2019高考数学考点突破——函数的应用函数的图象学案

函数的应用【2019年咼考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1) ①确定函数零点；②确定函数零点的个数；③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围.⑵函数简单性质的综合考查•函数的实际应用问题.(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查.利用函数性质解决相关的最值•题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法.【重点、难点剖析】1 •函数的零点与方程的根(1) 函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x) = 0的实数x叫做函数f(x)的零点.(2) 函数的零点与方程根的关系函数F(x) = f (x) —g(x)的零点就是方程f(x) = g(x)的根，即函数y = f (x)的图象与函数y= g(x)的图象交点的横坐标.(3) 零点存在性定理如果函数y = f (x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) • f (b)<0，那么，函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点，即存在c€(a, b)使得f (c) = 0,这个c也就是方程f (x) = 0的根.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.(4) 二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.2. 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题建模求解反馈文字语言? 数学语言? 数学应用？检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导11数的有关知识加以综合解答.3. 在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x),即把方程写成f(x) = g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系•【题型示例】题型一函数的零点一f(x) _ I c * % w ? 一例1、(2018年全国I卷理数)已知函数J Unx, x>0. 能)=.若g( x)存在2个零点.，则a 的取值范围是A. [ - 1, 0)B. [0 , +R)C. [ - 1 , +R)D. [ 1, +R)【答案】C【解析】画出函数画的图像，匚司在y轴右侧的去掉，再画出直线庄m,之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个有两个解，也就是函数回有两个零点，此时满足EKZU, 即心T|,故选C.【答案】C【变式探究】【2017课标3,理11】已知函数■' '- - ■'' 有唯一零点，则a='■•■' 有唯一零点，则a=A. -121B.—3C. 12 D. 1交点，即方程『何=p—日1【答案】CA.21B. 31C. 2D. 1当g x =0时，x =1，当x ::: 1时，g x :: 0，函数g x 单调递减,当x . 1时，g x• 0 ,函数g x单调递增,当x =1时，函数取得最小值g 1 =2 ,设疋f - ，当x = 1时，函数取得最小值一1 ,若m 0 ,函数h(x]与的数ag(x)没有交点」当-日<0时,-咫⑴"⑴时，此时的数阳(对和怨0)有一个交点'即-ax2 =—1 f解得& = * .故选C-【变式探究】(1)(2015 •海南)已知函数.f(x) = In x- 2的零点为x o,贝U x o所在的区间是() A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3) D . (3,4)(2) [ x]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9] = 2, [ —4.1] =- 5.已知f(x) = x —[x]( x€ R), g(x) = log 4(x —1)，则函数h( x) = f (x) - g(x)的零点个数是()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4⑴答案：C 解析："」£严在(山+却上是增ffl数，又加)=蚯 1 一转卜=lnl-2<0?人2)=ln2-打»切，只3尸In 3」寸池5€阳,故选C⑵答案：B解析：函数h(x) = f (x) - g(x)的零点个数可转化为函数f (x)与g(x)图象的交点个数，作出函数f (x) = x-与函数g (x ) = log 4(x — 1)的大致图象，如图，由图知，两函数图象的交若函数y = f (x ) — a 在区间［—3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是____________________________________________________________________________________________ . 【答案】0, 1【解析】函数y = f (x ) — a 在区间［—3,4］上有互不相同的10个零点，即函数y = f (x ), x € ［ — 3,4］与y = a 一 一 一 一 1 一_的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数 f (x )在一个周期内的图象如图， 可知当0 v a v 2时满足题意.【方法技巧】 1 •确定函数零点的常用方法 (1)解方程判定法，若方程易求解时用此法.⑵零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识.(3) 数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某 一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常 转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.x + 1, - 1< x <0,[x ] =x , O w x <1, x — 1, 1 w x <2,x 2— 2x +13的函数，当x € [0,3)时,f (x )=2(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式 题型二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建 关于参数的方程或不等式求解.解析 令 h (x ) = — x — a ,若g (x )存在2个零点，贝y y = f (x )的图象与y = h (x )的图象有2个交点，平移y = h (x )的图象可知，当直线 y = — x — a 过点(0,1)时，有2个交点, 此时 1 = — 0— a , a =— 1.当y =— x — a 在y = — x +1上方，即a <— 1时，仅有1个交点，不符合题意;当y =— x — a 在y = — x + 1下方，即a >— 1时，有2个交点，符合题意. 综上，a 的取值范围为［—1,+^). 故选C._ _ 一 一 1 2【变式探究】 已知偶函数f (x )满足f (x — 1) = f ---------- ，且当x € ［ — 1,0］时，f (x )= x ,若在区间［—1,3］内,T x函数g (x ) = f (x ) — log a (x + 2)有3个零点，则实数 a 的取值范围是 ____________ . 答案 (3,5)1 解析 •••偶函数f (x )满足f (x — 1) = f ---------- ,(组)求解.e x , x w o , 例2、(2018 •全国I )已知函数f (x )=< In x , x >0,取值范围是( )A . [ — 1,0)B . [0 ,+s)C. [ — 1 ,+s )D. [1 ,+s)答案 Cg ( x ) = f (x ) + x + a .若g (x )存在2个零点，则a 的则 g (x ) = f (x ) — h (x ).y = h (x )图象的示意图，如图所示.T x 且当x € ［—1,0］时,f (x) = x2,1••• f (x — 2) = f (x — 1- 1) = f x_］= f (x ),•••函数f (x )的周期为2，在区间［—1,3］内函数g (x ) = f (x ) — log a (x + 2)有3个零点等价于函数 f (x )的图象与y = log a (x + 2)的图象在区间［—1,3］内有3个交点. 当0<a <1时，函数图象无交点，数形结合可得a >1且f Og a3<1，解得3<a <5.|lOg a 5>1.【感悟提升】(1)方程f (x ) = g (x )根的个数即为函数 y = f (x )和y = g (x )图象交点的个数.⑵ 关于x 的方程f (x ) — vm= 0有解，m 的范围就是函数 y = f (x )的值域.|2x — a , x <0,【变式探究】(2018 •四川省凉山州诊断性检测)已知函数f (x ) =(a € R),若函数f (x )在|3x — a , x >0R 上有两个零点，贝U a 的取值范围是( )A . (0,1]B . [1 ,+s)『严―6 >ft解折；函数斫二应晚尺上有两个険且&卸数血-个施二方程廿―盘在巧Q]上有一个解』 再根据当/{-巧0]时，0<2^=1,可得0远1. 故选A.【举一反三】函数f (x ) =，方程[f (x )] 2— (1) f (x ) + 1 — m= 0有4个不相等实根，则 m 的取值范围是e答案 C C. (0,1) U (1,2)答案AD. (—s,1)C.e 2— e + 1 B. ，+mD. e 2— ee 2+ e ，-pm A.号解析根据题意画出函数f (x)的图象.x 1 — x当 x >0 时，f (x ) = r ,贝y f '(x ) = — (X >0), e e1故f (1)=-为f (x )在(0,+s )上的最大值. e2 设 t = f (x ) , t — ( 1) t + 1 — m= 0 有两个根 t i , t 2,由图可知，对应两个 x 值的t值只有一个， 故可设11对应一个x 值，t 2对应3个x 值. 右=0，情况为 1t20， e 当属于第一种情况时，将 0代入方程得 m= 1,2 1 此时二次方程t — (m^ 1)t +1 — m= 0的根是确定的，一个为 0, —个为2>-,不符合第一种情况的要求；e 1 m+12— + 1 — m <0,当属于第二种情况时， e e 1 — m>0,2n e — e + 1 即—2 <m <1.e + e题型三、函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域•其解题步骤是： (1)阅读 理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题. (2)数学建模：弄清题目中的已 知条件和数量关系，建立函数关系式. (3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果. (4)实际 问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.【例4】经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y (升)与速度x (千米/时)(50 < x < 120)的关系 可近似表示为：75 x 2— 130x + 斗肛If ；, 75 y =彳 x12 — 60, x € [80, 120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低?1t1>e ，x € [50 , SO(2)已知A B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 解 (1)当 x € [50,80)时， y =秒&― 130x + 4 900) = ^( x — 65) 2+ 675],1当x = 65时，y 有最小值 675= 9.75 当x € [80,120]时，函数单调递减，故当 x = 120时，y 有最小值10.因为9<10,故当x = 65时每小时耗油量最低.(2)设总耗油量为I ，由题意可知I = y •空x①当 x € [50,80)时,120 8,' I = y • —= x + x 5 \ x 4 900 x = ，即x = 70时，I 取得最小值16.x 120 1 440②当x € [80,120]时，I = y ・「= ---------- — 2为减函数.当x = 120时，I 取得最小值10.因为10<16,所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少.【感悟提升】(1) 解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.(2) 对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新 工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨, 一 1 2月处理成本y (兀)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y = ^x — 200x + 80 000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利 用的化工产品价值为 100元.(1) 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 4 900 ------- —130 x 当且仅当85 4 900 — 130 = 16,(2) 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为'{x • 80 000 - 200= 200, 1 80 000当且仅当-x = -------- ，即x = 400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为2 x⑵设该单位毎月茯利为S 」则 S= 1 OOx-j -1 OO JC - ■字-200x+ £0 000 )= -|x ; + 300^-80 000= -1(^-300)—35 000/因为 400<r<600?所以当时，S 有最大值-4。

