高中数学-导数的概念及运算练习

为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为(　)
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解14 导数的概念及其意义+导数的运算一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 变化率与导数 知识点2 导数几何意义 知识点3 导数的四则运算 知识点4 复合函数求导 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 变化率与导数例1．（2021·江苏·高二专题练习）函数()221y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率yx∆∆等于（ ）．A ．4B ．42x +∆C ．()242x +∆D ．4x 【答案】B 【详解】因函数()221y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：()()()()()22112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有42yx x∆=+∆∆， 所以所求平均变化率yx∆∆等于42x +∆.故选：B练习1-1．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及邻近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆=∆（ ） A ．4B ．4x ∆C ．42x +∆D ．()242x +∆ 【答案】C 【详解】解：∵()()()()()22112142424y f x f x x x ∆=+∆-=+∆---=∆+∆，∴24yx x∆=∆+∆， 故选：C ．名师点评：平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率是2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 例2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '，则()()000lim x f x m x f x x∆→-∆-∆等于（ ）A ．0()mf x 'B ．0()mf x '-C ．0(1)f m x -'D ．01()f x m' 【答案】B 【详解】因为函数()f x 在0x 处的导数为0()f x '， 所以()()0000im)l (x f x m x f f x x x m ∆→-∆-'=-∆，所以()()()()0000000liml ()imx x f x m x f x f x m x f x m xxf m x m ∆→∆→-∆--∆-=-=-∆-'∆，故选：B.练习2-1．（2021·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2- 【答案】D 【详解】解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，所以()()()()11(1)liml 11222imx x f f x f f x xxf ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D.名师点评：瞬时变化率函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率0000()()lim lim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆. 在实际解题时要注意00()()f x x f x +∆-中两（）中的量做差得到的结果才是分母中的x ∆.如在例2()()0000lim()x f x m x f x f x x∆→-∆-'≠∆，在该式中，分子两（）中的量作差后得到的()()00x m x x m x -∆-=-∆，所以()()0000lim ()x f xm x f x f x m x∆→-∆-'=-∆，所以在题目中的分母要凑配常数，即：()()()()()000000lim()lim()x x m m f x m x f x f x m x f x f x xxm ∆→∆→---∆--∆-'=∆-=∆.知识点2 导数几何意义例1．（2021·全国·高二单元测试）如图，函数()y f x =的图象在点(2,)P y 处的切线是l ，则(2)(2)f f '+=（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．1 【答案】D 【详解】解：由题图可得函数()y f x =的图象在点P 处的切线与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则切线:4l x y +=，(2)2f ∴=，(2)1f '=-，(2)(2)211f f '+=-=，故选：D.练习1-1．（2021·全国·高二单元测试）已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是（ ） A ．()()A B f x f x ''> B ．()()A B f x f x ''= C ．()()A B f x f x ''<D ．()A f x '与()B f x '大小不能确定 【答案】A 【详解】根据题意，由图象可得f （x ）在x ＝x A 处切线的斜率大于在x ＝x B 处切线的斜率， 则有()()A B f x f x ''>； 故选：A名师点评：函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义是在曲线()y f x =上点00(,)P x y 处的切线的斜率（0()k f x '=）.例2．（2021·陕西汉中·一模（理））已知函数3C :()ln f x x x =+，则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为___________． 【答案】430x y --= 【详解】解：因为21()3f x x x'=+， 所以(1)4k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为14(1)y x -=-， 整理为430x y --=， 故答案为：430x y --=练习2-1．（2021·四川成都·一模（文））曲线()3f x x x =-在点(2,6)处的切线方程为_______．【答案】11160x y --= 【详解】因为()3f x x x =-，所以()231f x x '=-，()211f '=所以切线方程为()6112y x -=-，即11160x y --= 故答案为：11160x y --=名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时需另设切点求解.如本例2，求函数3C :()ln f x x x =+，在点(1,(1))f 处的切线方程，此时切点为(1,(1))f ，只需求出斜率(1)k f '=.例3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程为________．【答案】20x y -+= 【详解】设切点坐标为()00,ln 3x x +，()1f x x'=，()001f x x '∴=，∴切线方程为()0001ln 3y x x x x --=-， 切线过点()1,1-，()00011ln 31x x x ∴--=--， 化简得：0011ln x x +=，解得：01x =， ∴切线方程为2y x =+，即20x y -+=．故答案为：20x y -+=.练习3-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()32698f x x x x =-+-+，则过点()0,0可作曲线()y f x =的切线的条数为___________.【答案】2 【详解】∵点()0,0不在函数()y f x =的图象上，∴点()0,0不是切点，设切点为()320000,698P x x x x -+-+（00x ≠），由()32698f x x x x =-+-+，可得()23129'=-+-f x x x ，则切线的斜率()20003129k f x x x '==-+-，∴3220000006983129x x x x x x -+-+-+-=，解得01x =-或02x =，故切线有2条. 故答案为：2名师点评：曲线求切线问题可分为两类：①在点00(,)P x y 处的切线，此时00(,)P x y 为切点；②过点00(,)P x y 处的切线方程，此时无论00(,)P x y 是否在曲线上，都需另设切点求解.如本例3，求曲线()ln 3f x x =+的过点()1,1-的切线方程，此时应设切点00(,)P x y ，在利用导数0()k f x '=，求出切线方程，再利用()1,1-在切线上，求出切点00(,)P x y ，从而求出切线方程.注意和例题2做对比.知识点3 导数的四则运算例1．（2021·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数；（1）32235y x x =-+（2）22log xy x =+（3）31sin x y x-=（4）sin sin cos x y x x =+【答案】（1）266y x x '=- （2）12ln 2ln 2x y x '=+（3）()2323sin cos 1sin x x x x y x--'=（4）11sin 2y x'=+（1）解：因为32235y x x =-+，所以266y x x '=-； （2）解：因为22log xy x =+，所以12ln 2ln 2x y x '=+； （3）解：因为31sin x y x -=，所以()()()()()3323221sin sin 13sin cos 1sin sin x x x x x x x x y x x ''-----'== （4） 解：因为sin sin cos xy x x=+，所以()()()()()()()22sin sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin 11sin 2sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x y x x x x x ''+-++--'===+++练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，而且()()232ln f x x xf x '=++，求()2f '. 【答案】94-【详解】()()1232f x x f x ''=++，()()124322f f ''∴=++，解得：()924f '=-.名师点评：导数的运算法则： (1)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ (3)2()()()()()[](()0)()()f x f xg x f x g x g x g x g x ''⋅-⋅'=≠ 知识点4 复合函数求导例1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.（1）()sin 23y x =+；（2）21e x y -+=；（3）()22log 21y x =-.【答案】（1）()2cos 23x +（2）212e x -+-（3）()2421ln 2xx -⋅（1）函数()sin 23y x =+可以看作函数sin y u =和23u x =+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()sin 23cos 22cos 2cos 23x u x y y u u x u u x ''⋅'''=⋅=+=⋅==+. （2）函数21e x y -+=可以看作函数u y e =和21u x =-+的复合函数， 由复合函数的求导法则可得()()()21e 21e 22eu u x x u x y y u x -+''''=⋅=⋅-+=⋅-=-'. （3）函数()22log 21y x =-可以看作函数2log y u =和221u x =-的复合函数，由复合函数的求导法则可得()2144ln 221ln 2x u x xy y u x u x '''=⋅=⋅=-⋅.练习1-1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数： （1）7(35)y x =+；（2）57e x y -=；（3）ln(4)y x =-+；（4）213x y -=；（5）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（6）34(35)y x =-.【答案】（1）621(35)y x '=+（2）57e 5x y -'=（3）14y x '=- （4）212ln 33x y -'=⨯（5）2cos 26y x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭（6）149(35)4x y --'= （1）667(35)(35)21(35)y x x x ''=+⨯+=+；（2）5757e e (57)5x x x y --'⨯'=-=；（3） 11(4)44y x x x ''=⨯-+=-+- （4）1212ln 3(21)2ln 333x x x y --'⨯-=⨯'=；（5）cos 2(2)2cos 2666y x x x πππ⎛⎫⎛⎫''=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）314149(33(35)45)(35)4x y x x --'=---'=⨯．名师点评：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f μ=,()g x μ=的导数间的关系为x x y y μμ'''=⋅,即y 对x 的导数等于y 对μ的导数与μ对x 的导数的乘积.二、题型归类练专练一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）函数()2f x x =在1x =附近(即从1到1x +∆之间)的平均变化率是（ ）A ．2x +∆B ．2x -∆C ．2D ．22()x +∆ 【答案】C 【详解】Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )－2＝2Δx . 所以2 2.y x x x∆∆==∆∆ 故选：C2．（2021·全国·高一课时练习）函数2()1f x x =+，当自变量x 由1变到1.1时，函数()f x 的平均变化率为（ ） A ．2.1B ．1.1C ．2D ．1 【答案】A 【详解】由题意，函数的平均变化率为：()()221.11 1.112.11.110.1f f --==-. 故选：A.3．（2021·江苏·高二专题练习）函数()12f x x=在2x =处的导数为（ ） A ．2B ．12C ．14D ．18- 【答案】D 【详解】()()()()000011222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，所以函数()f x 在2x =处的导数为18-.故选：D.4．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()f x 在0x x =附近有定义，且有()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，其中a ，b 为常数，则（ ） A ．()f x a '=B ．()f x b '=C ．()0f x a '=D ．()0f x b '=【答案】C【详解】因为()()()002f x f x x b x x a +-=+∆∆∆，所以()()00f x x f x a b x x+∆-=+∆∆，则()()()0000lim lim x x f x x f x a b x a x∆→∆→+∆-=+∆=∆，即()0f x a '=. 故选：C.5．（2021·全国·高二课时练习）已知曲线y ＝13x 3上一点P 82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该曲线在P 点处切线的斜率为（ ）A ．4B ．2C ．－4D ．8【答案】A【详解】3322200011()133lim lim lim 33()3x x x x x x y y x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆'⎡⎤===+⋅∆+∆=⎣⎦∆∆ 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4.故选：A6．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数2()ln 2f x x m x x =-+的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线20x y +=垂直，则m =（ ） A ．54B ．54-C ．12D ．12- 【答案】C【详解】函数2()ln 2f x x m x x =-+的导数为()22m f x x x'=-+， 可得在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1322f m ⎛⎫=⎪⎭'- ⎝， 又切线与直线20x y +=垂直，所以()13212m -⋅-=-，解得12m =. 故选：C ．7．（2021·四川·树德中学高三期中（文））设函数()()ln f x g x x x =++，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．4y x =B ．48=-y xC ．22y x =+D ．21y x =+【答案】A【详解】因为曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，所以(1)3(1)2g g =⎧⎨='⎩， 因为()()ln =++f x g x x x ，则1()()1f x g x x''=++，所以1(1)(1)141f g ''=++=， 且(1)(1)1ln14f g =++=，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()441y x -=-，即4y x =，故选：A.8．（2021·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知()()220x f x e xf '=-，则()1f '=（ ）A ．243e -B ．2423e -C ．ln 2e +D ．221e - 【答案】B【详解】()()2e 20x f x xf '=-，则()()22e 20x f x f ''=-，()()0220f f ''=-，()203f '=.()242e 3x f x '=-，()2412e 3f '=-.故选：B二、填空题9．（2021·河南·高二期末（文））已知函数()2e sin x f x x m x =⋅-的图象在0x =处的切线与直线310x y ++=垂直，则实数m =___________.【答案】-1【详解】()2sin x f x x e m x =⋅-的定义域为R ，则()22cos x x f x e x e m x '=+⋅-，则函数在0x =处的切线斜率为1(0)2k f m '==-，又直线310x y ++=的斜率213k =-， 由切线和直线垂直，则121k k ，即1(2)()13m -⨯-=-， 解得1m =-.故答案为：1-10．（2021·山东·高三阶段练习）曲线2()ln(2)f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为________.【答案】3ln 22y x =+-【详解】()11()2222f x x x x x x ''=⋅+=+， (1)3k f '∴==，又(1)1ln 2f =+，∴切线方程为(1ln 2)3(1)y x -+=-，即3ln 22y x =+-故答案为：3ln 22y x =+-11．（2021·陕西蒲城·高三期中（理））已知函数()sin cos f x x x x =+，则()f π'-＝_____．【答案】π【详解】由()sin cos f x x x x =+求导得：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，于是得()cos()f ππππ'-=--=，所以()f ππ'-=.故答案为：π12．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））已知函数cos2()1x f x x =+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为____________．【答案】+10x y -=【详解】解：由题，得()()()22sin 21cos 21x x x f x x -⋅+-=+'，则(0)1f '=-，而(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=-，即10x y +-=.故答案为：+10x y -=.三、解答题13．（2021·山西·芮城中学高二阶段练习）已知曲线3S 2y x x =-：（1）求曲线S 在点(2,4)A 处的切线方程；（2）求过点(1,1)B -并与曲线S 相切的直线方程.【答案】（1）10160x y --=（2）20x y --=或5410x y +-=（1）∵32y x x =-，则232y x '=-，∴当2x =时，10y '=，∴点A 处的切线方程为：()4102y x -=-，即10160x y --=.（2）设()3000,2P x x x -为切点，则切线的斜率为()20032f x x '=-，故切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--， 又知切线过点()1,1-，代入上述方程()()()32000012321x x x x ---=--，解得01x =或012x =-， 故所求的切线方程为20x y --=或5410x y +-=.14．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）已知函数321()33f x x x x =--，求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程. 【答案】143y x =-+ 因为321()33f x x x x =--，所以111(1)1333f =--=-，2()23f x x x '=-- 所以(1)1234f '=--=-所以曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为()11413y x +=--，即143y x =-+。

