2020-2021第一学期海淀区高三数学期中试题及答案

高三（上）期中数学试卷题号一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x +1≤0}，B ={x|x ≥a}，若A ∪B =R ，则实数a 的值可以为( )A. 2B. 1C. 0D. −22. 下列函数中，在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )A. y =xB. y =x 2C. y =x +√xD. y =|x −1|3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=a 3，且a 3≠0，则S4S 3=( )A. 1B. 53C. 83D. 34. 不等式1x >1成立的一个充分不必要条件是( )A. 0<x <12B. x >1C. 0<x <1D. x <05. 如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)的值为( )A. −35B. 35C. −45D. 456. 在四边形ABCD 中，AB//CD ，设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R).若λ+μ=32，则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A. 13B. 12C. 1D. 27. 已知函数f(x)=x 3+x 2−2|x|−k.若存在实数x 0，使得f(−x 0)=−f(x 0)成立，则实数k 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [0,+∞)D. (−∞,0]8. 设集合A 是集合N ∗的子集，对于i ∈N ∗，定义φi (A)={1,i ∈A0,i ∉A，给出下列三个结论：①存在N ∗的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈N ∗都满足φi (A ∩B)=0且φi (A ∪B)=1；②任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∩B)=φi(A)⋅φi(B)；③任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∪B)=φi(A)+φi(B)其中，所有正确结论的序号是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,x)，若a⃗//b⃗ ，则实数x=______ ．10.函数f(x)=x−√x−6的零点个数是______．11.已知数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=______，a5+a6+a7+a8=______．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量b⃗ 的始点和终点，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______．13.已知数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗都成立，则p的取值范围为______．14.已知函数f(x)=√2sinωx，g(x)=√2cosωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω=1时，△ABC面积的最小值为______；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和，a2=3，a3+a4=36(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若S n<121，求n的最大值．16.已知函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，求实数m的取值范围．17.已知函数f(x)=13ax3+x2+bx+c，曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y= x+1．(Ⅰ)求b，c的值；(Ⅱ)若函数f(x)存在极大值，求a的取值范围．18.在△ABC中，a=7，b=5，c=8．(Ⅰ)求sin A的值；(Ⅱ)若点P为射线AB上的一个动点(与点A不重合)，设APPC=k．①求k的取值范围；②直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得APPC=k．19.已知函数f(x)=lnx．e x(Ⅰ)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并说明理由；(Ⅱ)求证：f(x)<1．220.已知集合M⊆N∗，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a,b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．(Ⅰ)分别判断集合{2,4，6，8，10}和集合{1,2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；(Ⅱ)已知集合{a1,a2,a3,a4,a5}是“关联的”，且任取集合{a i,a j}⊆M，总存在M 的关联子集A，使得{a i,a j}⊆A.若a1<a2<a3<a4<a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；(Ⅲ)集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得x>n2−n+9．4答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．可以求出A={x|x≤−1}，根据A∪B=R即可得出a≤−1，从而得出a的值可以为−2．【解答】解：∵A={x|x≤−1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，∴a≤−1，∴a的值可以为−2．故选：D．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．【解答】解：由一次函数的性质可知，y=x在区间(0,+∞)上单调递增；由二次函数的性质可知，y=x2在区间(0,+∞)上单调递增；由幂函数的性质可知，y=x+√x在区间(0,+∞)上单调递增；结合一次函数的性质可知，y=|x−1|在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=a3，且a3≠0，∴3a 1+3d =a 1+2d ，化为：−2a 1=d ≠0． ∴S 4S 3=4a 1+4×32d 3a 1+3×22d=23×2a 1+3×(−2a 1)a 1−2a 1=83． 故选：C ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题． 解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 【解答】解：该不等式的解集为：(0,1)，则其一个充分不必要条件可以是：(0,12)； 故选：A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π2+α)的值． 【解答】解：角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)=cosα=35，故选：B ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．过C 作CE//AD ，又CD//AB.可得四边形AECD 是平行四边形．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R).可得μ=1，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又λ+μ=32，可得λ=12.即可得出结论．【解答】 解：如图所示，过C 作CE//AD ，又CD//AB ． ∴四边形AECD 是平行四边形． ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)． ∴μ=1，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又λ+μ=32，∴λ=12． 则|CD⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12．故选：B ．7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了函数与方程的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题． 存在实数x 0，使得f(−x 0)=−f(x 0)，转化为x 2−2|x|=k 有根，进而转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点． 【解答】解：∵f(x)=x 3+x 2−2|x|−k 且f(−x 0)=−f(x 0)，∴−x 03+x 02−2|x 0|−k =−(x 03+x 02−2|x 0|−k)整理得x 02−2|x 0|=k ，∴原题转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点， 画出y =x 2−2|x|的图象如下：x =1时y =−1，由图可知，k ≥−1． 故选A ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了命题正误的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对题目中给的新定义要充分理解，对于i ∈N ∗，φi (A)=0或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【解答】解：∵对于i ∈N ∗，定义φi (A)={1,i ∈A0,i ∉A，∴①例如A ={正奇数}，B ={正偶数}，∴A ∩B =⌀，A ∪B =N ∗，∴φi (A ∩B)=0；φi (A ∪B)=1，故①正确；②若φi (A ∩B)=0，则i ∉(A ∩B)，则i ∈A 且i ∉B ，或i ∈B 且i ∉A ，或i ∉A 且i ∉B ；∴φi (A)⋅φi (B)=0；若φi (A ∩B)=1，则i ∈(A ∩B)，则i ∈A 且i ∈B ；∴φi (A)⋅φi (B)=1；∴任取N ∗的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈N ∗都有φi (A ∩B)=φi (A)⋅φi (B)；正确，故②正确；③例如：A ={1,2，3}，B ={2,3，4}，A ∪B ={1,2，3，4}，当i =2时，φi (A ∪B)=1；φi (A)=1，φi (B)=1；∴φi (A ∪B)≠φi (A)+φi (B)；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A．9.【答案】6【解析】【分析】本题考查向量共线，考查计算能力．直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：由向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,x)，若a⃗//b⃗ ，可得x=2×3=6．故答案为：6．10.【答案】1【解析】【分析】本题考查方程的根与函数零点的关系，求函数的零点，就是确定方程的根，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．解方程，根据方程的根的个数，即可得出f(x)的零点个数．【解答】解：由题意可知x≥0时，f(x)=x−√x−6=0，可得(√x)2−√x−6=0，解得√x=−2(舍去)或√x=3，∴x=9；函数f(x)=x−√x−6的零点个数是1．故答案为：1．11.【答案】0 ；1【解析】【分析】本题考查数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题型．直接利用题目所给的数列的前n项和公式求出数列的首项和a5+a6+a7+a8的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=S1=log21=0．则a5+a6+a7+a8=S8−S4=log28−log24=1．故答案为：0；1．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的数量积与投影的应用，向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，转化为向量的投影值即可．