第10讲函数的图像考试说明 1.掌握基本初等函数的图像特征,能熟练运用基本初等函数的图像解决问题.2.掌握图像的作法:描点法和图像变换.3.会运用函数的图像理解和研究函数性质.考情分析考点考查方向考例考查热度函数图像的画法通过变换得出函数图像★☆☆函数图像的识别识别满足一定条件的函数图像2017全国卷Ⅲ7,2015全国卷Ⅱ10★★☆函数图像的应用利用函数图像求方程根的个数、参数取值范围、不等式的解等2015全国卷Ⅰ12,2016全国卷Ⅱ12★★☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅲ]函数y=1+x+的部分图像大致为()A BC D[解析] D函数y=1+x+的图像可以看成是由y=x+的图像向上平移一个单位长度得到的,并且y'=1+x+'=1+,当x→∞时,y'→1,所以可确定答案为A或D,又当x=1时,y=1+1+sin 1>2,由图像可以排除A,故选D.2.[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=()A.0B.mC.2mD.4m[解析] B由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y==1+的图像也关于点(0,1)对称,∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(x i,y i)和(x'i,y'i)均满足x i+x'i=0,y i+y'i=2,∴(x i+y i)=x i+y i=0+2·=m.3.[2015·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.B.C. D.[解析] D令g(x)=e x(2x-1),则g'(x)=e x(2x+1),由g'(x)>0得x>-,由g'(x)<0得x<-,故函数g(x)在上单调递减,在上单调递增.又函数g(x)在x<时,g(x)<0,在x>时,g(x)>0,所以其大致图像如图所示.直线y=ax-a过点(1,0).若a≤0,则f(x)<0的整数解有无穷多个,因此只能a>0.结合函数图像可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,则x0只能是0,故实数a应满足即解得≤a<1.故实数a的取值范围是,1.4.[2015·全国卷Ⅱ]如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()[解析] B当点P在BC上时,=tan x,=,+=tan x+,即f(x)=tan x+,x∈,由正切函数的性质可知,函数f(x)在上单调递增,所以其最大值为1+,且函数y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项A,C.当点P在CD上运动时,我们取P为CD的中点,此时x=,f=2,由于2<1+,即f<f,排除选项D.综上可知,只有选项B中图像符合题意.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题[2017·山东卷]已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是 ()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)[解析] B应用排除法.当m=时,画出y=(x-1)2与y=+的图像,由图可知,两函数的图像在[0,1]上无交点,排除C,D;当m=3时,画出y=(3x-1)2与y=+3的图像,由图可知,两函数的图像在[0,1]上恰有一个交点.故选B.【课前双基巩固】知识聚焦2.f(x-a)f(x)+b -f(x)f(-x)-f(-x)log a x(a>0且a≠1)f(ax)af(x)y=y=f()对点演练1.y=0[解析] y=lo x=-log a x,故两个函数图像关于x轴,即直线y=0对称.2.x=0[解析] y==a-x,故两个函数的图像关于y轴,即直线x=0对称.3.y=x [解析] 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线y=x对称.4.③[解析] 将y=两边平方,得y2=|1-x2|(y≥0),即x2+y2=1(y≥0)或x2-y2=1(y≥0),所以③正确.5.y=(2x+3)2[解析] 得到的是y=[2(x+1)+1]2=(2x+3)2的图像.6.y=ln[解析] 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln.7.-log2(x-1)[解析] 与f(x)的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图像右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图像.8.[解析] y=其图像如图所示:【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用图像的平移和翻折作图;(2)利用图像的平移作图;(3)利用偶函数的关系作图,先作出x≥0时的图像,再关于y轴对称作出另一部分的图像.解:(1)首先作出y=lg x的图像,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像,再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图像,如图①所示(实线部分).(2)将y=2x的图像向左平移1个单位,得到y=2x+1的图像,再将所得图像向下平移1个单位得到y=2x+1-1的图像,如图②所示.(3)y=x2-|x|-2=其图像如图③所示.变式题解:(1)先画出函数y=x2-4x+3的图像,再将其x轴下方的图像翻折到x轴上方,如图①所示.(2)y==2-的图像可由y=-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图②所示.(3)y=10|lg x|=其图像如图③所示.例2[思路点拨] 选用函数图像经过的几个特殊点验证排除.B[解析] 由f(0)=-1,得函数图像过点(0,-1),可排除D,由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,得函数图像过点(-2,0),(-4,0),可排除A,C,故选B.例3[思路点拨] 根据函数的奇偶性及单调性可作出判断.D[解析] 令f(x)=,则f(-x)===f(x),∴ｆ(x)是偶函数,图像关于y轴对称,排除B,C.当x>1时,y==,显然y>0且函数单调递减,故D正确.例4[思路点拨] 对函数f(x)=2x的图像作相应的对称变换可得到图中所示的图像,再写出相应的解析式.C[解析] 题图中是函数y=-2-|x|的图像,即函数y=-f(-|x|)的图像,故选C.强化演练1.D[解析] 当x=1时,y=0,即函数图像过点(1,0),由选项中图像可知,只有D符合.2.A[解析] 由函数定义域知2x-2≠0,即x≠1,排除B,C;当x<0时,y=<0,排除D.故选A.3.C[解析] 由=>0,得x>0,又<1,故y<0,只能是选项C中的图像.4.A[解析] 先作出函数f(x)=log a x(0<a<1)的图像,当x>0时,y=f(|x|+1)=f(x+1),其图像由函数f(x)的图像向左平移1个单位得到,又函数y=f(|x|+1)为偶函数,所以再将函数y=f(x+1)(x>0)的图像关于y轴对称翻折到y轴左边,得到x<0时的图像,故选A.例5[思路点拨] 根据图像可判断其对应函数的定义域、奇偶性、单调性等情况,从而确定符合性质的相应函数的解析式.D[解析] 由函数的图像可知,函数的定义域为R,所以B不符合;又图像关于原点对称,可知函数是奇函数,排除C;函数在定义域内有增有减,不是单调函数,而选项A为增函数,不符合.所以选D.例6[思路点拨] (1)作出分段函数f(x)的图像,结合图像从单调性、最值角度考虑;(2)先化简函数的解析式,在同一坐标系中画出函数y=的图像与函数y=kx-2的图像,结合图像可得实数k的取值范围.(1)[-8,-1](2)(0,1)∪(1,4)[解析] (1)作出函数f(x)的图像,当x≤-1时,函数f(x)=log2单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=-x2+x+在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,又f(4)=<2,f(-1)=-1,故所求实数m的取值范围为[-8,-1].(2)y===函数y=kx-2的图像恒过点(0,-2).在同一坐标系中画出函数y=的图像与函数y=kx-2的图像,结合图像可得,实数k的取值范围是(0,1)∪(1,4).例7[思路点拨] 对这样一个非常规不等式应采用数形结合处理,不妨构建函数f(x)=3sin x,g(x)=lo x,将原不等式转化成两函数图像的位置关系,再进行研究.A[解析] 不等式3sin x-lo x<0,即3sin x<lo x.设f(x)=3sin x,g(x)=lo x,在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图像,由图像可知,当x为整数3或7时,有f(x)<g(x),所以不等式3sin x-lo x<0的整数解的个数为2.例8[思路点拨] 根据所给的条件可确定函数f(x)的图像,并作出函数y=log7|x-2|的图像,由两函数图像的交点个数确定方程解的个数.B[解析] 由函数f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,由f(x+2)=-f(x),可得f(1-x)=f(1+x),f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且f(x)是周期为4的周期函数.在同一坐标系中画出y=f(x)和y=log7|x-2|的图像(图略),由图像不难看出,其交点个数为7,即方程解的个数为7.故选B.强化演练1.C[解析] f(x)=画出函数f(x)的图像,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.2.5[解析] 方程2[f(x)]2-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出函数y=f(x)的图像,由图像知零点的个数为5.3.∪[解析] 在0,上,y=cos x>0,在,4上,y=cos x<0.由f(x)的图像知,在1,上,<0.因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,所以y=为偶函数,所以<0的解集为-,-1∪1,.4.[解析] y=作出其图像,如图所示.此曲线与y轴交于点(0,a),最小值为a-,要使直线y=1与其有四个交点,只需a-<1<a,所以1<a<.【备选理由】例1考查分段函数,由各区间上的单调性及函数值确定函数图像;例2为依据函数图像判定相应函数图像,由所给函数图像反映的性质,探究所求函数的性质,有一定的技巧性;例3以新定义为背景,考查函数图像的应用,要注意图像对称性的应用.1[配合例3使用] [2018·南阳第一中学月考]函数f(x)=log2|2x-1|的图像大致是()[解析] C函数可化为f(x)=所以当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,可排除A,B,结合图像可知,当x<0时,f(x)<0,排除D,故选C.2[配合例5使用] [2017·长沙长郡中学一模]已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数g(x)=f[f(x)]的图像可能是()[解析] C∵ｆ[f(-x)]=f[f(x)],∴排除A,B;又g(1)=f(0)=-1,∴排除D,故选C.3[配合例8使用] 规定“?”表示一种运算,即a?b=a2+2ab-b2.设函数f(x)=x?2,且关于x的方程f(x)=lg|x+2|(x≠-2)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值是()A.-4B.4C.8D.-8[解析] D函数f(x)=x2+4x-4,由于函数y=f(x),y=lg|x+2|的图像(如图)均关于直线x=-2对称,故四个实数根之和为-8.。

