高考数学一轮复习 圆的方程教案

模块： 九、二次曲线 课题： 1、圆的方程 教学目标： 掌握圆的定义，掌握圆在直角坐标系中的标准方程的推导过程，理解圆的有关概念及简单的几何特性，掌握求圆的方法，并能够根据曲线与方程的关系解决简单的直线与圆有两个交点情况下的有关问题；能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用解析法解决相应的几何问题．重难点： 圆的轨迹定义、标准方程、一般方程；用代数方法研究几何问题的方法． 一、 知识要点1、圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．2、圆的标准方程：圆心为(),a b ，半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-方程中有三个参量a b r 、、，因此三个独立条件可以确定一个圆． 3、圆的一般方程：二次方程220x y Dx Ey F ++++=（*）配方得：22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2240D E F +->，其中，半径是2422F E D r -+=，圆心坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D，叫做圆的一般方程． （1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：22x y 、项系数相等且不为零，没有xy 项 （2）当2240D E F +-=时，方程（*）表示点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当2240D E F +-<时，方程（*）不表示任何图形．（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程． 4、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件若二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆，则有0A C =≠，0B =，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分．在0A C =≠，0B =时，二元二次方程化为220D E Fx y x y A A A++++=， 仅当2240D E AF +->时表示圆．故220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是： ①0A C =≠，②0B =，③2240D E AF +->．5、经过两个圆交点的圆系方程经过011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ()1λ≠-．若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程． 6、经过直线与圆交点的圆系方程0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ7、确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： 222)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(． （2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，（)0422>-+F E D ，,)2,2(圆心----ED 2422FE D r -+=——半径．二、例题精讲例1、（1）求过点()2,3A -、()2,5B --，且圆心在直线230x y --=上的圆的方程． （2）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()2,1A ，()1,2B ，()2,3C ，求ABC ∆外接圆的方程．例2、设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程．例3、已知方程()()2224232141690x y t x ty t+-++-++=()t R ∈的图形是圆．（1） 求t 的取值范围；（2） 求其中面积最大的圆的方程；（3） 若点()23,4P t 恒在所给圆内，求t 的取值范围．例4、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()()22f x x x b x R =++∈与两坐标轴有三个交点，记过三个交点的圆为圆C ． （1） 求实数b 的取值范围； （2） 求圆C 的方程；（3） 圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论．例5、已知()()22:234C x y -+-=，直线()():22178l m x m y m +++=+．（1） 证明：直线l 与C 恒相交；（2） 求直线l 被C 截得的线段长的最小值及此时l 的方程．例6、求过直线240x y -+=和圆222410x y x y ++-+=的交点．（1） 且经过原点的圆的方程； （2） 且有最小面积的圆的方程．例7、已知2221:2450C x y mx y m +-++-=，222:22C x y x my ++-2m +30-=，m 为何值时，（1）1C 与2C 相外切；（2）1C 与2C 内含．例8、已知圆C ()22:21x y ++=，(),P x y 为圆上任一点．（1） 求21y x --的最大、最小值； （2） 求2x y -的最大、最小值． 三、课堂练习1、在ABC ∆中，点()6,0A ，()6,0B -，顶点C 在圆2236x y +=上移动，则ABC∆的重心的轨迹方程为 ．2、已知圆2282120x y x y +--+=内部一点()3,0A ，经过点A 的弦中，最长的弦和最短的弦所在直线的方程分别为 ．3、已知点P为曲线,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩()0απ≤≤上的点，则点P 与点()0,1Q -的距离的最大值为 ．4、点P 在圆2284110x y x y +--+=上，点Q 在圆224210x y x y ++++=上，则PQ 的最小值为 ．5、若直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为 ．6、过点()2,4M -作圆()()22:2125C x y -+-=的切线l ，直线1:320l ax y a ++=与l 平行，则1l 与l 之间的距离是 ．四、 课后作业 一、填空题1、圆()()221316x y -++=关于直线10x y ++=对称的圆的方程是 ． 2、与直线3410x y +-=垂直，且与圆()()22121x y +++=相切的直线方程是 ．3、为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为，则此圆方程为 ．4、点()3,0P 是圆2282120x y x y +---=内一点，在过点P 的弦中，最短的弦所在的直线方程是 ．5、已知P 是直线3480x y ++=上动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．6、圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若90APB ︒∠=，则c 的值为 ．二、选择题7、设集合(){}(){},|0,,|M x y y y N x y y x b ==≠==+，若M N ≠∅，则b 满足（ ）A 、b ≤B 、3b -<≤C 、0b <≤D 、3b ≤≤8、将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆2224x y x y++-0=相切，则实数λ的值为（ ） A 、3-或7 B 、2-或8C 、0或10D 、1或119、圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）A 、36B 、18C 、D 、三、解答题10、根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在原点，且圆周被直线34150x y ++=分成1：2两部分；（2）与两平行直线1:210l x y --=、2:290l x y -+=均相切，且圆心在直线3210x y ++=上；（3）过点()4,1A -，且与已知圆222650x y x y ++-+=相切与点()1,2B 的圆的方程．11、已知点()4,2P 和圆方程2210x y +=，过P 点作圆的两条切线，切点为A 、B ．（1）求切点弦AB 所在的直线方程；（2）过点P 作圆的任意割线，交圆于点C 、D ，求CD 中点E 的轨迹方程．12、设实数x y 、满足方程：2286210x y x y +--+=． （1）当3x ≠时，求13y P x +=-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．。