§3.1 导数的概念及运算1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．(2021·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝03．(2020·广元模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 5.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝ .8．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ . 9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________.10．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．13．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x14．已知函数f (x )＝x ＋a 2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是 ．15．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为 ． 16．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．§3.2 导数与函数的单调性课时精练1．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．g (x )＝x 3－xC ．h (x )＝x e xD ．m (x )＝－x ＋ln x3．(2020·甘肃静宁一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋a x ，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)4．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln 2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a5．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．26．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x7．函数y ＝2ln x －3x 2的单调递增区间为________．8．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．9．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 10．(2020·济南质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．11．函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e －x ，若f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为6x －y －5＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．13．(多选)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x xx x < 14．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．15．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为________． 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t ,3)上总不是单调函数，求实数m 的取值范围．§3.3 导数与函数的极值、最值课时精练1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2 C ．0 D.12e3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 24．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.1635．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e2，则t 的最小值为2 7．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．8．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则实数c 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π]． ①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)；③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x 0)为f (x )的极大值．那么上面命题中真命题的序号是________．10．已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．12．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．13．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3 B.⎣⎡⎦⎤0，4π3－3 C.⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0,2π]14．(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．高考专题突破一 高考中的导数综合问题第1课时 利用导数研究恒(能)成立问题1．设函数f (x )＝ln x ＋a x(a 为常数)．(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)不等式f (x )≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≤－x 2＋mx －32成立，求实数m 的最小值．3．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，g (x )＝x 2＋x ＋2a ＋1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[1，e]时，f (x )<g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)成立，求a 的取值范围．5．(2020·衡水中学检测)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln 2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．第2课时利用导函数研究函数的零点1．已知函数f(x)＝e x(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3e x－m有两个零点，求实数m的取值范围．2．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．3．已知函数f(x)＝e x＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．4．(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.(1)证明：ln x≤x－1；(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．5．已知函数f(x)＝e x＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2.第3课时利用导数证明不等式1．(2021·莆田模拟)已知函数f(x)＝x e x－1－ax＋1，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线l的斜率为3e－2.(1)求a的值及切线l的方程；(2)证明：f(x)≥0.2．(2021·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.3．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－e x＋2e x≤0.4．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．5．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。

高中数学高考总复习导数的概念及运算习题及详解一、选择题1．(文)2010·瑞安中学)函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2[答案] C[解析] Δy Δx ＝[(1＋Δx )2＋1]－(12＋1)Δx＝Δx ＋2.(理)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a )在第三象限，故选C.2．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B.[点评] 由f ′(x )＝4ax 3＋2bx 知，f ′(x )为奇函数， ∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．(2010·金华十校)曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 解法一：设B (x 0，x 03)，则k OB ＝tan ∠AOB ＝x 02，∵AB ＝AO ，∴∠BAx ＝2∠BOA ，曲线y ＝x 3在B 处切线斜率k AB ＝3x 02＝tan ∠BAx ＝tan2∠BOA ＝2x 021－x 04，∴x 02＝33，∴k AB ＝3，∴切线l 倾斜角为60°. 解法二：设B (x 0，x 03)，由于y ′＝3x 2，故曲线l 的方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎫2x 03，0，由|OA |＝|AB |得⎝⎛⎭⎫2x 032＝⎝⎛⎭⎫x 0－2x 032＋(x 03－0)2，当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 04＝13，故x 02＝33，直线l 的斜率k ＝3x 02＝3，故直线l 的倾斜角为60°.4．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A[答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最大值为3， 即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z )．故A 正确．6．(文)(2010·深圳市九校)下图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 [答案] C[解析] 由图象可知，在区间(4,5)上，f ′(x )>0， ∴f (x )在(4,5)上是增函数，故选C.(理)(2010·厦门三中，2011·吉林省实验中学模拟)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A.12B ．1C ．2D ．0[答案] C[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2.7．(文)(2010·广东汕头一中)函数f (x )＝e 2x 的图象上的点到直线2x －y －4＝0的距离的最小值是( )A. 3B. 5C.322D.355[答案] B[解析] 设l 为与直线2x －y －4＝0平行的函数f (x )＝e 2x 的图象的切线，切点为(x 0，y 0)，则k l ＝f ′(x 0)＝2e 2x 0＝2，∴x 0＝0，y 0＝1，∴切点(0,1)到直线2x －y －4＝0的距离d ＝55＝5即为所求．(理)(2010·海南五校联考)点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最小距离是( )A.22(1－ln2) B.22(1＋ln2) C.22(12＋ln2)D.12(1＋ln2)[答案] B[解析] 将直线4x ＋4y ＋1＝0作平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，直线l 与曲线切于点P (x 0，y 0)，由x 2－y －2ln x ＝0得y ′＝2x －1x ，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1⇒x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P (12，14＋ln2)，所求的最小距离即为点P (12，14＋ln2)到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离：d ＝|2＋(1＋4ln2)＋1|42＝22(1＋ln2)．8．(文)(2010·广东检测)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1e[答案] A[解析] 由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得，e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )>0⇒－a >1⇒a <－1.(理)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D ．(－1,0)[答案] B[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－3b .令f ′(x )＝0，得x ＝±b ，易知f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上单调增，在(－b ，b )上单调减，因此函数f (x )在区间(0,1)内有极小值即b ∈(0,1)，所以b ∈(0,1)．[点评] 函数和导数的复合问题能有效实现函数性质与导函数结构之间的相互转化，导函数在分析函数的单调性及单调区间、极值和最值方面有较强的优势；同时导数也可以在解释函数性质的基础上，解决诸如不等式的恒成立问题、实际问题的最优解问题、函数零点的判定问题等等；因此，导数与函数性质的结合始终是高考命题的重点．9．(文)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( ) A.π3 B.23π C.π4D.π6[答案] C[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22， ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x ＝π4. (理)(2010·东北师大附中模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α[答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1， ∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β. [点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾．10．(文)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A. (理)(2010·胶州三中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4D ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 [答案] A[解析] f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，由f ′(x )的图象知，Aω＝2，设周期为T ，则T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π，∴T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，∴A ＝4，∵f ′(x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，0，∴2cos ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝0，∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.二、填空题11．(文)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．[答案] (1,0)[解析] ∵f ′(x )＝4x 3－1，由题意4x 3－1＝3， ∴x ＝1.故切点P (1,0)．(理)(2010·广东实华梧州联考)已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为________．[答案] 0或－23[解析] 由条件知， 2x 0＝－3x 02，∴x 0＝0或－23.12．(文)(2010·湖北黄冈模拟)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________.[答案] 6[解析] f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2得， f ′(2)＝12＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝－12，∴f (x )＝3x 2－24x ，∴f ′(x )＝6x －24，∴f ′(5)＝6.(理)(2010·山东省实验中学模拟)若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f (x )d x＝________.[答案] －18[解析] ∵f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝－4，∴f (x )＝x 2－8x ＋3， ∴⎠⎛03f (x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x 03＝－18. [点评] 注意f ′(2)是一个常数．13．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. [答案] ±1[解析] 因为y ′＝3x 2，所以曲线在(a ，a 3)处切线斜率为3a 2， 切线方程为：y －a 3＝3a 2(x －a )所围成三角形如右图所示的阴影部分．设切线与x 轴交于A 点，则A ⎝⎛⎭⎫23a ，0；x ＝a 与x 轴交于点B (a,0)；设切线与x ＝a 交于M (a ，a 3)，S △ABM ＝12⎝⎛⎭⎫a －2a 3·a 3＝16，得a ＝±1. 14．(文)已知f (x )＝x ＋ln x ，g (x )＝x 3＋x 2－x (x >0)，h (x )＝e x －x ，p (x )＝cos2x,0<x <π的导函数f ′(x )，g ′(x )，h ′(x )，p ′(x )的零点依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则将x 1，x 2，x 3，x 4按从小到大用“<”连接起来为________．[答案] x 1<x 3<x 2<x 4[解析] 由f ′(x )＝1＋1x ＝0得x ＝－1；由g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝0得x ＝－1或x ＝13，∵x >0，∴x ＝13；由h ′(x )＝e x －1＝0得，x ＝0；由p ′(x )＝－2sin2x ＝0得，2x ＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2，∵0<x <π，∴x ＝π2，∴x 1＝－1，x 2＝13，x 3＝0，x 4＝π2，故有x 1<x 3<x 2<x 4.(理)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则φ＝________. [答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， 由条件知cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－3x －φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ－π6为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝π6. 三、解答题15．(文)(2010·吉林市质检)定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数； ②f (x )的导函数是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直． 求函数y ＝f (x )的解析式． [解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数， ∴f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0① 由f (x )的导函数是偶函数得：b ＝0②又f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直， ∴f ′(0)＝c ＝－1③由①②③得：a ＝13，b ＝0，c ＝－1，即f (x )＝13x 3－x ＋3.(理)(2010·湖南考试院调研)已知函数f (x )＝1－m ＋ln xx ，m ∈R .(1)求f (x )的极值；(2)若ln x －ax <0在(0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)由导数运算法则知，f ′(x )＝m －ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e m .当x ∈(0，e m )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(e m ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 故当x ＝e m 时，f (x )有极大值，且极大值为f (e m )＝e －m .(2)欲使ln x －ax <0在(0，＋∞)上恒成立，只需ln xx <a 在(0，＋∞)上恒成立，等价于只需ln xx在(0，＋∞)上的最大值小于a . 设g (x )＝ln x x (x >0)，由(1)知，g (x )在x ＝e 处取得极大值1e .所以a >1e，即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 16．(2010·北京市延庆县模考)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )． (1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值； (3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ， 求证：0<s <a <t <b .[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π4＝－1.由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0f ′(1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－(a ＋b )＋ab ＝03－2(a ＋b )＋ab ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1， 因为a <b ，所以a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，f ′(x )＝3x 2－6x ＋2， 令f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0，解得x 1＝1－33，x 2＝1＋33. 在区间[0,3]上，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(3)证明：f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，依据题意知s ，t 为二次方程f ′(x )＝0的两根． ∵f ′(0)＝ab >0，f ′(a )＝a 2－ab ＝a (a －b )<0， f ′(b )＝b 2－ab ＝b (b －a )>0，∴f ′(x )＝0在区间(0，a )与(a ，b )内分别有一个根． ∵s <t ，∴0<s <a <t <b .17．(文)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． [解析] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋bx.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f (1)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0a ＝12， 可得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．(理)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋(x ＋1)2在x ＝1处有极值． (1)求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)令g (x )＝f ′(x )，若曲线g (x )在(1，g (1))处的切线与两坐标轴分别交于A 、B 两点(O 为坐标原点)，求△AOB 的面积．[解析] (1)因为f (x )＝a ln(x ＋1)＋(x ＋1)2， 所以f ′(x )＝ax ＋1＋2x ＋2.由f ′(1)＝0，可得a2＋2＋2＝0，∴a ＝－8.经检验a ＝－8时，函数f (x )在x ＝1处取得极值， 所以a ＝－8.(2)f (x )＝－8ln(x ＋1)＋(x ＋1)2， f ′(x )＝－8x ＋1＋2x ＋2＝2(x －1)(x ＋3)x ＋1.而函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，f (x )的单调减区间为(－1,1)单调增区间为(1，＋∞)． (3)由于g (x )＝f ′(x )＝－8x ＋1＋2x ＋2，所以g ′(x )＝8(x ＋1)2＋2， 当x ＝1时，g ′(1)＝4，g (1)＝0. 所以切线斜率为4，切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝4(x －1)，即4x －y －4＝0.高考总复习含详解答案 令x ＝0，得y ＝－4，令y ＝0，得x ＝1.所以△AOB 的面积S ＝12×|－4|×1＝2.。

