|＋…＋|P k |＝________．答案 100解析 集合P ＝{1，3，5，7，9}，依题意，集合P 含有四个元素的全体子集为{1，3，5，7}，{1，3，5，9}，{1，3，7，9}，{3，5，7，9}，{1，5，7，9}，根据“模”的定义，|P 1|＋|P 2|＋…＋|P k |＝(1＋3＋5＋7)＋(1＋3＋5＋9)＋(1＋3＋7＋9)＋(3＋5＋7＋9)＋(1＋5＋7＋9)＝4×(1＋3＋5＋7＋9)＝100.四、解答题15．(1)已知集合A ＝{x |x 2－2021x ＋2020<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2)已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解 (1)由x 2－2021x ＋2020<0， 解得1＜x ＜2020， 故A ＝{x |1＜x ＜2020}．又B ＝{x |x <a }， A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2020.所以实数a 的取值范围是[2020，＋∞). (2)因为A ∩B ＝∅，①当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②当2m ＜1－m ，即m ＜13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，解得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13. 综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞).16．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |2m <x <1}，且B ≠∅. (1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解 (1)由x 2－x －2≤0，得－1≤x ≤2，则A ＝{x |－1≤x ≤2}．因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，又B ＝{x |2m <x <1}，且B ≠∅，则－1≤2m <1，解得－12≤m <12，所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，12.(2)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <－1，或x >2}，又B ＝{x |2m <x <1}，且B ≠∅.若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m <－2，解得－32≤m <－1.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－1.17．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；(3)若全集U ＝R ，(∁U B )∩A ＝A ，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为A ＝{2，1}，A ∩B ＝{2}， 所以2∈B ，代入B 中，解得a ＝－1或－3， 当a ＝－1时，B ＝{2，－2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件． 综上，a ＝－1或－3. (2)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)<0，解得a <－3； ②当B 中只有一个元素时，Δ＝0， 解得a ＝－3，B ＝{2}，满足B ⊆A ； ③当B 中有两个元素时，B ＝{1，2}， 满足Δ>0的a 无解．综上，实数a 的取值范围是{a |a ≤－3}． (3)由(∁U B )∩A ＝A ，可知A ∩B ＝∅， 所以⎩⎨⎧1＋2（a ＋1）＋a 2－5≠0，4＋4（a ＋1）＋a 2－5≠0. 所以⎩⎨⎧a ≠－1＋3且a ≠－1－3，a ≠－1且a ≠－3.综上，实数a 的取值范围为{a |a ≠－1，a ≠－3，a ≠－1＋3，a ≠－1－3}．1．2 充分条件与必要条件(教师独具内容)1．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言，充分条件、必要条件和充要条件是数学中常用的逻辑用语．2．在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成部分，它们都可以用逻辑用语表述．每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件，每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．运用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，可以提高交流的严谨性和准确性．3．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．(教师独具内容)1．由于中学数学中的许多命题都可以写成“若p，则q”的形式，通过判断命题的真假，分析条件p和结论q的关系．也就是说，“若p，则q”是真命题，即由p能推出q，则p是q的充分条件，即p成立，足以保证q成立；同时，q 是p的必要条件，即p成立，首先必须q成立．反之，“若q，则p”也是真命题，则p也是q的必要条件，此时，p是q的充分必要条件，简称充要条件．具体包括四种情况：若p⇒q且q⇒p，则p是q的充分必要条件；若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义，理解充要条件的意义，并会用充分必要的逻辑语言进行表达，学会用定义法、集合法进行充分必要条件的判定．能够根据充分必要性求参数的范围．3．理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．4．本考点是高考频率较低的内容，试题主要为选择题或填空题，分值为5分．命题重点是以其他知识模块为背景的充分条件、必要条件的判断问题．(教师独具内容)(教师独具内容)1．命题可以判断□01真假的陈述句叫做命题．判断为□02真的语句是真命题，□03假的语句是假命题．2．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的□01充分条件．注：①A是B的充分不必要条件是指A⇒B且B⇒/A；②A的充分不必要条件是B是指B⇒A且A⇒/B．在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的□02必要条件．(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．若p⇒q，则p是q的□03充分条件，q是p的□04必要条件p是q的□05充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的□06必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的□07充要条件p⇔qp是q的□08既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p3．从集合的角度判断充分、必要、充要条件若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B 可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若A B，则p是q的□01充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的□02必要条件；③若A B，则p是q的□03必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的□04充要条件；⑤若A⊆/B且A⊉B，则p是q的□05既不充分也不必要条件．4．数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个□01充要条件．(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个□02充分条件．(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个□03必要条件．1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x ＋2)＝0，则x的值也可能为－2.所以“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.所以“a ＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．3．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；(2)若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似；(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)若x2＝1，则x＝1；(5)若a＝b，则ac＝bc；(6)若x，y为无理数，则xy为无理数．答案(1)，(2)，(3)，(5).4．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；(2)若两个三角形相似，则两个三角形的三边对应成比例；(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；(4)若x＝1，则x2＝1；(5)若ac＝bc，则a＝b；(6)若xy为无理数，则x，y为无理数．答案(1)，(2)，(4).5．下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边对应成比例；(3)p：xy＞0，q：x＞0，y＞0.答案(2).1．(2021·全国甲卷)等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n.