考研数学之浅析交错级数的莱布尼兹判别法

为什么交错级数的莱布尼茨判别法摘要：交错级数是一种在许多数学问题解决中被广泛使用的积分和级数类型。

尽管它是令人印象深刻的，但它仍然存在许多疑问。

本文的目的是解释莱布尼茨判别法，它可以用来判断一个特定的交错级数是否收敛。

首先，将介绍交错级数的基本概念，以及如何使用莱布尼茨判别法来判断它是否收敛。

其次，将讲述莱布尼茨判别法的更加具体的定义以及如何写出它的表格。

最后，将讨论莱布尼茨判别法在数学中的实际应用。

关键词：交错级数，莱布尼茨判别法，收敛1. 介绍交错级数是一种特殊的现象，即数学表达式的系列数的和有限，但每一项的值都无限大。

它们可以用来表示实数，进而被用来计算无限积分。

交错级数的收敛性仍然是一个令人兴奋的问题，以及它如何被归纳的问题。

莱布尼茨判别法是一种用于解决此问题的方法。

2.布尼茨判别法莱布尼茨判别法是一种简单而有效的方法来解决交错级数是否收敛的问题。

它可以用来判断在特定情况下，某一级数是否收敛，这个级数可以由任意多个有理数组成。

它是由德国数学家Lebesgue发明的，在19世纪初被广泛使用。

莱布尼茨判别法的基本原理是：如果余数发散，那么级数也是发散的；如果余数收敛，则级数也是收敛的。

莱布尼茨判别法的定义：设a_n为交错级数的n项，它的总和为S_n，则当n无穷大时，a_n/S_n=b_n，如果b_n收敛到某一数,则称相应的级数收敛，否则就发散。

莱布尼茨判别法也可以写成一个表格：第一步：先按照从小到大的顺序写出a_1,a_2,...,a_n的级数和；第二步：写出a_1，a_2,...,a_n的级数比率：b_1=a_1/S_1，b_2=a_2/S_2，...，b_n=a_n/S_n第三步：如果b_n绝对值的和越来越小，则说明级数收敛，如果绝对值的和越来越大，则说明级数发散。

3.际应用莱布尼茨判别法在数学领域有着广泛的应用，尤其是在处理收敛判别问题时。

例如，当解决不定积分问题时，莱布尼茨判别法可以用来判断级数是否收敛，以确定积分的有效性。

leibniz判别法欧几里得·莱布尼兹（Leibniz）判别法（Leibniz Test）是一种用于识别特定集合中的特定元素的准则。

它发源于17世纪在德国数学家、哲学家、科学家及机械工程师欧几里德·莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）。

根据欧几里德·莱布尼兹的一句名言“每件事可能在此自然之原因上做而且更有效”， Leibniz Test总结为“如果某元素属性存在且仅存在于特定集合中，则这个元素就必须来自于此特定集合”。

Leibniz Test在当今仍然被广泛应用于多方面。

理解莱布尼兹的思想有助于理解Leibniz Test的运用价值。

欧几里得·莱布尼兹恒定的观点是学科间和领域间存在一定的等价标准，在某种意义上说，可以将几乎所有学科重新组合，使它们逃离根本上的特殊性，以形成它们之间的间接关系。

Leibniz Test仅仅是一个概念，但它被用来论证一些复杂的引言。

它的基本意思是判断一个特定的项是否属于特定的集合。

Leibniz Test可以帮助我们迅速发现特定属性例如概念，抽象函数及实体等，而不必死记硬背。

Leibniz Test通过研究特定集合中特定特性的程度，来识别属于此特定集合的元素。

可以说， Leibniz Test给了我们一种精确概括复杂灰烬中某个特定元素的能力。

因此，Leibniz Test也被用来根据相关性来识别和区分一个领域中存在的成分，从而使得研究组织解决复杂的概念一件容易的事情。

它的应用范围从物理系统、生物学领域，甚至还可以在社会学领域得到有效的运用。

总的来说，Leibniz Test 是一种定义、认识特定集合中的特殊元素的概念，是欧几里得·莱布尼兹精辟总结出来的一句名言“每件事可能在此自然之原因上做而且更有效”。

