高二第二学期期中考试数学试题(理科)

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1 B．3 C1 D ．1-2. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞- B．(2,5)- C．[)(,2)5,-∞-+∞ D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5 B．2D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ )（=y)(xf的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15． 设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是 ．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的 方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。

高二第二学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1、复数1ii -的共轭复数的虚部为（）A .1B .1-C .12D .12-2、若2133adx a a =-+⎰，则实数a =（）A .2B .2-3、化简(为（）4、函数),a b 内的A .1个B 56A .157A .0B 8、4 A .129A .2-10A.6011、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()2x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线的方程是（）12、函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x '的图象如右图 所示，则()f x 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A.1B.43C.2D.83二、填空题（每小题5分，共20分）13、若()102100121021x a a x a x a x -=++++，则3a =.14、若()2120x i x i m ++++=有实数根，i 是虚数单位，则实数m 的值为. 15、若函数()()3261f x x ax a x =++++有极值，则实数a 的取值范围是 16、函数()()f x x R ∈满足()11,f =且()f x 在R 上的导函数()12f x '>，则不等式()12x f x +<的解集是.三、解答题（共计70分）17、（10n2倍.（1）求（218、（12（1）求（2）若19、（12（（20、（12（1）求（2（321、（1222、（12分）已知a R ∈，函数()ln 1.af x x x =+-（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值.高二第二学期期中考试数学试题（理科）答案一、选择题（每小题5分，共60分）CBCACADBADBB二、填空题（每小题5分，共20分）13、1680-；14、2-；15、36a a <->或16、(),1-∞ 三、解答题（共6个小题，总计70分） 17、（1）83n =分；01288888822565C C C C ++++==分.（2）848k k k --18、312分.19、6分；（212分. 20、（2)312x x =-令f '故(f 所以（33 ⎪⎝⎭3 ⎪⎝⎭故()f x 在223x x =-=或处取得最大值，又23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2227c +，()22f c =+，所以()f x 的最大值为2c +.因为()2f x c <在[]1,2-上恒成立，所以22,c c >+所以12c c <->或12分.21、（1）若两名老师傅都不选派，则有44545C C =种；…3分（2）若两名老师傅只选派1人，则有13414325425460C C C C C C +=种；…7分 （3）若两名老师傅都选派，则有224242233254254254120C C C C C C A C C ++=种. 故共有5+60+120=185种选派方法.……………………………12分22、（1）当1a =时，()()1ln 1,0,,f x x x x=+-∈+∞所以()()22111,0,.x f x x x x x -'=-+=∈+∞又f （2令f 若a 7若],a e 时，若a e 时，函(]0,e 上分。