2.9 函数的应用基础梳理1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．④对数函数型模型：y＝mlog a x＋n(a＞0，a≠1)．⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.(2)三种函数模型的性质[:1.特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2.(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．题型一一次函数、二次函数函数模型的应用[:【例1】在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．解(1)由题意，得x∈[1,100]，且x∈N*.P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x. (2)P(x)＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －12522＋74 125， 当x ＝62或x ＝63时，P(x)取得最大值74 120元； 因为MP(x)＝2 480－40x 是减函数， 所以当x ＝1时，MP(x)取得最大值2 440元．故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.【变式1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t ∈N)．前30天价格为g(t)＝12t ＋30(1≤t≤30，t ∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t ∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t≤30，t ∈N ，－2t ＋，31≤t≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t≤50，t ∈N.(2)①当1≤t≤30，t ∈N 时， S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；[: ②当31≤t≤50，t ∈N 时， S ＝－90t ＋9 000为减函数，∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210.[: ∵6 210＜6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400. 题型二 指数函数模型的应用【例2】►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？ 解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t ＞1.当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得．a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ， 0≤t≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t>1.(2)由y≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t≤1，4t≥0.25，或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t≤5， 因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时．【变式2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)解 (1)1年后该城市人口总数为 y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%) 2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为[:y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3.x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x 年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1＋1.2%)x＝120， x ＝log 1.012120100＝log 1.0121.20≈16(年)． (4)由100×(1＋x%)20≤120，得 (1＋x%)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x%)≤lg 1.2＝0.079，所以lg(1＋x%)≤0.07920＝0.003 95， 所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9， 即年自然增长率应该控制在0.9%. 题型三 函数y ＝x ＋ax模型的应用【例3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x ＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解 (1)由已知条件C(0)＝8则k ＝40，因此f(x)＝6x ＋20C(x)＝6x ＋8003x ＋5 (0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x ＋10＋8003x ＋5－10 ≥2＋8003x ＋5－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5即x ＝5时等号成立．所以当隔热层为5 cm 时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．【变式3】 某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解 设温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m.∴蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)．∵x ＋1 600x≥2 x·1 600x＝80， ∴y≤808－2×80＝648(m)2. 当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40，此时800x＝20 m ，y 最大＝648(m 2)． ∴当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为648 m 2. 重难点突破【例4】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[解析] (1)由题意：当0≤x≤20时， v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，再由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x≤20，13－，20＜x≤200.(4分)(2)依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x≤20，13－，20＜x≤200.(6分)当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；(7分) 当20＜x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值10 0003.(10分) 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．(12分) 巩固提高1．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2019年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2019年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )． A ．3～4万元 B ．4～5万元 C ．5～6万元D ．2～3万元解析 设存入的本金为x ，则x·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660. 答案 A2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台解析 设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x≥150. 答案 C3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )．A ．1 000米2B ．2 000米2C ．2 500米2D ．3 000米2解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x 米、y 米，如图，则4x ＋3y ＝200，又矩形场地的面积S ＝3xy ＝3x·200－4x 3＝x(200－4x)＝－4(x －25)2＋2 500，∴当x ＝25时，S max ＝2 500.答案 C4．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍． 答案 6 10 0005．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x－2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x－2，因此，当y ＝14时，由14＝2x－2，解得x ＝4. 答案 4。

专题02函数的图象与性质【2019年咼考考纲解读】(1) 函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2) 指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3) 幕函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幕函数的概念以及简单幕函数的性质。