它被广泛应用于多个领域，不仅有助于理解现有的概念，而且可以帮助我们快速发现新的概念，从而组织解决复杂问题。

浅谈交错级数敛散性的判定摘要：交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判别，本文给出了几个有用的结论来判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。

归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时,提供了判定交错级数敛散性的方法。

关键词：交错级数 收敛 莱布尼兹审敛法 单调递减1引言在数学分析中,对级数敛散性的判别是一个重要的内容。

级数敛散性的柯西判别准则虽然给出了判断级数收敛的充要条件,从逻辑上讲,它适应于一切级数敛散性的判断,但是通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的,因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。

特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。

在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少,一般地只有莱布尼茨判别法。

莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判别存在困难。

在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程中,验证两个条件成立有一定的难度。

在两个条件失效时,那么该如何判断呢？下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。

2基本概念及定理定义1： 若级数的各项符合正负相间，即：1112341...(1)....(1)n n n n n u u u u u u ∞--=-+-+-+=-∑（n>0,n=1,2,3,4……）则称级数11(1)n n n u ∞-=-∑为交错级数。

定义2：若级数1nn u∞=∑通项的绝对值构成的级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑为绝对收敛；若级数1n n u ∞=∑收敛而1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑为条件收敛。

定理 1：（交错级数收敛的必要条件）若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑（n u >0）收敛，则有lim 0n n u →∞=。

浅谈交错级数敛散性的判定
交错级数是一种特殊的无穷级数。

在交错级数中，每一项的符号需要交替出现。

即正负交替，或者负正交替。

例如，交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-
1)^n\frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+\cdots$$
交错级数的判定方法分为三种：莱布尼茨判别法、比较判别法和积分判别法。

1.莱布尼茨判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果该级数满足以下两个条件，则级数收敛：
（1）$a_n>0$；
（2）$a_n$单调递减，即$a_n>a_{n+1}$。

这个判别法不适用于非交错级数。

2.比较判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果$|a_{n+1}|<|a_n|$，则级数收敛。

如果$|a_{n+1}|\geq|a_n|$，则级数发散。

3.积分判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$ 如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$收敛，则级数收敛。

如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$发散，则级数发散。

浅析交错级数的莱布尼兹判别法
1.交错级数
（1）定义：如果级数各项的正负号是交错的，则称该级数为交错级数。

（2）形式：1234u u u u -+-+ 或1234u u u u -+-+- ，其中，1234,,,,u u u u 均为非负数。

2.敛散性的判断方法
关于交错级数1
(1)n
n n u ∞=-∑的收敛，有如下莱布尼兹判别法：定理：如果交错级数1(1)n n n u ∞
=-∑满足如下条件：
1）1(1,2,3)n n u u n +≥= ；
2）lim 0n n u →∞
=；则级数1(1)n n n u ∞=-∑收敛。

3.级数1(1)n
n n u ∞=-∑敛散性的判断步骤1）绝对收敛
1n n u
∞=∑是正项级数，若收敛，则原级数绝对收敛，若发散，则判断条件收敛；
2）条件收敛
1(1)n
n n u ∞=-∑收敛，则原级数条件收敛；1(1)n
n n u ∞=-∑发散，则原级数发散。