【解答】解：由题意可知：a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >，其几何意义是b⃗ 在a⃗方向上的投影值，由图形可知：向量b⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，投影值最大，且最大值为3．故答案为：3．13.【答案】[ln33,+∞)【解析】【分析】本题考查的知识要点：利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．直接利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗都成立，故p≥(lnnn)max，设f(x)=lnxx ，则f′(x)=1x⋅x−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，解得x=e，0<x<e时，f′(x)>0,x>e时，f′(x)<0,故函数的单调增区间为(0,e)，函数的减区间为(e,+∞)，所以函数在x=e时函数取最大值，由于n ∈N ∗，当n =3时函数值为ln33，当n =2时函数值为ln22，易知ln33>ln22，所以p 的取值范围是[ln33,+∞)．故答案为：[ln33,+∞)．14.【答案】2π ；π2【解析】 【分析】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于一般题型．①直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积． ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值． 【解答】解：①当ω=1时，f(x)=√2sinx ，g(x)=√2cosx ，当△ABC 面积最小时， 如图所示：所以第一象限的两个交点间的距离为一个周期2π，△ABC 的高为√2⋅√22+√22⋅√2=2．所以：S △ABC =12⋅2π⋅2=2π． 当ω=1时，△ABC 面积的最小值为2π；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则2πω=2⋅(√2⋅√22+√2⋅√22)， 解得ω的最小值为π2． 故答案为：2π；π2．15.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，∵a2=3，a3+a4=36，∴3(q+q2)=36，解得q=3．又3a1=3，解得a1=1，∴a n=3n−1．(Ⅱ)S n=3n−13−1<121，3n<243，解得：n<5．∴满足S n<121，n的最大值为4．【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a3+a4=36，可得3(q+q2)=36，解得q.又3a1=3，解得a1，进而求得数列{a n}的通项公式．(Ⅱ)S n=3n−13−1<121，即可得出结论．16.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．=2sinx(12cosx−√32sinx)+√32=sinxcosx−√3sin2x+√3 2=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3)．所以函数的最小正周期为T=2π2=π．(Ⅱ)f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，所以f(x)max+m≤0，由于x∈[0,π2]，所以2x+π3∈[π3,4π3]．当2x+π3=π2时，即x=π12时，m+1≤0时，实数m的取值范围为(−∞,−1]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．(Ⅱ)利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．17.【答案】解：(Ⅰ)f ′(x)=ax 2+2x +b ，∵曲线y =f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y =x +1， ∴{f′(0)=1f(0)=1，解得：{b =1c =1； (Ⅱ)法一：由(Ⅰ)f(x)=13ax 3+x 2+x +1，①当a =0时，f(x)=x 2+x +1不存在极大值，不合题意， ②当a >0时，f ′(x)=ax 2+2x +1， 令ax 2+2x +1=0，(i)当△=4−4a ≤0即a ≥1时，不合题意， (ii)当△=4−4a >0即0<a <1时，方程ax 2+2x +1=0有2个不相等的实数根， 设方程两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， x ，f ′(x)，f(x)的变化如下：故f(x 1)为极大值；③当a <0时，△=4−4a >0恒成立， 设方程两根为x 1，x 2且x 1<x 2， x ，f ′(x)，f(x)的变化如下：故f(x 2)为极大值，综上，若函数f(x)存在极大值， 则a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)． 法二：f ′(x)=ax 2+2x +1， 若函数f(x)存在极大值，则{a ≠0△=4−4a >0，解得：a <1且a ≠0， 故a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)．【解析】本题考查了导数的几何意义，考查运用导数研究函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，结合切线方程得到关于b ，c 的方程组，解出即可；(Ⅱ)法一：求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数存在极大值，确定a 的范围即可，法二：结合二次函数以及极大值的定义判断即可．18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，a =7，b =5，c =8．利用余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于A ∈(0,π)，所以sinA =√1−(12)2=√32；(Ⅱ)①由APPC =k ．根据正弦定理CPsinA =APsin∠ACP ， 所以k =APCP =sin∠ACP sin∠A =sin∠ACPsin π3=2√33sin∠ACP ， 由于点P 为射线AB 上的一个动点(与点A 不重合)， 所以∠ACP ∈(0,2π3)，所以k 的取值范围为(0,2√33]． ②由于P 为射线AB 上的一个动点，所以k 的取值只要在区间(1,2√33)上即可， 故k =32时，满足条件．【解析】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值． (Ⅱ)①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围． ②根据共线的条件求出在区间(1,2√33)上即可．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．理由如下：由f(x)=lnxe x ，得f′(x)=1x−lnxe x；因为x∈(0,1)，所以1x>0，lnx<0，因此1x−lnx>0．又因为e x>0，所以f′(x)>0恒成立．所以f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x)max<12”.由题意可得，x∈(0,+∞)，因为f′(x)=1x−lnxe x，再令g(x)=1x−lnx，则g′(x)=−1x2−1x<0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．因为g(1)=1>0，g(e)=1e−1<0，所以存在唯一实数x0，使得g(x0)=0，其中x0∈(1,e)．x，f′(x)，f(x)变化如下表所示：所以f(x0)为函数f(x)的极大值．因为函数f(x)在(0,+∞)有唯一的极大值．所以f(x)max=f(x0)=lnx0e x0．因为1x0=lnx0，所以f(x)max=f(x0)=lnx0e x0=1x0⋅e x0．设m(x)=xe x,x∈(1,e)，m′(x)=(x+1)e x>0，故m(x)在(1,e)上单调递增，故m(x)>m(1)=e．因为x0∈(1,e)，所以f(x)max=1x0e x0<1e<12．所以f(x)<12．【解析】本题考查了函数单调性求法，函数极值与最值的求法，属于导数在函数中综合应用，属于综合题．(Ⅰ)对f(x)求导，判断f′(x)的符号，即可得函数的单调性；(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x)max<12”.求f(x)的最大值即可证明．20.【答案】解：(Ⅰ){2,4，6，8，10}是“关联的”，关联子集有{2,4，6，8}，{4,6，8，10}，{2,4，8，10}．{1,2，3，5，8}是“独立的”．(Ⅱ)记集合M的含有四个元素的集合分别为：A1={a2,a3,a4,a5}，A2={a1,a3,a4,a5}，A3={a1,a2,a4,a5}，A4={a1,a2,a3,a5}，A5={a1,a2,a3,a4}，所以，M至多有5个“关联子集”，若A2={a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A1={a2,a3,a4,a5}，不是“关联子集”，否则a1=a2，同理可得若A2={a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A3，A4不是“关联子集”，所以集合M没有同时含有元素a2，a5的“关联子集”，与已知矛盾．所以A2={a1,a3,a4,a5}一定不是“关联子集”，同理A4={a1,a2,a3,a5}一定不是“关联子集”，所以集合M的“关联子集”至多为A1，A3，A5，若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a3的“关联子集”，与已知矛盾；所以A1，A3，A5都是“关联子集”，所以有a2+a5=a3+a4，即a5−a4=a3−a2；a1+a5=a2+a4，即a5−a4=a2−a1；a1+a4=a2+a3，即a4−a3=a2−a1；所以a5−a4=a4−a3=a3−a2=a2−a1，所以a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．(Ⅲ)不妨设集合M={a1,a2,…,a n}(n≥5)，a i∈N∗，i=1，2，…，n，且a1<a2<⋯<a n，记T ={t|t =a i +a j ,1≤i <j ≤n,i ，j ∈N ∗}，因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有C n2=n(n−1)2个元素，假设结论错误，即不存在x ∈M ，使得x >n 2−n+94，所以任取x ∈M ，x ≤n 2−n+94，因为x ∈N ∗，所以x ≤n 2−n+84，所以a i +a j ≤n 2−n+84+n 2−n+84−1=n 2−n+82−1=n 2−n 2+3，所以任取t ∈T ，t ≤n 2−n 2+3，任取t ∈T ，t ≥1+2=3，所以T ⊆{3,4，…，n 2−n 2+3}，且T 中含有C n2=n(n−1)2个元素，(i)若3∈T ，则必有a 1=1，a 2=2成立，因为n ≥5，所以一定有a n −a n−1>a 2−a 1成立，所以a n −a n−1≥2， 所以a n +a n−1≤n 2−n+84+n 2−n+84−2=n 2−n 2+2，所以T ={t|3≤t ≤n 2−n 2+2,t ∈N ∗}，所以a n =n 2−n+84，a n−1=n 2−n+84−2，因为4∈T ，所以a 3=3，所以有a n +a 1=a n−1+a 3，矛盾； (ii)若3∉T ，则T ⊆{4,5，…，n 2−n 2+3}，而T 中含有C n 2=n(n−1)2个元素，所以T ={t|4≤t ≤n 2−n 2+3,t ∈N ∗}所以a n =n 2−n+84，a n−1=n 2−n+84−1，因为4∈T ，所以a 1=1，a 2=3， 因为n 2−n 2+2∈T ，所以n 2−n 2+2=a n−2+a n ，所以a n−2=n 2−n+84−2，所以a n +a 1=a n−2+a 3，矛盾，所以命题成立．【解析】本题属于信息题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，组合，属于高难题； (Ⅰ)根据题意即可求解；(Ⅱ)根据题意，A 1={a 2,a 3,a 4,a 5}，A 2={a 1,a 3,a 4,a 5}，A 3={a 1,a 2,a 4,a 5}，A 4={a 1,a 2,a 3,a 5}，A 5={a 1,a 2,a 3,a 4}，进而利用反证法和等差数列的定义求解； (Ⅲ)不妨设集合M ={a 1,a 2,…,a n }(n ≥5)，a i ∈N ∗，i =1，2，…，n ，且a 1<a 2<⋯<a n ，记T ={t|t =a i +a j ,1≤t <j ≤n,i ，j ∈N ∗}，进而利用反证法求解；。