【重点、难点剖析】1 •函数及其图象(1) 定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”.(2) 对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.2 •函数的性质(1) 单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质•证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论•复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2) 奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质•偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3) 周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质•若函数满足f(a+ x) = f(x)( a不等于0)，则其周期T= ka(k € Z)的绝对值.3 •求函数最值(值域)常用的方法(1) 单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2) 图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3) 基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4) 导数法：适合于可求导数的函数.4 •指数函数、对数函数和幕函数的图象和性质(1) 指数函数y = a x(a>0且a* 1)与对数函数y= log a x( a>0且a^l)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2) 幕函数y = x"的图象和性质，分幕指数 a >0和a <0两种情况.5.函数图象的应用它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化. 在函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式,解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用•【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】(2018年江苏卷)函数 3 =辰㈠的定义域为 ________________ .【答案】［2 , +8)【解析】要使函数有意义，则解得，即函数的定义域为1Y I V【变式探究】【2017北京，文5】已知函数f(X)=3 -(-)，贝y f(x)3(A)是偶函数，且在R上是增函数(B)是奇函数，且在R上是增函数(C)是偶函数，且在R上是减函数(D)是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【解析】/(-XI=3--''1/ ；-y = -/(XI f所汉该的数是奇函数，并且尸萨是増函数，i 是艇I数，根据増函数-减迪数二増幽b可知该函数罡増的数，故选B.I 3 !【举一反三】【2016年高考四川文数】已知函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0 v x v 1, x 5时，f(x) =4X，则f ( ) ■ f(1)= .2【答案】-2【解析】因为函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f (-1)—f (1), f (-1) = f(-1 2) = f(1)，所以—f(1)= f(1)，即f(1) = 0,15 1 1 1 1 5f( ) = f( 2) = f( ) =-f ( ) =-42 =-2，所以f( ) f(1) = —2. 2 2 2 2 22【举一反三】(1)(2015 •重庆卷)函数f(x) = log 2(x + 2x —3)的定义域是()A. [ —3,1]B. ( —3,1)C. ( —f— 3］U ［1 , +s)D. ( —g,— 3) U (1 , +f)Ig x, x>0,(2)已知函数f(x)= < 若f(a) + f (1) = 0,则实数a的值为()X + 3, x< 0.A.—3B.—1 或3C. 1 D . —3 或1(1) 答案：D解析：要使函数有意义，只需x2+ 2x —3>0，即(x + 3)( x—1)>0，解得x<—3或x>1.故函数的定义域为(—g, —3) U (1 ,+g).(2) 答案：D解析：f ⑴=|g 1 = 0，所以f (a) = 0.当a>0 时，贝U lg a= 0, a= 1；当a<0 时，贝U a+ 3 = 0, a=—3.所以a= —3或1.【方法技巧】1•已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y = log a x(a> 0, 1)的真数x> 0；⑷ 零次幕的底数不为零；(5)正切函数ny = tan x中，x丰k n+g(k€ Z).如果f (x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合.根据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为［a, b］，其复合函数f (g(x))的定义域由不等式a w g(x) w b 求出；(2)若已知函数f (g( x))的定义域为［a, b］，则f (x)的定义域为g(x)在x € ［a, b］时的值域.2•函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同•函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域.题型2、函数的图象及其应用【例2】(2018年全国III卷)函数厂-J十/ + 2的图像大致为【答案】D【解析】当尺=0时，丫 =2,排除A,B.sin2 x【解析】由题意知，函数 y为奇函数，故排除 B ；当x 二n 时，y =0，故排除D 当x = 1 1 一 cosx时，yV,故排除A 故选C.¥ = _ 十血=_2X (2X 2 _ [)1 761，当"（0存）时，1 2 |D.【变式探究】【2017课标1,文8】函数sin2 x y =的部分图像大致为1 -cosxA. AB. BC. CD. D,排除C ,故正确答案选1 -cos2sin x【举一反三】【2017课标3,文7】函数y =1 * x 厂的部分图像大致为（）x【解析】当X =1时, f 1 =11 sin1 = 2 sin 1 2，故排除A,C；当「时，y—；1 x ,故排除B,满足条件的只有D,故选D.【变式探【2016高考新课标1卷】函数y=2x2-e X在〔-2,2 1 的图像大致为【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2-e lX在［-2,2］上是偶函数，其图像关于y轴对称，因为Af (x) = 4x - e x有一零点，设为x°, f(2) =8-e2,0 ：：：8-e2<1,所以排除A、B选项；当x >0,2 1 时,当(0,x0)时，f (x)为减函数，当(x0,2)时，f (x)为增函数•故选Do【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类 试题的基本方法.（2）研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷 的作用.3x【举一反三】（1）（2015 •四川卷）函数丫=^^的图象大致是（）3 — 1⑴答寨：C解析：由已知：T —1去0=毎0,排除山 又TXO 时，r-l<O r：•严寿土X ）,故排除巧討「屮 气一廿T 巧吟 一耳］咛又丫 =———F ——当3-^ln 3<0时，x>-—>0, j/ <0,所臥D 不符合.故选Q J =1 in □⑵答案：Bf x i f x i 一 0 一 , 解析： = 表示（x i , f （x i ））与原点连线的斜率；x i x i — 0在区间［a, b ］上可找到n （n 》2）个不同的数x i,X 2,…，X n,使得fX i X if x i f X 2x iX 2f X n X n表示(X i , f (X i )) , (X 2, f (X 2))（X n , f （X n ））与原点连线的斜率相等,⑵ 函数y = f （x ）的图象如图所示, C. {3,4,5}( ),（X n, f（X n））在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个而(X i, f(X i)) , (X2, f(X2)),数有几种情况.如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种情况，故选 B.(1) 确定定义域；(2) 与解析式结合研究单调性、奇偶性； (3) 观察特殊值.2 •关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点 (1) 方程f (x ) = g (x )解的个数可以转化为函数y = f (x )与y = g (x )交点的个数；(2) 不等式f (x ) > g ( x )( f (x ) v g (x ))解集为函数y = f (x )位于y = g (x )图象上方(下方)的那部分点的横 坐标的取值范围.题型三、函数性质的综合应用 例3、(2018年全国卷H)若I, 在|i ：. ： |是减函数，贝U 的最大值是兀 兀3兀A. —B.C.D.424【答案】CL兀7T【解析】因为mA ；-所以由 "I-.T \:T 二.".；/得44托3血 兀 3兀Jl JFE 可，因此[-嗣u [-打5 52 丁兰厂g S ，从而邛勺最大值为4【变式探究】【2017天津，文6】已知奇函数f (x)在R 上是增函数.若【答案】C7T■ I 2k?r<x< 4a = -f (log一 5(A) a :: b :: c ( B )b :: a :: c ( C )c ::: b :: a ( D ) c C 的大小关系为:::a■■■■ b 【解析】由题意：a = f Tog 2 —=f log 2 5，且:log 25 log 24.1 2,1 ：： 20.8 ： 2f Iog 2 5 f log 24.1 f 20.8 ,1关于判断函数图象的解题思路据此：log25 log2 4.1 20.8，结合函数的单调性有:即a b c, c :: b - a，本题选择C选项.x _ 3x x V a②若f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是【答案】2 , (-：：，-1)・ 【解析】如图，作出与直线？一力的图象，它们的交点是皿7 2)：。

2019年高考数学总复习 专题01 函数的图象、性质及综合应用强化突破理（含解析）新人教版1．(xx·唐山模拟)函数y ＝log 0.54x －3的定义域为A ，全集为R ，则∁R A 为( ) A ．⎝⎛⎦⎤34，1B ．⎣⎡⎭⎫34，1C ．⎝⎛⎦⎤－∞，34∪(1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[1，＋∞) 解析：选C 由log 0.5(4x －3)≥0，得0<4x －3≤1.∴34<x ≤1.所以函数y ＝log 0.54x －3的定义域A ＝⎝⎛⎦⎤34，1，所以∁R A ＝⎝⎛⎦⎤－∞，34∪(1，＋∞)．选C. 2．(xx·佛山模拟)定义运算a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b 2， 则f (x )＝2⊕xx ⊗2－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．常函数D ．非奇非偶函数 解析：选A 由题意得f (x )＝4－x 2x －22－2.∵4－x 2≥0且x －22－2≠0，即x ∈[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x 2x (x ∈[－2,0) ∪(0,2])，∴f (－x )＝4－x 2x ，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数，故选A.3．(xx·邯郸摸底)函数f (x )＝log 2 |x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )解析：选C 因为函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2均为偶函数，所以f (x )g (x )是偶函数，且定义域为{x ∈R |x ≠0}，排除A ，D.又当x →0时，f (x )＝log 2|x |→－∞，g (x )＝－x 2＋2→2，即f (x )g (x )→－∞，故选C.4．(xx·广东六校联考)若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．lg x >x 12>2xB ．2x>lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．2x >x 12>lg x解析：选D 当x ∈(0,1)时，2x ∈(1,2)，x 12∈(0,1)，lg x ∈(－∞，0)，所2x >x 12>lg x ．故选D.5．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C 依题意得f (3)＝log 12 2＝－1<0，log 12 2<f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 12 32<log 121，即－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0，又f (0)＝log 121＝0，因此有f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)． 6．(xx·吉林一中模拟)2013年8月30日到银行存入a 元，若年利率为x ，且按复利计算，到2021年8月30日可取回( )A ．a (1＋x )8元B ．a (1＋x )9元C ．a (1＋x 8)元D ．a ＋(1＋x )8元解析：选A 2013年8月30日存入银行a 元，年利率为x 且按复利计算，则xx 年8月30日本利和为a (1＋x )元，xx 年8月30日本利和为 a (1＋x )2元，……，则2021年8月30日本利和为a (1＋x )8元，故选A.7．(xx·温州模拟)已知2a ＝3b ＝6c ，则有( ) A ．a ＋bc ∈(2,3)B ．a ＋b c ∈(3,4)C ．a ＋b c∈(4,5)D ．a ＋b c∈(5,6)解析：选C 设2a ＝3b ＝6c ＝k ，则a ＝log 2 k ，b ＝log 3 k ，c ＝log 6 k ， ∴a ＋bc ＝log 2 k log 6 k ＋log 3 k log 6 k ＝log k 6log k 2＋log k 6log k 3＝log 2 6＋log 3 6 ＝1＋log 2 3＋1＋log 3 2>2＋2＝4，又2＋log 2 3＋log 3 2<2＋2＋1＝5.故选C.8．(xx·安徽高考)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2， 即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解， 因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2 x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：{x |－1<x ≤0或x >2} ①当x ≤0时，3x ＋1>1∴x ＋1>0，∴－1<x ≤0；②当x >0时，log 2 x >1∴x >2，综上所述，x 的取值范围为{x |－1<x ≤0或x >2}．10．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0； ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ； ④2a ＋2c <2.解析：④ 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图所示)， 由图象可知：a <0，b 的符号不确定，1>c >0，故①②错； ∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1， 故2a ＋2c <2，④成立．又2a ＋2c >22a ＋c ∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0∴－a >c ， ∴2－a >2c ，③不成立．11．(xx·成都模拟)已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，记g (x )＝f (x )[f (x )＋f (2)－1]．若y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：⎝⎛⎦⎤0，12 由已知可得y ＝f (x )＝log a x ，∴g (x )＝log a x ·(log a x ＋log a 2－1)＝(log a x )2＋log a 2a ·log a x ．当a >1时，y ＝log a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，且log a x ∈⎣⎡⎦⎤log a 12，log a 2，若g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则必有log a 12≥－12log a 2a ，解得a ≤12(舍去)；当0<a <1时，y ＝log a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是减函数，且log a x ∈⎣⎡⎦⎤log a 2，log a 12，若g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则必有log a 12≤－12log a 2a ，解得0<a ≤12. 12．(xx·沈阳监测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x ＋1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则函数f (x ＋1)的图象关于点A (1,0)对称； ④函数f (x )＝3x －2x －3，则方程f (x )＝0有2个实数根． 其中正确命题的序号是________．解析：①②④ 对于①，y ＝x －1在(0，＋∞)上单调递减，其他三个函数均为增函数，故①正确；对于②，结合对数函数的图象可知，底数小于1时，图象越靠近x 轴底数越小， 则0<n <m <1，故②正确；对于③，根据图象平移的左加右减的规律可知，f (x ＋1)的图象是由f (x )的图象向左平移了一个单位长度，故对称中心变为(－1,0)，故③不正确；对于④，令f (x )＝3x ，g (x )＝2x ＋3，作出它们的图象可以发现有两个交点，故④正确，正确命题的序号是①②④.13．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；或不存在，说明理由． 解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4 (a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3， 函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减， 又y ＝log 4 x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.14．设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )， 即e x a ＋a e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x a ＋a e －x ，整理得⎝⎛⎭⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0， 即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0显然无解．∴f (x )不可能是奇函数． (2)∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， 即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ， 整理得⎝⎛⎭⎫a －1a (e x －e －x )＝0， 又∵对任意x ∈R 都成立， ∴有a －1a＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性， 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2) ＝e x 1＋e －x1－e x 2－e －x 2∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )＝e －x a ＋ae－x ，当a ＝1时，在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．15．(xx·陕西调研)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵x ∈[－1,1]，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3，若t ＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3.则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．∵m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ② ②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾， ∴满足题意的m ，n 不存在．16．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n .∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n ＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m ＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1， f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n ＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n ＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1. 又f (－1＋x )＝f (－1－x )， ∴m －2＝2－m ，即m ＝2. 又f (x )的图象过点(1,3)， ∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2， ∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称， ∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )，∴g(x)＝－x2＋2x.(2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x，当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝2－2λ21＋λ＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>01－λ1＋λ≥1∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数． 综上λ的取值范围为(－∞，0]．.。

