第5章力法5.1 超静定结构的概念和超静定次数的确定1. 超静定结构的概念前面讨论的是静定结构，从本章开始我们讨论超静定结构的受力情况。
关于结构的静定性可以从两个方面来定义从几何组成的角度来定义静定结构就是没有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，静定结构就是只用静力平衡方程就能求出全部反力和内力的结构。
现在，我们要讨论的是超静定结构。
它同样可以从以上两个方面来定义，从几何组成的角度来定义，超静定结构就是具有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，超静定结构就是只用静力平衡方程不能求出全部的反力或内力的结构。
如图5.1(a)所示的简支梁是静定的，当跨度增加时，其内力和变形都将迅速增加。
为减少梁的内力和变形，在梁的中部增加一个支座，如图5.1(b)所示，从几何组成的角度分析，它就变成具有一个多余联系的结构。
也正是由于这个多余联系的存在，使我们只用静力平衡方程就不能求出全部4个约束反力F ax、F ay、F by、F cy和全部内力。
具有多余约束、仅用静力平衡条件不能求出全部支座反力或内力的结构称为超静定结构。
图5.1(b)和图5.2所示的连续梁和刚架都是超静定结构。
图5.3给出了工程中常见的几种超静定梁、刚架、桁架、拱、组合结构和排架。
本章讨论如何用力法计算这种类型的结构。
图5.1 图5.2图5.32. 超静定次数的确定力法是解超静定结构最基本的方法。
用力法求解时，首先要确定结构的超静定次数。
通常将多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。
如果一个超静定结构在去掉n个联系后变成静定结构，那么，这个结构就是n次超静定。
显然，我们可用去掉多余联系使原来的超静定结构(以后称原结构)变成静定结构的方法来确定结构的超静定次数。
去掉多余联系的方式，通常有以下几种：(1) 去掉支座处的一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。
如图5.4所示结构就是一次超静定结构。
图中原结构的多余联系去掉后用未知力x1代替。
图5.4(2) 去掉一个单铰，相当于去掉两个联系(图5.5)图5.5(3) 把刚性联结改成单铰联结，相当于去掉一个联系(图5.6)。
图5.6(4) 在刚性联结处切断，相当于去掉三个联系(图5.7)。
应用上述去掉多余联系的基本方式，可以确定结构的超静定次数。
应该指出，同一个超静定结构，可以采用不同方式去掉多余联系，如图 5.8(a)可以有三种不同的去约束方法，分别如图 5.8(b)、(c)、(d)所示。
无论采用何种方式，原结构的超静定次数都是相同的。
所以说去约束的方式不是惟一的。
这里面所说的去掉“多余联系”(或“多余约束”)，是以保证结构是几何不变体系为前提的。
如图5.9(a)所示中的水平约束就不能去掉，因为它是使这个结构保持几何不变的“必要约束”(或“必要联系”)。
如果去掉水平链杆(图5.9b)，则原体系就变成几何可变了。
图5.7图5.8图5.9如图5.10(a)所示的多跨多层刚架，在将每一个封闭框格的横梁切断，共去掉3×4=12个多余联系后，变成为如图5.10(b)所示的静定结构，所以它是12次超静定的结构。
如图5.10(c)所示刚架，在将顶部的复铰(相当于两个单铰)去掉后，变成为如图5.10(d)所示的静定结构，所以它是4次超静定的结构。
图5.105.2 力法原理和力法方程1. 力法基本原理力法是计算超静定结构最基本的方法。
下面通过一个简单的例子来说明力法的基本 原理。
如图5.11(a)所示为一单跨超静定梁，它是具有一个多余联系的超静定结构。
如果把支座B 去掉，在去掉多余联系B 支座处加上多余未知力X 1，原结构就变成静定结构，说明它是一次超静定结构。
此时梁上(图5.11b)作用有均布荷载q 和集中力X 1，这种在去掉多余联系后所得到的静定结构，称为原结构的基本结构，代替多余联系的未知力X 1称为多余未知力，如果能设法求出符合实际受力情况的X 1，也就是支座B 处的真实反力，那么，基本结构在荷载和多余力X 1共同作用下的内力和变形就与原结构在荷载作用下的情况完全一样，从而将超静定结构问题转化为静定结构问题。
如图5.11(b)所示的基本结构上的B 点，其位移应与原结构相同，即∆B =0。
这就是原结构与基本结构内力和位移相同的位移条件。
基本结构上同时作用有荷载和多余未知力X 1，称其为基本体系。
我们可以把基本体系分解成分别由荷载和多余未知力单独作用在基本结构上的这两种情况的叠加(图5.11(c)和(e)的叠加)。
用11∆表示基本结构在X 1单独作用下B 点沿X 1方向的位移(图5.11(c))，用11δ表示当X 1=1时B 点沿X 1方向的位移，所以有∆11=111X δ。
这里11δ时物理意义为：基本结构上，由于1X =1的作用，在X 1的作用点，沿X 1方向产生的位移。
用∆1p 表示基本结构在荷载作用下B 点沿X 1方向的位移。
根据迭加原理，B 点的位移可视为基本结构上，上述两种位移之和，即111110X P P δ∆=+∆=有 11110X P δ+∆= (5-1) 上式是含有多余未知为X 1的位移方程，称为力法方程。
式中，11δ称作系数；1P ∆称为自由项，它们都表示静定结构在已知荷载作用下的位移。