2022年5月绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共6页．满分150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1． 已知x R ∈,命题“若20x >,则0x >”的逆命题,否命题和逆否命题中,真命题的个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2． 设复数11i aiz ++=(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数a =（A ）1 （B ）1- （C ）2（D ）2-3． 已知,,,O A B C 为空间四点,且向量,,OA OB OC 不能构成空间的一个基底,则一定有 （A ）,,OA OB OC 共线 （B ）,,,O A B C 中至少有三点共线 （C ）OA OB +与OC 共线 （D ）,,,O A B C 四点共面4． 一个关于自然数n 的命题,已经验证知1n =时命题成立,并在假设(n k k =为正整数)时命题成立的基础上,证明了当2n k =+时命题成立,那么综上可知,该命题对于 （A ）一切自然数成立 （B ）一切正整数成立 （C ）一切正奇数成立 （D ）一切正偶数成立5． 4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺,则最终获奖结果种数为（A ）34A （B ）34C （C ）34 （D ）436．如图,OABC 是四面体,G 是ABC ∆的重心,1G 是OG 上一点,且13OG OG =,则（A ）1OG OA OB OC =++ （B ）1111333OG OA OB OC =++（C ）1111444OG OA OB OC =++ （D ）1111999OG OA OB OC =++7．0a b <<是11a b b a+<+的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8. 若函数()sin cos f x a x x =+在[,]34ππ-上为增函数,则实数a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）(,-∞（C ）[（D ）(,[1,)-∞+∞9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱,问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要 安排甲乙丙等5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,其余两个实验舱各安排1人,若甲乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案有（A ）8种 （B ）14种 （C ）20种（D ）116种10．已知a ,b 是异面直线,,A B 是a 上的点,,C D 是b 上的点,2,1AB CD ==,且AC b ⊥, BD b ⊥，则a 与b 所成角为（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）90︒11．已知t 和3t +是函数32()f x x ax bx c =+++的零点,且3t +也是函数()f x 的极小值点, 则()f x 的极大值为 （A ）1 （B ）4 （C ）43 （D ）4912. 设0.0110099,,a b e c ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：用钢笔将答案直接写在答题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷中的横线上．13．已知函数2()2'(2)3f x x f x =++,则'(2)f 的值为__________. 14．某单位拟从,,,,,A B C D E F 六名员工中选派三人外出学习,要求: (1),A C 二人中至少选一人; (2),B E 二人中至少选一人; (3),B C 二人中至多选一人; (4),A D 二人中至多选一人.由于E 因病无法外出,则该单位最终选派的三位员工为:__________.15．将,,,A B C D 四份不同的文件放入编号依次为15-的五个抽屉,每个抽屉只能放一份文件,要求文件,A B 必须放入相邻的抽屉,文件,C D 不能放入相邻的抽屉,则满足要求的放置方法共有__________种.16．双曲正弦函数sinh()2x x e e x --=和双曲余弦函数cosh()2x xe e x -+=在工程学中有广泛的应用,也具有许多迷人的数学性质.若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 的图象分别相交于点,A B ,曲线1C 在A 处切线与曲线2C 在B 处切线相交于点P ，则如下命题中为真命题的有__________(填上所有真命题的序号).①(sinh())'cosh()x x =,(cosh())'sinh()x x =; ②22sinh ()cosh ()1x x +=; ③点P 必在曲线x y e =上;④PAB ∆的面积随m 的增大而减小.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）(1)请将下列真值表补充完整;(空格处填上“真”或“假”)(2) 给定命题:p 对任意实数x 都有210ax ax ++>成立;命题:q 关于x 的方程2x x a -+有实根.已知命题()p q ⌝∨和命题()p q ∨⌝都是真命题,求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90,2,1,ABC CA CB M ∠=︒==是1CC 的中点, 且1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长；(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值.19．（本题满分12分）某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现,该处的污染指数与附近污染源的 强度成正比,与到污染源的距离成反比,总比例常数为(0)k k >.现已知相距10km 的A ,B 两家化工厂(污染源),A 化工厂的污染强度未知,暂记为(0)a a >,B 化工厂的污染强度为4,它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和, 设()AC x km =.(1)试将y 表示为关于,,x k a 的等式;(2)调研表明y 在2x =处取得最小值,据此请推断出A 化工厂的污染强度. 20．（本题满分12分）在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,在“阳马”P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,棱PC 的中点为E ,3PF FB =,连接,,DE DF EF .(1) 若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为3π,求CBCD的值. (2) 设棱PA 与平面DEF 相交于点G ,且PG PA λ=,求λ的值;21．（本题满分12分）已知函数2()ln (0)f x x ax a =->.(1)若()f x 恰有一个零点,求a 的值;(2)若0x 是()f x 的零点,且2y x =在点200(,)x x 处的切线恰与ln y x =相切,求a 的值.22．（本题满分12分）已知函数()ln 1()f x x ax a R =++∈,'()f x 为()f x 的导函数. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若210x x >>,证明:对任意a R ∈,存在唯一的012(,)x x x ∈,使得12012()()'()f x f x f x x x -=-成立.绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）答案Ă.˞Պʚ123456789101112CBDCCDAABC BA12.由我们熟知的不等式e x ⩾x +1有e 0.02>1+0.02⇒e 0.01>√1.02,∴b >c又e −x >1−x,当x <1时,有1e x >1−x ⇒e x<11−x∴e 0.01<11−0.01=10099,∴a >bȕ.ฒ˭ʚ13.−414.A,B,F15.2416.1416.显然1正确;事实上,双曲函数满足cosh 2(x )−sin 2h (x )=1,这也是它名称的由来,2错误;C 1在A 处切线:y =cosh (m )(x −m )+sinh (m ),C 2在B 处切线:y =sinh (m )(x −m )+cosh (m ),由此求得两切线的公共点坐标为P (m +1,e m ),故P 在曲线y =e x −1上,3错误;|AB |=e −m ,由前面分析知P 到AB 距离为1,∴S △P AB =12e m,随m 增大而减小,4正确.Ɓ.̛٫ʚ17.(1)从上至下依次为“真”,“假”,“真”,“真”;(2)若命题p 为真命题,则a =0或a >0∆<0,解得a ∈[0,4),若命题q 为真命题,由∆⩾0,解得a ⩽14,要使(¬p )∨q 和p ∨(¬q )都是真命题,则需p,q 同真同假,若p,q 同真,则有a ∈[0,14],若p,q 同假,则有a ⩾4,综上可知,a 的取值范围为[0,14]∪[4,+∞).18.以B 为坐标原点,# »BC,# »BA,# »BB 1方向为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系B −xyz ,并设AA 1=h ,则相关各点坐标分别为:A (0,√3,0),A 1(0,√3,h ),B (0,0,0),B 1(0,0,h ),C (1,0,0),C 1(1,0,h ),M (1,0,h2)(1)∵# »AM =(1,−√3,h 2),# »BA 1=(0,√3,h ),且AM ⊥BA 1∴# »AM ·# »BA 1=0⇒h =√6,所以,AA 1=√6;(2)∵# »AC 1=(1,−√3,√6),而平面ABB 1A 1的法向量为#»n=(1,0,0),∴cos <# »AC 1,#»n >=1√10=√1010,所以,所求线面角的正弦值为√1010.19.(1)y =k (ax +410−x),x ∈(0,10);(2)y ′=k (4(10−x )2+a x 2)=k (4x 2−a (10−x )2(x (10−x ))2),由题意,y ′|x =2=0⇒16−64a =0⇒a =14,经检验知,当a =14时,y 在(0,2)上单减,在(2,10)上单增,满足题意.所以,A 化工厂的污染强度为14.20.以D 为坐标原点,# »DA,# »DB,# »DP 方向为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系D −xyz ,并设CD =2,CB =m ,则相关点坐标为:D (0,0,0),A (m,0,0),B (m,2,0),C (0,2,0),P (0,0,2),于是E (0,1,1),又3# »P F =# »F B ⇒# »DF =34# »DP +14# »DB ,所以# »DF =(m 4,12,32)由# »DF =(m 4,12,32)# »DE =(0,1,1)解得平面DEF 的法向量#»n 1=(−4,−m,m ),(1)易知平面ABCD 的法向量#»n 2=(0,0,1),∴cos <#»n 1,#»n 2>=m √2m 2+16由题意知,m √2m 2+16=12,由此解得m =2√2,∴CB CD =m 2=√2;(2)∵# »P G =λ# »P A,∴# »DG =# »DP +λ# »P A =(λm,0,2−2λ),由题意,∵G 是平面DEF 上一点,∴# »DG ⊥#»n 1⇒−4λm +m (2−2λ)=0由此解得:λ=13.21.(1)∵f ′(x )=2x −1x ,在(0,√22),f ′(x )<0,在(√22,+∞),f ′(x )>0,∴f (x )在(0,√22)单调递减,在(√22,+∞)单调递增,且当x →0时,f (x )→+∞,当x →+∞时,f (x )→+∞,∴由题意可知,x =√22是f (x )的唯一零点,由f (√22)=0,解得:a =√2e ;(2)y =x 2在(x 0,x 20)处切线l :y =2x 0(x −x 0)+x 20,整理得:l :y =2x 0x −x 20,设该切线与y =ln x 相切于(t,ln t ),则l :y =1t(x −t )+ln t,整理得:l :y =1t x +ln t −1,∴2x 0=1t x 20=1−ln t ⇒ln t =−ln 2x 0,∴x 20=1+ln 2x 0又由题知:x 20=ln ax 0,∴ln ax 0=1+ln 2x 0=ln 2ex 0∴a =2e 即为所求.22.(1)f ′(x )=1x+a (x >0)1当a ⩾0时,f ′(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)单调递增;2当a <0时,在(0,−1a ),f ′(x )>0,在(−1a,+∞),f ′(x )<0∴f (x )在(0,−1a )单调递增,在(−1a,+∞)单调递减;(2)设F (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x −f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,x ∈(x 1,x 2),显然F (x )在定义域内单调递减,F (x 1)=1x 1−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1−x 2(1−x 2x 1−ln x 1x 2)令x 1x 2=t ∈(0,1),G (t )=(1−1t−ln t ),则F (x 1)=(x 1−x 2)G (t )∵G ′(t )=1−tt2,∴在(0,1),G ′(t )>0⇒G (t )在(0,1)单调递增,∴G (t )>G (1)=0,故F (x 1)=1x 1−x 2G (t )>0,同理:F (x 2)=1x 2−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1−x 2(x 1x 2−1−ln x 1x 2)令x 1x 2=t ∈(0,1),H (t )=t −1−ln t,则F (x 2)=1x 1−x 2H (t )∵H ′(t )=1−1t,∴在(0,1),H ′(t )<0⇒H (t )在(0,1)单调递减,∴H (t )>H (1)=0,故F (x 2)=1x 1−x 2H (t )<0,综上可知,F (x )在(x 1,x 2)单调递减,且F (x 1)>0,F (x 2)<0,∴F (x )在(x 1,x 2)存在唯一零点x 0,使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,命题得证.。

高二下学期期中考试数学（理科）模拟试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分） 1．设复数i z i z +=-=3,121，则21z z z =在复平面内对应的点在 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于︒60”时，反设正确的是A ．假设三内角都不大于于︒60 B.假设三内角都大于︒60C ．假设三内角至多有一个大于于︒60 D.假设三内角至多有两个大于︒603．若复数2(4)(3)()z x x i x R =-++∈，则“z 是纯虚数”是“2x =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．函数()y f x =的图象如图所示，若()f x dx m π=⎰，则20()f x dx π⎰等于A ．mB ．2mC ．0D ．m -5．复数z 满足|3||3|z z -=+，且||5z =，则z 等于 A ．5± B ．5i ± C ．35i ±+ D ．34i ±± 6．20()x x e dx +⎰的值为A ．24e +B ．23e +C ．22e +D ．21e +7．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f '的图象最有可能是8．电视台某节目的现场观众来自四个单位，分别在图中四个区域内坐定，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色不受限制，那么不同着装的方法有几种。

A.80B.84C.108D.729．用数学归纳法证明*))(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⨯⨯⨯=+++ ，从“k 到k+1”，左端需要乘的代数式为（ ）A.2k+1B.2(2k+1)C.112++k k D.132++k k 10．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞11.对于函数x x x x f +-=2ln 3)(，下列说法正确的是：A 既有极大值，又有极小值B 只有极小值 ，没有极大值C 只有极大值，没有极小值D 没有极值12.定义：若存在常数k ，使得对于定义域D 内的任意两个不同的实数21,x x ，均有2121)()(x x k x f x f -≤-成立，则称函数)(x f 在定义域D 上满足利普希茨条件，对于 函数)1()(≥=x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值应是A 21 B 31 C 1 D 2二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13.曲线)0(2≥=x x y 与直线1=y 及直线2=x 所围成的曲边三角形的面积为 14.函数x e y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 15.若复数i x x z )1()1(2-+-=为纯虚数，其中R x ∈，则1-z = 16． 13．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此下去，得图（3）……， 试用n 表示第n 个图形的边数n a =______________. 三、解答题： 17.证明下列问题(1)求证：103112+<+(2)设a ,b,c,为均大于1的数，且10=ab ； 求证：c c c b a lg 4log log ≥+18．已知函数32()3,f x x ax x a R =-+∈（I ）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[1,5]x ∈上的最大值；（Ⅱ）若函数()f x 是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围。