圆的方程复习教案 知识梳理 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.3、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：(1)点在圆上d=r ； (2)点在圆外 d ＞r ； (3)点在圆内 d ＜r ．2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔3.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+M MM4、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A5、直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<相离 相切 相交（其中：22B A C Bb Aa d +++=）还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C 到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：(1) 相切⇔d=r ⇔Δ＝0（2）相交⇔d<r ⇔Δ>0； （3）相离⇔d>r ⇔Δ<0。

高三一轮第八章平面解析几何
8.3 圆的方程
【教学目标】
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程．
2。

初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

【重点难点】
1。

教学重点:掌握确定圆的几何要素及圆的标准方程
与一般方程；
2。

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
｜
错误!—-错误!
考点三: 与圆有关的最值问题1。

已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0。

求：
(1）错误!的最大值和最小值；(2）y－x的最小值；
(3）x2＋y2的最大值和最小值．【解】(1）如图,方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点（2,0）为圆心，以3为半径的圆．
设错误!＝k，即y＝kx，则圆心(2,0）到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．。

圆的方程 教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。

3.会根据条件准确的求圆的方程 教学重点：利用圆的方程解决一些问题 教学难点：能 准确的利用圆的方程解决问题 知识梳理：1. 关于圆的知识：平面内到 的距离等于 的点的集合．．．．称为圆。

我们把定点称为 ，定长称为 。

确定了圆的位置, 确定了圆的大小。

在平面直角坐标系中，已知：圆心为),(b a A , 半径长为r ，圆上的任意一点),(y x M 应该满足的关系式？ r MA =2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。

题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径： 练习：⑴根据条件写圆的方程：①圆心)1,2(-，半径为2 ②圆心)3,0(，半径为3 ③圆心)0,0(，半径为r （2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。

圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________ 9)2(22=++y x ___________ ___________ 8)3(22=-+y x __________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222)(a y a x =+- ___________ ___________总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________ 题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程：(1)圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2)圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3)圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________(4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。