4.例题（1）判断级数1
1(1)n
n n ∞=-∑的敛散性。

解析：1）绝对收敛：1
1n n ∞=∑发散，则判断条件收敛；2）条件收敛：111n n >+，1lim 0n n →∞=满足莱布尼兹判别法，则该级数条件收敛。

交错级数敛散性判别探究摘要: 交错级数是数学分析重要内容之一，对交错级数敛散性的判别方法在教材中并不多，关于交错级数的敛散性判别文中总结出一些判别准则，包括教材以外的其它判别准则，利用其中一些准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性，而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条件收敛，并选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验．关键词: 交错级数；判别准则；收敛；发散Convergence and Divergence of Alternating SeriesExploring DiscriminateAbstract Alternating series is one of important contents in mathematical analysis, at the present, there are not many criterions about convergence or divergence of alternating series. Established several criterions to decide convergence or divergence of alternating, during phase criterions, some of them are outside the teaching material. Based on these convergence criterions can decide not only convergence or divergence but also absolute convergent or conditional convergent of alternating series. Selected some examples to test the feasibility of the proposed criterion.Key words alternating series; criterion; convergence; divergence1 引言及预备知识在许多数学分析和高等数学教材中，对级数敛散性的判别是一个重要内容，特别介绍了一类特殊级数．定义1 考虑如下的级数11121(1)(1)n n n n n u u u u ∞--=-=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑（其中0n u ≥） （1）我们称这样的级数为交错级数．交错级数是数学分析重要内容之一，对于交错级数敛散性的判别在许多数学分析教材中给出了莱布尼玆判别法．引理1 （莱布尼玆判别法）对于交错级数（1）若满足两个条件： ①数列{}n u 单调递减；②0n →时0n u →， 则交错级数（1）收敛．对于莱布尼玆判别法的证明在教材中都已给出，在这里就不作介绍，但在应用莱布尼玆判别法时应注意以下两点：第一注意莱布尼玆判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件，如果数列{}n u 不满足单调递减性时不能判定级数（1）式发散．第二根据莱布尼玆判别法我们需要判别数列{}n u 是否单调递减，判别数列{}n u 是否单调递减常用的方法有3种：一是讨论1n n u u --的的符号情况；二是讨论比值1n n u u -与1的大小情况；三是构造函数()u x 使得()n u x u =，利用函数的单调性得到数列{}n u 的单调性．但莱布尼玆判别法在使用是存在着局限性，对于交错级数敛散性的判别除了我们比较熟悉的莱布尼玆判别法之外,还有其它一些判别方法．2 最一般情形的判别方法对交错级数敛散性的判别最一般情形的判别方法就是满足所有级数敛散性判别的方法，常见的方法有定义法，即判断级数部分和数列{}n S 是否收敛来判断交错级数是否收敛．同时，柯西收敛准则的推论也是非常有用的，即级数收敛的必要条件是：如果lim 0n n u →∞≠，则级数发散．例1 判别级数121012011001nn ⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数，因为1lim 01001100n n n u n →∞==≠+，所以级数111(1)1001n n n ∞-=-+∑发散．例2 判别级数2(1)(1)nnn n ∞=-+-∑的敛散性． 解 此级数为交错级数，但不满足1n n u u +≥，设2n S 为级数的部分和，先证2n S 单调递减，再证其有下界．2111111()()()3254212n S n n =-+-++-+⋅⋅⋅，括号内各项均小于0，因而2n S 单调递减，又因为21111111()()234212212n S n n n =-+-++-+-+⋅>-⋅⋅，即2n S 有下界，故2lim n n S →∞存在，设2n S S=又1lim lim0(1)n n n n u n →∞→∞==+-，因此2221lim lim()n n n n n S S U S +→∞→∞=+=，从而2lim n n S S →∞=，故原级数收敛．例3++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅的敛散性． 解 此级数为交错级数,设2n S 为级数的部分和．2112(1)2n S n ⋅⋅⋅+=++=+⋅⋅++⋅而级数11n n∞=∑发散，故211lim lim 2(1)2n n n S n →∞→∞⋅=⋅++⋅+=+∞，所以原级数发散．