安徽大学2009 — 2010学年第 一 学期《 数字信号处理 》试题一、 对于连续非周期信号)(t f ,对应的频谱函数为)(ωF ,现对 )(t f 进行单位冲击周期序列抽样,形成抽样信号)(t f s ,抽样间隔为T,试详细推导抽样后信号的傅立叶变换)(ωs F 表达式,并说明其与)(ωF 的关系。
（15分）解:⎰∞∞--=dt e t f w F jwt)()(； 冲击利用傅式级数展开有：∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞===-=m t jmw Tm tjm m n s e eC nT t t P 12)()(πδδ , T s w π2=∑⎰⎰∑⎰∞-∞=--∞∞--∞∞-∞-∞=∞∞--=-==m t mw w j Tjwtn jwts s dt e t f dt enT t t f dt et f w F s )(1)()()()()(δ∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m T Tm s Ts m w F mw w F w F )()()(211π;二、 推导离散傅立叶级数公式，并说明离散傅立叶变换与离散傅立叶级数的关系。
（15分） 解： 我们知道，非周期离散信号的傅里叶变换为：∑∞-∞=-=n jwnjwen x eX )()(由于)(jwe X 是周期的，我们在)(jwe X 上加以表示周期性的上标“~”，并重写如下：∑∞-∞=-=n jwnjw en x e X )()(~；设)(n x 的列长为N ，则上式为：∑-=-=1)()(~N n jwn jwe n x e X ；现在对)(~jw e X 取样，使其成为周期性离散频率函数，并导致时域序列)(n x 周期化为)(~n x ，时域取样间隔为T ，在一个周期内取样点数为N 。
现在序列的周期为NT ，所以对频谱取样的谱间距是NT 1。
以数字频率表示时，则谱间距是I w π2=。
因此，上述以数字频率w 为变量的)(jwe X 被离散化时，其变量w 则成为k kw w NI π2== k=0，1，2…N-1所以离散周期序列)(~n x 的傅里叶级数可写成 ∑∑-=-=-====1010)(~)(~|)(~)(~22N n knN N n kn j k w jw W n x e n x e X k X Nππ k=0，1，2，…N-1上面公式中k 为整数，而且由于)(~jw e X 的周期是π2，所以k 只有0至（N-1）个值。
这就是说)(~k X 只有N 个不同的值，)(~k X 与)(~n x 都是以N 个取样值为一周期的周期性函数。
我们设k=r，其中r为任意整数，则得∑∑-=-=-====1010)(~)(~|)(~)(~22N n rn NN n rn j r w jw W n x e n x e X r X Nππ此即为离散傅里叶级数的公式。
离散傅里叶级数虽是周期序列却只有N 个独立的复值，只要知道它的一个周期的内容，其它的内容也就知道了。
上式表明只要把一个周期内的)(~n x 乘以对应的knN W ，可得任意k 下的)(~k X ；由∑-=-=11)(~)(~N k knNNW k X n x ，仅用)(~k X 的一个周期的值就能得到任意n 下的)(~n x 。
同时限制k 和n 就得到下面离散傅里叶变换的关系：∑-===10)()]([)(N n knN W n x n x DFT k X∑-=-==11)()]([)(N k knN NW k X k X IDFT n x三、简述DFT 造成误差的三种现象：混叠、栅栏效应、泄漏, 如以及解决这些问题的一些方法. （10分）解：1，混叠：是由于取样频率不够高，没有满足下式的关系，取样频率h s f f 2≥。
h f 为信号的最高频率。
频率分辨率为N f sF =。
在高频容量h f 与F 存在矛盾。
保持其中一个不变而增加另一个的唯一办法是增加在一记录长度内的点数N 。
N 必须满足F f hN2≥。
2，栅栏效应：是由于DFT 计算频谱只限制为基频的整数倍而不可能将频谱视为一连续函数而产生的。
在原记录的末端填加一些零值点来变动时间周期内的点数并保持记录不变。
3，泄露：因为我们无法去用无限个数据，所以在使用离散傅里叶变换时，时域中的截断是必须的，因此产生泄露。
在截断时采用更优化的窗函数进行截断。