张家口东方中学2012-2013学年第二学期期中考试高二数学（理科）试卷分值：150分 时间：120分钟 出卷人：李瑞兵第Ⅰ卷（选择题60分）一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分）。

1、将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（ ）A ．3种B ．15种C ．125种D ．243种2. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。

为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．363. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)的汽车大约有 ( ) A ．80辆 B ．70辆 C ．60辆 D ．30辆4.一道竞赛题，甲同学解出它的概率为21，乙同学解出它的概率为31，丙同学解出它的概率为41，则独立解答此题时，三人中只有一人解出的概率为（ ）A ．241B ． 2411C ．2417D ． １ 5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=（ ） A ．18 B ．14 C ．25 D ．126．对于回归分析，下列说法错误的是（ ）A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定.B ．线性相关系数可以是正的或负的.C ．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．D ．样本相关系数(1,1)r ∈-.7. 随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A.31 B.32 C. 1D. 08. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（ ）A ．23397C CB ．514100397C -C CC ． 2332397397C C +C CD ．5510097C -C9. 某校在模块考试中约有1000人参加考试，其中数学成绩2(90,) N x s ,（0s >，试卷满分为150分）,统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ）A ．200B ．300C ．400D ．600 10．若2014220140122014(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则010202014()()()a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=（ ）A.2012B.2013C.2014D.201511．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为 ( )．A ．x 2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋y 2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4 12．抛一枚均匀硬币,正,反面出现的概率都是21,反复投掷,数列}{n a 定义：⎩⎨⎧-=)(1)(1次投掷出现反面第次投掷出现正面第n n a n ,若)(21∙∈+++=N n a a a S n n ,则事件04>S 的概率为 （ ）A ． 1/16B ．1/4C ． 5/16D ．1/2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分）。

2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．1604．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）10．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2D．d2＜d1＜111．已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞012．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加．解答：解：因为z=1﹣i，所以=．故选D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．4．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：导数的几何意义；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，同时考查了数形结合法的应用，本题属于中档题．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），∴，∴c=3故选：C．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．6．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．解答：解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a＞5）得：b=5，则a==，由椭圆的定义可得，△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．点评：本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种考点：分类加法计数原理．专题：分类讨论．分析：4枚硬币摆成一摞，应该有3类：（1）正反依次相对，（2）有两枚反面相对，（3）有两枚正面相对；本题（1）（2）满足题意．解答：解：记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112；共5种摆法，故选B点评：本题考查的是排列组合中的分类计数原理，对于元素较少的可以利用列举法求解；属于基本知识和基本方法的考查．8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；简易逻辑．分析：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可；②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论；③直接写出全称命题的否定判断；④利用基本不等式，可得结论．解答：解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，考查了命题的否命题、全称命题的否定、充要条件，属于中档题．9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）≥0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．解答：解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）≥0∴有，即当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2]时，f（x）为减函数∴f（1）≥f（2），f（3）≥f（2）∴f（1）+f（3）≥2f（2）故选：C点评：本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小．10．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ）A ． 1＜d 1＜d 2B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜1考点： 点、线、面间的距离计算．专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析： 过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角，能够推导出d 2＜d 1＜1．解答： 解：过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE ＜CB ，即d 2＜1．同理，d 1＜1．再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d 2＜d 1．所以d 2＜d 1＜1．故选D ．点评： 本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（ ）A ． ||＞||B ． ||＜||C ． |﹣|=0D ． |﹣|＞0考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 特殊化，取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，可得+==2，+==2，即可得出结论．解答： 解：取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C点评： 特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法．12．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n，再求相应的函数值．解答：解：∵函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，∴P（1，1），∵y=x n+1，∴y′=（n+1）x n，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，故y=x n+1在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0可得x=，即该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==﹣1，故选B．点评：本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是2﹣2．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．解答：解：由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为：2﹣2点评：本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解答：解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n2﹣n+5．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据数阵的排列规律确定第n行（n≥3）从左向右的第3个数为多少个奇数即可．解答：解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n ﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为为第个奇数，所以此时第3个数为：1=n2﹣n+5．故答案为：n2﹣n+5．点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是2．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2a，0），C（﹣，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x=a上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（a，+），由条件=x+y，得（a，+）=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．当且仅当a=1时取等号．故答案为：2．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题．分析：（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1．（2）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1两两垂直．由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．解答：（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．考点：二维形式的柯西不等式；函数恒成立问题．专题：选作题；不等式．分析：（Ⅰ）利用柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3，问题等价于|x﹣1|+|x+1|≥3．解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；（Ⅱ）由于摸球次数为ξ，按题意则ξ=1，2，3，4，利用随机变变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得．解答：解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．则P（A）=，P（B）==；三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P（C）==；（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．，，，．故取球次数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P=．点评：此题考查了学生的理解及计算能力，考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，还考查了离散型随机变量的定义及分布列，随机变量的期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t ﹣t的性质求解．解答：解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．点评：本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，是高考中经常考查的知识点和方法，特别是第二小问，通过数形转化后，对于“∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，”的处理介绍了两种方法，对于拓宽学生的思维，拓展学生的思路有一定的指导作用，不过不管是哪种方法，最终都需要用导数的知识来进一步分析．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由直线l的方程为x+2y﹣1=0，求出C，D的坐标，进而可求△OCD外接圆的圆心与半径，即可求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），与椭圆方程联立，由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合，利用韦达定理，求出k，由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|，求出m，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）因为直线l的方程为x+2y﹣1=0，所以与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点．…（1分）则线段CD的中点，，…（3分）即△OCD外接圆的圆心为，半径为，所以△OCD外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则，D（0，m），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，…（7分）所以△=16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题．分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k 时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答：解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．。

昆十六中高二年级下学期期中考试数学试卷(理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上．１。

一个容量为3２的样本，已知某组样本的频率为 0。

375,则该组样本的频数为( ）A。

4 B.8 ﻩC。

12ﻩﻩD。

162、若，且是第二象限角，则的值为 ( C )A. B. Ｃ.ﻩＤ.3、某几何体的正视图和侧视图都是边长为１的正方形，且体积为,则该几何体的俯视图可以是（C）ﻩＡ。

Ｂ。

ﻩC. ﻩD．4.已知:函数f(x)= 错误!;则满足f（x)= 错误! 的x的值为(B )A 2 Ｂ 3 C 错误! D错误!5、现有男大学生6名,女大学生4名，其中男、女班长各1人。