第1讲 函数的图象与性质[考情考向分析] 1.函数的概念和函数的基本性质是B 级要求，主要是利用函数图象，即通过数形结合思想解决问题. 2.指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点， B 级要求.3.函数与方程是B 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，试题难度中等偏上．热点一 函数性质及其运用例1 (1)(2018·江苏徐州铜山中学期中)已知函数f (x )＝e x －e －x＋1(e 为自然对数的底数)，若f (2x －1)＋f (4－x 2)>2，则实数x 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 令g (x )＝f (x )－1 ，则g (x )为奇函数，且为增函数，由f (2x －1)＋f (4－x 2)>2，得g (2x －1)＋g (4－x 2)>0，所以g (2x －1)>g (x 2－4)，即2x －1>x 2－4，所以x 2－2x －3<0，解得－1<x <3.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R )．若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，504)解析 当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504， 综上，实数a 的取值范围是a <504.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练 1 (1)(2018·江苏省前黄中学等三校联考)若f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时， f (x )＝x 2－8x ＋30，则f (10)＝__________.答案 －24解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时， f (x )＝x 2－8x ＋30， ∴f()10＝f ()10－4＝－f ()4－10＝－24.(2)(2018·常熟期中)已知奇函数f (x )在()－∞，0上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f (x )x －1>0的解集为________． 答案 (－2,0)∪(1,2)解析 ∵函数f (x )为奇函数且在(－∞，0)上单调递减，∴f (x )在(0，＋∞)上也单调递减， 又∵函数f (x )为奇函数且f (2)＝0，∴f (－2)＝－f (2)＝0，∴当x ＜－2或0＜x ＜2时，f (x )＞0，当－2＜x ＜0或x ＞2时，f (x )＜0(如图)，∴不等式f (x )x －1>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜0，f (x )＜0，解得x ∈(－2,0)∪(1,2)． 热点二 函数图象及其运用例 2 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,0]解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a ＞0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时，成立；当a ＜0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)相切的情况，即y ′＝2x －2，切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2，综上，a ∈[－2,0]．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 4x ，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4，若a <b <c 且f()a ＝f ()b ＝f ()c ，则(ab＋1)c的取值范围是________． 答案()16，64解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 4x ，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4的图象，如图所示．∵当a <b <c 时，f (a )＝f (b )＝f (c )，∴－log 4a ＝log 4b ，即log 4a ＋log 4b ＝0，则log 4(ab )＝0， ∴14<a <1<b <4<c <6，且ab ＝1， ∴16＝24<()ab ＋1c ＝2c <26＝64，即()ab ＋1c的取值范围是()16，64.思维升华 (1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围； (2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用常与图象数形结合研究． 跟踪演练 2 (1)已知定义在区间[]0，1上的函数y ＝f ()x 的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1，x 2给出下列结论：①f ()x 2－f ()x 1>x 2－x 1； ②x 2f ()x 1>x 1f ()x 2； ③f()x 1＋f ()x 22<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确的结论是________．(把所有正确结论的序号都填写在横线上) 答案 ②③解析 由f()x 2－f ()x 1>x 2－x 1，可得f()x 2－f ()x 1x 2－x 1>1，即两点()x 1，f ()x 1与()x 2，f ()x 2连线的斜率大于1，显然①不正确；由x 2f()x 1>x 1f ()x 2，得f()x 1x 1>f ()x 2x 2，即表示两点()x 1，f ()x 1，()x 2，f ()x 2与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③正确．(2)(2018·江苏省常州市横林高中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋1，x ≥0，－x 2＋x ＋2，x ＜0，则不等式f (2x 2－|x |)≤5的解集为________．答案[]－1，1解析 方法一 作出函数f (x )的图象如图所示．若2x 2－||x <0，则不等式f()2x 2－||x ≤5恒成立，此时||x ()2||x －1<0，得0<||x <12；若2x 2－||x ≥0, ∵f()1＝5，∴不等式 f ()2x 2－||x ≤5等价于 f()2x 2－||x ≤f ()1，则2x 2－||x ≤1, 则0≤||x ≤1, 又||x ≥12或||x ≤0，∴12≤||x ≤1或||x ＝0， 综上，0≤||x ≤1，故－1≤x ≤1.方法二 ∵f (1)＝5，∴f (2x 2－|x |)≤5等价于2x 2－|x |≤1， 解得0≤|x |≤1，故－1≤x ≤1. 热点三 函数与方程例3 (1)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________． 答案 2解析 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．(2)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝－2f (x ＋1)，当x ∈[)0，1时，f (x )＝x 2，若函数y＝af (x )－log 4(x ＋1)(a >0)恰有4个零点，则a 的取值范围是________． 答案 4<a ≤16log 46解析 函数y ＝af (x )－log 4(x ＋1)恰有4个零点，等价于y ＝af (x )与y ＝log 4()x ＋1的图象有4个交点，则a ＞0，画出y ＝af (x )与y ＝log 4(x ＋1)的图象．∵f (x )满足f (x )＝－2f (x ＋1)，当x ∈[)0，1时，f (x )＝x 2，∴当x ∈[)－1，0时，f (x )＝－2(x ＋1)2，由图象知在()－1，0上两图象有一个交点，在[)0，1上有两个交点，只需在[)2，3上有一个交点即可，如图，⎩⎪⎨⎪⎧a 4＞log 4(3＋1)，a16≤log 4(5＋1)，解得4<a ≤16log 46.思维升华 (1)求解零点或零点个数的方法：解方程法、利用零点存在的判定定理、数形结合法．(2)利用函数零点的情况求参数范围的方法：①利用零点存在的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化为熟悉的两函数图象的上、下关系，从而构建不等式求解．跟踪演练3 (1)(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．(2)(2018·江苏省海门中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0解析 当0≤x ≤1时，由2x 2＋2mx －1＝0，得 m ＝－x ＋12x (x ＝0显然不是零点)，当x >1时，函数的零点满足mx ＋2＝0，则m ＝－2x，由题意可得函数y ＝m 与函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12x，0<x ≤1，－2x ，x ＞1有两个不同的交点， 绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.1．(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 答案 －25解析 由已知得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92， 则－12＋a ＝110，∴a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1) ＝－1＋35＝－25.2．(2018·江苏)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________． 答案 －3解析 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(x ＞0)．①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (0)＝1，∴f (x )在(0，＋∞)上无零点，不合题意． ②当a ＞0时，由f ′(x )＞0，解得x ＞a3，由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜a3，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞上单调递增． 又f (x )只有一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，∴a ＝3.此时f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈[－1,1]时，f (x )在[－1,0]上单调递增，在(0,1]上单调递减． 又f (1)＝0，f (－1)＝－4，f (0)＝1， ∴f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.3．(2017·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________． 答案 8解析 由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，x ∈Q ，且x ∉Z 时，设x ＝q p ，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质．因此10n m＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x ∉D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.4．(2018·无锡期中)已知函数f (x )＝12x ＋1－12，则f (a ＋1)＋f (a 2－1)>0的解集为________．答案 (－1,0)解析 函数f (x )的定义域为R . f (－x )＝12－x ＋1－12＝2x－12(2x ＋1)，f (x )＝12x ＋1－12＝1－2x2(2x ＋1)，所以f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数． 又f (x )＝12＋1－12在R 上单调递减，所以f (a ＋1)＋f (a 2－1)>0⇔f (a ＋1)>f (1－a 2)， 所以a ＋1<1－a 2，解得－1<a <0.5．(2018·江苏高考预测)已知a >0，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e 2ln x ，x >0，|x 3＋x |，x ≤0且g (x )＝f (x )－ax2有且只有5个零点，则a 的取值范围是________． 答案 (2，e)解析 由题意可知，x ＝0是g (x )的1个零点， 当x ≠0时，由f (x )＝ax 2可得a ＝⎩⎪⎨⎪⎧2e 2ln xx2，x >0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x <0，令h (x )＝2e 2ln x x 2(x ＞0)，则h ′(x )＝2e 2(1－2ln x )x3. 当0<x <e 时，h ′(x )>0，当x >e 时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴h (x )≤h (e)＝e ，且当x →＋∞时，h (x )→0，当x →0时，h (x )<0.在同一平面直角坐标系中作出h (x )和y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图象，由图可知，g (x )＝f (x )－ax 2有且只有5个零点需满足2<a <e ，则a 的取值范围是(2，e)．A 组 专题通关1．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝f (15log 3)，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“＜”连接)答案 b <a <c解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝f (15log 3)＝f (－log 53)＝f (log 53)，∵1>log 53>log 55＝12，log 35>log 33＝1,0<0.20.5＝55<12，∴0.20.5<log 53<log 35，∵f (x )在(]－∞，0上是增函数， ∴f (x )在[)0，＋∞上为减函数， 则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35，即b <a <c .2．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为____________．答案 12解析 由函数的周期性可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，由函数的奇偶性可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝|log 42|＝12. 3．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在x ∈[2，＋∞)上恒有|y |>1，则a 应满足的条件是_______．答案 12<a <1或1<a <2解析 若0<a <1，当x ≥2时，log a x <0，∴log a x <－1.由题意知log a 2<－1，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.若a >1，当x ≥2时，log a x >0，∴log a x >1. 由题意知log a 2>1，∴a ∈(1,2)． 综上可知，12<a <1或1<a <2.4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x ＜1在R 上是增函数，则a 的取值范围为________．答案[]2，3解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[]2，3.5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________． 答案 [－1,3]解析 因为偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2. 所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)， 即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3.6．函数f (x )＝2x －12log (x －1)，x ∈(1,3]的值域为______．答案 (－∞，7]解析 ∵u 1＝12log (x －1)在(1,3]上为减函数，∴u 2＝－12log (x －1)在(1,3]上为增函数．又u 3＝2x 在(1,3]上也为增函数，∴f (x )＝u 3＋u 2＝2x －12log (x －1)在(1,3]上为增函数．故f (x )的值域为(－∞，7]．7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x ＜0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．答案 －1解析 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ a (－1＋2)＝1×(1－b )，2a (－2＋2)＝2×(2－b )，解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.8．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2]，由g (m )<0恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧ g (－2)＝－x －2＜0，g (2)＝3x －2＜0，∴－2<x <23. 9．若函数f (x )＝|x 2－4x |－2m ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，92上有3个不同零点，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫138，52 解析 令g (x )＝|x 2－4x |⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤92， 在同一直角坐标系中作出函数y ＝g (x )和y ＝2m －1的图象如图所示，则函数f (x )有3个不同零点等价于直线y ＝2m －1与函数y ＝g (x )的图象有3个不同交点．因为g (0)＝g (4)＝0，g (－1)＝5, g (2)＝4，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝94，结合图象分析可得 94<2m －1<4，解得138<m <52，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫138，52.10．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立， 即当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方， 可以从图象(图略)知0<a <1且2log a22≥12， 解得14≤a <1. B 组 能力提高11．函数f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7的值域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，66 解析 函数f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7的定义域为{x |x ≥－1}， 则当x ＝－1时，f (－1)＝0.当x ＞－1时，f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7＝x ＋1(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋4 ＝1x ＋1＋4x ＋1＋2， ∵x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴1x ＋1＋4x ＋1＋2≤16＝66. 故函数f (x )＝x ＋1x 2＋4x ＋7的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，66. 12．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析 设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题意知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)<h (x 0)，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增， 作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>g (0)，h (－1)≤g (－1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2a ≤－3e ， 所以32e ≤a <1. 13．(2018·江苏省姜堰等三校联考)若方程|x 2－2x －1|－t ＝0有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则2()x 4－x 1＋()x 3－x 2的取值范围是______．答案 (8,45]解析 如图，作出函数y ＝|x 2－2x －1|和y ＝t 的图象．由图象知，0＜t ＜2，因为|x 2－2x －1|－t ＝0，所以|x 2－2x －1|＝t ，故x 2－2x －1－t ＝0或x 2－2x －1＋t ＝0，则x 4－x 1＝(x 1＋x 4)2－4x 1x 4 ＝22＋4(1＋t )＝8＋4t ，同理可得 x 3－x 2＝8－4t ，故2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)＝28＋4t ＋8－4t ，令f (t )＝28＋4t ＋8－4t (0＜t ＜2)，则f ′(t )＝48－4t －28＋4t 8＋4t 8－4t，令f ′(t )＝0得t ＝65， 故f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，65上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫65，2上是减函数， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝45，f (0)＝62，f (2)＝8， 故2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)的取值范围是(8,45]．14．已知函数f (x )＝log 2(2x＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．(1)证明 任取x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝log 2(12x ＋1)－log 2(22x＋1) ＝log 2122121x x ++，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋1<2x 2＋1，∴0<122121x x ++<1，∴log 2122121x x ++<0，∴f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增．(2)解 方法一 由g (x )＝m ＋f (x )，得m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1， 当1≤x ≤2时，25≤22x ＋1≤23， ∴13≤1－22x ＋1≤35，∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.方法二 解方程log 2(2x－1)＝m ＋log 2(2x＋1)，得x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ，∵1≤x ≤2，∴1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ≤2， 解得log 213≤m ≤log 235. ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.。