北京市海淀区一零一中学2021届上学期期中考试高三数学试题一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}AB ，则a 的值为（ ）A. ﹣2或﹣1B. 0或1C. ﹣2或1D. 0或﹣2【答案】C 【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2.已知向量(1,2),(,4)a b m -=，且//a b ,那么2a b -=( ) A. （4，0） B. （0，4）C. （4，-8）D. （-4，8）【答案】C 【解析】【详解】因为向量()()1,2,,4a b m =-=，且//a b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m a b m ⨯=-⨯∴=-∴-==---=-. 本题选择C 选项.3.已知3(,)22ππα∈，且tan α=，那么sin α=A. -B. -【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果．【详解】因为3(,)22ππα∈，sin tan cos ααα=>0，故3(,)2παπ∈即sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=3- 故选 ：B【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（ ）A. 10023-B. 10123-C. 10221-D. 10223-【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D. ()1f x +为偶函数【答案】C【解析】【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 132x x x << B. 321x x x << C. 312x x x << D. 213x x x <<【答案】A 【解析】 【分析】在坐标系中作出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 1y x =+，3log y x =，2log y x =的图象，将1x 、2x 、3x 分别视为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log 1y x =+、3log y x =、2log y x =交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.【详解】作函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 1y x =+，3log y x =，2log y x =的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x 、3x 、2x ，所以132x x x <<． 故选A ．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④【答案】D 【解析】 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题共6小题9.已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________．【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案． 详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,a b ==，所以z =，则z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 10.已知函数()1cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____. 【答案】12π【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值. 【详解】()11cos cos 22cos 2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()26k k Z πϕπ-=∈，()122k k Z ππϕ∴=-∈， 由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11.不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >-【解析】 【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立. 【详解】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-.下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤.所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-.【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm .【答案】 (1). 【解析】 分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a 成以2为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和.【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai1i +，()1A i +的长度为212i i a a ++=，所以，数列{}n a是以2为公比的等比数列，由题意知4A52=，5a ∴=5124a a ∴===⎝⎭所以，0A纸的面积为(22211S ===，又22n n S a =，222111122n n n n n a S a S a +++⎛⎛⎫∴==== ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S是以12为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于921121412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-.故答案为：. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q ，若OP aOA bOB =+，则+a b 的取值范围是_________.【答案】()0,1 【解析】 【分析】设OP kOQ =，可得出()0,1OP k OQ=∈，并设OQ OA OB λμ=+，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b 的取值范围.【详解】设OP kOQ =，可得出()0,1OP k OQ=∈，设OQ OA OB λμ=+，由于A 、B 、Q 三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOB λμλμ==+=+=+，则a k λ=，b k μ=，()()0,1a b k k k k λμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____. 【答案】12,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为12211k kk +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎢⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题共6小题。

2021-2021年海淀高三年级第一学期期中考试数学（理）试卷解析【试卷结构与特点】本次次海淀区的期中考试范围与往年大体一致，即：集合、函数、三角函数、平面向量、解三角形和数列。

1.本次考试的试题结构和高考的试题结构一致，即选择题8个，每题5分，填空题6个，每题5分，解答题6个，其中4题13分，另外两题14分（高考中14分的题目为立体几何和解析几何，本次期中并未涉及这两个知识内容）。

2.试卷整体难度与去年类似，可是难易程度的散布与去年期中考试不同，更类似于2021年的高考真题的难度散布，即常规大体问题的难度下降，产生了很多“送分题”；可是中档问题考核方向不变，可是考核方式有所改变，增强了知识方式之间的综合和深切明白得知识后的灵活视同；关于难题而言，从命题和设问的角度能够看出，依旧本着考察数学思想、思维方式的方向，同时鼓舞归纳猜想的特点依旧在其中，想完成问题，需要对概念和方式有明确的熟悉，而不是简单经历。

值得注意的是，第8题和第14题的题目难度有所下降，同时，第20题也与往常不同，并非是以组合数学为核心的问题，而变成了函数和不等式的综合考核，但思维方式类似。

3.由于具有以上特点，本次考试相较之前的考试具有了更好的区分度，靠着关于题目“熟悉”才能入手的考生无法在这次考核中取得较高的分数，加倍强调了知识和概念的明白得，和方式背后隐含的数学思想。

通过以上分析，高三的数学温习，题海战术与高考的要求是相违抗的，是一种低效的温习方式。

应在对基础知识和概念的明白得上多下功夫，试探和总结与做题并重，专门是要注重对重要数学思想和思维方式的训练和体会。

【试卷分析】一、选择题部份1.设集合{}|1A x R x=∈>，{}|12B x R x=∈-≤≤，那么A B=（）A.[)1,-+∞ B.()1,+∞ C.(]1,2 D.[)1,1-【分析】此题考查集合的表示与运算，难度不大，把握表示方式、了解运算概念即可解决。

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合A={x|x ≤ 0或x>1}，B={-2，0，1，2}，则A ∩B=( ) A.{-2,2} B.{-2,1,2} C.{-2,0,2} D.{-2,0,1,2} 【分析]利用交集的定义可求得集合A ∩B.【解] 因为集合A={x|x ≤0或x >1}，B={-2,0,1,2}，则A ∩B={-2,0,2},故选:C. 2.若复数z 满足i ·Z=1-i ，则Z=( ) A. 1 + i B. -1 + i C. 1 -i D. -1 -i 【分析]根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得. [解]由i ·z=1-i ，得-i ²∙z=(1-i)·(-i)，所以z=-1-i.故选:D 3.若a<b<0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B. a 2<ab C. ba >ab D.ba +ab ->2【分析]根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【解]因为a<b<0，所以-a>-b>0，所以(−a)2>(−b)2，即a 2>b 2 ，故A 错误; 因为a<b<0，所以a 2> ab ，故B 错误;4. 已知 f(x) = sin xcos x ，则f'(π4) = ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2【分析]求出函数的导函数，计算得解. 【解]：因为f(x)= sin x cos x ,所以f'(π4) = 112=2.故选:B5. 下列不等式成立的是( )【分析]根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可. 【解]因为函数y=log 0.3x 在(0,+∞)上单调递减，因为函数y=0.2x 在R 上单调递减，6. 若f(x)={x 2，x ≥a 2x +3,x <a在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]U[3,+∞)【分析]根据分段函数的单调性列式运算得解.[解]因为f(x)是R 上单调递增函数所以{a ≥0a 2≥2a +3解得a≥3.所以实数a 的取值范围为[3,+∞),故选:B.画图像法：选B(7)已知向量a ⃗ = (x ，1)，b⃗⃗=(-1，y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是 (A)a ⃗·b ⃗⃗=0 ( B) l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2 (C) |a ⃗| =|b ⃗⃗| (D) l a ⃗+b⃗⃗| = 2 解：分析A ：a ⃗·b ⃗⃗=0，-x+y=0.x ，y 有无数组解. 分析B ： l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2,a ⃗⃗⃗⃗·b⃗⃗=0，√x 2+1+√y 2+1=2,x=0,y=0, 有且仅有一组实数x ，y 使其成立的.故B 正确。