从这10人中选派5人到某中学顶岗，班长中至少有一人参加,则不同有选派方法有（）A。

169种ﻩＢ。

140种ﻩＣ。

126种ﻩD。

196种6.曲线ｙ＝ ln ｘ(ｘ＞0）的一条切线为ｙ = 2x + m,则m的值为（ D )ﻫＡ ln２－1Ｂ 1—ｌn2 Ｃ 1+ln２ D -1－ｌn２7.已知:定义域为Ｒ的函数ｆ(x)为奇函数,当x＞0时,f（x)= x３+１;则ｘ＜0时，ｆ（x)的解析式为( B)ﻫＡ f(x)= x３+1 B f(x）= x3 -1 C ｆ(x)= —x3 +1D ｆ（x)＝ -ｘ3 -18.△ＡBC中,∠A ＝错误!，边BＣ = 错误!，错误!·错误!= ３,且边AB ＜ AＣ，则边AB的长为(A)ﻫA ２ B 3 Ｃ 4 D 69．已知等差数列｛ａn ｝的公差为2,若a１，a3，a４成等比数列.则a2的值为( C )ﻫA —4B 4C —6D 610．设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使，且,则双曲线的离心率为( B )A. ﻩﻩＢ．ﻩC．ﻩﻩＤ.11、、是空间不同的直线，、是空间不同的平面，对于命题,命题，下面判断正确的是A. 为真命题ﻩB．为真命题为真命题ﻩD.为假命题１2。

蚌埠二中—第二学期期中考试高二数学试题（理科）（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）命题人：赵永琴注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡 1.命题“若x 2+y 2=0，则x,y 全为0”的否命题是 （ ）A.若x 2+y 2≠0,则x,y 全不为0.B.若x 2+y 2≠0，则x,y 不全为0.C.若x 2+y 2≠0,则x,y 至少有一个为0.D.若x,y 不全为0，则x 2+y 2≠0.2. 下列有关命题的说法正确的是 （ ）A ．若p q ∨为真命题，则,p q 均为真命题B ．命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是“∀x R ∈, 210x x -+≥ ”C ． “33k -<<”是“方程22133x y k k +=-+表示椭圆”的充要条件 D ．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件3. 已知曲线3x y =上过点（2，8）的切线方程为01612=--ay x ，则实数a 的值为（ ） A ． －1 B ． 1 C ． －2 D ． 2 4.给出下列命题：①直线l 的方向向量为a=(1,-1,2)，直线m 的方向向量为12b=(2,1,-)则l m ⊥ ②直线l 的方向向量为a=(0,1,-1)，平面α的法向量为n=(1,-1,-1)，l ⊂α≠则l ⊥α. ③平面,αβ的法向量分别为12n =(0,1,3),n =(1,0,2)，则 //αβ.④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中真命题的序号是 （ ） A ．②③ B ．①④ C ．③④ D ．①② 5．设命题p ：x ∀∈R ，2210ax x -+≥， 则命题p 为真命题的充分非必要条件的是（ ） A ．1a ≥ B ．2a > C ．1a ≤ D ．2a <6．已知4AB =，点P 在,A B 所在的平面内运动且保持6PA PB +=，则PA 的最大值和最小值分别是 ( )A 53B ．10和2C ．5和1D ．6和47.若点M 在平面ABC 内，且满足OC OB OA p OM 32-+=(点O 为空间任意一点),则抛物线22y px =的准线方程是 （ ）A . 1x =-B . 1x = C. 1y =- D .1y =8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( )A ．[1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) 9.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米， 水面宽4米.水下降1米后，水面宽为( )3米 B ．23米 6 D.2610．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为 （ ）A ．212- Ｂ21 Ｃ．13- Ｄ．213- 第Ⅱ卷（填空与解答题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高二下学期期中考试 数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()23z i i -=+，则Z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．将4封信投入3个信箱，可能的投放方法共有（ ）种 A ．12B ．24．C ．81D ．643．甲乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.55，那么甲不输的概率为（ ） A ．0.25B ．0.3C ．0.55D ．0.854．今有8件不同的奖品，从中选6件分成三份，两份各1件，另一份4件，不同的分法有（ ） A ．420B ．840C ．30D ．1205．若随机变量X 服从正态分布(8,1)N ，则(910)P X <<=（ ）附：随机变量()()2,0x Nμσσ->，则有如下数据：()0.6826P x μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=A ．0.4472B ．0.3413C ．0.1359D ．16．若3nx x ⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）A ．9B ．18C ．135D ．12157．5人排成一排，要求甲乙两人之间至多有1人，则不同的排法有（ ）种． A ．84B ．72C ．96D ．488．某人射击一次击中目标的概率为0.5，则此人射击3次至少2次击中目标的概率为（ ） A ．38B ．34C ．18D ．129．已知随机变量X 的分布列为：X 0 1P1P - P若()(01)4D X p =<<，则P 的值为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．2310．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是（ ） A ．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B ．在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有C ．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打鼾D ．在100个心脏病患者中一定有打鼾的人11．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．240种D ．120种12．某公司过去五个月的广告费支出X 与销售额Y （单位：万元）之间有下列对应数据：x2 4 5 6 8y▲ 40 60 50 70工作人员不慎将表格中y 的第一个数据丢失，已知y 对x 呈线性相关关系，且回归方程为 6.517.5y x =+，则下列说法：①销售额y 与广告费支出x 正相关：②丢失的数据（表中▲处）为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告投入8万元，则销售额为69.5万元．其中，正确说法有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知，(234022342 5x a a x a x a x a x -=++++4，则()()202423a a a a a ++-+=__________．14．设随机变量ξ服从正态分布()5,3N ，若()(3)1P a P a ξξ>+=<-，则实数a =__________． 15．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站3人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．（用数字作答）．16．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为35和13，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是__________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知复数()()2212433()Z i m i m i m R =+-+-+∈（1）当m 为何值时，Z 为纯虚数?（2）当m 为何值时，Z 对应的点在21y x =+上?18．已知2nx x ⎫⎪⎭的展开式中，第3项和第10项的二项式系数相等．（1）求n ；（2）求展开式中4x 项的系数．19．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是12和25假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率20．某校准备从报名的6位教师（其中男教师3人，女教师3人）中选3人去边区支教． （I ）设所选3人中女教师的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（II ）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率． 21．某中学研究性学习小组为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调查结果表明，在爱看课外书的24人中有18人作文水平好，另6人作文水平一般；在不爱看课外书的26人中有7人作文水平好，另19人作文水平一般．（I ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系?高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表爱看课外书不爱看课外书总计 作文水平好 作文水平一般总计（Ⅱ）将其中某4名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4，某4名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为2的倍数或3的倍数的概率．参考公22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++·参考数据：()20P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售单价x （元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量y （件）111086514.2（1）根据1至5月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．附：回归直线方程y bx a =+，其中1221ni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑，ˆa y bx =-，55211392502.5i i ii i x y x ====∑∑1、在最软入的时候，你会想起谁。

山西大学附中 2012～2013学年第二学期高二期中考试 数学试题（理科） （考试时间：90分钟 满分150分 ） 一、选择题（每题5分） 1 ．复数的值是（ ） A．2B．C．D． 2．的系数是（ ）A 20B 160C 240D 60 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列中，，，由此归纳出的通项公式 ．曲线与直线所围成的图形面积是( ) A． B． C. D． 是可导函数，且（ ） A． B．－1 C．0 D．－2 6． 从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为36B．30C．24D．12 ．如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为( ) ，则的值为（ ）A -1B 1C 2 D 9. 设，. 若当时，恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D.[ 10．已知f(x)是偶函数，当.x∈[0，]时，f(x)=xsinx,若a=f(cos1)，b=f(cos2) , c=f(cos3)，则 a，b，c 的大小关系为（ ）A. a < b < cB. b < a < cC. c < b < aD. b < c < a 11．已知在处取最大值，以下各式正确的序号为（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①④ B．②⑤ C．②④ D．③⑤ 12. 设函数在上有定义.对于给定的正数,定义函数,取函数.若对于任意的恒有,则 ( )A. 的最小值为B. 的最大值为C.的最小值为2D.的最大值为2 二、填空题（每题6分） 13．设函数,若,则 . 14．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是______ ．:] 15．在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数.如排列 1,3,5, 4,2中，3，2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2为逆序，逆序数是4.现有从1?101 这101个自然数的排列:1，3，5，7，…,99 ,101 ,100, 98，…,6,4,2 ,则此排列的逆序数是______ .[ 16.已知函数，则下列命题正确的是______ . ① ②； ③； ④； ⑤ 山西大学附中 2012～2013学年第二学期高二期中考试 数学试题答卷纸（理科） （考试时间：90分钟 满分150分 命题人：） 选择题 （每小题5分， 共60 分） 题号123456789101112答案 二、填空题（每题 6分， 共 24 分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题 （共66 分。