尽量不要使在截断点处的不连续性那么明显。
四、推导由离散傅立叶变换X (k )表达)(ωj e X 及X (z )的频域内插公式。
（15分） 解：∑-=-=11)()(N k nk NNWk X n x ， ∑-=-=1)()(N n nzn x z X将)(n x 的表示式带入)(z X 中，得∑∑∑∑∑-=---=-=----=-=-----===10111101011101011)()()(])([)(N k zW z W NN k N n n k NNnN n N k kn NNk N N kN N k X z Wk X z Wk X z X 因12==-kNj kNNeWπ，故得∑-=-----=11)(11)(N k zW k X Nz k N Nz X ，这就是)(z X 的内插公式。
令jwe z =，可得序列)(n x 的频响：∑-=+--∙=-1)(]sin[)sin(1222)2(2)()(N k j NjwNk w Nw N k w wN ek X e X ππ五、以长度为8的x (n )为例,画图说明按频率抽取的基2的FFT 快速算法。
（15分） 解：由∑-=++=10222)]()([)2(NN n nrN W n x n x r X ∑-=+-=+10222)]()([)12(NN n nr n N N W W n x n x r X 得把8个点DFT 分成4个奇数点和4个偶数点的DFT 。
同理把4个点的DFT 分为2个2个点的DFT 。
用图表示为最后得出的结果要进行下逆序。
六、简述利用巴特沃斯方法设计数字带通滤波器的方法。
（15分） 解：先利用脉冲响应不变变换法设计数字的巴特沃斯低通滤波器。
1， 假设给出的系统要求是在数字域给出的，先将数字域的系统要求转换为按模拟频率表示的对模拟滤波器的要求。
2， 计算滤波器所需阶数N 及截止频率c Ω。
3， 由求得的N ，c Ω确定s 平面上滤波器的极点分布。
4， 由∏==-Nk k s s K a s H 1)()(可得模拟滤波器系统函数。
5， 将)(s H a 展成部分分式，并作∑---=11)(z e TAT i s z H 的变换，可求得数字滤波器的系统函数)(z H 。
6， 由数字低通滤波器变换为数字带通滤波器。
由表5-4，由截止频率为c θ的低通数字滤波器原型变换成各型数字滤波器的公式得：由低通至带通的变换为111112211111122)(+-+----+-+-+--+--==Z Z Z Z k ak k k k k k ak Z G z)cos()cos(212212w w w w a -+=,22)(12ctgctg k w w θ-=,2w ，1w 为要求的上，下截止频率。
Z 为所要求的数字滤波器的复变量。
数字带通滤波器的系统函数为：)(11|)()(--==Z G z d z H Z H 。
七、简述利用窗函数方法设计具有线性相位的数字带通滤波器的方法。
（15分）解：FIR 滤波器的设计问题就是，就是要使所设计的FIR 滤波器的频率响应)(jw e H 去逼近所要求的理想的滤波器的响应)(jw d e H 。
一般来说，理想的选频滤波器的)(jw d e H 是逐段恒定的，且在频带边界处有不连续点，因此序列)(n h d 是无限长的，这是不能用傅式级数来设计滤波器的。
截止频率为21,w w ，的线性相位理想低通滤波器为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤≤≤=πw w w w w w w e H jw d 2121',001)(而nj e e dnjw n jw n h π12)('-=为了用因果的有限长序列去逼近)('n h d ，将)('n h d 进行()21-N 的有限时延，此时)('jw d e H 变为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<≤≤≤=--πw w w w w w w e e H N jw jwd2121,00)(21而()()()211112)(-------=N N n jw N n jw n j e edn h π根据过渡带宽及阻带最小衰减要求，选定窗的形状及N 的大小。
根据所选择的合适的窗函数)(n w 来修正)(n h d ，得到所设计数字滤波器的单位取样响应)()()(n h n w n h d = n=0，1，2，……,N-1。