高三（上）期中数学试卷题号一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x +1≤0}，B ={x|x ≥a}，若A ∪B =R ，则实数a 的值可以为( )A. 2B. 1C. 0D. −22. 下列函数中，在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )A. y =xB. y =x 2C. y =x +√xD. y =|x −1|3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=a 3，且a 3≠0，则S4S 3=( )A. 1B. 53C. 83D. 34. 不等式1x >1成立的一个充分不必要条件是( )A. 0<x <12B. x >1C. 0<x <1D. x <05. 如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)的值为( )A. −35B. 35C. −45D. 456. 在四边形ABCD 中，AB//CD ，设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R).若λ+μ=32，则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A. 13B. 12C. 1D. 27. 已知函数f(x)=x 3+x 2−2|x|−k.若存在实数x 0，使得f(−x 0)=−f(x 0)成立，则实数k 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [0,+∞)D. (−∞,0]8. 设集合A 是集合N ∗的子集，对于i ∈N ∗，定义φi (A)={1,i ∈A0,i ∉A，给出下列三个结论：①存在N ∗的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈N ∗都满足φi (A ∩B)=0且φi (A ∪B)=1；②任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∩B)=φi(A)⋅φi(B)；③任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∪B)=φi(A)+φi(B)其中，所有正确结论的序号是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,x)，若a⃗//b⃗ ，则实数x=______ ．10.函数f(x)=x−√x−6的零点个数是______．11.已知数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=______，a5+a6+a7+a8=______．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量b⃗ 的始点和终点，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______．13.已知数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗都成立，则p的取值范围为______．14.已知函数f(x)=√2sinωx，g(x)=√2cosωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω=1时，△ABC面积的最小值为______；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和，a2=3，a3+a4=36(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若S n<121，求n的最大值．16.已知函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，求实数m的取值范围．17.已知函数f(x)=13ax3+x2+bx+c，曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y= x+1．(Ⅰ)求b，c的值；(Ⅱ)若函数f(x)存在极大值，求a的取值范围．18.在△ABC中，a=7，b=5，c=8．(Ⅰ)求sin A的值；(Ⅱ)若点P为射线AB上的一个动点(与点A不重合)，设APPC=k．①求k的取值范围；②直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得APPC=k．19.已知函数f(x)=lnx．e x(Ⅰ)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并说明理由；(Ⅱ)求证：f(x)<1．220.已知集合M⊆N∗，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a,b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．(Ⅰ)分别判断集合{2,4，6，8，10}和集合{1,2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；(Ⅱ)已知集合{a1,a2,a3,a4,a5}是“关联的”，且任取集合{a i,a j}⊆M，总存在M 的关联子集A，使得{a i,a j}⊆A.若a1<a2<a3<a4<a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；(Ⅲ)集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得x>n2−n+9．4答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．可以求出A={x|x≤−1}，根据A∪B=R即可得出a≤−1，从而得出a的值可以为−2．【解答】解：∵A={x|x≤−1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，∴a≤−1，∴a的值可以为−2．故选：D．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．【解答】解：由一次函数的性质可知，y=x在区间(0,+∞)上单调递增；由二次函数的性质可知，y=x2在区间(0,+∞)上单调递增；由幂函数的性质可知，y=x+√x在区间(0,+∞)上单调递增；结合一次函数的性质可知，y=|x−1|在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=a3，且a3≠0，∴3a 1+3d =a 1+2d ，化为：−2a 1=d ≠0． ∴S 4S 3=4a 1+4×32d 3a 1+3×22d=23×2a 1+3×(−2a 1)a 1−2a 1=83． 故选：C ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题． 解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 【解答】解：该不等式的解集为：(0,1)，则其一个充分不必要条件可以是：(0,12)； 故选：A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π2+α)的值． 【解答】解：角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)=cosα=35，故选：B ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．过C 作CE//AD ，又CD//AB.可得四边形AECD 是平行四边形．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R).可得μ=1，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又λ+μ=32，可得λ=12.即可得出结论．【解答】 解：如图所示，过C 作CE//AD ，又CD//AB ． ∴四边形AECD 是平行四边形． ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)． ∴μ=1，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又λ+μ=32，∴λ=12． 则|CD⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12．故选：B ．7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了函数与方程的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题． 存在实数x 0，使得f(−x 0)=−f(x 0)，转化为x 2−2|x|=k 有根，进而转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点． 【解答】解：∵f(x)=x 3+x 2−2|x|−k 且f(−x 0)=−f(x 0)，∴−x 03+x 02−2|x 0|−k =−(x 03+x 02−2|x 0|−k)整理得x 02−2|x 0|=k ，∴原题转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点， 画出y =x 2−2|x|的图象如下：x =1时y =−1，由图可知，k ≥−1． 故选A ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了命题正误的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对题目中给的新定义要充分理解，对于i ∈N ∗，φi (A)=0或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【解答】解：∵对于i ∈N ∗，定义φi (A)={1,i ∈A0,i ∉A，∴①例如A ={正奇数}，B ={正偶数}，∴A ∩B =⌀，A ∪B =N ∗，∴φi (A ∩B)=0；φi (A ∪B)=1，故①正确；②若φi (A ∩B)=0，则i ∉(A ∩B)，则i ∈A 且i ∉B ，或i ∈B 且i ∉A ，或i ∉A 且i ∉B ；∴φi (A)⋅φi (B)=0；若φi (A ∩B)=1，则i ∈(A ∩B)，则i ∈A 且i ∈B ；∴φi (A)⋅φi (B)=1；∴任取N ∗的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈N ∗都有φi (A ∩B)=φi (A)⋅φi (B)；正确，故②正确；③例如：A ={1,2，3}，B ={2,3，4}，A ∪B ={1,2，3，4}，当i =2时，φi (A ∪B)=1；φi (A)=1，φi (B)=1；∴φi (A ∪B)≠φi (A)+φi (B)；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A．9.【答案】6【解析】【分析】本题考查向量共线，考查计算能力．直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：由向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,x)，若a⃗//b⃗ ，可得x=2×3=6．故答案为：6．10.【答案】1【解析】【分析】本题考查方程的根与函数零点的关系，求函数的零点，就是确定方程的根，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．解方程，根据方程的根的个数，即可得出f(x)的零点个数．【解答】解：由题意可知x≥0时，f(x)=x−√x−6=0，可得(√x)2−√x−6=0，解得√x=−2(舍去)或√x=3，∴x=9；函数f(x)=x−√x−6的零点个数是1．故答案为：1．11.【答案】0 ；1【解析】【分析】本题考查数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题型．直接利用题目所给的数列的前n项和公式求出数列的首项和a5+a6+a7+a8的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=S1=log21=0．则a5+a6+a7+a8=S8−S4=log28−log24=1．故答案为：0；1．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的数量积与投影的应用，向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，转化为向量的投影值即可．