设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案 B解析当a1＝－1，q＝2时，{S n}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，有a n＋1＝S n＋1－S n＝a1q n>0，若a1>0，则q n>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则q n<0(n∈N*)，这样的q不存在，所以甲是乙的必要条件．故选B.2．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.3．(2021·天津高考)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立．所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件．故选A.4．(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 答案 B解析 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A ，C ，D 中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B 中条件是α∥β的充要条件．故选B.5．(2017·全国Ⅰ卷)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R ).对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z －2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z －＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.一、基础知识巩固 考点充分条件、必要条件的判断例1 若p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，q ：f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋k π＝cos (ωx ＋k π)＝⎩⎨⎧cos ωx ，k 为偶数，－cos ωx ，k 为奇数． 所以函数f (x )是偶函数．若f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则φ＝π2＋k π，k ∈Z .故p 是q 的充要条件．例2 已知p ：x ＋2－1－2x >0，q ：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由 x ＋2－1－2x >0，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，1－2x ≥0，x ＋2> 1－2x ，解得－13<x ≤12，即p 成立的条件为集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x ≤12.由x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12≤0得0≤x ≤12，即q 成立的条件为集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，由于B A ，所以p 是q 成立的必要不充分条件．1.已知a ，b 为实数，则“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，则a 3<b 3⇔a <b ，又函数y ＝2x 在R 上单调递增，则a <b ⇔2a <2b ，所以“a 3<b 3”是“2a <2b ”的充要条件．2．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由|x －2|<1，得1<x <3.因为1<x <2⇒1<x <3，但1<x <3 ⇒/ 1<x <2，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．判断充分条件、必要条件的两种方法及注意事项(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．利用所学的知识解决充分必要条件的判断．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题．利用集合中包含思想判定时，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”，即可解决充分必要性的问题．(3)判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．考点充分条件、必要条件的应用例3 已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 由3x ＋1<1，得x －2x ＋1>0，即(x ＋1)(x －2)>0，解得x <－1或x >2.由题意可得{x |x >k }{x |x <－1，或x >2}，所以k ≥2.因此实数k 的取值范围是[2，＋∞).例4 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10. ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . ∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，实数m 的取值范围是[0，3].3.例4中条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“x ∈P 是x ∈S 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 由例4知P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵P 是S 的充分不必要条件， ∴[－2，10][1－m ，1＋m ].∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞).已知充分条件、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解，利用集合知识，结合数轴解决问题．(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．(3)要注意区间端点值的检验，端点值取舍代进去验证．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．考点充分条件、必要条件的探求与证明例5 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.证明 必要性：∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. 充分性：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. ∴(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 例6 已知两个关于x 的一元二次方程，求两方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx＋4m 2－4m －5＝0的根均为整数的充要条件．解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根， 所以⎩⎨⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0， 解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .又因为m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，所以m ＝－1，－12，12，1.经检验，仅当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 当m ＝1时，两方程的根均为整数．所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.4.已知关于x 的不等式(x －a )(x －3)>0成立的一个充分不必要条件是－1<x <1，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 D解析 由题可知(－1，1)是不等式(x －a )(x －3)>0的解集的一个真子集．当a ＝3时，不等式(x －a )(x －3)>0的解集为{x |x ≠3}，此时(－1，1){x |x ≠3}；当a >3时，不等式(x －a )(x －3)>0的解集为(－∞，3)∪(a ，＋∞)，此时(－1，1)(－∞，3)，符合题意；当a <3时，不等式(x －a )(x －3)>0的解集为(－∞，a )∪(3，＋∞)，由题意可得(－1，1)(－∞，a )，此时1≤a <3.综上所述，a ≥1.5．已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0. 证明 证法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy ，即1x ＜1y . 必要性：由1x <1y ，得1x －1y ＜0，即y －x xy ＜0. 因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0. 所以1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0. 证法二：1x ＜1y ⇔1x －1y ＜0⇔y －x xy ＜0. 由条件x ＞y ⇔y －x ＜0， 故由y －xxy ＜0⇔xy ＞0. 所以1x <1y ⇔xy ＞0， 即1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0.充要条件的证明(1)证明p 是q 的充要条件，既要证明p ⇒q ，又要证明q ⇒p ，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．(3)探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．二、核心素养提升例1 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．必要条件。