2020-2021学年度第二学期高二理科数学期中考试卷第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）.1．如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等，那么b=（）A．2 B．1C．2D．42．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（）A．168B．167C．153D．1353．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（）A．261种B．360种C．369种D．372种4．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程ŷ=9.4x+9.1，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.55．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（）A．12B．13C．14D．166．如图是某高三学生14次模考数学成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，2A，…，A14.将14次成绩输入程序框图，则输出的结果是（）本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

A．8B．9C．10D．117．已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，则（）A．a0=0B．a3=−280C．a1+a2+⋅⋅⋅+a7=−3D．a1+2a2+⋅⋅⋅+7a7=−7 8．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个9．武威创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A．19B．16C．13D．1210．若m,n,l为空间三条不同的直线，α,β,γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若m⊥l,n⊥l，则m//n B．若m⊥β,m//α，则α⊥βC．若α⊥γ,β⊥γ,则α//βD．若α∩β=m,β∩γ=n,m//n,则α//β11．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点在直线x+y−1=0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A､B两点，则|AB|=（）A ．12B ．14C ．16D ．1812．定义在R 上的函数()y f x =满足()6()f x f x -=，()()3'()03x f x x ->≠，若()()010f f ⋅<，则函数()f x 在区间()5,6内（ ）A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．至少有2个零点D ．可能有无数个零点第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）.13．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两个总分和为X ，则X =3的概率是______．14．二项式(3x +2x )6(n ∈N ∗)的展开式中的x 2系数为_________.(用数字作答)15．如图所示的茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为__________．16．由下面的茎叶图可知，甲组37．如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______． 四、解答题（共70分）17（10分）．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外都相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列．18（12分）．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40,50)，50,60)，60,70)，…，[90,100]，得到如下频率分布直方图．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