导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。

导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。

下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。

已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。

已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。

已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。

已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。

已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。

已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。

解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。

已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。

解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。

解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。

解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。

导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。

求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。

下面是一些求导数的练习题，供大家参考。

(1)θ=sinx,y=cosx。

(x)=3xx=0为函数的极值点。

随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。

导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。

因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。

专题14 导数的概念与运算【考点预测】知识点一：导数的概念和几何性质1.概念 函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；② 当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2.几何意义 函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3.物理意义 函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式x（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为 x u x y y u '''=： 【方法技巧与总结】 1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2.过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型归纳目录】 题型一：导数的定义 题型二：求函数的导数 题型三：导数的几何意义 1.在点P 处切线 2.过点P 的切线 3.公切线4.已知切线求参数问题5.切线的条数问题6.切线平行、垂直、重合问题7.最值问题 【典例例题】题型一：导数的定义例1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<例2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））设函数()f x 满足000(2)()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则()0f x '=（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆，则称()()00000,,limx f x x y xy f x ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对x 的偏导数，记为()00,x f x y '；若存在()()00000,,limy f x y yy f x y ∆→+-∆∆，则称()()00000,,lim y f x y yy f x y ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对y 的偏导数，记为()00,y f x y '，已知二元函数()()23,20,0f x y x xy y x y =-+>>，则下列选项中错误的是（ ）A ．()1,34x f '=-B ．()1,310y f '=C ．()(),,x y f m n f m n ''+的最小值为13-D ．(),f x y 的最小值为427-例4．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式，()2524s t t =+--，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．2-米/秒B ．3米/秒C ．4米/秒D ．5米/秒例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ） A ．209-B ．119-C ．79D ．169例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=（ ） A ．1B ．9-C ．6-D ．4【方法技巧与总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出. 题型二：求函数的导数例8．（2022·天津·耀华中学高二期中）求下列各函数的导数： (1)ln(32)y x =-； (2)e xxy =； (3)()2cos f x x x =+例9．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数： (1)22ln cos y x x x =++； (2)3e x y x = (3)()ln 31y x =-例10．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）求下列函数的导数： (1)5y x =； (2)22sin y x x =+； (3)ln xy x=； (4)()211ln 22x y e x -=+．【方法技巧与总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题. 题型三：导数的几何意义1.在点P 处切线例11．（2022·河北·模拟预测）曲线e sin x y x =在0x =处的切线斜率为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2-例12．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ） A ．1-B ．23-C ．12D ．1例13．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）曲线e 2x y x =-在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．1D ．-1例14．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A B ．C ．D ．-例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（ ） A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-例16．（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+B ．31yxC ．31y x =--D ．33y x =--例17．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（ ） A ．4x －y +8＝0 B ．4x +y +8＝0 C ．3x －y +6＝0D ．3x +y +6＝02.过点P 的切线例18．（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为（ ）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=例19．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ） A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12例20．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=例21．（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（ ） A ．eB ．1CD ．1e例22．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ） A ．25e em -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <3.公切线例23．（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞例24．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（ ） A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例25．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e例26．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（ ） A ．12B ．1C ．eD ．2e例27．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（ ）A ．2B ．2eC ．2eD 例28．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l y kx b =+（1k >）为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线，则l 的纵截距b =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．e -例29．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞例30．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数()ln f x a x =（0a >）和2()g x x =的图象均相切，则实数=a （ ）A ．eB C ．2eD ．4.已知切线求参数问题例31．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(,-∞例32．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+，则（ ） A ．e a =，2b =- B ．e a =，2b = C ．1e a -=，2b =-D ．1e a -=，2b =例33．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（ ）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．例34．（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（ ）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+ D ．32a =，1ln 4b =+ 例35．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（ ） A ．－4B ．－1C ．1D ．45.切线的条数问题例36．（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <例37．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．{}0,1例38．（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条例39．（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（ ）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例40．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（ ） A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例41．（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（ ） A ．0b <B ．30b a <<C ．3b a >D ．()30b b a -=6.切线平行、垂直、重合问题例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（ ）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ）A ．B ．C D 例44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2例45．（2022·全国·高三专题练习）若直线x a =与两曲线e ,ln x y y x ==分别交于,A B 两点，且曲线e x y =在点A 处的切线为m ，曲线ln y x =在点B 处的切线为n ，则下列结论： ①()0,a ∞∃∈+，使得//m n ；②当//m n 时，AB 取得最小值； ③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52． 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例46．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22(0)()1(0)x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)8-∞-B ．1(1,)8-C ．(1,)+∞D ．1(,1)(,)8-∞⋃+∞例47．（2022·全国·高三专题练习（文））若曲线x y e x =+的一条切线l 与直线220210x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y ++=7.最值问题例48．（2022·全国·高三专题练习）若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线3y x =-的距离的最小值为（ ） A．4BCD例49．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线l 分别与直线21y x =-，曲线23ln 2y x x =-相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）ABC ．1 D例50．（2022·江苏·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b-的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞例51.（2022·全国·高三专题练习）曲线2x y e =上的点到直线240x y --=的最短距离是（ ） ABCD ．1例52．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数2ln ()2xf x x x=-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（ ） ABCD．34+ 例53．（2022·山东聊城·二模）实数1x ，2x ，1y ，2y 满足：2111ln 0x x y --=，2240x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ） A ．0B．C．D ．8例54．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数21e x y +=的图象与函数()ln 112x y ++=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）A ．22B 24C ．)4ln 22+D )4ln 2+例55．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线y kx b =+是曲线1y =的切线，则222k b b +-的最小值为（ ）A ．12-B ．0C ．54D ．3【方法技巧与总结】函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（ ） A ．1B ．e2C ．2D ．e2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-3．（2022·全国·高三专题练习）设()f x 为可导函数，且()()112lim1x f f x x→--=-△△△，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．12-4．（2022·河南·模拟预测（文））已知3()ln(2)3xf x x x =++，则曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为( )A ．21010ln510x y -+-=B ．21010ln510x y ++-=C ．1212ln5150x y -+-=D ．1212ln5150x y ++-=5．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式23(43)=-s t t ，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．5米/秒 B ．8米/秒 C ．14米/秒D ．16米/秒6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =，()()2g x x ax a =+∈R ，若经过点1,0A 存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则=a （ ） A ．0B ．1-C ．3D ．1-或37．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）m 对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2⎛-∞ ⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞8．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线11y k x b =+与直线()2212y k x b k k =+≠是曲线ln y x =的两条切线，也是曲线e x y =的两条切线，则1212k k b b ++的值为（ ） A ．e 1- B ．0 C ．-1D ．11e-二、多选题9．（2022·辽宁丹东·模拟预测）若过点()1,a 可以作出曲线()1e xy x =-的切线l ，且l 最多有n 条，*n ∈N ，则（ ） A ．0a ≤B ．当2n =时，a 值唯一C ．当1n =时，4ea <-D ．na 的值可以取到﹣410．（2022·浙江·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ）A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D ．甲企业在[]10,t ，[]12,t t ，[]23,t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()xf x e =，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1B ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1-C ．过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条D ．过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条12．（2022·全国·高三专题练习）过平面内一点P 作曲线ln y x =两条互相垂直的切线1l ､2l ，切点为1P ､2P （1P ､2P 不重合），设直线1l ､2l 分别与y 轴交于点A ､B ，则下列结论正确的是（ ） A ．1P ､2P 两点的横坐标之积为定值 B ．直线12PP 的斜率为定值；C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(]0,1三、填空题13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()3ln f x x x x =-，则曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程为_______.14．（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2yx 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______． 15．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.16．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，且0x >，52f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()f π=___________. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数 （1）42356y x x x --=+； （2）2sin cos 22xx x y =+；（3）2log y x x =-； （4）cos x y x=.18．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x xx =+与()g x =()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小； (2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈. (1)若()f x 在点()()e,e f 处的切线为e 0x y b -+=，求a ，b 的值； (2)求()f x 的单调区间.20．（2022·浙江·高三专题练习）函数()321f x x x x =+-+， 直线l 是()y f x =在()()0,0f 处的切线.(1)确定()f x 的单调性；(2)求直线l 的方程及直线l 与()y f x =的图象的交点.21．（2022·北京东城·三模）已知函数()e x f x =，曲线()y f x =在点(1(1))f --，处的切线方程为y kx b =+.(1)求k ，b 的值；(2)设函数()1ln 1.kx b x g x x x +<⎧=⎨≥⎩，，，，若()g x t =有两个实数根12,x x （12x x <），将21x x -表示为t 的函数，并求21xx -的最小值.22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知a ∈R ，函数()()ln 1f x x a x =+-，()e xg x =．(1)讨论()f x 的单调性；(2)过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ，求证：存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数．。

5.2.2 导数的四则运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点 导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－ ＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程． 解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析 由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析 设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积． 解 由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， 所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2， 所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析 对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析 因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析 因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)． 所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝ 解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x， 由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0， 即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析 因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________． 答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析 因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________． 答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。

几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法规（一）[A基础达标 ]1．给出以下结论：① (sin x ) ′＝ cos x ；②若 f ( x ) ＝12，则 f ′(3) ＝－ 2 ；x27③ (e x ) ′＝ e x ；1④ (log 4x ) ′＝ x ln 4 .此中正确的有 ( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个1′＝ ( x － 2－分析：选 D. 因为 (sinx ) ′＝ cosx ，因此①正确； f ′(x ) ＝ x 2) ′＝－ 2x32xx，因此③正确；因为(log 41，则 f ′(3) ＝－ 27，因此②正确；因为(e ) ′＝ e x ) ′＝ x ln 4 ，因此④正确．α1 12．若幂函数 f ( x ) ＝ mx 的图象经过点 A 4， 2 ，则它在点 A 处的切线方程是 ()A ． 2x － y ＝ 0B ． 2x ＋ y ＝ 0C ． 4x － 4y ＋ 1＝0D ． 4x ＋ 4y ＋ 1＝0分析：选 C. 因为函数f ( x ) ＝α为幂函数，因此＝ 1. 又幂函数f ( ) ＝x α的图象经过mxmx111111点A ，因此f ( x ) ＝ ， ′()＝ ， ′f ( x ) 的图象在， α＝ ，因此2 x ＝1，因此4 2 2x 2 f x f 411点 A 处的切线方程为 y － 2＝ x －4，即 4x － 4y ＋ 1＝ 0.π 13．过曲线 y ＝cos x 上一点 P 3，且与曲线在点 P 处的切线垂直的直线方程为 ()2 2π3A ． 2x － 3y － 3 ＋ 2 ＝ 03π －1＝0B. 3x ＋ 2y －32π3C ． 2x ＋ 3y － 3 ＋ 2 ＝ 0D. 3x＋ 2y－3π3＋1＝0分析：选 A. 因为y ＝ cosx，因此y′＝－ sinx，曲线在点Pπ，1处的切线斜率是′|32y xπ＝－ sin π3P 且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的斜率为2＝＝－2，因此过点，所333以所求的直线方程为y －1＝2x－π，即 2x－ 3 －2π＋3＝ 0.233y324．设曲线y ＝n＋ 1(∈N*) 在点 (1 ，1) 处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1· 2· · n x n x x的值为 ()11A. nB.n＋1nC.n＋1D． 1n分析：选 B. 由题意得x n＝n＋1，1 23－ 1n＝1，应选 B.则 x1· x2· · x n＝× × × ×n×n＋12 34n n＋1x cos xP 处的切线的倾斜角，则α 的取5．已知点P在曲线y＝ 2sin上，α为曲线在点22值范围是 ()3ππ 3πA.4，πB. －4，4π3ππ3πC.4，4D.0，4∪ 4，π分析：选 D. 因为y＝ 2sin x x x，因此 y′＝cos x，设 P( x ，y) ．由题意，知2cos 2＝ sin切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tanα＝cos x ，因此－1≤tanα≤1.π3π因为 0≤α＜π，因此α∈ 0，4∪4，π ，应选 D.16．已知函数f ( x) ＝x，且f′ ( a) －f ( a) ＝－ 2，则a＝ ________．11分析： f ( x)＝x，因此 f ′(x)＝－x2，1 1f′ ( a) －f ( a) ＝－a2－a＝－ 2.即 2a2－a－ 1＝ 0，解得 a ＝ 1 或 a ＝－ 12.1 答案：1或－27．曲线 y ＝ x 3 在点 (1 ，1) 处的切线与 x 轴、直线 x ＝ 2 所围成的三角形的面积为 ________ ．分析：因为22y －1＝ 3( xy ′＝ 3x . 因此切线的斜率为y ′|x ＝ 1＝3×1＝ 3，因此切线方程为2 012－28 －1) ，与 x 轴的交点为， ，与直线 x ＝ 2 的交点为 (2 ，4) ．因此 S ＝ 2 × 3 ×4＝3 .38答案： 3x18．设曲线 y ＝ e 在点 (0 ，1) 处的切线与曲线 y ＝ x ( x >0) 上点 P 处的切线垂直， 则点 P 的坐标为 ________．分析：设f ( x ) ＝ e x ，则 ′( ) ＝ e x ，fx1因此 f ′(0) ＝ 1. 设 g ( x ) ＝ x ( x >0) ，1则 g ′(x ) ＝－ x 2 . 由题意可得 g ′(x P ) ＝－ 1，解得 x P ＝1.因此 P (1 ，1) ．答案： (1 ， 1)9．求与曲线 y ＝ f ( x ) ＝ 3 x 2在点 P (8 ，4) 处的切线垂直，且过点(4 ， 8) 的直线方程．33 221211 2y ′＝ ( ) ′＝2 －＝ －3 解：因为 y ＝x ，因此x x 3′＝ x 3. 因此 f ′(8)3 × 8 ＝ ，即33 曲线在点 P (8 ，4) 处的切线的斜率为13. 因此合适条件的直线的斜率为－3. 从而合适条件的直线方程为 y － 8＝－ 3( x － 4) ，即 3x ＋ y － 20＝ 0.xP 到直线 y ＝ x 的最小距离．10．点 P 是曲线 y ＝ e 上任意一点，求点 解：依据题意设平行于直线 y ＝ x 的直线与曲线 ＝ e x 相切于点 ( 0， 0) ，该切点即为y P x y与 y ＝ x 距离近来的点，如图．则在点 P ( x ， y ) 处的切线斜率为 1，0 0即 y ′|x ＝ x ＝ 1.因为 y ′＝ (e x ) ′＝ e x ，xx因此 e 0＝ 1，得 x 0＝ 0，代入 y ＝e ，得 y 0＝ 1，即 P (0 ，1) ．2利用点到直线的距离公式得距离为2 .[B 能力提高 ]11．若函数y＝f ( x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称 y＝ f ( x)拥有T性质．以下函数中拥有T性质的是 ()A．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3分析：选 A. 设函数y ＝(x) 的图象上两点(1，1)，( 2，2)，则由导数的几何意义f P x y Q x y可知，点 P，Q处切线的斜率分别为 k ＝ f ′(x )，k＝f ′(x )，若函数拥有T性质，则 k ·k211221＝f ′(x1)· f ′(x2)＝－1.对于A选项， f ′( x)＝cos x，明显 k1· k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，因此该函数拥有1( x＞ 0) ，明显k1·k2＝1·1 T 性质；对于 B 选项，f′ ( x) ＝x xx21＝－ 1 无解，故该函数不拥有T 性质；对于 C 选项，f′ ( x) ＝ e x＞0，明显k1·k2＝ e x1·e x2＝－ 1 无解，故该函数不拥有T 性质；对于 D 选项，f′( x) ＝ 3x 222＝≥ 0，明显k1·k＝ 3x1·3x2－1 无解，故该函数不拥有T 性质．应选 A.12．设f0( x) ＝ sin x，f1( x) ＝f′0 ( x) ，f2( x) ＝f′1( x) ，，f n＋1( x) ＝f′n( x) ，n∈ N，则 f 2 018( x)＝________．分析：由已知 f 1( x)＝cos x， f 2( x)＝－sin x，f 3( x)＝－cos x， f 4( x)＝ sin x，f5( x)＝cos x，挨次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，则f2 018 ( x) ＝f2( x) ＝－ sin x.答案：－ sin x13．若曲线f ( x) ＝x－2在点 ( a，a－2)( a>0) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求 log 3a的值．2解：由题意，得 f ′(x)＝－2x－3，因此曲线 f( x) 在点 ( a，a － 2－ 2－ 3) 处的切线方程为y－ a ＝－2a ( x－ a)，3a令 x＝0，得 y＝3a－2，令 y＝0，得 x＝2.因此1× 3 －2×3＝3，2a2a3解得a＝4.因此log3a＝2.214．( 选做题) 已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，能否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明原由．解：不存在．原由以下：因为y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P( x0，y0) ，因此两条曲线在P( x0， y0)处切线的斜率分别为k1＝y′1| x＝ x0＝cos x0， k2＝y′2| x＝x0＝－ sin x0.若使两条切线相互垂直，一定使cos x· ( － sin x )＝－1，即sin x ·cos x＝ 1，也0000就是 sin 2x0＝2，这是不行能的，因此两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。