3 绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别根据文献[1]与[2]中介绍的绝对收敛的级数一定收敛，则可以把判别交错级数（1）的敛散性转变为判别正项级数的敛散性，在文献[1]与[2]中对正项级数敛散性的判别方法 介绍了很多种，比如定义法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等．例4 判别级数111(1)2n n n n∞--=-∑的敛散性．解 1111||112lim lim lim 1||222n n n n n nn n u n n u n ++→∞→∞→∞-++==<，因为112n n n ∞-=∑收敛，所以原级数收敛．例5 判别级数1(1)()21n nn n n ∞=-+∑的敛散性． 解1lim 1212n n n n n →∞===<+，因为1()21nn n n ∞=+∑收敛，故原级数收敛． 例6 判别级数 ln 12(1)3nnn n ∞=-∑的敛散性．解ln 022lim 2133n n n n n→∞====>，因为ln 123n n n ∞=∑发散，则原级数是否收敛需用其他方法进行讨论．4 不绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别利用绝对收敛的情形只能判定交错级数在绝对收敛的情况下收敛，如果交错级数不绝对收敛，那么我们并不能判定交错级数的敛散性，下面我们将以定理的形式介绍另一种在已知交错级数不绝对收敛的情况下如何判定交错级数敛散性的方法．为了证明定理先看引理．引理2 设有级数1n n u ∞=∑若：①当n →∞时此级数的通项趋于0；②通过重新组合已给级数各项，但不改变级数各项原有顺序所得的某一新的级数1n n A ∞=∑也收敛；③在和式111231()n p n in A u pp p +-==<<<⋅⋅⋅∑中相加项i u 的数目是有限的，则级数1n n u ∞=∑收敛．证明 设n A 中相加项的数目不超过某一固定的自然数m ，即1||(1,2,)n n p p m n +-≤=⋅⋅⋅，任给0ε>，考察121m εε=+由于0n u →（当n →∞时），于是存在自然数'N ，使得当'n N ≥时有1||n u ε<，再由1n n A ∞=∑收敛性知存在'1N N >，使得当1n N ≥及p 为任意自然数时有11||n n n p A A A ε++⋅⋅+⋅++<，取1N N p =，当n N ≥时对任意自然数s ，考虑1ns n n n s u u u ++∆⋅⋅+⋅=++，注意到每一个i u 必属于某一个k A ，记n A 的项i u 的集合为n A ，即知：当i j >时，若i k u A ∈，j l u A ∈,则必有k l ≤在n ∆中，显然(0)n N r u A r +∈≥，再看以后的各项便有11'1ns N r N r q B A A B ++++∆=++⋅⋅⋅++，其中111N n p r B u u ++=+⋅⋅⋅+-，11'N r q p n s B u u ++++=+⋅⋅⋅+，显然，B 是1N r A +中一部分之和，'B 是11N r q A +++中一部分之和，于是(记'1n N N N ≥≥≥)．1111||()N r N r B p p m εε+++≤-≤，11'2111||()N r q N r q B p p m εε++++++≤-≤，1111||N r N r q A A ε+++++⋅⋅⋅+<从而11'11||||||||(21)ns N r N r q B A A B m εε++++∆≤++⋅⋅⋅++<+=，由柯西收敛准则知级数1n n u ∞=∑收敛．定理1 如果交错级数（1）满足（a ）lim 0n n u →∞=；（b ）1n n u ∞=∑发散则有：①若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则级数（1）也收敛.②若2121()n n n u u ∞-=-∑发散，则级数（1）也发散．证明 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，lim 0n n u →∞=，2(21)1n n --=，即和式相加项数有限，由引理知级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，若2121()n n n uu ∞-=-∑发散，利用反证法，假设11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，由收敛级数的性质知2121()n n n uu ∞-=-∑也收敛，这与已知条件矛盾,故定理成立．推论1 交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑依次k 项添加括号构成的级数记作（*）若满足条件：①级数（*）收敛于A ；②lim 0n n u →∞=，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑必收敛于A ，若级数（*）发散或lim 0n n u →∞≠，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑发散．例7++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，该项的绝对值级数为2n ∞=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=∑， 显然该级数是发散的．考察2121111()n n n n n u u n ∞∞∞-===-==∑∑∑为发散级数，由定理知原级数为发散级数．例8 判别级数1111234a a -+-+⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，则该级数的绝对值级数为111111111()23421(2)21(2)a a a an n n n n ∞=++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=+--∑， 因为1121n n ∞=-∑发散，则111()21(2)a n n n ∞=+-∑发散．考察2121111()()21(2)n n an n u u n n ∞∞-==-=+-∑∑． 