智学大联考·皖中名校联盟合肥2023-2024学年第二学期高二年级期中检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上）1.甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是112p =，213p =，那么只有一人解答对的概率是（）A.16B.12C.13D.56【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率公式，即可求解.【详解】只有1人答对的概率()()1212121111123232P p p p p =-+-=⨯+=.故选：B2.若6x⎛- ⎝的展开式中常数项为15，则=a （）A.2 B.1C.1± D.2±【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式和常数项为15，求解出a【详解】6x⎛- ⎝的通项公式()3662166C C rr r r r r r T x a x --+⎛==- ⎝,令3602r -=，则4r =，由展开式中的常数项为15，故()446C =15a -，所以1a =±.故选：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，84a =，则10S =（）A.50 B.63C.72D.135【答案】A 【解析】【分析】思路一：由已知利用等差数列的求和公式和通项公式求解1a 和d ，即可求解10S ；思路二：由530S =得36a =，结合84a =、等差数列求和公式以及等差数列下标和性质即可求解.【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得1154530274d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得134525a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10110910502dS a ⨯=+=.方法二：()()5152433530S a a a a a a =++++==，所以36a =，从而由等差数列求和公式得()()()()11010110381055564502a a S a a a a +==+=+=⋅+=.故选：A .4.若曲线2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直，则实数a 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】求导2ay x x'=-，12x y a ='=-与直线2y x =-垂直，求出a 的值.【详解】由2ln y x a x =-，求导2a y x x'=-，则2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线的斜率为12x y a ='=-，而2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直,则21a -=-，故3a =.故选：D5.将分别标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入,,A B C 三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，则不同放法的总数为（）A.2B.24C.36D.18【答案】C 【解析】【分析】将所有情况分为标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球和共有3个小球两种情况，结合分组分配、平均分组问题的求法，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】若标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球，则剩余三个小球需放入两个不同的盒子中，将剩余三个小球分为12+的两组，则共有13C 3=种分法；将分组后的小球放入三个盒子中，共有33A 6=种放法，则共有1863=⨯种方法；若标有数字1和2的小球所放入盒子中共有3个小球，则需选择一个小球与标有数字1和2的小球放在一起，有13C 3=种选法；将剩余两个小球平均分为两组，有1222C 1A =种分法；将分组后的小球放入三个中，共有33A 6=种放法，则共有31618⨯⨯=种方法；综上：不同放法的总数为181836+=.故选：C.6.已知12e a -=，3ln 2b =，12c =，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.c a b>> D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数及对数函数的单调性判断即可.2<12>，即a c >，又322lnl 94n ln e=12b ==<，所以12b c <=，所以a c b >>.故选：D.7.随机变量X 的取值为1，2，3，若()115P X ==，()2E X =，则()D X =（）A.15B.25C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】根据概率之和为1，以及方差公式，即可解得()2P X =和()3P X =，进而利用方差公式直接求解即可.【详解】由题知，()()()423115P X P X P X =+==-==，又()()()()122332E X P X P X P X ==+=+==，所以()()922335P X P X =+==，所以()325P X ==，()135P X ==，所以()()()()22213121222325555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.故选：B8.设O 为坐标原点，直线1l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且与C 交于A B 、两点（点A 在第一象限），min 4AB =，l 为C 的准线，AM l ⊥，垂足为M ，()0,1Q ，则下列说法正确的是（）A.4p =B.AM AQ +的最小值为2C.若3MFO π∠=，则5AB = D.x 轴上存在一点N ，使AN BN k k +为定值【答案】D 【解析】【分析】对于A 选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B 选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C 选项，得到A 点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得B 点的坐标进而求得；对于D 选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入AN BN k k +进行化简，要使得为定值，1t =-，从而存在点N .【详解】A 选项，因为1l 过焦点F ，故当且仅当AB 为通径时，AB 最短，即min 24AB p ==，从而2p =，故A 错误；B 选项，由抛物线的定义知AM AF =，所以AM AQ AF AQ +=+，由图知，当且仅当Q A F 、、三点共线时，AF AQ +取得最小值，即()minAM AQ QF +==B 错误；C 选项，由图K 是抛物线的准线l 与准线的交点，所以2FK p ==，在MFK Rt 中，3MFO π∠=，所以KM =，所以A y =，所以(3,A，所以1:l y =-，联立24y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得231030x x -+=，得13,3A B x x ==，从而123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1163233AB =++=，故C 错误；D 选项，设1:1l x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩得2440y my --=，216160m +>，设()()1122,,,A x y B x y ，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，设x 轴上存在一点(),0N t ，则1212121211AN BN y y y y k k x t x t my t my t+=+=+--+-+-()()()()()()()()()()()1212222222212122124414111441114my y t y y m m tm t m y y m t y y t m t m t t m t+-+-+--+===+-++--+-+---，故当1t =-时，0AN BN k k +=，即存在()1,0N -使得AN BN k k +为定值0，故D 正确.故选：D .二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个选项部分选对得3分；三个选项选对一个得2分，选对两个得4分，选错得0分.请把正确答案涂在答题卡上）9.已知数列{}n a 满足11a =，()*12N nn n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（）A.45a = B.{}n a 为等比数列C.221221213a a a -+++=D.231222213a a a -+++=【答案】AC 【解析】【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A ，B ，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C ，D.【详解】数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n ++=∈N，则122a a+=，234+=a a ，3342a a +=，有21a =，33a =，45a =，A 正确；显然211a a =，323a a =，因此数列{}n a 不是等比数列，B 错误；1221123520214()()()a a a a a a a a a a +++=++++++++ 11112224201(14)412112+2++2===1433⨯---=+- ，C 正确.()()()122212342122a a a a a a a a a +++=++++++ ()1111231321214242222+2++2===1433-⨯--=- ，D 错误；故选：AC 10.已知()14P A =，()13P B A =.若随机事件A ，B 相互独立，则（）A.()13P B =B.()112P AB =C.()34P A B =D.()1112P A B +=【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得.【详解】随机事件A ，B 相互独立，()14P A =，()13P B A =，对于A ，()()()()1()()()3P A P B P AB P B P B A P A P A ====，A 正确；对于B ，()111()()4312P AB P A P B ==⨯=，B 正确；对于C ，()()()()3()1()()()4P AB P A P B P A B P A P A P B P B ====-=，C 正确；对于D ，()11113()()()1)43434P A B P A P B P AB +=+-=+---=，D 错误.故选：ABC11.已知函数()2ln x f x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-B.()f x 的单调递减区间为()e,+∞C.若()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<D.对任意两个不相等正实数1x ，2x ，若()()12f x f x =，则212ex x ⋅>【答案】AD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用导数的几何意义，即可求解；选项B ，对()f x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；选项C ，作出()2ln x f x x =的图象，数形结合即可求解；选项D ，由条件知1212ln ln x x x x =，设120e x x <<<，构造函数ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，利用2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调性，得到2121e ()()()h x h x h x =<，再利用ln ()x h x x =的单调性即可求解.【详解】对于选项A ，因为()2ln x f x x=，所以当0x >时，()222ln x f x x -'=，所以()12f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-，故选项A 正确，对于选项B ，易知函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为()222ln x f x x-='，由()0f x '<，得到22ln 2ln e x >=，解得e x <-或e x >，所以()f x 的单调递减区间为(),e ∞--，()e,∞+，所以选项B 错误，对于选项C ，因为()222ln x f x x -='，由()222ln 0x f x x-'=>得到e e x -<<且0x ≠，所以()f x 的增区间为区间()e,0-，()0,e ，由选项B 知，()f x 的减区间为(),e ∞--，()e,∞+，又22(e),(e)e ef f =-=-，当x →-∞时，()0f x <，且()0f x →，当x →+∞时，()0f x >，且()0f x →，当0x <且0x →时，()f x →+∞，当0x >且0x →时，()f x →-∞，其图象如图所示，由图知，()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<且0a ≠，所以选项C 错误，对于选项D ，由题知()1212122ln 2ln ()x x f x f x x x ===，得到1212ln ln x x x x =，由图，不妨设120e x x <<<，设ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，则222222222e e 1ln 1ln (1ln )(e )()()()e ex x x x H x h x h x x x x ----'''=+=-=，当0e x <<时，1ln 0x ->，22e 0x ->，所以()0H x '>，即2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调递增，又(e)(e)(e)0H h h =-=，所以2111e ()()()0H x h x h x =-<，得到2121e ()()()h x h x h x =<，又21ln ()x h x x-'=，当e x >时，()0h x '<，即ln ()xh x x =在区间(e,)+∞上单调递减，又221e e,e x x >>，所以221e >x x ，得到212e x x ⋅>，所以选项D 正确，故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.）12.已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，132n n S S +=+，则5a =____________.【答案】108【解析】【分析】由题设可得122n n a S +=+，利用,n n a S 的关系求出数列通项，进而求出5a 即可.【详解】由题意可知，111,32n n a S S +==+，所以122n n a S +=+，则12)2(2n n a S n -=+≥，所以12n n n a a a +=-，则13(2)n n a a n +=≥，又因为11a =，所以21224a S =+=，所以数列{}n a 从第二项开始成等比数列，因此通项公式为22,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，所以3543108a =⨯=.故答案为：108.13.设()525012512x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则135a a a ++=____________.【答案】122【解析】【分析】分别令1x =和=1x -，作差即可求得结果.