专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=．在区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P­2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）A ．e 2B ．eCD ．2e二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（ ） A ． B ．C ．D ．10．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则（ ）A ．()sin cos f x x x x '=-B ．()sin cos f x x x x '=+C ．()ππf '=-D ．2πa =-11．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V ），()r V '为r （V ）的导函数．已知r （V ）在03V ≤≤上的图象如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（ ）A．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()'1'2r r > C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=12．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（ ）A ．18ab ≤B ．218a b+≤C D ．3a b +≤三、填空题13．（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________．14．（2015·全国·高考真题（文））已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．15.（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 16．（2012·浙江·高考真题（文））定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 四、解答题17．（2022·浙江·高三专题练习）已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．18．（2021·全国·高三专题练习）已知曲线313y x =.求该曲线的过点82,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程.19．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限． (1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．20．（2011·陕西·高考真题（理））如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；；n P ，n Q 记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n =）（1）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤） （2）求1122n n PQ P Q P Q +++21．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线()()()211ln ,2f x x x x ax b a b =+--+∈R 在1x =处的切线经过坐标原点．(1)求b 的值；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围．22．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x=．在区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】C 【解析】 【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可. 【详解】①21121y x ∆-==∆-，②41321y x ∆-==∆-，③81721y x ∆-==∆-，④1112212y x -∆==-∆-． 故选：C ．2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-， 因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 【答案】A 【解析】【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案． 【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件；当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件；当y ＝ex 时，y ′＝ex ＞0恒成立，不满足条件；当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件； 故选A ．6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P­2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞)【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ． 8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 2B ．e CD ．2e【答案】B 【解析】 【分析】分别设公切线与()21f x x =+和:()2ln 1C g x a x =+的切点()211,1x x +，()22,2ln 1x a x +，根据导数的几何意义列式，再化简可得2222222ln a x x x =-，再求导分析22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>的最大值即可【详解】()2f x x '=，()2a g x x'=，设公切线与()21f x x =+的图象切于点()211,1x x +，与曲线:()2ln 1C g x a x =+切于点()22,2ln 1x a x +，∴()()2221211221212ln 1122ln 2a x x a a x x x x x x x x +-+-===--，故12a x x =，所以212211212ln 2x x x x x x x -=-，∴122222ln x x x x =-⋅，∵12a x x =，故2222222ln a x x x =-，设22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>，则()2(12ln )h x x x '=-，∴()h x在上递增，在)+∞上递减，∴max ()e h x h ==， ∴实数a 的最大值为e 故选：B. 二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（ ）A ． B ．C ．D ．【答案】ACD 【解析】 【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果. 【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.则选项B 满足条件，所以在时间[0，T ]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD 选项， 故选：ACD.10．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则（ ）A ．()sin cos f x x x x '=-B ．()sin cos f x x x x '=+C ．()ππf '=-D ．2πa =-【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知，选项A 、选项B ，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C ，可将πx =带入求解出的()f x '中进行求解判断，选项D ，根据求解出的()πf '结合直线方程的斜率，利用在πx =处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系，求解出a 的值.【详解】选项A ，已知曲线()sin 1f x x x =-，所以()sin cos f x x x x '=+，故该选项错误； 选项B ，已知曲线()sin 1f x x x =-，所以()sin cos f x x x x '=+，故该选项正确；选项C ，因为()sin cos f x x x x '=+，所以()πsin ππcos πf '=+0ππ=-=-，故该选项正确；选项D ，直线210ax y ++=的斜率为2a-，而()ππf '=-，由已知，曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，所以(π)12a--=-，所以2πa =-，该选项正确； 故选：BCD.11．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V ），()r V '为r （V ）的导函数．已知r （V ）在03V ≤≤上的图象如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()'1'2r r > C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=【答案】BD 【解析】 【分析】 A ：设()()()()1021tan ,tan =1021r r r r αθ--=--，由图得αθ>，所以该选项错误； B:根据图象和导数的几何意义得()()12r r '>'，所以该选项正确； C:设120,3,V V == 3(3)()22r r >，所以该选项错误；D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确. 【详解】 解：A ：设()()()()1021tan ,tan =1021r r r r αθ--=--，由图得αθ>，所以tan tan ,αθ>所以()()()()10211021r r r r -->--，所以该选项错误；B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得()()12r r '>'，所以该选项正确；C:设()()1212123(3)=(0,3,),2222r V r V V V r r V V r ++⎛⎫= ⎪⎝⎭==∴，因为3()(0)2r r ->3(3)(),2r r -所以3(3)()22r r >，所以该选项错误； D:()()2121r V r V V V --表示1122(,()),(,())A V r V B V r V 两点之间的斜率，()0r V '表示00(,())C V r V 处切线的斜率，由于()012,V V V ∈，所以可以平移直线AB 使之和曲线相切，切点就是点C ,所以该选项正确. 故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（ ） A ．18ab ≤B ．218a b+≤C D ．3a b +≤【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出a ，b 的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答. 【详解】设直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切的切点为00(,)x y ， 由1e 21x y b -=-+求导得：1e x y -'=，则有01e 1x -=，解得01x =， 因此，0122y a b =+=-，即21a b +=，而0,0a b >>，对于A ，211212()2228a b ab a b +=⋅⋅≤=，当且仅当122a b ==时取“=”，A 正确；对于B ，21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时取“=”，B 不正确；对于C ，因22332(2)222a a b b a b +=+++=+=，则有232≤，=4a b =时取“=”，由214a b a b+=⎧⎨=⎩得21,36a b ==，所以当21,36a b ==时，max C 正确； 对于D ，由21a b +=，0,0a b >>得，102b <<，11(,1)2a b b +=-∈，而函数3x y =在R 上单调递增，33a b +<，D 不正确. 故选：AC 三、填空题13．（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________． 【答案】3 【解析】'()ln f x a x a =+，所以'(1)3f a ==．14．（2015·全国·高考真题（文））已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________． 【答案】8 【解析】 【详解】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.15.（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x = 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.16．（2012·浙江·高考真题（文））定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 【答案】94【解析】 【详解】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.四、解答题17．（2022·浙江·高三专题练习）已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．【答案】()2442f x x x =++【解析】 【分析】分析可知，函数()f x 为二次函数，可设()()20f x ax bx c a =++≠，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】由()f x '为一次函数可知()f x 为二次函数．设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+．所以，()()()()()()222212212x f x x f x x ax b x ax bx c '--=+--++=，即()()2220a b x b c x c -+-+-=，所以，02020a b b c c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得442a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()2442f x x x =++.18．（2021·全国·高三专题练习）已知曲线313y x =.求该曲线的过点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程.【答案】123160x y --=或3320x y -+=. 【解析】 【分析】设出曲线过P 点的切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标带入到切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可. 【详解】解：设切点坐标为()00,x y ，切点在曲线上，∴在点()00,x y 处切线的斜率为020x x k y x =='=.∴切线方程为()2000y y x x x -=-.又切线过点82,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且切点()00,x y 在曲线313y x =上()200030082,31,3y x x y x ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩整理得3200340x x -+=，即()()200210x x -+=，解得02x =或01x =-.∴当02x =，083y =，即切线斜率为4时，切线的方程为123160x y --=；当01x =-，031y =-，即切线斜率为1时，切线的方程为3320x y -+=.综上，所求切线方程为123160x y --=或3320x y -+=.19．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限． (1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程． 【答案】(1)(1,4)--； (2)4170x y ++=. 【解析】 【分析】（1）设点000(,)P x y ，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答. （2）求出直线l 的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答. (1)由32y x x =+-求导得：231y x '=+，设切点000(,)P x y ，而点0P 在第三象限，即000,0x y <<，依题意，20314x +=，解得：01x =-，此时，04y =-，显然点(1,4)--不在直线410x y --=上，所以切点0P 的坐标为(1,4)--. (2)直线1l l ⊥，而1l 的斜率为4，则直线l 的斜率为14-，又l 过切点0P (1,4)--，于是得直线l 的方程为14(1)4y x +=-+，即4170x y ++=，所以直线l 的方程为：4170x y ++=.20．（2011·陕西·高考真题（理））如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；；n P ，n Q 记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n =）（1）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤）（2）求1122n n PQ P Q P Q +++【答案】（1）11k k x x -=-()2k n ≤≤（2）11ne e e --- 【解析】 【详解】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x 轴的交点坐标；（2）尝试求出通项n n P Q 的表达式，然后再求和．（1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵x y e =，∴x y e '=， ∴111(,)k x k k Q x e---，在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-，令0y =，则11k k x x -=-（2k n ）．（2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--，∴(1)k x k k k PQ e e--==，于是有 112233n n PQ PQ PQ P Q ++++12(1)1111n k e e e ee -------=++++=-11ne e e --=-， 即112233n n PQ PQ PQ P Q ++++11ne e e --=-．21．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线()()()211ln ,2f x x x x ax b a b =+--+∈R 在1x =处的切线经过坐标原点．(1)求b 的值； (2)若()0f x ≤，求a 的取值范围． 【答案】(1)32b = (2)[)1,+∞【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得()f x 在1x =处的切线方程，代入坐标原点即可求得b ；（2）采用分离变量的方式可得()1131ln 22a g x x x x x ⎛⎫≥=+-+ ⎪⎝⎭，利用导数可求得()g x 单调性，由此可得()max 1g x =，进而得到a 的取值范围.(1)()1ln x f x x x a x+'=+--，()11f a '∴=-，又()112f a b =--+，()f x ∴在1x =处的切线为：()()1112y a b a x ++-=--，又该切线过原点，112a b a ∴+-=-+，解得：32b =.(2)由（1）得：()()2131ln 22f x x x x ax =+--+，()f x 定义域为()0,∞+；若()0f x ≤恒成立，则1131ln 22a x x x x ⎛⎫≥+-+ ⎪⎝⎭；令()1131ln 22g x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()222ln 212x x x g x x--+-'=； 令()22ln 21h x x x x =--+-，则()()221x x h x x-+'=-；210x x -+>恒成立，()0h x '∴<，()h x ∴在()0,∞+上单调递减，又()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 131122g x g ∴==-+=，1a ∴≥，即a 的取值范围为[)1,+∞.22．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程； （Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）[方法一]：导数法显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t -处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--， 令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. [方法二]【最优解】：换元加导数法 ()()2222121121()12(0)2|2|4||t t S t t t t t ++=⋅⋅+=⋅≠．因为()S t 为偶函数，不妨设0t >，221()4S t =⋅，令a =2,0t a a =>．令412()a g a a +=，则面积为21[()]4S g a =，只需求出412()a g a a+=的最小值．34422412312()a a a a g a a a ⋅---='=()()()222223223(2a a a a a a a-++==．因为0a >，所以令()0g a '=，得a = 随着a 的变化，(),()g a g a '的变化情况如下表：所以min [()]g a g ===所以当a =2t =时，2min 1[()]324S t =⨯=． 因为[()]S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==． 综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出412()(0)a g a a a +=>的最小值．令4312444()a g a a a a a a +==+++≥=当且仅当34a a=，即a =所以当a =2t =时，2min 1[()]324S t =⨯=．因为()S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==．综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到()()()()()22222222222121241646464()41616324||444tt t t S t t t t t t ++++++=≥==+++≥=+++ ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.60。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习 专题18 导数的概念及其意义、导数的运算考点知识1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝. f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；[cf (x )]′＝cf ′(x )． 5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×) (4)(cos2x ) ′＝－2sin2x .(√) 教材改编题1．若函数f (x )＝3x ＋sin2x ，则() A ．f ′(x )＝3x ln3＋2cos2x B ．f ′(x )＝3x ＋2cos2x C ．f ′(x )＝3xln3＋cos2xD ．f ′(x )＝3xln3－2cos2x答案A解析因为函数f (x )＝3x ＋sin2x ， 所以f ′(x )＝3x ln3＋2cos2x .2．函数f (x )＝e x ＋1x在x ＝1处的切线方程为．答案y ＝(e －1)x ＋2解析由题意得，f ′(x )＝e x－1x2，∴f ′(1)＝e －1，又∵f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.3．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝. 答案－1e解析由题意得f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，解得a ＝－1e.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是() A ．[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2 B ．(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x x 2′＝2x cos x ＋4sin x x 3D ．(2x ＋cos x )′＝2x ln2－sin x 答案ABD解析对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确； 对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确； 对于C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x x 2′＝(2sin x )′x 2－2sin x (x 2)′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(2x ＋cos x )′＝(2x )′＋(cos x )′＝2x ln2－sin x ，故D 正确．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于()A．1B．－9C．－6D．4答案C解析因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(1)(多选)下列求导运算正确的是()A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝xe x，则f′(x)＝1－xe xD．若f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1答案ACD解析f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f (x )＝xe x ，f ′(x )＝e x －x e x (e x )2＝1－xex ，故C 正确；f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝(x )′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝.答案π236＋2π3解析∵f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f (x )＝x 2＋4π3sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.题型二导数的几何意义 命题点1求切线方程例2(1)(2023·大同模拟)已知函数f (x )＝2e 2ln x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为()A ．4e x －y ＋e 2＝0B ．4e x －y －e 2＝0C ．4e x ＋y ＋e 2＝0D ．4e x ＋y －e 2＝0 答案B解析因为f (x )＝2e 2ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝2e 2x＋2x ，所以f (e)＝2e 2lne ＋e 2＝3e 2，f ′(e)＝4e ，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －3e 2＝4e(x －e)，即4e x －y －e 2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________. 答案y ＝1e xy ＝－1ex解析先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x 0，y 0)， 则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y 0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ， 所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1e x .命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·重庆模拟)已知a 为非零实数，直线y ＝x ＋1与曲线y ＝a ln(x ＋1)相切，则a ＝________. 答案e解析设切点坐标为(t ，a ln(t ＋1))，对函数y ＝a ln(x ＋1)求导得y ′＝a x ＋1，所以⎩⎨⎧at ＋1＝1，a ln (t ＋1)＝t ＋1，解得t ＝e －1，a ＝e.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a )0e x )，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝y ′|0x x ＝＝(x 0＋a ＋1)0e x ＝000()e x x a x +，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”． 跟踪训练2(1)曲线f (x )＝x 2＋x －2e x在(0，f (0))处的切线方程为()A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝－3x ＋2 答案A解析由题知f ′(x )＝(2x ＋1)e x －(x 2＋x －2)e x (e x )2＝－x 2＋x ＋3e x ，所以f ′(0)＝3，f (0)＝－2，所以曲线f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －(－2)＝3(x －0)，即y ＝3x －2.(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y ＝a cos x x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π，－a π处的切线方程为y ＝2π2x ＋b ，则a 的值是() A.4πB ．－2C ．－4πD ．2解析令y ＝f (x )＝a cos x x ，则f ′(x )＝－a (x sin x ＋cos x )x 2， 曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫π，－a π处的切线的斜率为f ′(π)＝a π2＝2π2，解得a ＝2. 题型三两曲线的公切线例4(1)若直线l ：y ＝kx ＋b (k >1)为曲线f (x )＝e x －1与曲线g (x )＝eln x 的公切线，则l 的纵截距b 等于() A ．0B ．1C ．eD ．－e 答案D解析设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝11e x x －＋(1－x 1)11e x －. 同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)， 则由g ′(x )＝e x ，得l ：y ＝ex 2x ＋e(ln x 2－1)．故⎩⎨⎧11e x －＝ex 2，(1－x 1)11e x －＝e (ln x 2－1).解得⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝e或⎩⎨⎧x 1＝2，x 2＝1.则l ：y ＝x 或y ＝e x －e.因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y ＝ln x －1与y ＝ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0,2e] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e －3，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤0，12e －3D ．[2e ，＋∞)解析设公切线与曲线y ＝ln x －1和y ＝ax 2的切点分别为(x 1，ln x 1－1)，(x 2，ax 22)，其中x 1>0，对于y ＝ln x －1有y ′＝1x ，则y ＝ln x －1的切线方程为y －(ln x 1－1)＝1x 1(x －x 1)，即y ＝xx 1＋ln x 1－2，对于y ＝ax 2有y ′＝2ax ，则y ＝ax 2的切线方程为y －ax 22＝2ax 2(x －x 2)，即y ＝2ax 2x －ax 22，所以⎩⎨⎧1x 1＝2ax 2，ln x 1－2＝－ax 22，则－14ax 21＝ln x 1－2，即14a＝2x 21－x 21ln x 1(x 1>0)， 令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )， 令g ′(x )＝0，得x ＝32e ，当x ∈(0，32e )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(32e ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 所以g (x )max ＝g (32e )＝12e 3，故0<14a ≤12e 3，即a ≥12e －3.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2－m ，h (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝h (x )在公共点处的切线相同，则m 等于() A ．－3B ．1C ．3D ．5 答案D解析依题意，设曲线y ＝f (x )与y ＝h (x )在公共点(x 0，y 0)处的切线相同． ∵f (x )＝x 2－m ，h (x )＝6ln x －4x ， ∴f ′(x )＝2x ，h ′(x )＝6x－4，∴⎩⎨⎧f (x 0)＝h (x 0)，f ′(x 0)＝h ′(x 0)，即⎩⎨⎧x 20－m ＝6ln x 0－4x 0，2x 0＝6x－4，∵x 0>0，∴x 0＝1，m ＝5.(2)已知f (x )＝e x －1，g (x )＝ln x ＋1，则f (x )与g (x )的公切线有() A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 答案C解析根据题意，设直线l 与f (x )＝e x －1相切于点(m ，e m －1) ，与g (x )相切于点(n ，ln n ＋1)(n >0)，对于f (x )＝e x －1，f ′(x )＝e x ，则k 1＝e m ， 则直线l 的方程为y ＋1－e m ＝e m (x －m ) ， 即y ＝e m x ＋e m (1－m )－1，对于g (x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝1x ，则k 2＝1n，则直线l 的方程为y －(ln n ＋1)＝1n(x －n )，即y ＝1nx ＋ln n ，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则⎩⎨⎧e m＝1n ，(1－m )e m＝ln n ＋1，可得(1－m )(e m －1)＝0，即m ＝0或m ＝1，则切线方程为y ＝e x －1或y ＝x ，故f (x )与g (x )的公切线有两条．课时精练1．(2023·广州模拟)曲线y ＝x 3＋1在点(－1，a )处的切线方程为() A ．y ＝3x ＋3B ．y ＝3x ＋1 C ．y ＝－3x －1D ．y ＝－3x －3 答案A解析因为f ′(x )＝3x 2，所以f ′(－1)＝3， 又当x ＝－1时，a ＝(－1)3＋1＝0，所以y ＝x 3＋1在点(－1，a )处的切线方程为y ＝3(x ＋1)， 即y ＝3x ＋3.2．记函数f (x )的导函数为f ′(x )．若f (x )＝e x sin2x ，则f ′(0)等于() A ．2B ．1C ．0D ．－1答案A解析因为f(x)＝e x sin2x，则f′(x)＝e x(sin2x＋2cos2x)，所以f′(0)＝e0(sin0＋2cos0)＝2.3．(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于()A．1B．2C．3D．4 答案C解析由题意得f(1)＝12×1＋2＝52，f′(1)＝1 2，所以f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.4．已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l 的斜率为()A．－2B．2C．－eD．e答案B解析设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.5．已知函数f (x )＝a ln x ，g (x )＝b e x ，若直线y ＝kx (k >0)与函数f (x )，g (x )的图象都相切，则a ＋1b的最小值为()A ．2B ．2eC ．e 2D. e 答案B解析设直线y ＝kx 与函数f (x )，g (x )的图象相切的切点分别为A (m ，km )，B (n ，kn )．由f ′(x )＝ax，有⎩⎨⎧km ＝a ln m ，am ＝k ，解得m ＝e ，a ＝e k .又由g ′(x )＝b e x，有⎩⎨⎧kn ＝b e n，b e n＝k ，解得n ＝1，b ＝ke，所以a ＋1b ＝e k ＋ek≥2e 2＝2e ，当且仅当a ＝e ，b ＝1e时等号成立．6．(多选)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是() A ．g (x )＝x ·2xB ．g (x )＝－e x －2xC ．g (x )＝ln xD ．g (x )＝sin x ＋2cos x 答案ABC解析对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln2，解得x＝11－ln2，∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g′(x)＝－e x－2，由－e x－2＝－e x－2x，得x＝1，∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g′(x)＝1 x ，根据y＝ln x和y＝1x的图象可看出ln x＝1x只有一个实数根，∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，∴tan x＝－1 3，根据y＝tan x和y＝－13的图象可看出方程tan x＝－13有无数个解，∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．7．写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝.答案ln x (答案不唯一)解析若函数f (x )＝ln x ，则f (x 1x 2)＝ln(x 1x 2)＝ln x 1＋ln x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，满足①；f (x )＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x>0，满足②，故f (x )＝ln x 符合题意．8．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)·(x －5)，则f ′(3)＝________. 答案12解析由题意得，f ′(x )＝x (x －1)(x －2)(x －4)(x －5)＋(x －3)[x (x －1)(x －2)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(3)＝3×(3－1)×(3－2)×(3－4)×(3－5)＋0＝12. 9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x . (1)求f ′(e)及f (e)的值；(2)求f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程． 解(1)∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，∴f ′(e)＝－1e ，f (x )＝－2xe ＋ln x ，∴f (e)＝－2ee ＋lne ＝－1.(2)∵f (x )＝－2x e ＋ln x ，f ′(x )＝－2e ＋1x， ∴f (e 2)＝－2e 2e ＋lne 2＝2－2e ，f ′(e 2)＝－2e ＋1e2，∴f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程为y －(2－2e)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2e ＋1e 2(x －e 2)，即(2e －1)x ＋e 2y －e 2＝0.10．(2022·全国甲卷)已知函数f (x )＝x 3－x ，g (x )＝x 2＋a ，曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．解(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3x21－1，又f(x1)＝x31－x1，所以切线方程为y－(x3－x1)＝(3x21－1)(x－x1)，1即y＝(3x21－1)x－2x31.将y＝(3x21－1)x－2x31代入y＝x2＋a，得x2－(3x21－1)x＋a＋2x31＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(3x21－1)2－4(a＋2x31)＝0，整理，得4a＝9x41－8x31－6x21＋1.令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．由h′(x)＝0，得x＝－13，0,1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，↘由表知，当x＝－13时，h(x)取得极小值h⎝⎛⎭⎪⎫－13＝2027，当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．11．已知曲线y＝e x在点(x1，1e x)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于()A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案B解析已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x x －1e x x 1＋1e x ，曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得⎩⎨⎧1ex ＝1x 2，1ex －1e x x 1＝－1＋ln x 2，解得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lne x ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1， 又x 2＝11ex ， 所以x 2＝x 1－1x 1＋1， 所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1， 所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.12．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为00型分式，比如：当x →0时，e x －1x的极限即为00型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：lim x →0e x －1x ＝lim x →0(e x －1)′x ′＝lim x →0e x 1＝lim x →0e x ＝e 0＝1，则lim x →1x 2ln x x 2－1＝.答案12解析lim x →1x 2ln x x 2－1＝lim x →1(x 2ln x )′(x 2－1)′＝lim x →12x ln x ＋x 2x ＝lim x →1⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋12＝ln1＋12＝12.13．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x －a2与曲线y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2相切，则a 24－b 的取值范围是()A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．[1，＋∞) D．(0,1) 答案D解析函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2的导函数为y ′＝1x ＋b 2，令y ′＝1x ＋b 2＝1，解得x ＝1－b 2，所以切点为⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2，0，代入y ＝x －a2，得a ＋b ＝2， 因为a ，b 为正实数，所以a ∈(0,2)， 则a 24－b＝a 22＋a，令g(a)＝a22＋a，a∈(0,2)，则g′(a)＝a(a＋4)(2＋a)2>0，则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)<g(a)<g(2)＝1，即g(a)∈(0,1)，所以a24－b∈(0,1)．14．设a i(i＝0,1,2，…，2022)是常数，对于∀x∈R，都有x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022·(x－1)(x－2)…(x－2022)，则－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2020！a2021－2021！a2022＝________.答案2021解析因为x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)·(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)，则令x＝1，可得a0＝1.对x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)两边求导可得2022x2021＝a1＋a2[(x－1)(x－2)]′＋…＋a2022[(x－1)(x－2)…(x－2022)]′，令f n(x)＝(x－1)(x－2)…(x－n)，则f n′(x)＝(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－n)]′＋(x－2)(x－3)…(x－n)，所以f n′(1)＝(1－2)×…×(1－n)＝(－1)n－1(n－1)！，所以2022×12021＝a1＋a2×(－1)1×1＋a3×(－1)2×2！＋…＋a2022×(－1)20212021！，故2022＝a1－a2＋2！a3－…－2021！a2022，所以－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2020！a2021－2021！a2022＝2022－1＝2021.21 / 21。