---一、教学目标1. 知识与技能：- 理解并掌握圆的一般方程形式。

- 学会通过圆的一般方程推导出圆的标准方程。

- 能够根据已知条件求出圆心坐标和半径。

2. 过程与方法：- 通过实例分析和图形直观，理解圆的一般方程与圆的标准方程之间的关系。

- 通过实际操作，培养数形结合的数学思想。

3. 情感态度与价值观：- 在解决问题的过程中，培养学生严谨的数学态度和独立思考的能力。

- 增强学生运用数学知识解决实际问题的信心。

二、教学重难点1. 重点：- 圆的一般方程的推导过程。

- 由圆的一般方程求出圆心坐标和半径。

2. 难点：- 理解并掌握圆的一般方程的特点。

- 正确进行配方法，将圆的一般方程化为圆的标准方程。

三、教学过程（一）导入新课1. 复习导入：- 回顾初中阶段学习的圆的基本性质和方程。

- 引导学生思考圆的一般方程与圆的标准方程之间的关系。

2. 情境导入：- 通过生活中的实例，如钟表的表盘、地球的形状等，引入圆的概念。

（二）新课讲授1. 圆的一般方程：- 介绍圆的一般方程形式：\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)。

- 通过实例讲解如何根据已知条件写出圆的一般方程。

2. 圆的标准方程：- 介绍圆的标准方程形式：\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)。

- 讲解如何将圆的一般方程化为圆的标准方程，包括配方和化简的过程。

3. 求圆心坐标和半径：- 通过实例讲解如何从圆的一般方程中求出圆心坐标和半径。

- 引导学生总结求圆心坐标和半径的方法。

（三）巩固练习1. 基础练习：- 判断圆的一般方程是否正确。

- 将圆的一般方程化为圆的标准方程。

2. 综合练习：- 根据已知条件求圆心坐标和半径。

- 利用圆的一般方程解决实际问题。

（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容：- 圆的一般方程的形式和特点。

- 圆的一般方程与圆的标准方程之间的关系。

- 求圆心坐标和半径的方法。

2. 布置作业：- 完成课后习题，巩固所学知识。

江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习圆的方程教案教学目标：掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a、b、r．重点难点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a、b、r．引入新课问题 1. 圆是最完美的曲线.它是平面内___________________________________________的点的集合？问题2．在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？问题3．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？建构教学1．圆的标准方程的推导过程：2． 圆的标准方程：_________________________________________________________．3． 点P 圆O 的位置关系的判断：例题剖析例1 求圆心是)32(- ，C ，且经过原点的圆的标准方程．例2 已知隧道的截面是半径为m 4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为m 7.2，高为m 3的货车能不能驶入这个隧道？思考：假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 （1）已知圆的直径的两个端点是)21( -，A ，)87( ，B ．求该圆的标准方程．（2）已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，．求该圆的标准方程．例4 （1）求过点)11(- ，A ，)11( -，B ，且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程．（2）求上述圆C 关于直线210x y -+=的对称的圆1C课堂小结圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程．数学（理）即时反馈作业编号：010 圆的标准方程1、点(2,3)-关于直线1y x =+的对称点为______________2、直线l ：2y ax =+和(1,3),(3,1)A B 两点，当直线l 与线段AB相交时，实数a 的取值范围是 ___________3、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P点，则光线所经过的路程是____________4、经过点(5,2)且在x 轴的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________5、直线cos 10x y α++=的倾斜角的范围是______________6、写出满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为6： ；（2）经过点)36( ，P ，圆心为)22(- ，C ：； （3）经过点)22(- ，P ，圆心为)03( ，C ：； （4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线0532=+-y x 上： ；（5）经过点)53( ，A 和)73( -，B ，且圆心在x 轴上： ．7、在圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 中，若满足 条件时，圆过原点；满足 条件时，圆心在y 轴；满足 条件时，圆与x 轴相切；满足 条件时，圆与两坐标轴都相切；8、已知点)11( ，P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是_________ 9．求以点)51( -，C 为圆心，并与y 轴相切的圆的标准方程．10．已知点)54( -，A 和)16(- ，B ，求以线段AB 为直径的圆的标准方程． 11．已知半径为5的圆过点)34( -，P ，且圆心在直线012=+-y x 上，求圆的标准方程．12．求过两点)40( ，A 和)64( ，B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程．13．求圆1)1()1(22=-++y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程14、已知动点M 到定点)0,8(的距离等于M 到)0,2(的距离的2倍，求动点）（y x M ,中x,y 之间的等量关系，并说明M 的轨迹是什么图形。