芯衣州星海市涌泉学校赣榆县智贤中学高三数学总复习专题一第1讲集合与常用逻辑用语〔3〕教学案复备栏教学内容：集合与常用逻辑用语〔3〕教学目的：理解集合间的关系，掌握集合的运算；掌握充分条件与必要条件。

逻辑联结词、全称量词和存在量词。

教学重点：集合的关系与运算，充分条件与必要条件，逻辑联结词、全称量词和存在量词。

教学难点：充分条件与必要条件．教学过程：一、根底训练：1.满足条件{1}⊆M⊆{1,2,3}的集合M的个数是________．解析：满足条件{1}⊆M⊆{1,2,3}的集合M有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}，一一共4个．答案：42．假设a、b为实数，那么“0<ab<1”是“b<〞的________条件．解析：0<ab<1，a、b都是负数时，不能推出b<；同理b<也不能推出0<ab<1.答案：既不充分也不必要3．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是________．解析：由M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}可知a1∈M，a2∈M，a3∉M，那么M有{a1，a2}，{a1，a2，a4}两个．答案：24．以下命题中，真命题是__________________．(填序号)①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数．解析：当m＝0时，函数f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，①是对的．此外，∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都不是奇函数，因此排除②，④.假设m＝1，那么函数f(x)＝x2＋x(x∈R)既不是奇函数也不是偶函数，因此排除③.答案：①二、例题教学：例1(2021·模拟)集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}，全集为实数集R.(1)求A∪B；(2)(∁RA)∩B；(3)假设A∩C≠∅，求a的取值范围．解(1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B＝{x|2<x<10}．(2)因为A＝{x|3≤x<7}，所以∁RA＝{x|x<3或者者x≥7}．所以(∁RA)∩B＝{x|x<3或者者x≥7}∩{x|2<x<10}＝{x|2<x<3或者者7≤x<10}．(3)如图，当a>3时，A∩C≠∅变式训练：函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)假设A∩B＝{x|－1<x<4}，务实数m的值．解(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，那么∁RB＝{x|x≤－1或者者x≥3}，又A＝{x|－1<x≤5}，∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，故4是方程－x2＋2x＋m＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．因此实数m的值是8.例2(2021·模拟)以下命题中错误的选项是________．①命题“假设x2－5x＋6＝0，那么x＝2”的逆否命题是“假设x≠2，那么x2－5x＋6≠0”②假设x，y∈R，那么“x＝y〞是“xy≤2中等号成立〞的充要条件③命题p和q，假设p∨q为假命题，那么命题p与q中必一真一假④对命题p：∃x∈R，使得x2－2ax－a2<0，那么綈p：∀x∈R，x2－2ax－a2≥0答案③解析易知①②④都正确；③中，假设p∨q为假命题，根据真值表，可知p，q必都为假，故③错．变式训练：给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2>－ax－1恒成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．假设“p∨q〞为真命题，“p∧q〞为假命题，那么实数a 的取值范围为________．答案(－∞，0)∪(，4)解析假设p为真命题，那么a＝0或者者即0≤a<4；假设q为真命题，那么(－1)2－4a≥0，即a≤.因为“p∨q〞为真命题，“p∧q〞为假命题，所以p，q中有且仅有一个为真命题．假设p真q假，那么<a<4；假设p假q真，那么a<0.综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪(，4)．例3给出以下命题：①“数列{an}为等比数列〞是“数列{anan＋1}为等比数列〞的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数〞的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直〞的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，假设a＝1，b＝，那么“A ＝30°〞是“B＝60°〞的必要不充分条件．其中，真命题的序号是________．答案①④解析对于①，当数列{an}是等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列；但当数列{anan＋1}是等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m＝3，也可能得出m＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得＝＝，当B＝60°时，有sinA ＝，注意到b>a，故A＝30°；但当A＝30°时，有sinB＝，B＝60°或者者B＝120°，因此④正确．