当1a =时，级数212111111()()2122(21)n n n n n u u n n n n ∞∞∞-===-=-=--∑∑∑为收敛级数，故原级数收敛． 当1a >时，21211111()21(2)n n an n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑,因为1121n n ∞=-∑发散，故 21211111()21(2)n n a n n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑ 发散，则原级数发散．当1a <时，2121111()()(2)21n n a n n u u n n ∞∞-==-=--∑∑，因为111(2)21lim 12a a n a n n n→∞--=，而11an n ∞=∑(1)a <发散，所以由定理知原级数发散．由上讨论可知，级数1111234aa -+-+⋅⋅⋅当1a =时为条件收敛，1a ≠时发散．5 拉贝判别法下面以定理的形式介绍一种新的判别方法，该方法不仅能判定交错级数的敛散性，而且还能判别它是绝对收敛还是条件收敛，该定理的判别模式是极限的形式，运用起来极为方便，定理2（拉贝判别法）对于级数（1）若1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=则 ①当1ρ>时，级数（1）绝对收敛； ②当01ρ<<时，级数（1）条件收敛； ③当0ρ<时，级数（1）发散；④当0ρ=时，级数（1）可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛；⑤当1ρ=时，级数（1）收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛．证明上述定理将用到两个引理．引理3（拉贝审敛法）对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，若1lim (1)n n n un u ρ→∞+-=则①当1ρ>时，级数1n n u ∞=∑收敛；②当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑发散；③当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛也可能发散．引理4 若0(1,2,3,)n u n >=⋅⋅⋅且1lim (1)n n n u n u ρ→∞+-=，则1()(0)n u nρεοε-=>． 对于引理3在[1]与[2]中已给出，引理4在[5]中也有介绍，这里就不作证明，下面证明定理．证明 由引理3知道若0n u >及1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=，则当1ρ>时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当1ρ<时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散，当0ρ>时，取0ε>使得0ρε->，则存在自然数N ，使得当n N ≥时有1(1)n n u n u ρερε+-<-<+或1111n n u n u nρερε+-+<+<<+，因此当n N ≥，时有1n n u u +≥，且n u 单调递减．由引理4知1()(0)n u n ρεοε-=>，取2ρε=，于是n →∞时有0n u →，因此当1ρ>时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑绝对收敛；当01ρ<<时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑条件收敛；当0ρ<时，级数（1）发散；当1ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛；当0ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛．例如111(1)ln n n n ∞-=-∑收敛，111(1)(1)n n n ∞-=-+∑发散．例9 判别级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑的敛散性．解 因为1(21)!!1(2)!!lim (1)lim (1)0(21)!!2(22)!!n n n n n u n n n n u n ρ→∞→∞+-=-=-=>++， 故级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑条件收敛．例10 判别级数 11()[(1)](1)(0,0,0)()[(1)]n n a a d a n d a b d b b d b n d ∞-=⋅++-->>⋅⋅⋅⋅⋅>++-∑的敛散性． 解 1()lim (1)lim (1)lim n n n n n u b nd n b a b an n u a nd a nd dρ→∞→∞→∞++--=-=-==++，由定理可得：当01b a d -<<即a b a d <<+时原级数条件收敛；当1b ad->即b a d >+时原级数绝对收敛；当1b ad -=即b a d =+时原级数收敛，此时原级数为11(1)n n a a nd ∞-=-+∑为条件收敛；当0b a d -<即b a <时原级数发散；当0b ad -=即b a =时原级数为11(1)n n ∞-=-∑发散．综上可得原级数当b a ≤时发散，当a b a d <≤+时条件收敛，当b a d >+时绝对收敛．6 其它判别方法下面以定理的形式介绍两个新的判别交错级数敛散性的方法，最后通过例子说明这两个方法在判别交错级数敛散性的可行性．定理3 对于交错级数（1）若1lim nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，级数（1）发散．证明上述结论用到如下引理．