专题二
第1讲 功 功率和动能定理
考向一 功和功率的计算 (选择题)
1.恒力做功的公式
W ＝Fl cos α(通过F 与l 间的夹角α判断F 是否做功及做功的正、负)。 2．功率
(1)平均功率：P ＝W
t
＝F v cos α。
(2)瞬时功率：P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角)。
[例1] (2014·全国新课标Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上。现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v 。若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v 。对于上述两个过程，用WF 1、WF 2分别表示拉力F 1、F 2所做的功，W f 1、W f 2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )
A ．WF 2>4WF 1, W f 2>2W f 1
B ．WF 2>4WF 1, W f 2＝2W f 1
C ．WF 2<4WF 1, W f 2＝2W f 1
D ．WF 2<4WF 1, W f 2<2W f 1 [思路探究]
(1)两次物体的加速度、位移存在什么关系？
提示：因为前后两次t 相等，由a ＝v
t ，x ＝v 2
t 知，a 1∶a 2＝1∶2，x 1∶x 2＝1∶2。
(2)两次合力做功存在什么关系？
提示：由动能定理知W 合1∶W 合2＝1∶4。
[解析] 由x ＝v t 知，前后两次的位移之比x 1∶x 2＝1∶2，由W f ＝fx 知W f 1∶W f 2＝1∶
2；由动能定理知，WF 1－W f 1＝12mv 2，WF 2－W f 2＝1
2
m ·(2v )2，所以WF 2－W f 2＝4(WF 1－W f 1)，
又因为W f 2＝2W f 1，所以4WF 1－WF 2>0，即WF 2<4WF 1，C 正确。
[答案] C [感悟升华]
计算功和功率时应注意的问题
1．(2014·模拟)如图所示，自动卸货车始终静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢与水平面间的θ角逐渐增大且货物相对车厢静止的过程中，下列说确的是( )
A ．货物受到的摩擦力增大
B ．货物受到的支持力不变
C ．货物受到的支持力对货物做正功
D ．货物受到的摩擦力对货物做负功
解析：选AC 货物处于平衡状态，则有mg sin θ＝f ，mg cos θ＝N ，θ增大，f 增大，N 减小，A 正确，B 错误；货物受到的支持力的方向与速度方向始终相同，做正功，C 正确；摩擦力的方向与速度方向始终垂直，不做功，D 错误。
2．质量为1 kg 的物体静止于光滑水平面上。从t ＝0时刻起，物体受到向右的水平拉力F 作用，第1 s F ＝2 N ，第2 s F ＝1 N 。下列判断正确的是( )
A ．2 s 末物体的速度是4 m/s
B ．2 s 物体的位移为3 m
C ．第1 s 末拉力的瞬时功率最大
D ．第2 s 末拉力的瞬时功率最大
解析：选C 由牛顿第二定律得第1 s 和第2 s 的加速
度分别为2 m/s 2和1 m/s 2，第1 s 末和第2 s 末的速度分别为v 1＝a 1t 1＝2 m/s ，v 2＝v 1＋
a 2t 2＝3 m/s ，A 错误；2 s 的位移x ＝v 1t 12＋v 1＋v 2
2t 2
＝3.5 m ，B 错误；第1 s 末拉力的瞬时功
率P 1＝F 1v 1＝4 W ，第2 s 末拉力的瞬时功率P 2＝F 2v 2＝3 W ，C 正确，D 错误。
3．(2014·一模)质量为m ＝2 kg 的物体沿水平面向右做直线运动，t ＝0时刻受到一个水平向左的恒力F 作用，如图甲所示，此后物体的v t 图像如图乙所示，取水平向右为正方向，g ＝10 m/s 2，则( )
A ．物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.5
B ．10 s 末恒力F 的瞬时功率为6 W
C ．10 s 末物体在计时起点左侧2 m 处
D ．10 s 物体克服摩擦力做功34 J
解析：选CD 由题图乙知前后两段物体加速度的大小分别为a 1＝2 m/s 2、a 2＝1 m/s 2，由牛顿第二定律知F ＋μmg ＝ma 1，F －μmg ＝ma 2，联立得F ＝3 N 、μ＝0.05，A 错误；10 s 末恒力F 的瞬时功率为P ＝Fv ＝18 W ，B 错误；由速度图像与坐标轴所围面积的物理意义知，10 s 物体的位移x ＝－2 m ，即在计时起点左侧2 m 处，C 正确；10 s 物体的路程为s ＝34 m ，则10 s 物体克服摩擦力所做的功W ＝μmgs ＝34 J ，D 正确。
考向二 机车启动问题 (选择题或计算题)
1．机车输出功率：P ＝Fv ，其中F 为机车牵引力。
2．机车启动匀加速过程的最大速度v 1(此时机车输出的功率最大)和全程的最大速度v m (此时F 牵＝F 阻)求解方法：
(1)求v 1：由F 牵－F 阻＝ma ，P ＝F 牵v 1可求v 1＝P
F 阻＋ma
。
(2)求v m ：由P ＝F 阻v m ，可求v m ＝P
F 阻
。
[例2](2014·五校联考)如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a ＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做v m＝1.02 m/s 的匀速运动。取g＝10 m/s2，不计额外功。求：
(1)起重机允许输出的最大功率；
(2)重物做匀加速运动所经历的时间；
(3)起重机在第2 s末的输出功率。
[审题指导]
(1)题干中“重物由静止开始向上做匀加速直线运动”说明起重机以恒定的加速度启动。
(2)题干中“匀速运动”说明重物所受的起重机的牵引力与重物的重力平衡。
[解析](1)重物匀速上升时有F＝mg
可得起重机的最大输出功率
P m＝Fv m＝mgv m＝5.1×104 W
(2) 设重物匀加速阶段受到的牵引力为F1，匀加速运动阶段的末速度为v匀m，由牛顿第二定律得
F1－mg＝ma
又有P m＝F1v匀m
v匀m＝at1
解得t1＝5 s
(3)设第2 s末重物的速度为v2，由运动学公式知
v2＝at2
由牛顿第二定律知F1－mg＝ma
且P＝F1v2
解得P＝2.04×104 W
[答案](1)5.1×104 W(2)5 s(3)2.04×104 W