导数练习题及答案导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

掌握导数的概念和计算方法对于解决实际问题和理解数学原理都至关重要。

在学习导数的过程中，练习题是必不可少的一环。

本文将介绍一些常见的导数练习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握导数的概念和计算方法。

一、基本函数的导数1. 常数函数的导数常数函数f(x) = c的导数为0，其中c为常数。

这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即斜率为0。

2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。

这是根据导数的定义和幂函数的性质得出的。

3. 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为正实数，ln(a)为以e为底的对数。

这是根据指数函数和对数函数的性质以及导数的定义得出的。

4. 对数函数的导数对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1/x，其中x为正实数。

这是根据对数函数和指数函数的性质以及导数的定义得出的。

二、基本运算法则1. 和差法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)和差函数(f-g)(x)也可导，并且有以下公式：(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)2. 积法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，并且有以下公式：(f*g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)3. 商法则如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不为0，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，并且有以下公式：(f/g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2三、常见函数的导数1. 正弦函数和余弦函数的导数正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】 －12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析 函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13． 【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________． 【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析 由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析 由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。

第四章第1讲[A 级 基础达标]1．若f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝( ) A ．1－sin x B ．x －sin x C ．sin x ＋x cos x D ．cos x －x sin x【答案】D2．(2020年某某月考)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝e x ln x ＋1x －1，则f ′(1)＝( )A ．e －3B ．e －2C ．e －1D ．e 【答案】C3．(2020年某某一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x 【答案】B4．一质点沿直线运动，如果由始点出发经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末 【答案】D5．(多选)下列求导数的运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x【答案】AD6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2C ．94D ．－94【答案】D 【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，所以f ′(2)＝－94.7．已知曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a 在x ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．【答案】4 【解析】根据题意，曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a ，则y ′＝－1x 2＋ax，则有y ′|x＝1＝ax ＝1处的切线的斜率k ＝ax ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则k ＝a －1＝3，解得a ＝4.8．(2020年某某模拟)函数f (x )＝x e x 的图象在点P (1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．【答案】e4【解析】f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2e ，所以曲线y＝f (x )在(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e xy ＝2e x －e 与坐标轴交于点(0，－e)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以y ＝2e x －e 与坐标轴围成的三角形面积S ＝12×e ×12＝e 4. 9．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2的最大值； (2)若f (x 0)＝2f ′(x 0)，求1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0的值．解：(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2，得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当2x ＋π4＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1.(2)由f (x 0)＝2f ′(x 0)，得sin x 0＋cos x 0＝2(cos x 0－sin x 0)，所以cos x 0＝3sin x 0，则tan x 0＝13. 所以1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2sin 2x 0＋cos 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2tan 2x 0＋11－tan x 0＝116.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)． 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， 所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 级 能力提升]11．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12【答案】A 【解析】f ′(x )＝g ′(x )＋2x .因为y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′f ′(1)＝g ′(1)＋2×y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4.12．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B ．32C ．52D ． 2【答案】D 【解析】点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝xy ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.13．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)【答案】D 【解析】f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值X围为[0，＋∞)．14．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x【答案】AC 【解析】对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e－x ，此方程无解，B不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x，令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求． 15．已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________．【答案】－4 【解析】因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，设曲线f (x )与l 切于点⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，则切线斜率k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1l 与曲线g (x )相切，所以⎝⎛⎭⎫1x 212－4⎝⎛⎭⎫－2x 1＝0，解得x 1＝－12，故斜率k ＝－1x 21＝－4.16．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0. 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)．将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11. ①由f ′(x )＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10. 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，存在k ＝0，使直线m ：y ＝9是y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线．[C 级 创新突破]17. 曲线y ＝－1x (x ＜0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点，则切线斜率k 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点，则切线斜率k 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 21x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2，得－2x 1＝ln x 21－1，设t ＝－x 1＞0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数．易知f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3＜0，f (e)＝1－2e ＞0，于是f (x )＝0有唯一解，于是已知两曲线的公切线的条数为1.18．(2020年凉山州模拟)已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)．(1)设函数g (x )＝f (x )－x 2在点(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，求a 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2至少有一条公切线，求a 的取值X 围．解：(1)因为g (x )＝f (x )－x 2，所以g (x )＝a ln x －x 2，g ′(x )＝ax－2x (x >0)．又g (x )在(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，所以g ′(1)＝1，即a －2＝1，即a ＝3. (2)设公切线l 与f (x )＝a ln x 相切于点(x 0，a ln x 0)，则由f ′(x )＝a x ，得f ′(x 0)＝ax 0，所以公切线l 为y －a ln x 0＝ax 0(x －x 0) ，即y ＝axx 0－a ＋a ln x 0(x 0>0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax x 0－a ＋a ln x 0，y ＝x 2，得x 2－ax x 0＋a －a ln x ＝0.因为直线l 与曲线y ＝x 2相切，所以Δ＝a 2x 20－4(a －a ln x 0)＝0，即a ＝4x 20－4x 20ln x 0(x 0>0，a >0)，设h (x )＝4x 2－4x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝4x (1－2ln x )． 由h ′(x )>0，得0<x <e ；又由h ′(x )<0，得x > e.所以h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以h (x )max ＝h (e)＝2e ，所以0<a ≤2e.所以y ＝f (x ) 与曲线y ＝x 2至少有一条公切线时，a 的取值X 围为(0,2e]．。