引理5 对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，令1n n n n u H u +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若1lim lim nn n n n n u H u ρ→∞→∞+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则当e ρ>时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当e ρ<时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散．下面证明定理.证明 当1ρ>时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有：1n n u u +> (2)又1lim 1n n n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，取0r >，而1lim 1nr r n e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则11lim 10n nr r n n n u e u n ρ→∞+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤-+=->⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭，所以存在自然数N ，当n N >时有：111nnr n n u u n +⎡⎤⎡⎤>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,即1111r r n n u n u n n ++⎡⎤⎡⎤>+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以11rn n u n u n +⎡⎤<⎢⎥+⎣⎦因此有 11110...11111rrrrrrrn n n N N n n n n n N N u u u u u n n n n n N n +---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤<<<<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 又因为0r >，则lim 01rN n N u n →∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，由夹逼定理得：1lim 0n n u +→∞= （3）由(2)和(3)两式知数列{}n u 单调递减，且lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知级数（1）收敛．再由引理知：①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有1n n u u +<，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知级数（1）发散．定理4 对于交错级数（1）满足条件：存在自然数N ，当n N ≥时，11n n u au n+=+，a 为常数，则①当0a >时，交错级数（1）收敛；②当0a ≤时，交错级数（1）发散． 证明 由于改变级数有限项后，不改变级数的敛散性，不妨设11(1,2,)n n u an u n+=+=⋅⋅⋅，当0a >时，因为111n n u au n+=+>，所以数列{}n u 单调递减，又因为 111223.(1)(1)(1)121n n n u u u u a a a u u u u n -=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+-,lim(1)(1)(1)121n a a a n →∞++⋅⋅⋅+=+∞-， 所以lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知,交错级数（1）收敛．当0a ≤时，111(1,2,)n n u an u n+=+≤=⋅⋅⋅所以数列{}n u 为单调递增数列，故lim 0n n u →∞≠，所以交错级数（1）发散．例11判别级数11(1)n n ∞-=-∑的敛散性．解令n u =,则22212221212nnnn n n u n n n H u n n n +⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由于2111(21)(2).112222211lim lim 11212n n n nn n n H e n n n ρ+-+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤==++=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，则由定理知原级数条件收敛．例12 判别级数11!(1)456(3)n n n n ∞-=-⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+∑的敛散性．解 令!456(3)n n u n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+,则1313143111n nnn n n u n H u N n ⋅+-+⎡⎤+⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由于131333lim lim 11n n n n H e e n ρ+⋅-→∞→∞⎡⎤==+=>⎢⎥+⎣⎦，则由定理知原级数绝对收敛． 例13 判别级数11(1)!n n n n n ∞-=-∑的敛散性． 解 令!n n n u n =则1(1)(1)nn n n n n n H n n -⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，由于1lim lim (1)01nn n n n H n ρ-→∞→∞⎡⎤==+=<⎢⎥⎣⎦由定理知原级数发散．