利用力法方程求出X 1后就完成了把超静定结构转换成静定结构来计算的过程。
上述计算超静定结构的方法称为力法。
它的基本特点就是以多余未知力作为基本未知量，根据所去掉的多余联系处相应的位移条件，建立关于多余未知力的方程或方程组，我们称这样的方程(或方程组)为力法典型方程，简称力法方程。
解此方程或方程组即可求出多余未知力。
下面计算系数11δ和自由项1P ∆311112233l l l l EI EI δ=⨯⨯⨯⨯⨯=2411133248ql ql l l EI EIP ∆=-⨯⨯⨯⨯=-把11δ和1P ∆代入5-1式得111138ΡX ql δ∆=-= (↑)计算结果X 1为正值，表示开始时假设的X 1方向是正确的(向上)。
多余未知力X 1求出后，其内力可按静定结构的方法进行分析，也可利用迭加法计算。
即将X 1=1单独作用下的弯矩图M 1乘以X 1后与荷载单独作用下的弯矩图M P 迭加。
用公式可表示为11M M X M P =+通过这个例子，可以看出力法的基本思路是：去掉多余约束，以多余未知力代替，再根据原结构的位移条件建立力法方程，并解出多余未知力。
这样就把超静定问题转化为静定问题了。
由于去掉多余联系的方式不同，同一个超静定问题可能选择几个不同的基本结构。
图5.12(a)就是图5.11(a)所示的单跨超静定梁的又一基本结构，其多余未知力X 1是原结构固定端支座的反力偶。
读者可根据位移条件列出力法方程，并按图 5.12所示的1M 图和M p 图，求出系数和自由项，解出X 1并作出M 图，如图5.12(f)所示。
应该指出的是：不论选用哪种基本结构，力法方程的形式都是不变的，但是力法方程中的系数和自由项的物理意义与数值的大小可能不同。
图5.11 图5.122. 力法典型方程以上我们以一次超静定梁为例，说明了力法原理，下面我们讨论多次超静定的情况。
如图5.13(a)所示的刚架为二次超静定结构。
下面以B 点支座的水平和竖直方向反力X 1、X 2为多余未知力，确定基本结构，如图5.13(b)所示。
按上述力法原理，基本结构在给定结构力学100荷载和多余未知力X 1、X 2共同作用下，其内力和变形应等同于原结构的内力和变形。
原结构在铰支座B 点处沿多余力X 1和X 2方向的位移(或称为基本结构上与X 1和X 2相应的位移)都应为零，即120∆=∆= (5-2) 式(5-2)就是求解多余未知力X 1和X 2的位移条件。
图5.13如图5.14所示，1P ∆表示基本结构上多余未知力X 1的作用点沿其作用方向，由于荷载单独作用时所产生的位移；2P ∆表示基本结构上多余未知力X 2的作用点沿其作用方向，由于荷载单独作用时所产生的位移；ij δ表示基本结构上X i 的作用点沿其作用方向，由于j X =1单独作用时所产生的位移。
根据迭加原理，式(5-2)可写成以下形式111112312111223100X X X X P P δδδδ∆=++∆=⎧⎨∆=++∆=⎩ (5-3)图5.14式(5-3)就是为求解多余未知力X 1和X 2所需要建立的力法方程。
其物理意义是：在基本结构上，由于全部的多余未知力和已知荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等。
在本例中等于零。
在计算时，我们首先要求得式(5-3中的系数和自由项，然后代入式(5-3)，即可求出X 1和X 2，剩下的问题就是静定结构的计算问题了。
如图5.15(a)所示为一3次超静定刚架，我们将原结构的横梁在中间处切开，取这样切为两半的结构作为基本结构，如图 5.15(b)所示。
由于原结构的实际变形是处处连续的，显然，同一截面的两侧不可能有相对转动或移动。
因此，在荷载和各多余力的共同作用下，基本结构切口两侧的截面，沿各多余力指向的相对位移都应为零，即：123∆=⎧⎪∆=⎨⎪∆=⎩(5-4)图5.15式(5-4)就是求解多余未知力X1、X2和X3的位移条件。
根据迭加原理，式(5-4)可改写成111122133121122223323113223333ΡΡΡX X XX X XX X Xδδδδδδδδδ+++∆=⎧⎪+++∆=⎨⎪+++∆=⎩这就是求解多余未知力X1、X2和X3所需要建立的力法方程。
因为X1、X2和X3都是成对的未知力(或力偶)，所以式(5-5)中与它们相应的δ及Δ应理解为相对位移(相对移动或相对转动)。
3. 力法一般方程的建立用同样的分析方法，我们可以建立力法的一般方程。
对于n次超静定的结构，用力法计算时，可去掉n个多余联系，得到静定的基本结构，在去掉的多余联系处代以n个多余未知力。
相应地也就有n个已知的位移条件(1,2,,)ii n∆=。
据此可以建立n个关于多余未知力的方程1111221331112112222332211122331n nΡn nΡn n n nn n nΡX X X XX X X XX X X Xδδδδδδδδδδδδ+++⋯++∆=∆⎧⎪+++⋯++∆=∆⎪⎨⎪⎪+++⋯++∆=∆⎩(5-6) 当与多余力相应的位移都等于零，即0(1,2,,)ii n∆==时，则式(5-6)即变为1111221331121122223322112233n nΡn nΡn n n nn n nΡX X X Xδδδδδδδδδδδδ+++⋯++∆=⎧⎪X+X+X+⋯+X+∆=⎪⎨⎪⎪X+X+X+⋯+X+∆=⎩(5-7)式(5-6)或(5-7)就是力法方程的一般形式。