第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算目录模拟基础练题型一：导数的定义及变化率问题题型二：导数的运算题型三：在点P 处的切线题型四：过点P 的切线题型五：公切线问题题型六：已知切线或切点求参数问题题型七：切线的条数问题题型八：利用导数的几何意义求最值问题题型九：牛顿迭代法题型十：切线平行、垂直、重合问题题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题题型十二：切线斜率的取值范围问题重难创新练真题实战练题型一：导数的定义及变化率问题1．设()f x 是定义在R 上的可导函数，若()()000lim2h f x h f x h a h®+--=（a 为常数），则0()f x ¢=（ ）A ．2a-B ．a-C ．aD ．2a2．对于函数()f x ，若()0f x ¢存在，求：(1)()()000()limh f x h f x h®+---；(2)()()000lim h f x h f x h h®+--．题型二：导数的运算3．求下列函数的导数：(1)()2133ex y x x +=++(2)cos(21)x y x+=(3)ln12x y x=+(4)1()23()()y x x x =+++(5)2ln 2y x x x x =+-+(6)31ln 2e e xxy x =++-4．求下列函数的导数：(1)22()2f x a ax x =+-；(2)sin ()ln x xf x x=.(3)()2(34)21y x x x =-+；(4)2sin 12cos 24x x y æö=-ç÷èø；(5)y ＝2ln 1xx +.(6)221()(31)y x x =-+；(7)sin 2cos 2y x x x =-；(8)e cos x y x =；(9)y ＝ln(21)x x+.(10)n 1l y x x=+(11)sin x y x=(12)22(1e )2x y x x -=+-.5．已知函数()e 2(0)1x f x f x ¢=++，则()2f ¢的值为 ．（2024·河南·一模）6．已知函数()f x 的导函数为()f x ¢，且23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---，则()f x 的极值点为（ ）A ．32或12B ．12C ．12-或32D ．32题型三：在点P 处的切线7．曲线e x y =在点(0,1)处的切线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．210x y -+=（2024·黑龙江·二模）8．函数()31f x x =+在1x =-处的切线方程为（ ）A ．46y x =+B ．26y x =-+C ．33y x =--D ．31y x =--（2024·全国·模拟预测）9．函数()()2e 22xf x x x =-+的图象在点()()1,1f --处的切线方程为（ ）A ．e 40x y +-=B ．e 60x y -+=C ．e 60x y -+=D ．5e e 0ex y -++=10．下列函数的图象与直线y x =相切于点()0,0的是（ ）A ．3y x =B ．sin y x=C ．e xy =D ．()ln 2y x =+题型四：过点P 的切线11．过原点的直线l 与e x y =相切，则切点的坐标是 .12．已知直线l 为曲线314()33f x x =+过点(2,4)P 的切线. 则直线l 的方程为 .13．已知函数()ln f x x =，过点()0,0P 作曲线()f x 的切线，则其切线方程为 .14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点()e,1--（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是，切线方程为题型五：公切线问题15．经过曲线37y x x =-与353y x x =--+的公共点，且与曲线e 1x y =+和1e x y +=的公切线l 垂直的直线方程为（ ）A ．8870x y ++=B ．8870x y +-=C ．8810x y -+=D ．8810x y --=16．已知直线(R,0)y ax b a b =+Î>是曲线()e xf x =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +=（ ）A ．2B ．12C ．eD ．1e17．过原点的直线l 与曲线()e ,ln xy y x a ==+都相切，则实数a =（ ）A ．12B ．14C ．1eD ．2e18．若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(ln 21,)--+¥B ．[ln 21,)--+¥C ．(ln 21,)-++¥D ．[ln 21,)-++¥19．已知曲线e x y =在点()11,x y 处的切线与曲线ln y x =在点()22,x y 处的切线相同，则()()1211x x +-=（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．220．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()02P ，处有相同的切线，则+a b c 的值为（ ）A ．0B ．πC ．2D ．3题型六：已知切线或切点求参数问题（2024·山东临沂·二模）21．若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为 .（2024·高三·云南楚雄·期末）22．若直线y x m =+与曲线()320y x x x =-<相切，则切点的横坐标为 .（2024·湖北·二模）23．y kx b =+是2ln xy x =在(1,0)处的切线方程，则b = ．（2024·高三·安徽亳州·期末）24．已知直线l 的斜率为2，且与曲线2e x y =相切，则l 的方程为.（2024·全国·模拟预测）25．若直线y kx b =+与函数()e xf x =的图象相切，则k b -的最小值为（ ）A ．eB ．e-C ．1e-D ．1e（2024·四川绵阳·一模）26．设函数()e x f x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（ ）A ．12e-B ．211e -C ．212e -D ．212e +题型七：切线的条数问题27．若过点()2,t 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．2e t <B ．0e t <<C ．ln 2t <D ．ln 2t >（2024·全国·模拟预测）28．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条29．已知函数()1ex x f x +=，若过()1,P t -可做两条直线与函数()f x 的图象相切，则t 的取值范围为（ ）A ．4,e æö+¥ç÷èøB ．4e ìüíýîþC ．40,e æöç÷èøD ．{}40,0e æöÈç÷èø（2024·宁夏银川·二模）30．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥题型八：利用导数的几何意义求最值问题（2024·陕西西安·二模）31．若1112ln 30x x y --+=，2250x y -+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A ．B ．6C ．8D ．12（2024·广东·一模）32．设点P 在曲线e x y =上，点Q 在直线1ey x =上，则PQ 的最小值为（ ）A BC D 33．已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（ ）A B C ．1D ．e（2024·高三·四川成都·期末）34．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（ ）A B C ．1D )e 5+35．设点P 在曲线e x y =上，点Q 在直线ln y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C D参考答案：1．C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】0()f x ¢=()()0001lim222h f x h f x h a a h®+--=´=.故选：C.2．(1)()0f x ¢(2)()02f x ¢【分析】（1）利用导数的定义求解即可；（2）利用导数的定义求解即可；【详解】（1）0h ®Q 时，0h -®()()()()()000000()()limlimh h f x h f x f x h f x f x hh®-®+--+--¢=-\=-（2）[][]000000()()()()()()f x h f x h f x h f x f x f x h +--=+-+--Q 又0000()()lim()h f x h f x f x h ®+-¢=()()()()()0000000limlimh h f x f x h f x h f x f x h h®-®---=-¢-\=0000()()lim 2()h f x h f x h f x h®+--¢\=3．(1)()12e 56x y xx +=++¢(2)22sin(21)cos(21)x x x y x -+-+¢=(3)(12)1y x x =+¢(4)231211y x x =++¢(5)y ¢ln 2x x=+(6)213e e xxy x ¢=++【分析】（1）—（6）根据导数的运算法则及基本初等函数函数的导数公式计算可得.【详解】（1）因为()2133e x y x x +=++，所以()()()212133e 33e x x y x x x x ++¢¢¢=++×+++×()121(23)e 33e x x x x x ++=++++()12e 56x x x +=++.（2）因为cos(21)x y x+=，所以2[cos(21)]cos(21)x x x x y x ¢¢+-+×¢=22sin(21)cos(21)x x x x -+-+=.（3）因为ln 12xy x=+，所以1212x x y x x ¢+æö¢=×ç÷+èø2122(12)(12)121x x x x x x x +-=+×=++.（4）因为1()23()()y x x x =+++326116x x x =+++，所以231211y x x =++¢.（5）因为2ln 2y x x x x =+-+，所以1ln 21y x x x x¢=+×+-ln 2x x =+.（6）因为31ln 2e exx y x =++-，所以213e exx y x ¢=++.4．(1)()22f x a x ¢=-(2)2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-¢=(3)218104y x x -¢=-(4)1cos 2y x¢=-(5)()222212ln 1x x x y x x +-¢=+(6)21843y x x ¢=+-(7)12cos 4y x¢=-(8)()e cos sin ¢=-xy x x (9)22(21)ln(21)(21)x x x x x -+++(10)211x x =-(11)2cos sin x x xy x -¢=(12)22)3e (-¢=+-xy x 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）直接利用导数的运算法则及基本初等函数的求导公式分别对函数求导即可得出答案.【详解】（1）解：因为22()2f x a ax x =+-，所以()22f x a x ¢=-；（2）解：因为sin ()ln x xf x x=，所以22(sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()(ln )ln x x x x x x x x x x x xf x x x ¢¢×-×+-¢==；（3）解：因为()2325(3)42164y x x x x x x =-+=--，所以218104y x x ¢=--；（4）解：因为21sin 12cos sin cos sin 24222x x x x y x æöæö=-=-=-ç÷ç÷èøèø，所以1cos 2y x ¢=-；（5）解：因为2ln 1xy x =+，所以()()()()2222ln 11ln 1x x x xy x ¢¢+-+¢=+()()()2222222112ln 12ln 11x x x x x x x x x x +-+-==++；（6）解：因为232()()21316231y x x x x x =-+=+--，所以21843y x x ¢=+-；（7）解：因为sin 2cos 2y x x x =-1sin 42x x =-，所以114cos 412cos 42y x x ¢=-´=-；（8）解：因为cos x y e x =，所以()cos sin cos sin x x xy e x e x e x x ¢=-=-；（9）解：因为ln(21)x y x+=，所以[]2ln(21)ln(21)x x x x y x ¢¢+-+¢=＝22ln(21)21xx x x -++＝22(21)ln(21)(21)x x x x x -+++；（10）解：因为n 1l y x x=+，所以()2111ln y x x x x ¢æö¢¢=+=-ç÷èø；（11）解：因为sin xy x=，所以22(sin )sin cos sin x x x x x x xy x x ¢¢-×-¢==；（12）解：因为22(1e )2x y x x -=+-，所以22222(2)()()2213x x x y x e x x e x e ---¢=+-++--=.5．2e 2-【分析】先求出()0f ¢的值，进而求出()2f ¢即可.【详解】由题意知：()()e 20xf x f =¢+¢，所以()()0120f f =+¢¢，所以()01f ¢=-，所以()e 2xf x ¢=-，所以()22e 2f ¢=-.故答案为:2e 2-.6．D【分析】先对函数求导，先后代入3x =和1x =，确定函数()f x 的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可.【详解】对23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---进行求导，可得31()(3)2(1)47f x f f x x¢=-×¢--，将3x =代入整理，4(3)21(1)140f f ¢++=①将 1x =代入23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---可得(1)(1)4f f =--，即(1)2f =-，将其代入① ，解得：(3)7f ¢=，故得2()3ln 24f x x x x =-+-.于是3()44f x x x¢=-+-，由()0f x ¢=可得12x =-或32x =，因0x >，故当302x <<时，()0f x ¢<，当32x >时，()0f x ¢> ，即32是函数()f x 的极小值点，函数没有极大值.故选：D.7．C【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解.【详解】()e xy f x ==Q ，()'e x f x \=，()'01f \=，\曲线e x y =在点()01，处的切线方程为：1y x =+，即10x y -+=，故选：C ．8．D【分析】当0x <时()31f x x =-+，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()31f x x =+，则()()31112f -=-+=，当0x <时()31f x x =-+，则()23f x x ¢=-，所以()()21313f ¢-=-´-=-，所以切点为()1,2-，切线的斜率为3-，所以切线方程为()231y x -=-+，即31y x =--.故选：D 9．B【分析】根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由()()2e 22x f x x x =-+，可得()2e xf x x ¢=，则()11e f ¢-=，又()()()2151e 1212e f -éù-=--´-+=ëû，则所求切线方程为()511e ey x -=+，即e 60x y -+=．故选：B ．10．B【分析】利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，并由切点进行逐一判断即可得出结论.【详解】A ．323y x y x ¢==，，在()0,0的切线斜率为0，不符合；B ．sin cos y x y x ¢==，，在()0,0的切线斜率为1，所以切线为01(0)y x -=-，成立；C ．D ．两个函数均不经过()0,0，不符合.故选:B ．11．(1,e)【分析】设切点坐标为00(,e )x x ，根据导数的几何意义求出切线方程，将(0,0)代入，即可求得答案.【详解】由题意设切点坐标为00(,e )x x ，由e x y =，得e x y ¢=，故直线l 的斜率为0e x ，则直线l 的方程为00e e ()x x y x x -=-，将(0,0)代入，得0001e e ,x x x x -=-\=，则切点的坐标为(1,e)，故答案为：(1,e)12．20x y -+=或440x y --=【分析】设切点为00(,)M x y ，由导数的几何意义求得切线方程，代入P 点坐标求出0x ，再回代得切线方程．【详解】∵314()33f x x =+，∴2()f x x ¢=. 设直线l 与曲线()f x 相切于点00(,)M x y ，则直线l 的斜率为200()k f x x ¢==，∴过点00(,)M x y 的切线方程为000()()()y f x f x x x ¢-=-，即3200014()()33-+=-y x x x x ，又点(2,4)P 在切线上，∴32000144()(2)33x x x -+=-，整理得3200340x x -+=，∴200(1)(2)0x x +-=，解得01x =-或02x =；∴所求的切线方程为20x y -+=或440x y --=.故答案为：20x y -+=或440x y --=.13．1ey x =【分析】设切点为()00,ln x x ，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点()0,0P ，代入求出0x ，即可求出切线方程.【详解】设切点为()00,ln x x ，由()ln f x x =，则()1f x x¢=，则()001f x x ¢=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过点()0,0P ，所以0ln 1x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =.故答案为：1ey x =14．(e,1)ex y =【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入()e,1--可得00ln e x x =，构造函数()ln H x x x =，求导，根据函数的单调性结合()e =e H ，可得0e x =，即可求解.【详解】设点A (x 0,y 0)，则00ln y x =.又1y x¢=，当0x x =时，01y x ¢=，曲线ln y x =在点A 处的切线方程为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点()e,1--，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，记()ln H x x x =，当x ∈(0,1)时，()0H x <，当x ∈(1,+∞)时，()0H x >，且()ln 1H x x =¢+，当1x >时，()()0,H x H x ¢>单调递增，注意到()e =e H ，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，故点A 的坐标为()e,1，切线方程为ex y =，故答案为：()e,1，ex y =15．