例14 判别交错级数121(2)!(1)4(!)n n n n n -∞=-⋅∑的敛散性． 解 因为1221(2)!4[(1)!]22114(!)(22)2121n n n n u n n n u n n n n ++⋅++=⋅==+⋅+++，即对于任意的自然数0N >，只要n N ≥就有1021n >+，根据定理4得原级数收敛．7 一类特殊交错级数敛散性的判别在许多教材中，对莱布尼玆判别法只介绍了一种简单的形式，对于交错级数1(1)nn n u ∞=-∑，只要满足：①10(1,2,)n n u u n +≥≥=⋅⋅⋅；②lim n n u →∞=+∞时级数也是收敛，下面我们将以此为基础介绍关于一类特殊交错级数敛散性判别的方法．定理5 设交错级数1(1)nn n u ∞=-∑收敛，0n u >，1,2,n =⋅⋅⋅，lim 0n n nv u →∞=，若级数21||n n n v u ∞=∑收敛，则级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛．证明 考察级数 11(1)(1)(1)()n n n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤----=⎢⎥++⎣⎦∑∑ （4） 级数1(1)nn nu ∞=-∑收敛，故级数1(1)n n n u v ∞=-+∑收敛的的充要条件是（4）收敛．由级数21||n n n v u ∞=∑收敛及2|(1)()|lim 1n n n n n n n n v u u v v u →∞-+=，知级数（4）绝对收敛，于是级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛． 定理6 设10n n u u +≥≥，0n v >(1,2,)n =⋅⋅⋅，lim n n u →∞=+∞，lim 0n n nvu →∞=，则级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是21n n n v u ∞=∑． 证明 考虑级数11(1)(1)(1)((1))n nn n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤---=⎢⎥+-+-⎣⎦∑∑ （5） 级数1(1)n n n u ∞=-∑是收敛的，因此级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是（5）收敛．注意到，当n 充分大时，级数（5）一般项非负，而2((1))lim lim 1(1)n n n n n nn n n n n nn v u u v u v u u v →∞→∞⎡⎤⎡⎤+-==⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，因此，级数（5）收敛的充要条件是21n n nvu ∞=∑收敛． 例15 讨论级数1(1)(0)(1)npnn p n ∞=->+-∑的敛散性． 解 在本题中pn u n =，1n v =，22111n p n n n v u n∞∞===∑∑，当12p >时该级数收敛，12p ≤时发散，由定理知级数1(1)(0)(1)n p nn p n ∞=->+-∑，当12p >时收敛，当12p ≤时发散． 例16 讨论级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑的敛散性． 解 22212221n p p n n n n v n u n n ∞∞∞-=====∑∑∑，由定理知级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑当1p >时收敛，当1p <时发散．例17 讨论级数1(1)n p n nn v ∞=-+∑的敛散性，这里{}n v 为任意有界数列．解 因为{}n v 有界，则存在常数M ，使得||n v M ≤，级数2211||||n n p n n n v v u n∞∞===∑∑，又22||n p pv Mn n ≤于是当12p >时，级数21||n p n v n∞=∑收敛，当12p <时21||n p n v n ∞=∑发散，即12p >时原级数收敛，当1p 时，原级数发散．28 结束语本文以莱布尼兹判别法及交错级数自身特征，探究总结出了一些判别准则，利用其中一些准则不仅能判定交错级数的敛散性，还能判定其是绝对收敛还是条件收敛，且有些判别方法的判别模式是用极限形式，用起来极为方便有效，同时克服了莱布尼兹判别法的种种缺陷．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,2006:17-19.[2]刘玉琏.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,1988:26-27.[3]吉米多维其.数学分析(下册)[M].费定晖,周学圣,译.济南:山东科学技术出版社,2005:81-83.[4]华中师范大学数学系.数学分析(下册)[M].武汉:华中师范大学出版社,2001:243-245.[5]范新华.关于交错级数敛散性判别法的一些探讨[J].常州工学院学报,2007,20(5):57-59.[6]肖清风.交错级数敛散性的探究[J].黄山学院报,2004,6(3):3-7.[7]周玉霞.关于交错级数敛散性判别法的补充[J].高等数学研究,2007,10(3):40-42.[8]骆汝九.交错级数敛散性的一个判别定理[J].盐城工学院学报,2000,13(1):73-75.[9]江莹茵.交错级数收敛准则的探讨[J].甘肃联合大学学报(自然科学报),2005,19(2):6-7.[10]郑玉敏.交错级数敛散性判别法[J].大学数学,2009,4(2):192-194.[11]刘晓玲,张艳霞.交错级数敛散性的一个判别法[J].高等数学研究,2007,10(3):51.[12]张建军,宋业新.关于交错级数敛散性判别的探究[J].高等数学研究,2009,12(3):38-40.[13]杨志忠.关于一类交错级数敛散性的一种判别方法[J].青海师专学报,2009,6(5):42-44.。