【解答】解：由题意可知：a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >，其几何意义是b⃗ 在a⃗方向上的投影值，由图形可知：向量b⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，投影值最大，且最大值为3．故答案为：3．13.【答案】[ln33,+∞)【解析】【分析】本题考查的知识要点：利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．直接利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗都成立，故p≥(lnnn)max，设f(x)=lnxx ，则f′(x)=1x⋅x−lnxx2，令f′(x)=1−lnxx2=0，解得x=e，0<x<e时，f′(x)>0,x>e时，f′(x)<0,故函数的单调增区间为(0,e)，函数的减区间为(e,+∞)，所以函数在x=e时函数取最大值，由于n ∈N ∗，当n =3时函数值为ln33，当n =2时函数值为ln22，易知ln33>ln22，所以p 的取值范围是[ln33,+∞)．故答案为：[ln33,+∞)．14.【答案】2π ；π2【解析】 【分析】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于一般题型．①直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积． ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值． 【解答】解：①当ω=1时，f(x)=√2sinx ，g(x)=√2cosx ，当△ABC 面积最小时， 如图所示：所以第一象限的两个交点间的距离为一个周期2π，△ABC 的高为√2⋅√22+√22⋅√2=2．所以：S △ABC =12⋅2π⋅2=2π． 当ω=1时，△ABC 面积的最小值为2π；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则2πω=2⋅(√2⋅√22+√2⋅√22)， 解得ω的最小值为π2． 故答案为：2π；π2．15.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，∵a2=3，a3+a4=36，∴3(q+q2)=36，解得q=3．又3a1=3，解得a1=1，∴a n=3n−1．(Ⅱ)S n=3n−13−1<121，3n<243，解得：n<5．∴满足S n<121，n的最大值为4．【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a3+a4=36，可得3(q+q2)=36，解得q.又3a1=3，解得a1，进而求得数列{a n}的通项公式．(Ⅱ)S n=3n−13−1<121，即可得出结论．16.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+√32．=2sinx(12cosx−√32sinx)+√32=sinxcosx−√3sin2x+√3 2=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3)．所以函数的最小正周期为T=2π2=π．(Ⅱ)f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，所以f(x)max+m≤0，由于x∈[0,π2]，所以2x+π3∈[π3,4π3]．当2x+π3=π2时，即x=π12时，m+1≤0时，实数m的取值范围为(−∞,−1]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．(Ⅱ)利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．17.【答案】解：(Ⅰ)f ′(x)=ax 2+2x +b ，∵曲线y =f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y =x +1， ∴{f′(0)=1f(0)=1，解得：{b =1c =1； (Ⅱ)法一：由(Ⅰ)f(x)=13ax 3+x 2+x +1，①当a =0时，f(x)=x 2+x +1不存在极大值，不合题意， ②当a >0时，f ′(x)=ax 2+2x +1， 令ax 2+2x +1=0，(i)当△=4−4a ≤0即a ≥1时，不合题意， (ii)当△=4−4a >0即0<a <1时，方程ax 2+2x +1=0有2个不相等的实数根， 设方程两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， x ，f ′(x)，f(x)的变化如下：故f(x 1)为极大值；③当a <0时，△=4−4a >0恒成立， 设方程两根为x 1，x 2且x 1<x 2， x ，f ′(x)，f(x)的变化如下：故f(x 2)为极大值，综上，若函数f(x)存在极大值， 则a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)． 法二：f ′(x)=ax 2+2x +1， 若函数f(x)存在极大值，则{a ≠0△=4−4a >0，解得：a <1且a ≠0， 故a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)．【解析】本题考查了导数的几何意义，考查运用导数研究函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，结合切线方程得到关于b ，c 的方程组，解出即可；(Ⅱ)法一：求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数存在极大值，确定a 的范围即可，法二：结合二次函数以及极大值的定义判断即可．18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，a =7，b =5，c =8．利用余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于A ∈(0,π)，所以sinA =√1−(12)2=√32；(Ⅱ)①由APPC =k ．根据正弦定理CPsinA =APsin∠ACP ， 所以k =APCP =sin∠ACP sin∠A =sin∠ACPsin π3=2√33sin∠ACP ， 由于点P 为射线AB 上的一个动点(与点A 不重合)， 所以∠ACP ∈(0,2π3)，所以k 的取值范围为(0,2√33]． ②由于P 为射线AB 上的一个动点，所以k 的取值只要在区间(1,2√33)上即可， 故k =32时，满足条件．【解析】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值． (Ⅱ)①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围． ②根据共线的条件求出在区间(1,2√33)上即可．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．理由如下：由f(x)=lnxe x ，得f′(x)=1x−lnxe x；因为x∈(0,1)，所以1x>0，lnx<0，因此1x−lnx>0．又因为e x>0，所以f′(x)>0恒成立．所以f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x)max<12”.由题意可得，x∈(0,+∞)，因为f′(x)=1x−lnxe x，再令g(x)=1x−lnx，则g′(x)=−1x2−1x<0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．因为g(1)=1>0，g(e)=1e−1<0，所以存在唯一实数x0，使得g(x0)=0，其中x0∈(1,e)．x，f′(x)，f(x)变化如下表所示：所以f(x0)为函数f(x)的极大值．因为函数f(x)在(0,+∞)有唯一的极大值．所以f(x)max=f(x0)=lnx0e x0．因为1x0=lnx0，所以f(x)max=f(x0)=lnx0e x0=1x0⋅e x0．设m(x)=xe x,x∈(1,e)，m′(x)=(x+1)e x>0，故m(x)在(1,e)上单调递增，故m(x)>m(1)=e．因为x0∈(1,e)，所以f(x)max=1x0e x0<1e<12．所以f(x)<12．【解析】本题考查了函数单调性求法，函数极值与最值的求法，属于导数在函数中综合应用，属于综合题．(Ⅰ)对f(x)求导，判断f′(x)的符号，即可得函数的单调性；(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x)max<12”.求f(x)的最大值即可证明．20.【答案】解：(Ⅰ){2,4，6，8，10}是“关联的”，关联子集有{2,4，6，8}，{4,6，8，10}，{2,4，8，10}．{1,2，3，5，8}是“独立的”．(Ⅱ)记集合M的含有四个元素的集合分别为：A1={a2,a3,a4,a5}，A2={a1,a3,a4,a5}，A3={a1,a2,a4,a5}，A4={a1,a2,a3,a5}，A5={a1,a2,a3,a4}，所以，M至多有5个“关联子集”，若A2={a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A1={a2,a3,a4,a5}，不是“关联子集”，否则a1=a2，同理可得若A2={a1,a3,a4,a5}为“关联子集”，则A3，A4不是“关联子集”，所以集合M没有同时含有元素a2，a5的“关联子集”，与已知矛盾．所以A2={a1,a3,a4,a5}一定不是“关联子集”，同理A4={a1,a2,a3,a5}一定不是“关联子集”，所以集合M的“关联子集”至多为A1，A3，A5，若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a3的“关联子集”，与已知矛盾；所以A1，A3，A5都是“关联子集”，所以有a2+a5=a3+a4，即a5−a4=a3−a2；a1+a5=a2+a4，即a5−a4=a2−a1；a1+a4=a2+a3，即a4−a3=a2−a1；所以a5−a4=a4−a3=a3−a2=a2−a1，所以a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．(Ⅲ)不妨设集合M={a1,a2,…,a n}(n≥5)，a i∈N∗，i=1，2，…，n，且a1<a2<⋯<a n，记T ={t|t =a i +a j ,1≤i <j ≤n,i ，j ∈N ∗}，因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有C n2=n(n−1)2个元素，假设结论错误，即不存在x ∈M ，使得x >n 2−n+94，所以任取x ∈M ，x ≤n 2−n+94，因为x ∈N ∗，所以x ≤n 2−n+84，所以a i +a j ≤n 2−n+84+n 2−n+84−1=n 2−n+82−1=n 2−n 2+3，所以任取t ∈T ，t ≤n 2−n 2+3，任取t ∈T ，t ≥1+2=3，所以T ⊆{3,4，…，n 2−n 2+3}，且T 中含有C n2=n(n−1)2个元素，(i)若3∈T ，则必有a 1=1，a 2=2成立，因为n ≥5，所以一定有a n −a n−1>a 2−a 1成立，所以a n −a n−1≥2， 所以a n +a n−1≤n 2−n+84+n 2−n+84−2=n 2−n 2+2，所以T ={t|3≤t ≤n 2−n 2+2,t ∈N ∗}，所以a n =n 2−n+84，a n−1=n 2−n+84−2，因为4∈T ，所以a 3=3，所以有a n +a 1=a n−1+a 3，矛盾； (ii)若3∉T ，则T ⊆{4,5，…，n 2−n 2+3}，而T 中含有C n 2=n(n−1)2个元素，所以T ={t|4≤t ≤n 2−n 2+3,t ∈N ∗}所以a n =n 2−n+84，a n−1=n 2−n+84−1，因为4∈T ，所以a 1=1，a 2=3， 因为n 2−n 2+2∈T ，所以n 2−n 2+2=a n−2+a n ，所以a n−2=n 2−n+84−2，所以a n +a 1=a n−2+a 3，矛盾，所以命题成立．【解析】本题属于信息题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，组合，属于高难题； (Ⅰ)根据题意即可求解；(Ⅱ)根据题意，A 1={a 2,a 3,a 4,a 5}，A 2={a 1,a 3,a 4,a 5}，A 3={a 1,a 2,a 4,a 5}，A 4={a 1,a 2,a 3,a 5}，A 5={a 1,a 2,a 3,a 4}，进而利用反证法和等差数列的定义求解； (Ⅲ)不妨设集合M ={a 1,a 2,…,a n }(n ≥5)，a i ∈N ∗，i =1，2，…，n ，且a 1<a 2<⋯<a n ，记T ={t|t =a i +a j ,1≤t <j ≤n,i ，j ∈N ∗}，进而利用反证法求解；。