重点强化课（一）函数的图像与性质（对应学生用书笫26页）［复习导读］函数是中学数学的核心概念，函数的图像与性质既是中学数学教学的重点，又 是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考 查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数 与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识.重点1函数图像的应用1 COS n X. 0, ~»例11己知为偶函数，当时，f^x ）=< 2x —L 十 gfd —的解集为（）I 3 当 X>-时，令 f\x ） =2x — 1W ㊁，解得-1 Q故有§£/0才因为心是偶函数，所以的解集为一扌，—扣片，彳，故 心一1）諾的解集为［母题探究1］在本例条件下，若关于X 的方程fg=k 有2个不同的实数解，求实数斤的则不等式当0WxW*时，令f3=cos “W ，解得是€；取值范围.［解］由函数代力的图像(图略)可知，当Q0或Q1时，方程fXx) =k 有2个不同的实 数解，即实数&的取值范圉是或Q1.［母题探究2］在本例条件下，若函数y=f(x)~k\x\恰有两个零点，求实数£的取值范围. ［解］函数y= f^x) —k\x\恰有两个零点，即函数y= f(x)的图像与y=k\x\的图像恰有 两个交点，借助函数图像(图略)可知斤$2或斤=0,即实数斤的取值范围为斤=0或k22. ［规律方法］1.利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左 右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.2. 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图像的交点个数；利用此法也可市 解的个数求参数值或范圉.3. 有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解.［对点训练］已知函数/U)的图像是圆/+/=2上的两段弧，如图1所示，则不等式 f(x) >/'(-%) 一2/ 的解集是 ___________________ .【导学号：00090046］(-l,0)U (l,、但］［由图像可知，函数玖方为奇函数，故原不等式可等价转化为fg_x,在同一直角坐标系中分别画出y=f{x)与尸一JV 的 图像，由图像可知不等式的解集为(-1,0) U (l,、但］.］重点2两数性质的综合应用⑴(2017・石家庄质检(二))下列函数屮，既是偶函数又在(0, +oo)上单调递增的是(B. y=lg %C. y=\x\—l (2)已知fd)是定义在R 上的偶函数，且在区问(一g, 0)上单调递增.若实数々满足代2“角度1 单调性与奇偶性结合A. y=~)>f(—德)，则日的取值范围是()(1)C (2)C ［(1)函数丄是奇函数，排除A ；函数y=lg%既不是奇函数，也不是偶函X1是偶函数，且在(0, +8)上单调递增，故选C. ⑵因为是定义在R 上的偶函数，且在区间(一IO)上单调递增，所以 且 f(0 在(0, + oo)上单调递减.由 f(2“H) > f(—£), f(-y/2) = f(y/2)可得 2ia -11<V2,1 1 Q即 | a~ 1 | 所以7；V a<~ ] 角度2奇偶性与周期性结合若函数 f(x) =asin 2x+ Man x+1,且 f( —3)=5,则 f (兀+3)= _.—3 [令g(x)=wsin 2x+ Z?tan x,则g(x)是奇函数，且最小正周期是兀，由/( —3)= g(_3) + l=5,得 &(一3)=4,则 &(3) = —&(一3) = —4,则 f(兀+3) =g5+3)+1 = g(3)+l = _4+l = _3.] 角度3单调性、奇他性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数代劝满足f(x —4)= —f(x),且在区间［0,2］上是增函 数，贝虹 )【导学号：00090047】A. f(—25) Vf(ll) Vf(80)B. /(80)</(11)</(-25)C. f(ll) Vf(80) Vf(—25)D. /(-25)<A8O)</'(11)D [因为 f(x)满足 f(x —4) = — /(%),所以fO-8) =/U)，所以函数fd)是以8为周期的周期函数，则代一25) =f( — l), A80) =f(o), All) = A3).由fd)是定义在R 上的奇函数，且满足fd —4)= —f(0,得A11)=A3)=-A-1) = Al).因为代方在区间［0, 2］上是增函数，f(0在R 上是奇函数，所以fd)在区间［一2, 2］上是增函数，所以 A-lXAOXAl),即 /(-25)</(80)</(11).］数,排除B ； 当 xG (0, + °°)时，排除D ；函数y=\x\ — 2-2 2-3 函数y= ”单调递减,［规律方法］函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化口变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.。