B【分析】首先联立37y x x =-与353y x x =--+得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设l 与()e 1x f x =+和()1e x g x +=分别相切于()111,e x x +，()212,e x x +，利用导数的几何意义得到方程，求出1x ，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.【详解】由33753y x xy x x ì=-í=--+î，消去y 整理得38430x x +-=，令()3843F x x x =+-，则()22440F x x ¢=+>，所以()3843F x x x =+-在R 上单调递增，又31118430222F æöæö=´+´-=ç÷ç÷èøèø，所以方程组33753y x x y x x ì=-í=--+î的解为1238x y ì=ïïíï=ïî，即曲线37y x x =-与353y x x =--+的公共点的坐标为13,28æöç÷èø，设l 与()e 1x f x =+和()1e x g x +=分别相切于()111,e x x +，()212,e x x +，而()e x f x ¢=，1()e x g x +¢=，11()e x f x ¢\=，212()e x g x +¢=，\122111121e e e e 1e x x x x x x x++ì=ïí--=ï-î，解得1201x x =ìí=-î，0(0)e 1f ¢\==，即公切线l 的斜率为1，故与l 垂直的直线的斜率为1-，所以所求直线方程为3182y x æö-=--ç÷èø，整理得8870x y +-=．故选：B ．16．A【分析】设(),e tt 是()f x 图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线()ln 2g x x =+上的切点，继而求出t 的值，结合切线方程，即可求得答案.【详解】由题意知直线(R,0)y ax b a b =+Î>是曲线()e xf x =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，设(),e tt 是()f x 图象上的切点，()e x f x ¢=，所以()f x 在点(),e tt 处的切线方程为()e e t t y x t -=-，即()e 1e t t y x t =+-①令()1e t g x x=¢=，解得()e ,e lne 22t t t x g t ---==+=-，即直线(R,0)y ax b a b =+Î>与曲线()ln 2g x x =+的切点为()e ,2tt --，所以2e e e t t t t t ---=-，即()11e tt t -=-，解得0t =或1t =，当1t =时，①为e ,0y x b ==，不符合题意，舍去，所以0t =，此时①可化为1y x =+，所以112a b +=+=，故选：A 17．D【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.【详解】由e x y =得e x y ¢=，由()ln y x a =+得1y x a¢=+，设过原点的直线l 分别与曲线()e ,ln xy y x a ==+相切于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则由导数的几何意义得111e x y x =，且11e x y =，故11x =，所以直线l 的斜率为e ，所以2221e y x x a ==+，所以()22ln e x a x +=，所以2e 1x =-，即21e x =-，代入21e x a =+得2e a =.故选：D 18．A【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ì=+ïíï-=-î，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x¢=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =×+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x ¢=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ì=+ïíï-=-î，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x ¢=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+¥，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.19．B【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】根据常用函数的导数可知：e e x x y y ¢=Þ=，1ln y x y x¢=Þ=，则两函数在点()11,x y 和()22,x y 处的切线分别为：()()1112221e,x y y x x y y x x x -=--=-，化简得()111221e 1e ,ln 1x x y x x y x x x =+-=+-由题意可得：()112121e 1e ln 1x x xx x ì=ïíï-=-î，化简得()()12211210112x x x x x x +-+=Þ+-=-.故选：B 20．C【分析】根据两曲线在()02P ，有公切线，则P 是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出,,a b c 的值，则答案可求【详解】由已知得(0)2(0)12f a b g c =+=ìí=+=î，解得1,2c b a ==-，又()()ππ,e sin 22xf x ag x x ¢¢==-，所以(0)(0)f g ¢¢=得0a =，所以0,2,1a b c ===，所以0212a b c +=+=.故选：C.21．31,e éö-+¥÷êëø【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得2ln b a =+，则()2ln 0ab a a a a =+>，构造()2ln g a a a a =+并研究单调性，进而求值域即可.【详解】函数ln y b x =+的导数为1y x¢=，设切点为()00,1x ax +，所以01a x =，则01ax =，即01x a=又因为()00,1x ax +在ln y b x =+上，所以001ln ax b x +=+，所以0ln 2b x +=，即ln 2b a -=，所以2ln b a =+，所以()()2ln 2ln 0ab a a a a a a =+=+>，令()2ln g a a a a =+，1()2ln ln 3g a a a a a=++×=+¢，令()0g a ¢>，可得31e a >，令()0g a ¢<，可得310e a <<，所以()g a 在310,e æöç÷èø上单调递减，在31,e æö+¥ç÷èø上单调递增，所以min 33333331211231()ln e e e e e e e g a g æö==+=-=-ç÷èø.当a 趋近正无穷时，()g a 趋近正无穷.所以ab 的取值范围为：31,e éö-+¥÷êëø.故答案为：31,e éö-+¥÷êëø.22．1-【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由()320y x x x =-<求导得()2320y x x ¢=-<，直线y x m =+斜率为1，代入导函数有：()23210x x -=<，解得=1x -.故答案为：1-23．1-【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再求切线方程即可.【详解】令2ln ()x y f x x==，42ln ()x x xy f x x -¢¢==，则(1)1k f ¢==，则方程为y x b =+，将(1,0)代入方程，得01b =+，解得1b =-，故答案为：1-24．22y x =+【分析】由题意令()2e 2xf x =¢=，解方程可得切点横坐标，进一步得到切点坐标即可得解.【详解】设()2e x f x =，令()2e 2xf x =¢=，得0x =，则切点为(0,2)，故所求l 的方程为22y x =+.故答案为：22y x =+.25．C【分析】由题意，设出切点，利用导数求出函数()e xf x =在该点的切线方程，对照已知的切线方程，得到k b -的解析式，故构造函数，利用导数知识求解其最小值即得.【详解】由()e xf x =可得()e x f x ¢=，设切点为()00,e x x ，则切线方程为()000e e x x y x x -=-，即()000e 1e ,x xy x x =+-依题意，()000e ,1e x x k b x ==-，故00e xk b x -=．设()e xg x x =， 则()()1e xg x x +¢=，当1x <-时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当1x >-时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，故()g x 的极小值为()11e g -=-，也是最小值，即k b -的最小值为1e -．故选：C.26．C【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()000,e xx x --，因为()1e x f x -¢=+，所以过切点的切线方程为()()()000e 1e x x y x x x ----=+-，即()()001ee1x x y x x --=+-+，所以()0001e e 1x x a b x --ì=+ïí=-+ïî，所以002e e 2x x a b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x xg x x x ----¢=-+-=-，所以当(),2x Î-¥时()0g x ¢<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x Î+¥时()0g x ¢>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C 27．D【分析】设出切点000(,ln ),(0)x x x >，写出切线方程，依题转化成000(1)ln 20t x x x +--=有两个不同得实数根.设()(1)ln 2,(0)g x t x x x x =+-->，求得()g x 的单调区间和最大值即可得解.【详解】设切点为000(,ln ),(0)x x x >，由题得：1y x¢=，故切线斜率为01x ，切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-，因切线经过点()2,t ，则0001ln (2)t x x x-=-，故000(1)ln 20t x x x +--=有两个不同得实数根.不妨设()(1)ln 2,(0)g x t x x x x =+-->，则()ln ,g x t x ¢=-当0e t x <<时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；当e t x >时，()0g x ¢<，()g x 单调递减.故max ()(e )e 2t tg x g ==-，则e 20t ->，即ln 2t >.故选：D.28．A【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.【详解】设切点为()()02000,e 22x x x x -+，由()()2e 22x f x x x =-+可得()2e xf x x ¢=，则过坐标原点的切线的斜率()0020020e 22ex x x x k x x -+==，故()32000210x x x -+-=，即()()200120x x -+=，解得01x =，故过坐标原点的切线共有1条．故选：A ．29．B【分析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)e a a g a +=的图象的公共点的个数，根据导数研究函数()g a 的图象可得结果.【详解】设过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切时的切点为(),a b ，则1e aa b +=，因为()()()2e 1e 1,e e ex x x xx x x xf x f x -++==-¢=，所以切线方程为()1e ea a a ay x a +-=--，又()1,P t -在切线上，所以()11e e a a a a t a +-=---，整理得2(1)e aa t +=，则过点()1,P t -的直线与函数()1ex x f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)e aa g a +=的图象的公共点的个数，因为()()()()2221e (1)e 11e e a a a aa a a a g a ¢+-+-+-==，令()0g a ¢=，得1a =±，所以，当1a <-时，()()0,g a g a ¢<单调递减；当11a -<<时，()()0,g a g a ¢>单调递增；当1a >时，()()0,g a g a ¢<单调递减，因为()()410,1eg g -==，当a ®+¥时()0g a ®，所以，函数()g a 的图象大致如图：所以当4et =时，图像有两个交点，切线有两条.故选：B.【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点()1,P t -的直线与函数()1e x x f x +=的图象相切的切线条数转化为直线y t =与曲线()2(1)e a a g a +=的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数()g a 的图象.30．B【分析】根据直线和曲线相切得到322340t t m -+=，结合导数及函数零点的个数可得答案.【详解】点()1,P m 不在函数()33f x x mx =-的图象上，则()113f m m =-¹，即14m ¹，设过点P 的直线与()33f x x mx =-的图象相切于()3,3Q t t mt -，则切线的斜率()323331t mt mk f t t m t --¢==-=-，整理可得322340t t m -+=，则问题可转化为()32234g t t t m =-+只有一个零点，且()266g t t t ¢=-，令()0g t ¢=，可得0t =或1t =，当(),0t Î-¥时，()0g t ¢>，则()g t 单调递增，当()0,1t Î时，()0g t ¢<，则()g t 单调递减，当()1,t Î+¥时，()0g t ¢>，则()g t 单调递增，即当0t =时，()g t 有极大值，当1t =时，()g t 有极小值，要使()32234g t t t m =-+仅有一个零点，(0)(1)00g g m ×>Þ<或14m >故选：B31．C【分析】设函数()2ln 3,0f x x x x =-+>和5y x =+，转化为切点P 到直线50x y -+=的距离为平方，根据导数的几何意义，求得切点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，设函数()2ln 3,0f x x x x =-+>，直线5y x =+，设直线y x b =+与函数()y f x =的切点为00(,)P x y 可得()21f x x¢=-，可得()00211f x x ¢=-=，解得01x =，可得02y =，即切点坐标为(1,2)P ，则切点到直线50x y -+=的距离为d ，又因为()()221212x x y y -+-表示点P 到直线50x y -+=的距离为平方，所以()()221212x x y y -+-的最小值为28d =.故选：C.32．B【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】令e e 1xy ¢==，得1x =-，代入曲线11e e y -==，所以PQ 的最小值即为点11,e æö-ç÷èø到直线1e y x =的距离d =.故选：B.33．A【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.【详解】函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x ¢=Þ=+，当1ex >时，()()0,f x f x ¢>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x ¢<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P ¢=+=Þ=Þ=Þ，所以min PQ ==故选：A34．A【分析】先观察出函数关于1x =对称，在根据所求的式子可以判断1x >时比1x <的值要大，所以只需研究1x >的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.【详解】由函数解析式可知函数y 关于1x =对称，设z ()1x n n =<则z =()21x n n =-<，z =>即当1x >时z 的值要大于1x <时z 的值，所以只需研究1x >的情况即可， 当1x >时，12e 24x y x x -=+-，设1,4x a y b -=+=，b t a=则22222222111a ab b z b a a b t a b t++==+=++++， 根据复合函数单调性可知：()0,1t Î时，2z 递增，当(1,)t Î+¥，2z 递减.41b y t a x +==-，所以t 的几何意义是函数12e 24x y x x -=+-上一点与点()1,4-的斜率，设过点()1,4-的切线与函数12e 24x y x x -=+-的交点坐标（即切点）为()12,e24m m m m-+-(1)>m ，1e 44x y x -¢=+-，所以切线的斜率1e 44m k m -=+-，切线方程为()()()121e 24e 44m m y m m m x m ---+-=+--，把点()1,4-代入切线方程整理得：()()1e220m m m -+-=，所以2m =或1e 20m m -+=，设()1e 2mf m m -=+，()1e 20m f m -+¢=>，所以()f m 在(1,+∞)单调递增，所以()()13f m f >=，即1e 20m m -+=不合题意，所以2m =，此时切线的斜率1e 44e 4m k m -=+-=+，如图：[)e4,¥++，所以当e 4t =+时，2z 最大，此时z ==.故选：A【点睛】方法点睛：式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，求函数的最值或值域常用方法有：（1）换元法；（2）函数单调性法；（3）复合函数法；（4）数形结合；（5）导数法；（6）基本不等式.35．C【分析】求|PQ |的最小值转化为求P 到直线y x =的最小距离，然后求曲线上斜率为1的切线方程式.进一步解析即可得出答案.【详解】e x y = 和ln y x =互为反函数，问题可以转化为直线y x =到e x y =距离的两倍.e x y ¢=，令e 1x =，得0,x =故切点为（0,1），min故选：C.。