海淀区2020-2021学年第一学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|30}A x x =-≤，{0,2,4}B =，则A B =（ ）A. {0，2}B. {0，2，4}C. {}3x x ≤D.{}03x x ≤≤【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义运算求解即可．【详解】集合{|30}{|3}A x x x x =-≤=≤，{0,2,4}B =，则A B ={}0,2故选：A2. 已知向量(,2)a m =，(2,1)b =-. 若//a b ，则m 的值为（ ） A. 4 B. 1C. -4D. -1【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算公式即可得到答案. 【详解】因为//a b ，所以40m --=，解得4m =- 故选：C3. 命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为（ ） A. 0x ∃>，使得21x < B. 0x ∃≤，使得21x ≥ C. 0x ∀>，都有21x <D. 0x ∀≤，都有21x <【答案】C 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定定义得出选项．【详解】命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为“0x ∀>，都有21x <” 故选：C4. 设a ，b R ∈，且0a b <<，则（ ）A.11a b < B.b a a b> C.2a b+> D.2b a a b+> 【答案】D 【解析】 【分析】由0a b <<，可得11a b >，A 错；利用作差法判断B 错；由02a b +<0>，可得C 错；利用基本不等式可得D 正确． 【详解】0a b <<，11a b∴>，故A 错； 0a b <<，22a b ∴>，即220,0b a ab -<>，可得220b a b a a b ab --=<，b a a b∴<，故B 错；0a b <<，02a b +∴<0>，则2a b+<C 错；0a b <<，0,0b a a b ∴>>，2b a a b +>=，等号取不到，故D 正确；故选：D5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 2ln y x =B. 3||y x =C. 1y x x=-D.cos y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性和单调性的定义逐个判断即可. 【详解】对于A ，2ln y x =的定义域为(0,)+∞，故不是偶函数，故A 错误；对于B ，()3f x x =的定义域为R ，关于原点对称，且()()33f x x x f x -=-==，∴3y x =是偶函数，且根据幂函数的性质可得在(0,)+∞上为增函数，故B 正确；对于C ，()1f x x x=-的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，故1y x x =-是奇函数，故C 错误； 对于D ，cos y x =在(0,)+∞有增有减，故D 错误. 故选：B.6. 已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可． 【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数， 又f （2）ln2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)． 故选：C ．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(),2,3,n n S a n ==，则2020a =（ ）A. 0B. 1C. 2020D. 2021【答案】A 【解析】 【分析】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-，结合题干条件，即可求得答案. 【详解】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，11n n n n n a S S a a --=-=-， 所以10n a -=，即1220200a a a ==⋅⋅⋅==， 故选：A8. 已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移()0t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】 由图象可得6x π=时，函数sin()y A x ωϕ=+的函数值为0，可以解出ϕ的表达式，再利用平移的知识可以得出t 的最小值． 【详解】解：由图象可得6x π=时，函数sin()y A x ωϕ=+的函数值为0，即()6k k Z ωπϕπ+=∈，()6k k Z ωπϕπ∴=-+∈，sin()6y A x k ωπωπ∴=-+，将此函数向左平移()0t t >个单位得，()sin ()6f x A x t k ωπωπ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 为奇函数，11()6t k k k Z ωπωππ∴-+=∈，11(,)6k kt k Z k Z ππω-∴=+∈∈，因为0t > min 6t π∴=．故选：B ．【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 9. 设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先判断“01x <<，且01y <<”能否推出 “22log log 0x y +<；再判断22log log 0x y +<能否推出“01x <<，且01y <<”，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】若“01x <<，且01y <<”,则01xy <<，2222log log log log 10x y xy +=<=， 所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分条件；若22log log 0x y +<，则2222log log log log 10x y xy +=<=，可得01xy <<，但得不出“01x <<，且01y <<”，如116x =，2y =可得22log log 0x y +<，所以 22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.10. 对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A. (),0-∞ B. [)0,2C. [)0,4D. [)2,4【答案】B 【解析】 【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分0a <，0a >，0a =三种情况分析即可得答案.【详解】解：根据题意，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”， 则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2y x 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()f x ，()f x -可能取何值，进而根据22x x =方程有两个解2x =或4x =求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数(1)z i i =+，则||z = _______.【解析】 【分析】化简可得1z i =-+，利用求模公式，即可求得答案. 【详解】由题意得：2(1)1z i i i i i =+=+=-+，所以z ==12. 已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=________. 【答案】-3. 【解析】 【分析】由两角差的正切公式展开，解关于tan α的方程． 【详解】因为tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 12tan 31tan ααα-=⇒=-+． 【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号． 13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若19a =，公差2d =-，则n S 的最大值为_______.【答案】25 【解析】 【分析】由已知求出等差数列{}n a 的通项公式，求出满足0n a ≥的最大n 值，代入可得n S 的最大值． 【详解】19a =，2d =-，912112na n n令0n a ≥，解得112n ≤，又*n N ∈，则15n ≤≤ n S 的最大值为554592252S故答案为：2514. 在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点. ①若BD xBA yBC =+，则x y +=_______； ②BD BM ⋅= _______.【答案】 (1). 34(2). 1 【解析】 【分析】①用,BA BC 表示出BD ，得出x ，y 的值即可求出x y +； ②结合正三角形的性质，根据平面向量数量积的定义计算． 【详解】①M 是BC 的中点，∴12BMBC ， D 是AM 的中点，∴11112224BD BA BM BA BC =+=+， 12x ∴=，14y =，故34x y +=．②ABC ∆是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，且1BM =，∴2cos 1BD BM BD BM DBM BM ⋅=⋅⋅∠==．故答案：34，1．【点睛】本题主要考查向量的运算及平面向量数量积公式，平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a ba b ，二是1212a b x x y y ⋅=+.15. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为3m ，它以1rad/s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P ， 点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）. 当0t =时，点P 在轮子的最高点处.①当点P 第一次入水时，t =__________；②当t t =0时，函数()H t 的瞬时变化率取得最大值，则0t 的最小值是________. 【答案】 (1). 23π (2). 32π【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥，分类讨论即可求解； （2）求出导数得，'()3sin H t t =-，当3sin 3t -=时，瞬时变化率取得最大值，进而求解 【详解】（1）当0t =时，点P 在轮子最高点处，由图可知，轮船距离船底1m ，半径3m ，设为r ，则cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥，当点P 第一次入水时，水面高2.5m ，即 2.5H =，代入3cos 4H t =+得，1cos 2t =-，第一次入水即在满足1cos 2t =-的情况下满足现实条件0t ≥后可取的最小值，23t π=（2）瞬时变化率取得最大值，即'()H t 最大，'()3sin H t t =-，当3sin 3t -=时，瞬时变化率取得最大值，此时，0t 的最小值为32π 故答案为：①23π；②32π【点睛】关键点睛：解题的关键在于求出cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥和'()3sin H t t =-，根据题目的实际情况求解，难度属于中档题三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 在△ABC 中，sin 2sin B C =，3cos 4A =. （1）若△ABC 的面积为7，求c 的值； （2）求ac的值. 【答案】（1）2；（2）2. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得2b c =，根据3cos 4A =可求得7sin 4A =，利用面积公式即可求出c ； （2）由余弦定理即可求出. 【详解】解：（1）由正弦定理得：sin sin b c B C=. 因为sin 2sin B C =，所以2b c =. 因为3cos 4A =，0A π<<， 所以27sin 1cos A A =-=，因为7S =211sin 2sin 722S bc A c A ==⨯⨯=， 所以24c =，所以2c =； （2）由（1）知2b c =，因为3cos 4A =， 所以222222232cos 4424a b c bc A c c c c =+-=+-⨯=，所以a =，所以ac=17. 已知等差数列{}n a 满足59a =，3922a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足2020n S <的n 的最大值. 条件①：312b a a =+；条件②：37S =；条件③：1n n b b +>.【答案】（1）21n a n =-；（2）选择①②：10；选择①③：10；选择②③：10. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式将已知条件转化为关于1a 和d 的方程，即可求解；（2）选择①②时，根据条件①②可以求出11b =，34b =.