变式训练：下面有四个关于充要条件的命题：①“向量b与非零向量a一一共线〞的充要条件是“有且只有一个实数λ使得b＝λa〞；②“函数y＝x2＋bx＋c为偶函数〞的充要条件是“b＝0〞；③“两个事件为互斥事件〞是“这两个事件为对立事件〞的充要条件；④设φ∈R，那么“φ＝0〞是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数〞的充分不必要条件．其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的编号)．答案①②④解析由一一共线向量定理，知命题①为真．当b＝0时，y＝x2＋bx＋c＝x2＋c显然为偶函数，反之，y＝x2＋bx＋c是偶函数，那么(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c恒成立，就有bx＝0恒成立，得b＝0，因此②为真．对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假．在④中，假设φ＝0，那么f(x)＝cosx是偶函数．但是假设f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，那么φ＝π也成立，故“φ＝0〞是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数〞的充分不必要条件．稳固练习：1.期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%，那么上述两门学科都优秀的百分率至少为________．解析：根据韦恩图可知70%＋75%－1＝45%.答案：45%2．命题P：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题Q：不等式(a－2)x2＋2(a －2)x－4<0对任意实数x恒成立．假设P∨Q是真命题，实数a的取值范围为________．解析：∵命题P：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增，∴0<a<1.又命题Q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立，∴a＝2或者者即－2<a≤2.∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是－2<a≤2.答案：－2<a≤23．a、b∈R，集合A＝{a，a＋b,1}，B＝，且A⊆B，B⊆A，那么a－b的值是______．解析：∵A⊆B，B⊆A，∴A＝B.∵a≠0，∴a＋b＝0，即a＝－b，∴＝－1，∴b＝1，a＝－1，∴a－b＝－2.答案：－24．函数f(x)的定义域为A，假设x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，那么称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．以下命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③假设f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，那么f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题是________．(填序号)解析：对于①，假设f(x1)＝f(x2)，那么x1＝±x2，不合题意；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．答案：②③④5．集合A＝{y|y＝－2x，x∈[2,3]}，B＝{x|x2＋3x－a2－3a>0}．假设A⊆B，那么实数a的取值范围为_________________________．解析：由题意有A＝[－8，－4]，B＝{x|(x－a)(x＋a＋3)>0}．①当a＝－时，B＝，所以A⊆B恒成立；②当a<－时，B＝{x|x<a或者者x>－a－3}．因为A⊆B，所以a>－4或者者－a－3<－8，解得a>－4或者者a>5(舍去)，所以－4<a<－；③当a>－时，B＝{x|x<－a－3或者者x>a}．因为A⊆B，所以－a－3>－4或者者a<－8(舍去)，解得－<a<1.综上，当A⊆B时，实数a的取值范围是(－4,1)．答案：(－4,1)6．A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．假设A＝{x|y＝}，B＝{y|y ＝3x}，那么A×B＝________.解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)．A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)．所以A×B＝(－∞，3)．答案：(－∞，3)13．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类〞，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a、b属于同一‘类’〞的充要条件是“a－b∈[0]〞．其中正确结论的序号是________．答案：①③④课后反思：。

芯衣州星海市涌泉学校赣榆县智贤中学高三数学总复习专题一第1讲集合与常用逻辑用语〔2〕教学案复备栏教学内容：集合与常用逻辑用语〔2〕教学目的：理解集合间的关系，掌握集合的运算；掌握充分条件与必要条件。