第3讲 圆的方程【2013年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案 C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.答案 A4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案 B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________． 解析 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一 求圆的方程【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )． A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析 法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可． 设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a |2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d ＝42＝22；圆心是直线x ＋y ＝0与这两条平行线交点的中点，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x －y －4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x ＋y ＝0上，排除选项C 、D ，再验证选项A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可． 答案 B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】 经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2， 又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2， ∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10考向二 与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [审题视点] 找出y －1x －2的几何意义，运用几何法求解． 解析 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值． 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C考向三 圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解． 解 法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－62－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值．【训练3】 (2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．错因 计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，3＋22D ＋F ＋3＋222＝0，3－22D ＋F ＋3－222＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (2010·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，∴r ＝|BC |＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。

一、考纲要求1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解方程中字母的实际意义；2．能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程。

注重数形结合。

3．会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用。

二、知识梳理回顾要求1． 阅读教材第107页~110页,了解以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆标准方程是什么，若该圆的圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程又是什么。

2． 方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是什么，其中圆心半径分别是什么标准方程和一般方程怎么转化3． 对于书中第107页，能否看出推导标准方程的步骤。

4． 对于教材的例3，掌握用一般方程的办法求圆的方程，思考能否还有其他方法。

要点解析1、 以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆标准方程222)()(r b y a x =-+-，的圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程222r y x =+2、 二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->，圆心)2,2(E D --，半径F E D 42122-+ 3、 先建立平面直角坐标系，设点，列出关系式再化简得出。

4、圆的标准方程通过展开整理就得到圆的一般方程，圆的一般方程通过配方整理就会得到圆的标准方程。

【教学建议】只需要学生领悟到圆的一般方程与标准方程间的关系就行了。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。

点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评题1、若方程224250x y mx y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围为 ；若方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆，则实数a 的值为 。