，再利用37S =可以求出22b =，即可求出{}n b 的公比，利用等比数列前n 项和公式计算出n S ，解不等式即可； 选择①③时，首先利用312b a a =+和11b a =求出11b =，34b =，再利用1n n b b +>可得2q，利用等比数列前n 项和公式计算出n S ，解不等式即可；选择②③时，37S =，11b =，可得217q q ++=结合1n n b b +>，可得公比2q，利用等比数列前n 项和公式计算出n S ，解不等式即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=， 因为59a =，3922a a +=，所以1492102ta d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =-； （2）（I ）选择①②设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+， 所以11b =，34b =，因为37S =，所以23132b S b b =--=，所以212b q b ==，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -≤， 所以10n ≤，即n 的最大值为10. （II ）选择①③设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+， 所以11b =，34b =， 所以2314b q b ==，2q =±， 因为1n n b b +>，所以2q，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -<， 所以10n ≤.即n 的最大值为10. 选择②③设等比数列{}n b 的公比为q 因为37S =，11b =， 所以217q q ++=. 所以2q，或3q =-.因为1n n b b +>，所以2q.所以1(1)211n n n b q S q-==-- 因为2020n S <，所以212020n -< 所以10n ≤.即n 的最大值为10.【点睛】关键点点睛：本题的关键是熟记等差和等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，关键是利用1n n b b +>得出2q .18. 已知函数2()(23)x f x e x x =-. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【答案】（1）{|x 0x <或32x ⎫>⎬⎭；（2）最小值e -，最大值22e . 【解析】 【分析】（1）直接解不等式可得不等式的解集；（2）对函数求导，令()0f x '=，求出方程根，得出单调性可得函数的最值． 【详解】（1）因为0x e >，由()2(0)23xf x e x x =->，得2230x x ->.所以0x <或32x >. 所以不等式()0f x >的解集为{|x 0x <或32x ⎫>⎬⎭； （2）由()223()xf x e x x =-得：2()(23)x f x e x x '=+-()()231xex x =+-.令()0f x '=，得1x =，或32x =-（舍）. ()f x 与()f x '在区间[0，2]上的情况如下：所以当1x =时，()f x 取得最小值()1f e =-； 当2x =时，()f x 取得最大值()222f e =.19. 已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，求m 的最大值.【答案】（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）56π. 【解析】 【分析】 （1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的值域可得出sin 23π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值.【详解】（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，k Z ∈. 所以42233ππk πx k π+≤≤+，()k Z ∈.所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14sin cos sin 22x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22cos sin x x x =+cos2)sin 2x x =-+2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤， 所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤. 解得：55126m ππ≤≤. 所以m 的最大值为56π.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出42233m πππ≤-≤. 20. 已知三次函数32()324f x ax ax a =-++.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(,3)a a +上具有单调性，求a 的取值范围； （3）当0a >时，若122x x +>，求12()()f x f x +的取值范围. 【答案】（1）925y x =-+；（2）(][),32,-∞-+∞；（3）[4,)+∞. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，当1a =-时，(3)2f =-，(3)9f '=-，进而可得切线方程；（2）当0a =时，()2f x =在R 上不具有单调性；对函数求导，令()0f x '=，按0a >和0a <分别判断单调性，列不等式可求得a 的取值范围；（3）先证明：()()12 4f x f x +≥，由（2）知，当0a >时，()f x 的递增区间是(),0-∞，()2,+∞，递减区间是（0，2），因为122x x +>，不妨设12x x ≤，则21>x ， 按10x ≤和1>0x 分别证明不等式成立，再证明对任意122x x +>，()()12f x f x m +≤(4)m ≥不成立即可．【详解】由()32324f x ax ax a =-++可得：2()363(2)f x ax ax ax x '=-=-（1）当1a =-时，(3)2f =-，(3)9f '=-.所以曲线( )y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为925y x =-+. （2）由已知可得0a ≠①当0a >时，令()0f x '=得0x =，22x =.()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞_上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性，所以2a ≥.②当0a <时，()f x 与()'f x 在区间(),-∞+∞上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性， 所以30a +≤，即3a ≤-. 综上所述，a 的取值范围是(][),32,-∞-+∞.（3）先证明：()()12 4f x f x +≥.由（2）知，当0a >时，()f x 的递增区间是(),0-∞，()2,+∞，递减区间是（0，2）. 因为122x x +>，不妨设12x x ≤，则21>x . ①若10x ≤，则2122x x >-≥.所以()()()()12112444f x f x f x f x a +>+-=+>. ②若1>0x ，因为21>x ，所以()()12()()224f x f x f f +≥+=，当且仅当122x x ==时取等号. 综上所述，12())4(f x f x +≥.再证明：12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.假设存在常数()4m m ≥，使得对任意122x x +>，()()12f x f x m +≤.取12x =，且22x >+则 ()()3222222324f f x ax ax a+=+-++2222222()()222()224ax x a x a x m =+-+-+>-+>，与()()12f x f x m +≤矛盾.所以12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性，考查导数证明不等式，本题解题的关键为利用第（2）问的单调性，由122x x +>和12x x ≤，确定出21>x ，再按10x ≤和1>0x 分类讨论，利用放缩法证明()()12 4f x f x +≥，以及利用反证法证得()()12f x f x m +≤(4)m ≥不成立，考查了学生分类讨论思想和逻辑思维能力，属于中档题．21. 已知{}n a 是无穷数列，1a a =，2a b =且对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j <在{}n a 中都存在一项(2)k a j k j <<，使得2k j i a a a =-. （1）若3a =，5b =求3a ；（2）若0a b ，求证：数列{}n a 中有无穷多项0；（3）若ab ，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）7；（2）证明见解析；（3）(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =.【解析】 【分析】（1）依题意代入计算可得； （2）利用反证法证明即可；（3）分a b <与a b >两种情况讨论，①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，再证明：(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =即可；②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，结合①的结论即可得解；【详解】解：（1）取1i =，2j =，则存在24)k a k <<(，使得3212a a a =-，即3212a a a =-. 因为13a a ==，25a b ==，所以32127a a a =-=.（2）假设{}n a 中仅有有限项为0，不妨设0m a =，且当n m >时，n a 均不为0，则2m ≥. 取1i =，j m =，则存在2)k a m k m <<(，使得120k m a a a =-=，与0k a ≠矛盾．（3）①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，即证*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立． 若不然，则存在最小的正整数0n ，使得001n n a a +≥，且012 n a a a <<<.显然02n ≥.取0j n =，1i =，2，…，01n -，则存在00(2k a n k n <<），使得02k n i a a a =-．因为00000121222n n n n n a a a a a a a -->->>->，所以012n a a -，022n a a -，…，0012n n a a --这01n -个不同数恰为01n a +，02n a +，…，021n a -这01n -项.所以001n n a a +>与001n n a a +≤矛盾.所以数列{}n a 是递增数列.再证明： (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n = 记,d b a =- 即证(1)n a a n d =+-，1,2,3,n =当1,2n =时，结论成立.假设存在最小的正整数0,m 使得 (1)n a a n d =+-对任意01n m ≤≤恒成立， 但010,m a a m d +≠+则02m ≥. 取0j m =，1,2,i =，01m -，则存在()002k a m k m <<，使得02k m i a a a =-因为数列{}n a 是递增数列， 所以00012121m m m a a a a a +-<<<<<<.所以0600121222m m m m a a a a a a --<<-<-.因为0012m m a a --，…022m a a -，012m a a -这01m -个数恰为01m a +，02m a +，…021m a -这01m -项.所以()()004110002212m m m a a a a m d a m d a m d +-=-=+--+-=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 与10n m a a m d +≠+矛盾.所以 (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，则1b a =-，2b b =-，且12<b b .对于{}n b 中任意两项i b ，()j b i j <，因为对任意i a ，()j a i j <，存在(2),k a j k j <<使得2k j i a a a =-， 所以()2k j i a a a -=---，即存在(2),k b j k j <<使得2k j i b b b =-. 因此数列{}n b 满足题设条件.由① 可知(1)()n b a n a b =-+--，1,2,3,,n =所以(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =综上所述，(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =经检验，数列{}n a 满足题设条件.【点睛】本题属于数列新定义问题，考查反证法的应用，以及数学归纳法的证明数列的单调性；。