逻辑联结词、全称量词和存在量词。

教学重点：逻辑联结词、全称量词和存在量词。

教学难点：充分条件与必要条件．教学过程：根底训练：1．集合A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，那么A∩B＝________.解析：A∩B中的元素同时具有A，B的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝±.故A∩B＝{1＋i,1－i}．答案：{1＋i,1－i}2.假设命题“ax2－2ax－3>0不成立〞是真命题，实数a的取值范围是________．解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得－3≤a<0；∴－3≤a≤0.答案：－3≤a≤03．命题“假设a＞b，那么2a＞2b－1”的否命题为__________．答案：假设a≤b，那么2a≤2b－14.命题“所有能被2整除的数都是偶数〞的否认是__________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数二、例题教学：例1(2021·调研)设集合A，B，那么A⊆B是A∩B＝A成立的________条件．[解析]由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．[答案]充要[方法归纳]判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进展判断，再以否认形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．变式训练：(1)设集合A，B，那么A⊆B是A∪B＝A成立的________条件．(2)(2021·高考卷改编)设a，b∈R，那么“a>b〞是“a|a|>b|b|〞的________条件．解析：(1)由A⊆B，得A∪B＝B，不一定有A∪B＝A，反之A∪B＝A，也不一定有A⊆B.(2)当ab≥0时，可得a>b与a|a|>b|b|等价．当ab<0时，可得a>b时a|a|>0>b|b|；反之，由a|a|>b|b|知a>0>b，即a>b.答案：(1)既不充分也不必要(2)充要例2(2021·调研)以下命题中的真命题的序号是________．①∃x∈R，使得sinxcosx＝；②∃x∈(－∞，0)，2x>1；③∀x∈R，x2≥x－1；④∀x∈(0，π)，sinx>cosx.[解析]由sinxcosx＝，得sin2x＝>1，故①错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知②，④错误；因为x2－x＋1＝2＋>0恒成立，所以③正确．[答案]③[方法归纳](1)全称命题(存在性命题)的否认是其全称量词改为存在量词(或者者存在量词改为全称量词)，并把结论否认，而命题的否认那么直接否认结论．(2)假设利用某些条件直接断定或者者探求有困难时，往往可以将条件进展等价转化．假设是由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来考虑，将问题转化为集合间的运算．变式训练：(1)以下四个命题：①∃x∈R，使sinx＋cosx＝2；②对∀x∈R，sinx＋≥2；③对∀x∈，tanx＋≥2；④∃x∈R，使sinx＋cosx＝.其中正确命题的序号为________．(2)命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，那么实数a的取值范围为________．解析：(1)∵sinx＋cosx＝sin∈[－，]；故①∃x∈R，使sinx＋cosx＝2错误；④∃x∈R，使sinx＋cosx＝正确∵sinx＋≥2或者者sinx＋≤－2，故②对∀x∈R，sinx＋≥2错误；③对∀x∈，tanx>0，>0，由根本不等式可得tanx＋≥2正确．(2)∃x∈R,2x2－3ax＋9<0为假命题，那么∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2.答案：(1)③④(2)[－2，2]稳固练习：1．给出以下三个命题：①假设ab≤0，那么a≤0或者者b≤0；②在△ABC中，假设sinA＝sinB，那么A＝B；③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，假设b2－4ac<0，那么方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)解析：在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sinB⇔a＝b⇔A＝B.故填②答案：②2．(2021·模拟)设x，y∈R，那么“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的________条件．(填“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要〞)解析：x2＋y2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当x2＋y2≥9时，x>3且y≥3并不一定成立，当x＝2，y＝3时，x2＋y2≥9，但x>3且y≥3不成立；而x>3且y≥3时，x2＋y2≥9一定成立，应填必要不充分．答案：必要不充分3.假设命题“∀x∈[－1,1]，1＋2x＋a·4x<0”是假命题，那么实数a的最小值为__________. 解析：变形得a<－()＝－(＋)2＋，令t＝，那么a<－(t＋)2＋，∵x∈[－1,1]，∴t∈[，2]，∴f(t)＝－(t＋)2＋在[，2]上是减函数，∴[f(t)]min＝f(2)＝－(2＋)2＋＝－6，又因为该命题为假命题．∴a≥－6，故实数a的最小值为－6.答案：－64．(2021·押题)设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，那么A∩B所表示的平面图形的面积为________．解析：由题意知A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y＝与直线y＝x将圆(x－1)2＋(y－1)2＝1分成S1，S2，S3，S4四部分．∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与y＝的图象都关于直线y＝x对称，从而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π，∴S阴影＝S2＋S4＝.答案：课后反思：。