一个不满足莱布尼茨定理条件的交错级数收敛的判定
莱布尼茨定理，更准确地说是费马定理，是数学领域极为重要的定理之一。

它
建立了交错级数收敛性判定的关键，即给定一个交错级数，只要其各项绝对值之和有限，那么该交错级数就一定收敛。

它不仅被广泛应用于复、超越几何级数等中，还广泛应用于实意函数的极限性质、偶函数的有界性质、多变函数单调性质等的证明。

虽然莱布尼茨定理的原则可以给出一个满足要求的交错级数的收敛性判定，但
也存在交错级数不满足莱布尼茨定理条件的情况。

比如当其项数n取值为负数时，此时正解是存在。

另外，在n取值为奇数且只有一项时，也不满足莱布尼茨定理条件。

在判断交错级数收敛性时，肉眼观察是第一步，若肉眼观察发现存在收敛的趋势，则可以断定该交错级数就可以收敛；若无法进行肉眼观察，即交错级数中的各项均接近无穷大的情况，则应该采用其他的方法进行验证，比如采用Cauchy-Hadamard 易证方法来验证交错级数收敛性，即比较支配系数大小即可。

总之，虽然莱布尼茨定理大大简化了收敛性判定的过程，但是对于某些不满足
条件的交错级数，仍然需要使用其他的方法较为认真的判定其收敛性，以避免出错。

浅谈交错级数的莱布尼兹判别法的局限性
王春鸽
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2017(000)017
【摘要】交错级数的敛散性主要由莱布尼兹判定定理来判别,本文指出了该定理的局限性,又补充了一个定理来判断某些交错级数的敛散性,用起来比较方便.
【总页数】1页(P9-9)
【作者】王春鸽
【作者单位】长江大学文理学院,湖北荆州434000
【正文语种】中文
【中图分类】O173.1
【相关文献】
1.使用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的几种注记 [J], 艾益民
2.级数莱布尼兹判别法的推广 [J], 朱俊恭
3.交错级数莱布尼兹审敛法的推广 [J], 孙锁
4.交错级数莱布尼兹判别准则的推广 [J], 刘健
5.交错级数莱布尼兹判别准则的推广 [J], 高岩;唐宗贤
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交错级数第十一章无穷级数第3节任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数一、莱布尼茨定理定义:正、负项相间的级数称为交错级数.n n n n n n u u ∑∑∞=∞=---111)1()1(或定理1 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ)),3,2,1(1 =≥+n u u n n ;(ⅱ)0lim =∞→n n u , 则级数收敛,且其和1u s ≤,其余项 n r 的绝对值 1+≤n n u r .)0(>n u 其中证明nn n n u u u u u u s 212223212)()(------=-- 又)()()(21243212n n n u u u u u u s -++-+-=- 1u ≤,01≥--n n u u .lim 12u s s n n ≤=∴∞→,0lim 12=+∞→n n u ,2是单调增加的数列n s ,2是有界的数列n s)(lim lim 12212+∞→+∞→+=∴n n n n n u s s ,s =.,1u s s ≤∴且级数收敛于和),(21 +-±=++n n n u u r 余项,21 +-=++n n n u u r 满足收敛的两个条件,.1+≤∴n n u r交错级数二、交错级数敛散性的判定解），， 21(1111==+>=+n u n n u n n 0lim =∞→n n u 又故级数收敛..41312111的敛散性判别交错级数例 +-+-例2 判别级数∑∞=--21)1(n n n n 的收敛性. 解2)1(2)1()1(-+-='-x x x x x )2(0≥<x ,1单调递减故函数-x x ,1+>∴n n u u 1lim lim -=∞→∞→n n u n n n 又.0=原级数收敛.注意1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？2.判定的方法n n u u <+1；0)11<-+n n u u ；）121<+n n u u .3）相应函数的单调性收敛收敛 +-++-+--n n 1)1(4131211)11 +-++-+--!1)1(!41!31!211)21n n 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:+-++-+--n n n 10)1(104103102101)31432收敛分析：上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11∑∞=n n;!1)21∑∞=n n .10)31∑∞=n n n 发散收敛收敛 !)1(1 +n !1n 11 +=n =+n n u u 1 101 1++n n n n 10 n n 1101 +⋅=谢谢THANK YOU。

莱布尼茨审敛法
交错级数的审敛法莱布尼茨定理是什么?
交错级数的审敛法莱布尼茨定理也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则，不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数，一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数。

交错级数是正项和负项交替出现的级数，形式满足
a1-a2+a3-a4+…+(-1)^(n+1)an+…，或者
-a1+a2-a3+a4-… +(-1)^(n)an，其中an>0。

在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；此外，由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计。

最典型的交错级数是交错调和级数。

莱布尼茨定理是判别交错级数敛散性的一种方法。

陈述如下图所示：
莱布尼兹定律(Leibniz's law)的内容是这样的︰
L︰对于任何东西x和y，x等同于y若且唯若x和y具有一样的性质。

把它表达得精确一点，我们可以这样说︰
L*︰对于任何东西x和y，x等同于y若且唯若对于任何的性质z，如果x拥有z则y拥有z，如果y拥有z则x拥有z。

这样的一个定律是一个双条件句，我们可以把它拆成两个条件句︰
L1(同一的不可区分性定律)︰对于任何东西x和y，如果x和y是同一的，那
麽x和y就会具有一样的性质。

L2(不可区分的同一性定律)︰对于任何东西x和y，如果x和y具有一样的性质，那麽x和y就会是同一的。

根据L1，当两个东西是同一的，这两个东西就会具有一样的性质，因此无法被区分，所以我们把L1叫做”同一的不可区分性定律(The indiscernibility of identicals)“。

在逻辑上，L1等同于下面这个命题︰
L1*︰对于任何东西x和y，如果x和y不具有一样的性质，那麽x不等同于
y。

根据L2，当两个东西具有一样的性质，无法被区分时，这两个东西就会是等同的，所以我们把L2叫做”不可区分的同一性定律(The identity of indiscernibles)“。

在逻辑上，L2等同于下面这个命题︰
L2*︰对于任何东西x和y，如果x不等同于y，那麽x和y就不会具有一样的性质。