§9.3 圆的方程2014高考会这样考 1.考查圆的方程的形式及应用；2.利用待定系数法求圆的方程． 复习备考要这样做 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2.会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．1． 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2． 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 3． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径． 4． 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.5． 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 6． 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. [难点正本 疑点清源]1． 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 2． 圆的一般方程的特征圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.由于r 2相当于D 2＋E 2－4F4.所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. ③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在．1． 若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0 转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－34a 2－a ＋1>0，∴3a 2＋4a －4<0，∴－2<a <23.2． (2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为(a,0)，易知a －2＋－2＝a －2＋－2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.3． (2011·四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)答案 D解析 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－42，－62，即(2，－3)．4． (2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.5． (2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 A解析 当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件． 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴过点P 垂直于OP 的直线方程为x ＋y －2＝0.题型一 求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 思维启迪：(1)求圆心和半径，确定圆的标准方程． (2)设圆的一般方程，利用待定系数法求解． 解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)方法一如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，－x 02＋－2－y2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.探究提高 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为 ____________________．答案 (1)B (2)(x －4)2＋(y －5)2＝10 解析 (1)设圆心坐标为(a ，－a )， 则|a －－a2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1， 故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. (2)设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2－a 2＋－b2＝r22a －b －3＝0，可得a ＝4，b ＝5，r 2＝10. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．思维启迪：根据代数式的几何意义，借助图形来求最值．解 (1)原方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解 (1)由C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝＋2＋－2＝4 2.∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．思维启迪：结合图形寻求点P 和点M 坐标的关系，用相关点法(代入法)解决．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.利用方程思想求解圆的问题典例：(12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径． 审题视角 (1)求圆心及半径，关键是求m . (2)利用OP ⊥OQ ，建立关于m 的方程求解．(3)利用x 1x 2＋y 1y 2＝0和根与系数的关系或利用圆的几何性质． 规范解答解 方法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.[2分]设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.[4分] ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2.∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.[6分]故－27＋4m 5＋12＋m5＝0，解得m ＝3，[9分] 此时Δ>0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.[12分]方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴kO 1M ＝2.[2分]∴O 1M 的方程为y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝2x ＋4.[4分]由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4x ＋2y －3＝0.解得M 的坐标为(－1,2)．[6分]则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，|MQ |2＝r 2. 在Rt△O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－2－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3.[9分]∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.[12分] 方法三 设过P 、Q 的圆系方程为x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0.[2分]由OP ⊥OQ 知，点O (0,0)在圆上． ∴m －3λ＝0，即m ＝3λ.[4分] ∴圆系方程可化为x 2＋y 2＋x －6y ＋3λ＋λx ＋2λy －3λ＝0.即x 2＋(1＋λ)x ＋y 2＋2(λ－3)y ＝0.[6分]∴圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋λ2，－λ2，又圆心在PQ 上． ∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m ＝3.[9分]∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径为52.[12分] 温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中三种解法都是用方程思想求m 值，即三种解法围绕“列出m 的方程”求m 值． (3)本题的易错点：不能正确构建关于m 的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1． 确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2． 解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1． 求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2． 过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－ba>0，直线不经过第四象限．2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是 ( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±1答案 A解析 因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1.3． (2011·安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3答案 B解析 化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.4． 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知－2＋b －2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若圆x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点A ，B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是______________． 答案 －6<m <－2或m >3解析 令x ＝0，可得y 2＋2my ＋m ＋6＝0，由题意知，此方程有两个不相等且同号的实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6>0，4m 2－m ＋，解得－6<m <－2或m >3.6． 以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________．答案 (x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254解析 直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A (－4,0)、B (0,3)，所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，|AB |＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522.7． 已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________． 答案 x ＋y －1＝0解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0. 三、解答题(共22分)8． (10分)根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)． 解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －2＋b －2＝r22a ＋3b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. (2)方法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 方法二 由A (1,12)，B (7,10)， 得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2， 即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝－2＋－2＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.9． (12分)一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解 设圆心为(a ，b )，圆与x 轴分别交于(x 1,0)，(x 2,0)，与y 轴分别交于(0，y 1)，(0，y 2)，根据题意知x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2，∵a ＝x 1＋x 22，b ＝y 1＋y 22，∴a ＋b ＝1.又∵点(a ，b )在线段AB 的中垂线上，∴5a －b －5＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，5a －b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ∴圆心为(1,0)，半径为－2＋－2＝13.∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内D ．以上都有可能答案 B 解析 由已知条件1a 2＋b2<1，即a 2＋b 2>1. 因此点P (a ，b )在圆外．2． 已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定答案 C解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 3． 已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0答案 A解析 设圆心为C (m,0) (m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得：|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1.5． 若PQ 是圆O ：x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1,2)，则直线PQ 的方程是____________．答案 x ＋2y －5＝0解析 由圆的几何性质知k PQ k OM ＝－1.∵k OM ＝2，∴k PQ ＝－12，故直线PQ 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 6． 已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．答案 5解析 如图，取AC 的中点F ，BD 的中点E ， 则OE ⊥BD ，OF ⊥AC . 又AC ⊥BD ，∴四边形OEMF 为矩形， 设|OF |＝d 1，|OE |＝d 2， ∴d 21＋d 22＝|OM |2＝3.又|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22＝2＋d 22－d 22＝2－⎝⎛⎭⎪⎫d 22－322＋254.∵0≤d 22≤3.∴当d 22＝32时，S 四边形ABCD 有最大值是5.三、解答题7． (13分)圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程．解 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ， 又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0， 圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.。