【详解】令1x =，则50123453243a a a a a a +++++==；令=1x -，则()501234511a a a a a a -+-+-=-=-；两式作差得：()()135********a a a ++=--=，135122a a a ∴++=.故答案为：122.14.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，经过点F 作直线l 与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M ，直线l 与双曲线的另一条渐近线相交于点N ，若3MN MF =，则双曲线的离心率e =____________.【答案】3【解析】【分析】设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，从而有22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，根据条件有212y y =-，从而得到2229b t a =，再利用bt a=-，即可求出结果.【详解】易知(c,0)F ，如图，由对称性不妨设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消x 得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，则22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，因为3MN MF =，所以212111(,)3(,)x x y y c x y --=--，得到2113y y y -=-，即212y y =-，将212y y =-代入22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a +=-=--，整理得到2229b t a =，又易知b t a =-，所以2229(b b a a -=，得到223b a =，即2213b a =，所以双曲线的离心率c e a ===，故答案：3.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，37S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，根据题意列式求1,a q ，即可得通项公式；（2）由（1）可知：12n n b n -=⋅，利用错位相减法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 公比为q ，由题意可得212311127a a q S a a q a q ==⎧⎨=++=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，又因为等比数列{}n a 为递增数列，可知112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）可知：12n n b n -=⋅，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ，可得12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()0211222222212112n n nn n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ，所以()121n n T n =-⋅+.16.某大学为丰富学生课余生活，举办趣味知识竞赛，分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：①个人赛规则：每位学生需要从“历史类、数学类、生活类”问题中随机选1道试题作答，其中“历史类”有8道，“数学类”有6道，“生活类”有4道，若答对将获得一份奖品.②对抗赛规则：两位学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得1-分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，每轮获得1分的学生会获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）学生甲参加个人赛，若学生甲答对“历史类”“数学类”“生活类”的概率分别为15，25，35，求学生甲答对所选试题的概率；（2）学生乙和学生丙参加对抗赛，若每道题学生乙和学生丙答对的概率分别为13，12，求三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率.【答案】（1）1645；（2）2572.【解析】【分析】（1）根据题意可知分三类求解：选题为历史类并且答对，选题为数学类且答对，选题为生活类且答对，由条件概率和全概率计算即可；（2）可先求出乙同学每轮获得1分的概率，然后由二项分布概率模型计算即可.【小问1详解】设学生甲选1道“历史类”试题为事件A ，选1道“数学类”试题为事件B ，选1道“生活类”试题为事件C ，答对试题为事件D ，则()844689P A ==++，()614683P B ==++，()424689P C ==++，()15P D A =，()25P D B =，()35P D C =，所以：()()()()()()()41122316|||95359545P D P A P D A P B P D B P C P D C =++=⨯+⨯+⨯=，故学生甲答对所选试题的概率为1645.【小问2详解】由题可知每一轮中学生乙得1分的概率为1111326⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，在3轮比赛后，学生乙得1分的概率为21131525C 6672P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率为：2572.17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，且120AF AF ⋅= ，动直线l 与椭圆交于,P Q 两点；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，2PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0E ，椭圆的左顶点为B ，当BPQ V时，求直线l 的斜率k .【答案】（1）22142x y +=（2）1±【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）设:1l x ty =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据1212BPQ S EB y y =⋅- ，结合韦达定理可构造方程求得结果.【小问1详解】由题意得：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，()1,AF c b ∴=-- ，()2,AF c b =- ，22120AF AF c b ∴⋅=-+= ，即22b c =，22222a b c b ∴=+=；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，:l x c =±，不妨令:l x c =，由22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2b y a =±，222b PQ a ∴==，由222222a b b a⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为：22142x y +=.【小问2详解】由题意知：直线l 斜率不为0，可设:1l x ty =+，由221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222230t y ty ++-=，则()222Δ412216240t t t =++=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12222t y y t +=-+，12232y y t =-+，1222462y y t ∴-=+，又()2,0B -，()123EB ∴=--=，12213222BPQ S EB y y t ∴=⋅-=⨯=+ ，解得：1t =±，∴直线l 的斜率11k t==±.18.已知函数()()1ln 1a x x g x x +-=-，（R a ∈）.（1）若1a =，求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()1y g x x=+有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x 单调递增区间()0,1，()g x 单调递减区间()1,+∞（2）2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导后构造函数()21ln x x x ϕ=--，再求导分析单调性，得到()10ϕ=，进而得到()g x 的单调性即可；（2）问题等价于2ln 0a x x a -+=有两解，构造函数()2ln f x a x x a =-+，求导分析单调性，得到202f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，再结合对数运算解得2e a >，之后构造函数()8ln 414e g t t t t a ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，求导分析单调性和最值，验证即可.【小问1详解】当1a =，()ln x g x x x=-，()221ln ,0x x g x x x--=>，当0x >，令()21ln x x x ϕ=--，则()12,0x x x xϕ=-->'，因为()0x ϕ'<恒成立，所以()x ϕ在()0,∞+上为减函数，因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()1,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 单调递减.【小问2详解】根据条件()1y g x x=+有两个零点等价于2ln 0a x x a -+=有两解.不妨令()2ln f x a x x a =-+，则()2a f x x x='-（0x >），当0a ≤时，()0f x '<在定义域()0,∞+内恒成立，因此()f x 在()0,∞+递减，最多一个零点，不符.当0a >时，由()0f x '>，解得02x <<；()0f x '<，解得2x >；所以，0a >时，()f x 的单调减区间为,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，增区间为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；若()f x 有两个零点，则必有2222ln 0222f a a ⎛⎫⎛=-+> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，化简得ln 102a +>，解得2e a >，又因2110e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()()24ln 416ln 4161f a a a a a a a a =-+=-+，即()()8114ln 4144e t h t t t t a h t t t -⎛⎫=-+=>⇒=-= ⎪⎝'⎭，当8,e t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0h t '<恒成立，即()h t 在8,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，可得()883283232ln 1ln ln e ln 80e e e e e eh t g ⎛⎫≤=-+=-+=-< ⎪⎝⎭，也即得()0h t <在8,et ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭恒成立，从而可得()f x 在1,e 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,42a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭区间上各有一个零点，综上所述，若()f x 有两个零点实数a 的范围为2,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：函数零点问题可理解为方程根的个数问题，求导分析单调性和极值可求解.19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处n （*n ∈N ）阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++++''' .注：()f x ''表示()f x 的2阶导数，即为()f x '的导数，()()n f x （3n ≥）表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）写出()11f x x =-泰勒展开式（只需写出前4项）；（2）根据泰勒公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；（3）证明：当0x ≥时，2e sin cos 02xx x x ---≥.【答案】（1）()231f x x x x =+++（2）0.48（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求解()f x 的一阶，二阶，三阶导数，代入公式可得答案；（2）写出sin x 的泰勒公式，代入12可得答案；（3）方法一利用泰勒公式得2e 12xx x ≥++，把不等式进行转化，求最小值可证结论；方法二构造函数，通过两次导数得出函数的最小值，进而可证结论.【小问1详解】()11f x x=-，()()21=1f x x '-，()()32=1f x x ''-，()()()346=1f x x -；()()00=1f f '=，()0=2f ''，()()30=6f ；所以()23111f x x x xx ==+++-.【小问2详解】因为()()sin cos ,cos sin x x x x ''==-，由该公式可得357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，故111sin 0.482248=-+≈ .【小问3详解】法一：由泰勒展开2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，易知当0x ≥，2e 12xx x ≥++，所以222e sin cos 1sin cos 222xx x x x x x x x ---≥++---1sin cos sin x x x x x =+--≥-，令()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00f x f ≥=，即证得2e sin cos 02xx x x ---≥.法二：令()2e sin cos 2xG x x x x =---，()πe 4x x G x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，易知当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，e x y x =-，π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均为增函数，所以()πe 4x x G x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭'单调递增，所以()()00G x G '≥='，所以当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()G x 单调递增，所以()()00G x G ≥=，当3π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()22e sin cos e 222x x x x G x x x =---≥--，令()2e 22xF x x =--，则()e 0x x F x =-≥'，则()2e 22x F x x =--单调递增，则()()22e 2e 2022xF x F x =--≥=-≥，综上，原不等式得证.【点睛】方法点睛：导数证明不等式的常用方法:1、最值法：移项构造函数，求解新函数的最值，可证不等式；2、放缩法：利用常用不等式对所证不等式进行放缩，利用传递性进行证明.。