第七节
函数的图像[考纲传真](教师用书独具)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．
(对应学生用书第24页)
[基础知识填充]
1．利用描点法作函数的图像
方法步骤：(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
(4)描点连线．
2．利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换
(2)对称变换
①y ＝f (x )的图像――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图像；
②y ＝f (x )的图像―――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图像；
③y ＝f (x )的图像―――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图像；
④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像．
(3)伸缩变换
①y ＝f (x )的图像
y ＝f (ax )的图像；
②y ＝f (x )的图像
――――――――――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变
y ＝af (x )的图像．(4)翻转变换
①y ＝f (x )的图像―――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变
y ＝|f (x )|的图像；②y ＝f (x )的图像――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图像．。

2019-2020学年高考数学总复习 函数的图象与三角函数模型的简单应用学案一、复习目标：1、能画出()ϕω+=x A y sin 的图象，了解参数ϕω,,A 对函数图象变化的影响；2、根据图象会求三角函数的解析式，会用三角函数解决一些简单实际问题； 二、定向导学·互动展示自研自探环节 合作探究环节展示提升环节·质疑提升环节自学指导（内容·学法·时间） 互动策略 展示方案 （内容·方式·时间）【考点1】函数()ϕω+=x A y sin 的图象作法及其变换学法指导：认真自研必修四第49页至第54页，利用“五点法”作图，解决以下问题：1、在同一坐标系中，利用“五点法”画出下例函数图象，你能发现它们之间有什么联系：(规范作图格式) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==321sin 2,321sin ),3sin(,sin πππx y x y x y x y基础过关： 1．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位，得到y ＝sin(4x ＋φ) (|φ|<π2)的图象，则φ＝________. 2.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向右平移π6个单位，再 向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是____．探究：如何利用“五点法”画出()ϕω+=x A y sin 的图象，探究怎样通过图象变换作()),0(sin O W A x A y >>+=ϕω①两人对子间相互批改自学指导内容，并用红笔予以等级评定，针对批改中存在的疑惑对子间相互交流，进行初步解决： ②八人共同体先解决对子间存在的疑惑，并结合议题中的具体问题探讨疑难，重点交流 议题一：“如何通过图象变换作出()ϕω+=x A y sin 的图象”；议题二：【议题1】（方案提示：①分析下列问题，回顾运用知识点，②先展示本组在解决题目是时遇到的困惑，在展示你们是如何解决困惑的；③归纳解决此类问题的方法及其注意点）1、[2009·山东卷]将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝2cos 2x C ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝2sin 2x2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π4 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π43、[2010·惠州调研] 已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( ) A ．向左平移512π个单位 B ．向右平移512π个单位 C ．向左平移112π个单位 D ．向右平移112π个单位 4、已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R. (1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？【考点2】三角函数的解析式学法指导：自研课本第54页至55页,结合资料完成以下问题。

1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数。

2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题。

热点题型一 作函数的图象 例1、作出下列函数的图象。

(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1。

【解析】(1)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x ＞0部分关于【提分秘籍】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象。

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象。

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响。

【举一反三】 作出下列函数的图象：(1)y ＝x 3|x |；(2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝|log 2x －1|；即得．如图②所示。

(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示。

热点题型二 函数图象的辨识 例2、（2018年全国Ⅲ卷理数）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D 【答案】D【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C ，故正确答案选D 。

【变式探究】【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【提分秘籍】 有关图象辨识问题的常见类型及解题思路(1)由实际情景探究函数图像：关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域。

专题六函数与导数建知识网络明内在联系[高考点拨]函数与导数专题是历年浙江高考的“常青树”，在浙江新高考中常以“两小一大”的形式呈现，其中两小题中的一小题难度偏低，另一小题与一大题常在选择题与解答题的压轴题的位置呈现，命题角度多样，形式多变，能充分体现学以致用的考查目的，深受命题人的喜爱．结合典型考题的研究，本专题将从“函数的图象和性质”“函数与方程”“导数的应用”三大方面着手分析，引领考生高效备考．突破点14 函数的图象和性质(对应学生用书第52页)[核心知识提炼]提炼1函数的奇偶性(1)若函数y＝f(x)为奇(偶)函数，则f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))．(2)奇函数y＝f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.(3)判断函数的奇偶性需注意：一是判断定义域是否关于原点对称；二是若所给函数的解析式较为复杂，应先化简；三是判断f(－x)＝－f(x)，还是f(－x)＝f(x)，有时需用其等价形式f(－x)±f(x)＝0来判断．(4)奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴对称．(5)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.提炼2函数的周期性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (x －a )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．(2)若奇函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以4|a |为周期的周期性函数．(3)若偶函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．(4)若f (a ＋x )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或fa ＋x ＝1f x (a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．(5)若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )对称，则函数y ＝f (x )是以2|b －a |为周期的周期性函数.提炼3函数的图象(1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|等的相互关系．(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．[高考真题回访]回访1 函数的性质1．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B [法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b。