诚西郊市崇武区沿街学校第三中学2021届高考数学一轮复习圆的一般方程教案教学目的：掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程重点难点：会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.引入新课问题1．一个圆的圆心坐标为)11( ，，半径为2，求圆的标准方程．问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆方程．这道题怎样求？有几种方法？问题3．要求问题2也就意味着圆的方程还有其它形式？建构教学1．圆的一般方程的推导过程．2．假设方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？3、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件为:例题剖析例1ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程． 例2某圆拱梁的示意图如下列图，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3 需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长〔准确到m 01.0〕． 2P PB A O yx 2A稳固练习1．以下方程各表示什么图形？〔1〕0)2()1(22=++-y x ；〔2〕044222=-+-+y x y x ； 〔3〕0422=-+x y x ； 〔4〕02222=-++b ax y x ； 〔5〕052422=+--+y x y x ．2．假设方程Ey Dx y x+++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直 线x y =对称，那么必有〔〕A ．E D =B ．F D =C ．F E =D ．FE D ==3．求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程． 课堂小结圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程．数学〔理〕即时反响作业编号：011圆的一般方程1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为．2．假设方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，那么m 的取值范围是．3．圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，那么b=4．假设圆Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 的圆心在直线0=+y x 上，那么D 、E 、F 的关系有．5．过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心，且平行于x+2y+11=0的直线方程是.6．过点)11( -，M 且与圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心一样的圆的方程是．7．假设圆022222=++++b by x y x关于直线0=+y x 对称，那么=b ． 8、圆C ：04514422=+--+y x y x ，假设M 是圆C 上任意一点，)3,2(-Q ，那么|MQ|的最大值为_____________，最小值为______________；9、圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程为____________．10．求过三点)51( -，A ，)55( ，B ，)26(- ，C 的圆的方程．11．一个圆经过A 〔4,2〕，B 〔-1,3〕两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆的方程12、直线04=-+y x 和02=+-y kx 与x 轴、y 轴所围成的四边形有外接圆，求外接圆的方程13．点)(y x M ，与两个顶点)00( ，O ，)03( ，A 的间隔之比为21，那么点M 的坐标 满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约名录〔放大查看〕名录参见：://zxxk/wxt/list.aspxClassID=3060。

高中数学圆的方程教案教学目标：1. 理解圆的定义及其性质。

2. 掌握圆的标准方程及一般方程的推导方法。

3. 能够利用圆的方程解决实际问题。

教学重点：1. 圆的方程的推导方法。

2. 圆的标准方程和一般方程的使用。

教学难点：1. 圆的方程的建立。

2. 圆的方程在解决问题中的应用。

教学过程：一、引入：教师出示一个圆形物体，引导学生讨论圆的定义及性质，引出圆的方程这一概念。

二、讲解：1. 圆的方程：a. 圆的标准方程：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。

b. 圆的一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。

2. 推导：教师引导学生通过几何解题和代数推导，探讨圆的标准方程和一般方程的建立过程。

三、练习：1. 让学生练习根据已知条件写出圆的方程。

2. 给学生几道实际问题，让他们利用圆的方程解题。

四、总结：1. 通过讲解和练习，总结圆的方程的建立方法和应用。

2. 强调圆的方程在解决几何问题中的重要性。

五、拓展：教师可以引导学生研究其他类型的圆的方程，如与坐标轴平行、与坐标轴不平行的圆等。

六、作业：1. 完成练习题目。

2. 思考如何利用圆的方程解决更复杂的几何问题。

教学反思：本节课注重培养学生对圆的方程的理解和应用能力，通过引导学生探讨和推导，使他们更加深入地理解圆的性质和方程的推导方法。

同时，通过实际问题的应用，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的综合解决问题的能力。

圆与方程复习教案教案标题：圆与方程复习教案教学目标：1. 复习并巩固学生对圆的基本概念的理解，包括圆的定义、半径、直径、弧、弦等。

2. 复习并巩固学生对圆的相关方程的掌握，包括圆的标准方程、一般方程以及圆心半径式等。

3. 培养学生运用所学知识解决与圆相关问题的能力，包括求圆心、半径、圆心角、弧长等。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、教学PPT、白板、黑板、彩色笔等。

2. 学生准备：教科书、笔记本、铅笔、直尺、圆规等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入圆的相关问题或实例，激发学生对圆的兴趣，引起学生思考。