专题01 导数的定义与计算1．已知的导函数为，且满足，则（）A．-2B．2C．-1D．1【答案】C【解析】依题意，故，所以，故选C.2．函数在点处切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】时，k=-1,故选A.3．若函数，则函数的平均变化率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，因为为一次函数，所以平均值即为的中点值，易得，故平均值为，故选B。

4．下列导数运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】选项A中，由于，所以A不正确；选项B中，由于，所以B不正确；选项C中，由于，所以C正确；选项D中，由于，所以D不正确．故选C．5．函数在[1，]上的平均变化率是( )A．2B．2x C．D．【答案】C【解析】依题意，所求平均变化率为，故选C.6．下列导数运算正确的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】（sin x）′＝cos x；（）′；（3x）′＝3x ln3；（）′，故选：B．7．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，令，解得．∴，∴．故选A．8．已知函数处的导数为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，可得，故选D。

9．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，则f2019(x)＝（）A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x【答案】D【解析】由题意可得：，，据此可得的解析式周期为，注意到，故.本题选择D选项.10．已知一个物体的运动方程为，其中位移的单位是，时间的单位是，则物体的初速度为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，可得，所以，故选D。

11．已知点在曲线上移动，设曲线在点处的切线斜率为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以恒成立，故切线斜率，故选B。

12．若，则等于（）A．－2B．－1C．1D．2【答案】C【解析】由导数的定义可知：，则.本题选择C选项.13．若函数，则__________．【答案】【解析】对函数求导得到解得.故答案为：.14．如果函数f（x）＝cos x，那么_____．【答案】【解析】解：由题意知，f（x）＝cosx，∴cos，f′（x）＝﹣sinx，∴sin，故答案为：．15．曲线在点M(π，0)处的切线方程为________．【答案】【解析】由函数的解析式可得：，所求切线的斜率为：，由于切点坐标为，故切线方程为：.16．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数__________．【答案】【解析】因为的导函数为，可得曲线在点处的切线斜率为由切线与直线垂直可得，解得.故答案为：17．求满足下列条件的函数.(1) 是三次函数,且(2) 是二次函数,且.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意设则由已知得解得,故(2)由题意设,则．所以,化简得,因为此式对任意x都成立,所以,解得,故.18．求下列函数的导数：（1）（2）y＝【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）. 19．已知函数(1)求(2)求曲线在点处的切线的方程；【答案】（1）（2）【解析】(1)(2)可判定点在曲线上．在点处的切线的斜率为.切线的方程为即20．已知曲线.(Ⅰ) 求曲线处的切线方程；(Ⅱ) 求曲线过原点的切线方程.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由题意得，所以，，可得切线方程为，整理得。

【标题 01】对导数的概念没有理解透彻 【习题 01】设 f (x ) 是可导函数，且 lim f (x 0 - 2∆x ) - f (x 0 )= 2 ，则 f '(x ) = （ ） ∆x →0 ∆x 0 A ．2 B ． -1 C ． 0 D ． -2【经典错解】 lim∆x →0f (x0 - 2∆x) -f (x)=∆xf '(x0)= 2所以f '(x0)= 2 ，故选A .【详细正解】lim)= 2∆x→0 ∆x∆x→0-2∆x 0所以f '(x0 )=-1 ，故选B .【习题01 针对训练】若f ' (x ) =-3 ，则limf (x0 +h) -f (x- 3h)=（）A．-30 B． 6h→0 h C．-9 D．-12【标题02】商的导数的求导法则记忆错误（x－2）2'=【习题02】已知函数f (x) ＝x＋1，则f (x) 的导函数f(x) .x2－4x＋4'1⨯(x2－4x＋4）-（x＋1（)2x－4）=-x2-2x+8【经典错解】由f (x) ＝x＋1，得f(x)x2－4x＋4（2x－4）⨯（x＋1)-(x2－4x＋4）⨯1 'x2＋2x－8【详细正解】由f (x) ＝x＋1（x＋1）2＝ （x ＋1）2【深度剖析】（1）经典错解错在商的导数的求导法则记忆错误.（2）商的导数公式是(u )' = u 'v - uv ' ，很多 v v 2 同学容易记成(u )' = v 'u - vu '，主要是分子记错，分子应该是“子导母不导减去母导子不导”. vv 2 【习题 02 针对训练】已知函数f (x) =a ln x+b，曲线y =f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程为x +1 xx + 2 y - 3 = 0 ，求 a 、b 的值.【标题 03】对复合函数的定义和复合函数的求导法则没有理解透彻【习题 03】求函数 f (x ) = e - x sin 2x 的导函数. 【经典错解】由题得 f '(x ) = e - x sin 2x + e - x cos 2x = e - x (sin 2x + cos 2x ) =2e - x sin(2x + π4【详细正解】由题得 f '(x ) = (-e - x ) sin 2x + (e - x ⋅ 2 cos 2x ) = e - x (2 cos 2x - sin 2x ) 【习题 03 针对训练】求函数 f (x ) = (5x - 4)3 cos 2x 的导函数.【标题 0 4】求切线方程时没有准确判断点Q 是否在曲线上【习题 0 4】求 y = 2x 2 + 3 在点 P (1,5) 和Q (2,9) 处的切线方程【经典错解】 y = 2x 2 + 3,∴ y ' = 4x .∴ y ' x =1 = 4),即过点P 的切线的斜率为4 ，故过点P 的切，线为y = 4x + 1．过点Q 的切线的斜率为8 ，故过点Q 的切线方程为：y - 9 = 8(x - 2) )即8x -y - 7 = 0【详细正解】 y = 2x 2+ 3,∴y'= 4x.∴y'x=1= 4即过点P 的切线的斜率为4 ，故切线为y = 4x + 1．y - 9 2x 2-6设过点Q 的切线的切点为T (x0 , y0 ) ，则切线的斜率为4x0 ，又k PQ =0 ，故0 = 4x0 ，∴ 2x 2- 8x + 6 = 0.∴x = 1,3 .0 0 0x =0 即切线QT 的斜率为4 或12 ，从而过点Q 的切线为 y = 4 x -1或y = 12 x -15 .【深度剖析】（1）经典错解错在求切线方程时没有准确判断点Q 是否在曲线上.（2）点 P 在函数的曲线上，因此过点 P 的切线的斜率就是 y ' 在 x = 1处的函数值；点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数 求值，要通过设切点的方法求切线．要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求； 不是则需设出切点坐标．【习题 04 针对训练】已知函数 f (x ) = x 3 + x -16 ．（1）求曲线 y = f (x ) 在点(2, -6) 处的切线方程；（2）直线l 为曲线 y = f (x ) 的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．【标题 05】审题错误误认为点 P 就是切点【习题 05】已知曲线 S : y = - 2 x 3 + x 2+ 4x 及点 P (0,0) ，求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3【经典错解】 y ' = -2x 2+ 2x + 4 ，∴过点 P 的切线斜率 k = y ' = 4 ，∴过点 P 的曲线 S 的切线方程为 y = 4x .【详细正解】设过点 P 的切线与曲线 S 切于点Q (x 0 , y 0 ) ，则过点 P 的曲线 S 的切线斜率 k = y '=-2x 2 + 2x4 ，又k=y0 ，∴-2x 2 + 2x+ 4 =y0 .① 点Q 在曲线S 上，x x0 0 0PQ0 0-2x 3 +x 2 + 4x∴y =-2x 3 0 3 0x x 22x+ 4x0 . ②，②代入①得- 2x+ 2x+ 4 =3 3 00 0 x 0化简，得 4 x 3 - x 2 = 0 ，∴ x = 0 或 x = .若 x = 0 ，则 k = 4 ，过点 P 的切线方程为 y = 4x ；若3 0 03 350 0 4 035 35x 0 =4，则k =，过点P 的切线方程为y 8x .∴过点 P 的曲线 S 的切线方程为 y = 4x 或 y = x . 8 8 【习题 05 针对训练】已知曲线 y = 1 x 3 + 4 ，3 3（1）求曲线在点 P (2, 4) 处的切线方程；（2）求曲线过点 P (2, 4) 的切线方程；（3）求斜率为4 的曲线的切线方程．高中数学经典错题深度剖析及针对训练。