高中数学一轮复习 第1讲 导数的概念及其运算

第一节 导数的概念及其运算【课标要求】了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想。

体会极限思想。

通过函数图象直观理解导数的几何意义,能根据导数定义求函数y=c,y=x ,x y x y x y ===,,32的导数,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(f(ax+b) 的导数。

会使用导数公式表.教学目标：1.了解导数的概念,理解导数的几何意义；2.掌握基本初等函数的导数，能够用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，理解简单的复合函数的导数。

教学重点：导数的运算及导数的几何意义。

教学难点：正确求导及曲线切线的理解教学过程：环节1：知识检测2.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)1．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________℃/h.D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)环节2：知识梳理1.函数的平均变化率及其意义（1）函数y=f(x)在区间[]21x x 的平均变化率： 平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212（2）函数y ＝f (x )的平均变化率反映了函数f (x )在区间[]21x x 上的变化快慢， （3）函数y ＝f (x )的图象在点A(()()()()2211,,,x f x B x f x A 割线的斜率，是曲线倾斜程度的“数量化”。

第四章第1讲[A 级 基础达标]1．若f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝( ) A ．1－sin x B ．x －sin x C ．sin x ＋x cos x D ．cos x －x sin x【答案】D2．(2020年某某月考)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝e x ln x ＋1x －1，则f ′(1)＝( )A ．e －3B ．e －2C ．e －1D ．e 【答案】C3．(2020年某某一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x 【答案】B4．一质点沿直线运动，如果由始点出发经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末 【答案】D5．(多选)下列求导数的运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x【答案】AD6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2C ．94D ．－94【答案】D 【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，所以f ′(2)＝－94.7．已知曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a 在x ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．【答案】4 【解析】根据题意，曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a ，则y ′＝－1x 2＋ax，则有y ′|x＝1＝ax ＝1处的切线的斜率k ＝ax ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则k ＝a －1＝3，解得a ＝4.8．(2020年某某模拟)函数f (x )＝x e x 的图象在点P (1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．【答案】e4【解析】f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2e ，所以曲线y＝f (x )在(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e xy ＝2e x －e 与坐标轴交于点(0，－e)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以y ＝2e x －e 与坐标轴围成的三角形面积S ＝12×e ×12＝e 4. 9．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2的最大值； (2)若f (x 0)＝2f ′(x 0)，求1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0的值．解：(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2，得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当2x ＋π4＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1.(2)由f (x 0)＝2f ′(x 0)，得sin x 0＋cos x 0＝2(cos x 0－sin x 0)，所以cos x 0＝3sin x 0，则tan x 0＝13. 所以1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2sin 2x 0＋cos 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2tan 2x 0＋11－tan x 0＝116.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)． 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， 所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 级 能力提升]11．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12【答案】A 【解析】f ′(x )＝g ′(x )＋2x .因为y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′f ′(1)＝g ′(1)＋2×y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4.12．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B ．32C ．52D ． 2【答案】D 【解析】点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝xy ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.13．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)【答案】D 【解析】f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值X围为[0，＋∞)．14．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x【答案】AC 【解析】对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e－x ，此方程无解，B不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x，令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求． 15．已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________．【答案】－4 【解析】因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，设曲线f (x )与l 切于点⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，则切线斜率k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1l 与曲线g (x )相切，所以⎝⎛⎭⎫1x 212－4⎝⎛⎭⎫－2x 1＝0，解得x 1＝－12，故斜率k ＝－1x 21＝－4.16．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0. 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)．将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11. ①由f ′(x )＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10. 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，存在k ＝0，使直线m ：y ＝9是y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线．[C 级 创新突破]17. 曲线y ＝－1x (x ＜0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点，则切线斜率k 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点，则切线斜率k 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 21x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2，得－2x 1＝ln x 21－1，设t ＝－x 1＞0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数．易知f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3＜0，f (e)＝1－2e ＞0，于是f (x )＝0有唯一解，于是已知两曲线的公切线的条数为1.18．(2020年凉山州模拟)已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)．(1)设函数g (x )＝f (x )－x 2在点(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，求a 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2至少有一条公切线，求a 的取值X 围．解：(1)因为g (x )＝f (x )－x 2，所以g (x )＝a ln x －x 2，g ′(x )＝ax－2x (x >0)．又g (x )在(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，所以g ′(1)＝1，即a －2＝1，即a ＝3. (2)设公切线l 与f (x )＝a ln x 相切于点(x 0，a ln x 0)，则由f ′(x )＝a x ，得f ′(x 0)＝ax 0，所以公切线l 为y －a ln x 0＝ax 0(x －x 0) ，即y ＝axx 0－a ＋a ln x 0(x 0>0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax x 0－a ＋a ln x 0，y ＝x 2，得x 2－ax x 0＋a －a ln x ＝0.因为直线l 与曲线y ＝x 2相切，所以Δ＝a 2x 20－4(a －a ln x 0)＝0，即a ＝4x 20－4x 20ln x 0(x 0>0，a >0)，设h (x )＝4x 2－4x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝4x (1－2ln x )． 由h ′(x )>0，得0<x <e ；又由h ′(x )<0，得x > e.所以h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以h (x )max ＝h (e)＝2e ，所以0<a ≤2e.所以y ＝f (x ) 与曲线y ＝x 2至少有一条公切线时，a 的取值X 围为(0,2e]．。