2. 提问学生对圆的定义以及圆的基本要素的记忆情况，引导学生回忆并复习。

二、复习圆的基本概念（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，复习并讲解圆的基本概念，包括圆的定义、半径、直径、弧、弦等。

2. 教师通过示意图或实物，帮助学生更好地理解圆的基本概念，例如通过画圆、测量半径等活动。

三、复习圆的相关方程（20分钟）1. 教师通过PPT或黑板，复习并讲解圆的标准方程、一般方程以及圆心半径式的推导和应用。

2. 教师通过示例和练习题，引导学生熟练掌握圆的相关方程的求解方法和技巧。

3. 学生进行课堂练习，巩固对圆的相关方程的理解和应用能力。

四、解决与圆相关问题（25分钟）1. 教师提供一些与圆相关的问题，例如求圆心、半径、圆心角、弧长等，让学生运用所学知识解决问题。

2. 学生进行小组讨论和解答，教师进行指导和辅导。

3. 学生展示解题过程和答案，教师进行点评和总结。

五、课堂小结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，强调学生在学习中需要注意的关键点。

2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和困惑，并与教师和同学进行交流。

教学延伸：1. 布置相关的课后作业，巩固学生对圆与方程的理解和应用能力。

2. 鼓励学生通过阅读相关教材、参考资料或互联网资源，进一步拓展对圆与方程的学习。

教学评估：1. 教师通过课堂练习、小组讨论和学生展示等方式，对学生的学习情况进行评估。

高中数学圆的方程教案我们需要明确教学目标。

本节课的目标是让学生能够：1. 理解并掌握圆的标准方程及其推导过程。

2. 学会如何根据不同的条件写出圆的一般方程。

3. 能够解决与圆的方程相关的实际问题。

我们将进入教学内容的详细部分。

一、圆的标准方程我们先从圆的定义开始。

圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

设圆心为\( O(h, k) \)，半径为\( r \)，任意一点\( (x, y) \)在圆上，根据定义，我们有：\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]这个方程就是圆的标准方程。

在这个环节，教师应该引导学生通过实际作图和计算来验证这个方程。

二、圆的一般方程在实际问题中，我们经常会遇到非标准位置的圆，这时就需要用到圆的一般方程。

一般方程的形式为：\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]其中，( D, E, F \)是与圆心和半径有关的常数。

通过配方，我们可以将一般方程转化为标准方程，从而确定圆心和半径。

这一部分，教师应该设计几个典型例题，让学生练习如何从一般方程转换到标准方程。

三、应用问题掌握了圆的方程之后，我们就可以解决一些与之相关的实际问题了。

例如，判断点与圆的位置关系、求解圆与直线的交点等。

这些问题不仅能够检验学生对知识的掌握程度，还能培养他们解决问题的能力。

四、课堂小结在本节课的教师应该对圆的方程进行总结，强调以下几点：- 圆的标准方程的由来和意义。

- 如何从一般方程推导出标准方程。

- 圆的方程在实际问题中的应用。

教师还应该布置适量的课后习题，以便学生巩固所学知识。

五、作业布置1. 写出下列各圆圆的方程：- 以原点为圆心，半径为5的圆。

- 圆心在点(3, -4)，半径为2的圆。

- 已知一般方程\[ x^2 + y^2 - 6x + 8y + 16 = 0 \]，求对应的标准方程。

2. 判断点(1, 2)是否在圆\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \]上，如果在，请说明是圆上还是圆内或圆外。

高考数学第一轮复习圆的方程学案（学生版）方程一、学习目标：优化设计P86 考纲解读二、自主学习：【课堂检测】1、方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是、2、圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是、3、过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是、4、以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为、5、直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2 (r＞0)的圆心位于第象限、【考点梳理】见优化设计P86考点梳理三、合作探究：例1、已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R)、（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程、例2、已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上、(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由、四、课堂总结：知识方法思想五、检测巩固：1、已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点、（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y 的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值、2、两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是、3、圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是、4、从原点O向圆：x2+y2-6x+=0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为、5、（xx四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为、六、学习反思：。