函数与方程【考点梳理】1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210考点一、函数零点所在区间的判断【例1】设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)[答案] B[解析] 法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．【类题通法】判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断． 【对点训练】函数f (x )＝12ln x ＋x －1x－2的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 B ．(1，2) C ．(2，e) D ．(e ，3)[答案] C[解析] 易知f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，且f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e－1e－2>0.∴f (2)f (e)<0，故f (x )的零点在区间(2，e)内. 考点二、判断函数零点的个数【例2】函数f (x )＝2ln 2,041,0x x x x x x ⎧-+>⎨+≤⎩的零点个数是________．[答案] 3[解析] 当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有3个零点．【类题通法】判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数． 【对点训练】1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．[答案] 3[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋x ＝0，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2， 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 2．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．考点三、函数零点的应用【例3】(1)已知函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________. (3)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，则a 的取值范围是 ．[答案] (1) C (2) (0，1] (3) (6，10) [解析] (1)∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.(2)当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0，1].(3)由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，f 6＜2，f 10＞2，如图，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10).【类题通法】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【对点训练】1．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)[答案] C[解析] ∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －a ，x ≥1，ln 1－x ，x <1有两个零点，则实数a 的取值范围是________．[答案] [1，＋∞)[解析] 当x <1时，f (x )＝ln(1－x )单调递减，令ln(1－x )＝0，解得x ＝0，故f (x )在(－∞，1)上有1个零点，∴f (x )在[1，＋∞)上有1个零点．当x ≥1时，令x －a ＝0，得a ＝x ≥1.∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．[答案] (3，＋∞)[解析] 作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.。

第10讲 函数的图象1．利用描点法作函数图象 基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)、描点、连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换y ＝f (x )―――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝__f (x －a )__； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝__f (x )＋b __. (2)伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――――――――→0<ω<1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1ω倍ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1ω倍y ＝__f (ωx )__；y ＝f (x )―――――――――――――――――――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝__Af (x )__. (3)对称变换y ＝f (x )关于x 轴对称,y ＝__－f (x )__； y ＝f (x )关于y 轴对称,y ＝__f (－x )__； y ＝f (x )关于原点对称,y ＝__－f (－x )__.(4)翻折变换y ＝f (x )――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝__f (|x |)__； y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝__|f (x )|__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致．( × )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0，且a ≠1)的图象相同．( × )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( × ) 解析 (1)错误．前者是函数y ＝f (x )图象本身的对称，而后者是两个图象间的对称． (2)错误．例如，函数y ＝|log 2x |与y ＝log 2|x |，当x >0时，它们的图象不相同． (3)错误．函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )分别是对函数y ＝f (x )作了上下伸缩和左右伸缩变换，故函数图象不同．(4)错误．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象．2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( A )解析 由函数解析式可知f (x )＝f (－x )，即函数为偶函数，排除C 项；由函数图象过(0,0)点，排除B ，D 项．故选A ．3．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称的图象过点( D )A ．(1，－2)B ．(2，－2)C ．(3，－2)D ．(4，－2)解析 由已知有f (4)＝2，故函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称的图象过点(4，－2)．故选D ．4．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( D )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析 依题意，与曲线y ＝e x关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x，于是f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x向左平移1个单位得到的，∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.故选D ．5．若将函数y ＝f (x )的图象向左平移2个单位，再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则f (x )＝__lg(3－x )__.解析 把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移2个单位得到y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象，∴f (x )＝lg(3－x )．一 函数图象的作法函数图象的作法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【例1】 作出下列函数的图象．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.解析 (1)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≥0)的图象，再将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥0)的图象以y 轴为对称轴翻折到y 轴的左侧，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图中实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图中实线部分．(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y ＝x 2－2|x |－1的图象，如图．二 函数图象的识别识别函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象． (2)利用间接法筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； ②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势； ③从函数的奇偶性判断图象的对称性； ④从函数的周期性判断图象的循环往复； ⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．【例2】 (1)(2018·安徽合肥三中入学考试)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝a －b ＋cx在同一坐标系中的大致图象是( C )(2)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( C)解析 (1)由二次函数图象可知a >0，c >0，由对称轴x ＝－b2a>0，可知b <0，故a －b ＋c >0. 当x ＝1时，a ＋b ＋c <0，即b ＋c <0，所以正比例函数y ＝(b ＋c )x 经过二、四象限，反比例函数y ＝a －b ＋cx图象经过一、三象限．故选C ． (2)由题意，令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }．又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π1－cos π2＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin3π21－cos 3π4＝－11＋22<0，所以排除A 项；f (π)＝sin 2π1－cosπ＝0，排除D 项．故选C ．三 函数图象的应用(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系． (2)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．(3)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．【例3】 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1，则函数y ＝f (x )－33x ＋12的零点的个数为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是__5__.(3)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__[－1，＋∞)__.解析 (1)分别作出y ＝f (x )与y ＝g (x )＝33x －12的图象，如图．显然直线y ＝g (x )与曲线y ＝1－x 2(x ≤1)有两个交点；对于直线y ＝33x －12与曲线y ＝ln x (x >1)是否有交点以及交点的个数，由幂函数与对数函数的增长趋势来看，当x →＋∞时，直线y ＝g (x )的图象肯定在y ＝ln x (x >1)的上方，又f (3)＝ln 3，g (3)＝12，有f (3)＝ln 3＝12ln 3>12ln e ＝12，∴f (3)>g (3)．故两图象有4个交点．(2)方程2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或f (x )＝1，作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.(3)如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.1．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( A )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝exxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x ＋1x解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C 项．若函数f (x )＝x ＋1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D 项．故选A ．2．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项．f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 所以x ＝±π3.故选D ．3．为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 图象上所有点的( A )A ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向右移1个单位B ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向左移1个单位C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左移1个单位D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右移1个单位解析 把函数y ＝log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，得到函数y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位，得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，即函数y ＝log 2(x －1)12＝log 2x －1的图象．4．对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1，设f (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＋k ，若函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是( D )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析 令g (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x ，x ≤－2或x ≥3，x 2－1，－2<x <3，其图象如图所示．f (x )＝g (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个交点，即y ＝g (x )与y ＝－k 的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k ≤2，即－2≤k <1.故选D ．易错点 混淆函数图象变换规律错因分析：①左右平移只针对x ，且“左加右减”；②不能正确认识对称变换． 【例1】 设函数y ＝f (x )的定义域为R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称解析 f (x －1)的图象是f (x )的图象向右平移1个单位而得到的，又f (1－x )＝f [－(x －1)]的图象是f (－x )的图象也向右平移1个单位而得到的，因f (x )与f (－x )的图象关于y 轴(即直线x ＝0)对称，因此f (x －1)与f [－(x －1)]的图象关于直线x ＝1对称．故选D ．答案 D【跟踪训练1】 已知y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的大小关系是__f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52__(用“<”连接)．解析 因为y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因为f (x )在(2,4)上是减函数，且f (1)＝f (3)，由于72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 课时达标 第10讲[解密考纲]数形结合是数学中的重要思想方法．利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质的应用问题，解决函数的零点、方程的解的问题和求解不等式的问题等．一、选择题1．(2018·甘肃会宁一中月考)函数f (x )＝e 2x＋1e x 的图象( D )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析 ∵f (x )＝e 2x＋1e x ＝e x ＋e －x (x ∈R )，∴f (－x )＝e －x ＋e x＝f (x )，∴f (x )＝e 2x＋1e x 为偶函数，∴f (x )＝e 2x＋1ex 的图象关于y 轴对称．故选D ．2．函数y ＝x 2＋ln|x |x的图象大致为( C )解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e f (1)<0，故由零点存在定理可得函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上存在零点，故排除A ，D 项；又当x <0时，f (x )＝x 2＋ln (－x )x ，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ＝1e2＋e>0，排除B 项．故选C ．3．(2018·安徽滁州质检)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，且满足f (x )－f (－x )＝0，当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为( D )解析 由f (x )－f (－x )＝0，可得函数f (x )为偶函数，排除A ，B 项；又当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，所以f (1)＝0，f (e)＝2－e<0.故选D ．4．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为( A )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析 ∵函数f (x )图象关于直线x ＝1对称，∴f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (2)＝f (0)，即3＋|2－a |＝1＋|a |，排除C ，D 项；又f (－1)＝f (3)，即|a ＋1|＝4＋|3－a |，用代入法知A 项正确． 5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( D )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x<0，即xf (x )<0，则f (x )的大致图象如图所示，所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．6．设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( B )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0解析 由题意知满足条件的两函数图象如图所示，作B 关于原点的对称点B ′，据图可知：x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.故选B ．二、填空题7．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__[－1,0)__.解析 首先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |的图象(如图所示)，欲使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有交点，则－1≤m <0.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是__(0,1]__.解析 当x ≤0时，0<2x≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，则0<a ≤1.9．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg|x |，x ≠0，1，x ＝0关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝__0__.解析 函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.三、解答题10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解析 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4，f (x )的图象如图所示．(3)由图象知f (x )的减区间是[2,4]．(4)由f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．11．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于点(0,1)的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．12．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解析 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ， 因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当t >0时，H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。