第1讲 导数的概念、运算及其几何意义【知识梳理】1.平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-， 21()()y f x f x ∆=-,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈,当x ∆无限接近于0时，比值 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的 ，记作 .3.导数的物理意义:一般地,设()s s t =是物体的位移函数,那么'()s t 的物理意义是 ;设()v v t =是物体的速度函数,那么'()v t 的物理意义是 .4.导数的几何意义: 函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点()00,()x f x 处的 .5.解决函数切线问题时,如果切点未知,通常先把 假设出来.注意求“在”一点与“过”一点的切线的区别6.常见函数的导数：C '= (C 为常数)；()n x '= ；(sin )x '= ；(cos )x '= ； ()x a '= ；()x e '= ；(log )a x '= ；(ln )x '= .7.导数的运算法则：[()()]f x g x '±= ，[()]Cf x '= (其中C 为常数)；[()()]f x g x '⋅= ，()[]()f xg x '= (()0g x ≠). 【例题分析】类型一 导数的概念及运算例1 （1）函数()ln f x x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦的平均变化率为（2）在R 内可导函数()f x 满足'(2)3f =,则k 无限趋近零时,(2)(2)3f k f k +-无限趋近于 . 变式：若0()2f x '=，则当k 趋近于0时，00()()2f x k f x k--无限趋近于 .（3）若物体位移2()32s t t t =-,(单位:米)则当3t =秒时,该物体的速度为 米/秒.（4）汽车作加速直线运动,若t s 时的速度为2()3v t t =+,则汽车开出 s 后加速度为12.（5）一汽球的半径以2cm/s 的速度膨胀，半径为6cm 时，表面积对于时间的变化率是 ． 例2（1）函数2log ()x f x x=,则该函数的导数'()f x = . （2）已知()2cos f x x x =,则'()3f π= . （3）已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= .（4）若2ln ()1x f x x =+，则'()f x = . 类型二 导数的几何意义例3（1）函数2log y x =在x e =处切线斜率为 .（2）曲线sin y x =在点1(,)62P π处的切线方程是 . （3）函数y ＝x 2＋a 的图象与直线y ＝x 相切，则切点坐标为 ,a ＝ .（4）函数31y x x =-+图象上任一点的切线的倾斜角取值范围为 .（5）过原点且与函数()ln f x x =图象相切的切线方程为 . （6）曲线313y x x =+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 例4（1）若直线3y kx =-与曲线2ln y x =相切，则实数k =_________.变式：已知函数y =的一条切线方程为14y kx =+，则k =__________.例5 已知曲线32y x x =-（1）求在点（0，0）处的切线方程；（2）求过点（1，—1）的切线方程．类型三 综合问题例6（1）在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点,该图象 在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则 t 的最大值_____________.（2）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.例7 已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l .(1)判断函数()f x 的奇偶性;并判断,A B 是否关于原点对称;(2)若直线12,l l 都与AB 垂直,求实数b 的取值范围.【课后作业】1.函数2()f x x =在区间[1,3]的平均变化率为 .2.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为212S t =,则3t =s 时该物体的瞬时速度 为 .3.函数2x y e =的导数'y = ，()cos f x x x =,则'()3f π= . 4.函数n y mx =的导数为34y x '=，则m = ，n = .5.函数cos y x =在点1(,)32π处的切线方程为 . 6.若323y x x =-的切线与直线34y x =+平行,则切点坐标为 .7.已知直线kx y =是x y ln =的切线,则k 的值为___________8.过原点作曲线xy e =的切线,则切线方程为 .9. 已知曲线2:ln S y x x =-，则作斜率为1的切线，共可作 条.10.曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 .11. 设曲线ax y e =在点(0,1)处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ..12.函数2y x x =-图象上动点A 到直线4y x =-的最小距离为 .13.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 .14.求下列函数的导数 (1)22log xy x =+ (2)tan y x = (3)32ln x x y x -=15. 已知函数3()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都过点(2,0)P ，且在点P 处有公共切线，求(),()f x g x 的表达式.16. 已知函数21()ln ,()2f x x a x a R =-∈,若函数()f x 在x =2处的切线方程为y=x+b ，求a ,b 的值.。