海淀区2021~2022学年第一学期期中练习高三数学参考答案 2021.11一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

说明：13题两空前3后2；15题全选对5分，漏选3分，其他情况0分。

三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为142n n a a n ++=+,所以当1n =时，216a a +=. ①当2n =时，3210a a +=, ②②—①得314a a -=.因为{}n a 为等差数列，设公差为d ,所以3124d a a =-=，则2d =,由①可得126a d +=，所以12a =，所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==L .（Ⅱ）因为{}n n b a - 是公比为3的等比数列，又知13b =，所以11111()3=(32)3=3n n n n n b a b a ----=-⨯-⨯， 所以11332n n n n b a n --=+=+，所以0121(3333)+2(123)n n S n -=++++++++L L132(1)132n n n -+=+-1(31)(1)2n n n =-++. （17）（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为ππ()2cos()cos()44f x x x =-+πππ2cos[()]cos()424x x =+-+ ππ2sin()cos()44x x =++ πsin(2)2x =+ cos2x =或者ππ()2cos()cos()44f x x x =-+ ππππ2(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )4444x x x x =+- 22112(cos sin )22x x =- cos2x = 所以()f x 的最小周期2π2ππ||2T ω===. （Ⅱ）因为()()cos g x f x x =-，所以()cos2cos g x x x =-22cos cos 1x x =--2192(cos )48x =-- 因为cos [1,1]x ∈-， 所以依据二次函数的性质可得()g x 的值域为9[,2]8-.（18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）公共点(e,1). 因为1'()f x x=， 所以1'(e)e f =， 所以切线的方程为11(e)e y x -=-，即e x y =. （Ⅱ）11e ()|||ln |22S a a AB a a a=⋅=-，(0,e)a ∈. 因为(0,e)a ∈时，e 1,ln 1a a ><，所以e ln a a>， 所以e 1()ln 22S a a a =-，(0,e)a ∈，1'()(1ln )2S a a =-+， 令'()0S a =，得1ea =， 所以'(),()S a S a 的情况如下：因此，()S a 的极大值，也是最大值为()e 22e S =+.（19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a b A B=及sin cos a B A =得 sin sin cos AB B A ，因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠所以sin A A =，所以tan A因为()0,πA ∈，所以π3A =. （Ⅱ）选②：因为1cos 3C =，()0,πC ∈， 所以sin C==.由正弦定理sin sin a c A C =得sin sin c A a C ===由πA B C ++=得()11sin sin sin cos cos sin 32B A C A C A C =+=+=+=.所以11sin22ABCS ac B∆==⨯=选③：因为π3A=，AB边上的高h=所以2sinhbA===.由余弦定理2222cosa b c bc A=+-得2942c c=+-，即2250c c--=，解得1c=所以1c=所以(11122ABCS ch==⨯=V（20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）当9a=-时，2()(39)f x x x x=--，2()3693(1)(3)f x x x x x'=--=+-，'(),()f x f x的情况如下：所以，函数()f x的增区间为(,1]-∞-和[3,)+∞﹒（Ⅱ）由2()(3)f x x x x a=-+得2()36f x x x a'=-+，因为()f x在区间(1,2)上为减函数，所以()0f x'≤在(1,2)内恒成立，因为22()363(1)3f x x x a x a'=-+=-+-，所以(1,2)x∈时，'()(3,)f x a a∈-，所以(,0]a∈-∞.（Ⅲ）所以a的取值范围为9(0,)4﹒（21）（本小题共15分）解：（Ⅰ）1B 是完美集；设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即1230λλλ===． 所以1B 是完美集．2B 不是完美集．设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即12312312324023503460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．，，令3=1λ，则12=2=3λλ-，．所以2B 不是完美集．（Ⅱ）因为B 不是完美集，所以存在123()(0 0 0)λλλ≠，，，，，使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ， 即123123123202(1)0(1)(1)20m m m m m m m m m λλλλλλλλλ++=⎧⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，，．因为{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，，由集合的互异性得，0m ≠且1m ≠-．所以12320λλλ++=，3122λλλ=--，12()(0 0)λλ≠，，． 所以1212(2)(1)0(31)(1)0m m m m λλλλ-+++=⎧⎨--+--=⎩．， 所以1(41)0m λ-+=． 所以14m =或10λ=． 检验： 当14m =时，存在1235,7,3λλλ==-=-使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ． 当10λ=时，因为1m ≠-，所以230,0λλ==，舍． 所以14m =． （Ⅲ）B 一定是完美集．假设存在不全为0的实数123,,λλλ满足112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ， 不妨设123λλλ≥≥，则10λ≠（否则与假设矛盾）．由1112213310x x x λλλ++=，得3211213111x x x λλλλ=--． 所以32112131213111x x x x x λλλλ≤+≤+．与111121312x x x x >++，即112131x x x >+矛盾．所以假设不成立．所以10λ=．所以230λλ==．所以B 一定是完美集．明同学在物理实验室发现一个电学元件，是由一个标有“2，2 W ”的小灯泡和一个定值电阻R 旋接而成。

北京市海淀区一零一中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}AB ，则a 的值为（ ）A. ﹣2或﹣1B. 0或1C. ﹣2或1D. 0或﹣2【答案】C 【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2.已知向量(1,2),b (m,4)a -=，且a∥b,那么2a-b= () A. （4，0） B. （0，4）C. （4，-8）D. （-4，8）【答案】C 【解析】因为向量()()1,2,,4m =-=a b ，且a ∥b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m m a b ⨯=-⨯∴=-∴-=---=-. 本题选择C 选项.3.已知3(,)22ππα∈，且tan α=，那么sin α=A. -B. -【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果．【详解】因为3(,)22ππα∈，sin tan cos ααα=>0，故3(,)2παπ∈即sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=3- 故选 ：B【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（ ）A. 10023-B. 10123-C. 10221-D.10223-【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C 【解析】【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 132x x x << B. 321x x x << C. 312x x x << D. 213x x x <<【答案】A【解析】【分析】在坐标系中作出函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的图象，将1x、2x、3x分别视为函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log1y x=+、3logy x=、2logy x=交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.【详解】作函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x、3x、2x，所以132x x x<<．故选A．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.设函数()f x=sin（5xωπ+）(ω＞0)，已知()f x在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D【解析】 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 二、填空题共6小题 9.已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________．【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案． 详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,a b ==，所以z =，则z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 10.已知函数()1cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____. 【答案】12π【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值. 【详解】()11cos cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ()26k k Z πϕπ-=∈，()122k k Z ππϕ∴=-∈，由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11.不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >- 【解析】 【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立. 【详解】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-.下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤.所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-.【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm . 【答案】(1).(2). 4【解析】 【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai的宽度为12i a +，()1A i +的长度为212i i a a ++=，所以，数列{}n a是以2为公比的等比数列， 由题意知4A纸的宽度为522a =，5a ∴=51214a a ∴===⎝⎭所以，0A纸的面积为(2221122S ==⨯=，又2n n S =，222111122n n n n n nS a S a +++⎛⎫∴==== ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S是以12为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于921121412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-.故答案为：642；5112. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q ，若OP aOA bOB =+，则+a b 的取值范围是_________.【答案】()0,1 【解析】 【分析】设OP kOQ =，可得出()0,1OP k OQ=∈，并设OQ OA OB λμ=+，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b 的取值范围.【详解】设OP kOQ =，可得出()0,1OP k OQ=∈，设OQ OA OB λμ=+，由于A 、B 、Q 三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOB λμλμ==+=+=+，则a k λ=，b k μ=，()()0,1a b k k k k λμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b 的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1.【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为1，即2211k kk +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题共6小题。

海淀区2020 ~ 2021学年第一学期期中练习高三化学本试卷100分。

考试时长90分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 S 32 Fe 56第一部分选择题（共42分）在下列各题的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

（每小题3分，共42分）1. 下列物品所使用的主要材料属于无机非金属材料的是A. 陶瓷工艺品B. 纸质练习簿C. 不锈钢盆D. 蚕丝领带【答案】A【详解】A. 陶瓷的主要成分为硅酸盐，属于无机非金属材料，故A选；B. 纸张的主要成分为纤维素，为有机材料，故B不选；C. 不锈钢的主要成分为铁，有无机金属材料，故C不选；D. 蚕丝主要成分为蛋白质，为有机材料，故D不选。

故答案选：A。

2. 下列对化学用语的描述中，不正确．．．的是A. 甲烷的结构式：B. 磷的原子结构示意图：C.20983Bi 和21083Bi 互为同位素D. 由Na 和Cl 形成NaCl 的过程：【答案】B【详解】A.甲烷为正四面体结构含有4条C-H 键，结构式为，故A 正确；B.该图中质子数为15，核外电子数为18，为P 3-的结构示意图，故B 错误；C.同位素是指质子数相同、中子数不同的同一元素的核素的互称，20983Bi 和21083Bi 为Bi 的同位素，故C 正确；D. Na 和Cl 形成NaCl 的过程Na 失去电子变为Na +，Cl 得到电子变为Cl -，图示为，故D 正确；故答案选：B 。

3. 下列反应中， H 2O 做氧化剂的是 A. 2Na+2H 2O = 2NaOH+H 2↑ B. 3NO 2+H 2O=2HNO 3+NO C. Cl 2+H 2O HCl+HClOD. SO 2+H 2OH 2SO 3【答案】A 【分析】氧化还原反应中反应物中氧化剂化合价下降，还原剂化合价升高以此判断。