人教版高中数学集合与常用逻辑用语教案2023一、引言数学作为一门基础学科，是培养学生逻辑思维、分析问题的重要工具之一。

而在高中数学学习过程中，集合与常用逻辑用语也是不可忽视的一部分。

本教案将介绍人教版高中数学集合与常用逻辑用语的教学内容与方法，帮助学生更好地掌握和运用相关知识。

二、教学内容1. 集合的基本概念1.1 集合的定义与表示方法1.2 集合的元素与特性1.3 集合的分类与运算2. 集合的运算2.1 交集、并集与补集2.2 集合的运算规律与性质2.3 集合的运算举例与应用3. 常用逻辑用语3.1 命题与命题联结词3.2 常见命题联结词的定义与运算规律3.3 引理与定理的逻辑推理三、教学方法1. 概念导入法通过课堂讨论、问题引导等方式，引导学生了解集合的基本概念与表示方法，并与实际生活中的例子进行关联，帮助学生更好地理解与记忆。

2. 教材导入法结合人教版高中数学教材中的案例与习题，引导学生掌握集合运算的方法与技巧，并培养学生运用逻辑思维解决问题的能力。

3. 模型建构法利用实际问题构建集合模型，如集合的交集与并集在生活中的应用，通过解决实际问题，提高学生的逻辑推理和问题解决能力。

4. 探究式学习法引导学生发现集合运算的规律与性质，通过小组合作、讨论等方式，培养学生的自主学习与合作意识，并加深对数学概念的理解。

四、教学反馈与评价1. 基于学生的能力和兴趣，设计适当的小组活动和个人习题，检测学生对集合与常用逻辑用语的掌握情况，并及时给予反馈。

2. 鼓励学生主动参与课堂讨论与展示，培养学生的表达能力与解决问题的思维方法，同时通过互评、自评等方式进行全面评价。

3. 定期进行教学评估和反思，根据学生的学习情况进行教学内容和方法的调整，以提高教学效果。

五、教学延伸1. 将集合与常用逻辑用语与其他学科进行整合，如数学与语文的逻辑推理，数学与物理的模型建构等，拓宽学生的知识视野。

2. 导入相关的虚拟实验平台和数学软件，如Geogebra等，让学生通过实践操作，更好地理解和运用集合与常用逻辑用语。

第一章集合与常用逻辑用语1.集合与元素(1) 概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。

构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（2）集合中元素的特征：1 确定性：作为一个集合，必须是确定的2 互异性：集合中的元素必须是互异的3 无序性：集合与其中元素的排列顺序无关（3）元素与集合的两种关系：∈（属于）∉（不属于）（4）集合的分类：有限集，无限集，空集（5）常用的数集及其表示符号（6）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）2.集合间的基本关系补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合UA={x ｜x ∈U ，且x ≠A}．3.集合间基本关系的几个结论（1）空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集（2）任何一个集合都是它本身的子集，A ⊆A 。

空集只有一个子集，即它本身。

（3）集合的子集和真子集具有传递性：若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ； 若AB ，BC ，则AC（4）含有n 个元素的集合有n 2个子集，有n 2-1真子集，有n 2-1非空子集，有n 2-2个非空真子集。

4.逻辑联结词（1）命题：可以判断真假的语句叫命题。

正确的叫真命题，错误的叫假命题。

（2）复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。

（3）复合命题的构成形式如果用 p, q ……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种： 即：p 或q ，记作 p q ； p 且q ，记作 p q ；非p (命题的否定)，记作 p（4）真值表：1．非p 形式： 记忆：“真假相反”2．p 且q 形式和p 或q 形式记忆：“同真为真”（其余为假） “同假为假”（其余为真）p 非p 真 假 假真p q p 且qp q p 或q 真 真 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 真 真 假假假假假假UA5.四种命题（1）若p为原命题条件，q为原命题结论则：原命题：若 p 则 q 逆命题：若 p 则 q否命题：若p 则q 逆否命题：若q 则p（2）真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真假真假假真假真真假假假假假6.充分条件必要条件（1）如果p q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件（p⊆q）（2）如果p q，且q p，则p是q的充分且必要条件（p=q）（3）如果q p，但p⇒/q，则p是q的必要不充分条件（q⊆p）（4）如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件。