第1讲 一元函数的导数及其应用（一）本讲为重要知识点，也是高中的难点。

题型主要围绕导数的几何意义结合函数的思想考察。

基本会考察一题关于函数本身的基础题和一道导数大题，第一问对于几何意义的考察属于基础知识，必须掌握，第二问的题型相对较多，需要对于导数的应用和函数的思想相结合去理解其中的变形目的。

考点一 导数的概念及运算1．导数的概念一般地，函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′0|x x =即f′(x 0)＝0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆. 称函数f′(x)＝000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f(x)的导函数．2．导数的几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝e xf′(x)＝x e f(x)＝ln x f′(x)＝1xf(x)＝x α(α∈Q *) f′(x)＝αx α－1f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝a x (a>0，a≠1) f′(x)＝a xln_a f(x)＝log a x(a>0，a≠1)f′(x)＝1ln x x4.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)2()'()()()'()'()[()]f x f x g x g x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(g(x)≠0)． 5.常用结论1.f′(x 0)代表函数f(x)在x ＝x 0处的导数值；(f(x 0))′是函数值f(x 0)的导数，且(f(x 0))′＝0.2.1()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝－2'()[()]f x f x . 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.考点二 利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a ，b)内是单调递增函数； (2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a ，b)内是单调递减函数； (3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a ，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a ，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a ，b)上的任何子区间内都不恒为零．考点三 利用导数解决函数的极值最值1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.考点四利用导数研究生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是什么？答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问题.高频考点一 导数的概念及其意义例1、函数()y f x =的图象如图所示，f x 是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()235325f f f f ''<-<B ．()()()()232553f f f f ''<<-C ．()()()()532325f f f f ''-<<D ．()()()()232553f f f f ''<<-【答案】A【详解】由图知：(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即2(3)(5)(3)2(5)f f f f ''<-<.故选：A 1、若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（ ）A ．12 B ．22C 3D ．34【答案】A【详解】由已知2()a b f x x x '=+，所以(1)1f a b '=+=， 222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时等号成立．故选：A ． 高频考点二 导数的运算例1、已知()ln 3(e)f x x f x '=-，求(e)f =（ ） A ．3-B ．13e-C ．1e -D ．14【答案】D【详解】由()ln 3(e)f x x f x '=-得1()3(e)f x f x ''=-，将e x =代入1()3(e)f x f x''=-得11(e)3(e)(e)=e 4ef f f '''=-⇒，故3()ln 4e f x x x =-，因此331(e)ln e e=1=4e 44f =-⨯-， 故选：D 【变式训练】1、函数()()ln 1f x x x =-的图像在点()2,0处的切线方程为（ ） A ．24y x =- B ．21y x =+ C ．23y x =- D ．21y x =-【答案】A【详解】对函数()()ln 1f x x x =-求导，得()()ln 11xf x x x '=-+-， 所以()22ln121f '=+=，即函数()()ln 1f x x x =-的图像在点()2,0处的切线斜率为2，所以函数()()ln 1f x x x =-的图像在点()2,0处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-. 故选：A 高频考点三 导数在研究函数中的应用例1、已知函数1()e 2xf x =，直线y kx =与函数()f x 的图象有两个交点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1e 2⎛ ⎝B ．(e,)+∞C ．(e,)+∞D ．1e,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】当过原点的直线y kx =与函数()f x 的图象相切时，设切点为1,e 2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，由()1e 2xf x '=，可得过点P 的切线方程为()11e e 22m m y x m -=-，代入点()0,0可得11e e 22m mm -=-，解得1m =，此时切线的斜率为1e 2，由函数()f x 的图象可知，若直线y kx =与函数()f x 的图象有两个交点，直线的斜率k 的取值范围为1e,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故答案选：D 【变式训练】1、已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是（ ）A ．2e ,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【详解】函数()f x 定义域为()0,∞+，()()()2243e 2e 2e 2x x x kx x x x kf x k x x x+--'=-+=， 由题意可得，2x =是方程()0f x '=唯一变号的根，令()2e x h x kx =+，则()h x 在()0,∞+上没有变号零点，令()0h x =得2e xk x-=，令()()2e 0xg x x x =>，则()()3e 2x x g x x-'=， 当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 故当2x =时，()g x 取得最小值()2e 24g =，故2e 4k -即2e 4k -．。