期中数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.用反证法证明命题：“若a+b＞0，则a，b至少有一个大于0．”下列假设中正确的是（）A. 假设a，b都不大于0B. 假设a，b都小于0C. 假设a，b至多有一个大于0D. 假设a，b至少有一个小于03.（-sin x）dx=（）A. -2B. -1C. 1D. 24.若（x-2）n（n∈N*）展开式中的二项式系数的和为128，则n=（）A. 4B. 5C. 6D. 75.若函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（1，+∞），则实数a的值为（）A. 1B. 2C.D. e6.2位运动员和她们各自的教练合影，要求每位运动员与她们的教练站一起，这4人排成一排，则不同的排法数为（）A. 10B. 8C. 12D. 167.已知函数f1（x）=sin x，f n+1（x）=f n′（x），则=（）A. B. - C. D.8.若a=ln4，，，则a，b，c的大小关系为（）A. a＞c＞bB. a＞b＞cC. b＞a＞cD. c＞a＞b9.已知函数f（x）=2x3-3ax2（a＞0）在区间[0，1]上的最大值为0，则实数a的取值范围为（）A. B. [1，+∞） C. D. （0，2]10.在如图所示的规律排列的数阵中：若第m行第n列位置上的数记为，则=（）A. 286B. 288C. 290D. 29211.若函数f（x）=ae x-x2（a∈R）有三个零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，）B. （0，）C. （0，e）D. （0，2e）12.若定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞f（x）+1其中f′（x）是f（x）的导数，且f（0）=3，则不等式f（x）+1＜4e x的解集为（）A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （-∞，1）D. （1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（1-x）（1+2x）6展开式中，x3的系数为______．14.已知i为虚数单位，则1+i+i2+…+i2019=______．15.若函数f（x）=x3+ax2-ax+1没有极值点，则实数a的取值范围为______．16.某高校大一新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团．若每个社团至少一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，其中同学甲不参加“街舞俱乐部”，则这五名同学不同的参加方法有______种．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若x∈R，a=x2-x，b=x2-3x+2．证明：a，b至少有一个不小于0．18.已知函数f（x）=x3-x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）求过点（1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+x+1，当x=1时，函数f（x）有极值1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）-m=0有一个实数根，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}满足：a1=1，．（1）求a2，a3，a4，a5，并猜想{a n}的通项公式（不用证明）．（2）若数列{a n}的前n项和为S n，当n＞1时，求证：S n＜n．21.已知函数．（1）证明：x＞ln x；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．22.已知函数f（x）=ae x+be-x+cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且f′（0）=c+2．（1）求a，b的值；（2）若c=-1，请判断函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个极值点，求实数c的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：若a+b＞0，则a，b都不大于0，故选：A．根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属基础题3.【答案】D【解析】解：，（-sin x）dx=2，故选：D．根据定积分的运算法则求出即可．本题考查定积分的运算，基础题．4.【答案】D【解析】解：（x-2）n的展开式中，二项式系数和为128，∴2n=128，解得n=7．故选：D．展开式的二项式系数和为2n，由此求出n的值．本题考查了二项展开式的二项式系数和的应用问题，是基础题目．5.【答案】D【解析】解：由f′（x）=e x-a，若a≤0，则f′（x）＞0，则函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（-∞，+∞），不合题意；∴a＞0，又函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（1，+∞），∴e x-a＞0的解集为（1，+∞），则f′（1）=e-a=0，即a=e．故选：D．求出原函数的导函数，可得满足椭圆的a＞0，再由函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（1，+∞），得f′（1）=e-a=0，从而求得a值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．6.【答案】B【解析】解：分别把运动员和各自的教练捆绑在一起，组合复合元素，再全排，故有=8种，故选：B．分别把运动员和各自的教练捆绑在一起，组合复合元素，再全排，问题得以解决．本题考查排列、组合的实际应用，注意分步分析，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由f1（x）=sin x，f n+1（x）=f n′（x）得f2（x）=cos x，f3（x）=-sin x，f4（x）=-cos x，f5（x）=sin x，周期为4，且2019=3+504×4，∴f2019（x）=f3（x）=-sin x，∴．故选：B．根据题意得出：f1（x）=sin x，f2（x）=cos x，f3（x）=-sin x，f4（x）=-cos x，f5（x）=sin x，并且2019=3+504×4，从而得出f2019（x）=-sin x，从而得出答案．本题考查了基本初等函数的求导公式，周期性，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由，令f（x）=x lnx（x＞1），有f′（x）=ln x+1＞1，故函数f（x）单调递增，由，有a＞b＞c．故选：B．由，令f（x）=x lnx（x＞1），利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵a＞0，f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a），当x＜0或x＞a时，f′（x）＞0，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）的增区间为（-∞，0），（a，+∞），减区间为（0，a），又由，可知a≥1，得a≥．故选：C．先求导，再判断函数的单调性，根据由，可知a≥1，解得即可．本题考查了导数和函数的最值之间的关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，其中1，2，4，8，…构成的等比数列的通项公式为，每行的数构成的数列为1，3，5，7，…，17，…2n-1，…前第9行共有个数，故第10行第一个数为282-1=281，所以=290，故选：C．根据题意，其中1，2，4，8，…构成的等比数列的通项公式为，每行的数构成的数列为1，3，5，7，…，17，…2n-1，…根据规律求出即可．本题考查归纳推理的应用，考查了数列找规律，求数列的项，中档题．11.【答案】A【解析】解：函数f（x）=ae x-x2（a∈R）有三个零点，即为f（x）=0有3个实根，可得a=有3个实根，设g（x）=，可得g′（x）=，由0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；x＞2或x＜0，g′（x）＜0，g（x）递减，可得x=0处g（x）取得极小值0，x=2处取得极大值，画出y=g（x）的图象和直线y=a，可得当0＜a＜时，y=g（x）和y=a的图象有3个交点，故选：A．由题意可得f（x）=0有3个实根，可得a=有3个实根，设g（x）=，求得导数和单调性、极值，画出y=g（x）的图象和直线y=a，即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化，以及函数的导数的运用，考查数形结合思想，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：令，有，故函数g（x）为增函数，由g（0）=f（0）+1=4，不等式f（x）+1＜4e x可化为，即g（x）＜g（0），故不等式f（x）+1＜4e x的解集为（-∞，0），令，则g′（x）＞0⇒函数g（x）为增函数，不等式f（x）+1＜4e x可化为，即g（x）＜g（0），从而可得答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，考查等价转化思想，考查构造法及运算能力，属于中档题．13.【答案】100【解析】解：（1-x）（1+2x）6=（1-x）•（1+12x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6），故x3的系数为160-60=100，故答案为：100．把（1+2x）6展开按照二项式展开，可得（1-x）（1+2x）6展开式中，x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：．故答案为：0．利用等比数列的前n项和结合虚数单位i的运算性质求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查等比数列的前n项和，是基础题．15.【答案】[-3，0]【解析】解：f′（x）=3x2+2ax-a，由函数f（x）=x3+ax2-ax+1没有极值点，可得△=4a2+12a≤0，可得-3≤a≤0．故答案为：[-3，0]．由f′（x）=3x2+2ax-a，由函数f（x）=x3+ax2-ax+1没有极值点，可得△≤0，可得a范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】180【解析】解：同学甲参加“街舞俱乐部”的有种，所以同学甲不参加“街舞俱乐部”的方法数为．故答案为：180．利用间接法，先求出甲参加“街舞俱乐部”，再用总的方法，排除即可．本题考查排列组合的问题，考察了间接法，属于中档题．17.【答案】证明：利用反证法．假设a，b均小于0，即a＜0，b＜0，则有a+b＜0，而a+b=（x2-x）+（x2-3x+2）=2x2-4x+2=2（x-1）2≥0，这与a+b＜0矛盾，所以假设不成立，故a，b至少有一个不小于0．【解析】利用反证法．假设a，b均小于0，即a＜0，b＜0，则有a+b＜0，计算a+b即本题考查了反证法的应用、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）f（x）=x3-x的导数为f′（x）=3x2-1，可得在点（1，0）处的切线斜率为2，则在点（1，0）处的切线方程为y=2x-2：（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m2-1，切线方程为y-（m3-m）=（3m2-1）（x-m），代入点（1，0），可得-（m3-m）=（3m2-1）（1-m），化为2m3-3m2+1=0，即（m-1）2（2m+1）=0，解得m=1或m=-，可得切线的斜率为2或-，则切线方程为y=2x-2或y=-x+．【解析】（1）求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m2-1，求得切线方程，代入（1，0），解方程可得m，可得切线的斜率，进而得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，注意区别在某点处和过某点的切线，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）由f′（x）=3ax2+2bx+1，有f′（1）=3a+2b+1=0，又有a+b+2=1，解得：a=1，b=-2，故函数f（x）的解析式为f（x）=x3-2x2+x+1．（2）由（1）有f′（x）=3x2-4x+1=（x-1）（3x-1）故函数f（x）的增区间为，减区间为，则，f（x）极小值=f（1）=1，x→+∞因为x→+∞时，f（x）→+∞，x→-∞时，f（x）→-∞，由一元三次函数的性质可知，实数m的取值范围为（-∞，1）．【解析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件代入可求a，b即可求解函数的解析式；（2）分离参数后转化为求解相应函数的范围问题，结合导数可求．本题主要考查了函数极值存在条件的应用及利用分离参数法求解函数的零点问题．20.【答案】解：（1）由得a2==-，a3==-1，a4==-，a5==-，．猜想；（2）证明：由（1）知a n=-2，所以n＞1，n∈N时，S n=3（1+++…+）-2n＜3（1+1+1+…+1）-2n=3n-2n=n，故S n＜n．【解析】（1）分别代入计算数列的a2，a3，a4，a5，猜想；（2）由（1）可得a n=-2，可得S n，再由放缩法和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，考查运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】证明：（1）令g（x）=x-ln x，有，令g′（x）＞0可得x＞1，令g′（x）＜0可得0＜x＜1，故函数g（x）的增区间为（1，+∞）减区间为（0，1），∴g（x）≥g（1）=1，故有x＞ln x．解：（2）由①当a≤0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）的减区间为（0，+∞），②当a＞0时，令f′（x）＞0可得x＞，此时函数f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）．若函数f（x）有两个零点，必须a＞0且f（）=+ln＜0，可得0＜a＜，此时＞又由f（）=+1＞0，当x＞时，由（1）有f（x）＞ax2-x=x（ax-2）＞0，取x0=max{，}时，显然有，当t＞x0时f（t）＞0，故函数f（x）有两个零点时，实数a的取值范围为（0，）．【解析】（1）令g（x）=x-ln x，利用导数求出函数的最值即可证明；（2）求得f（x）的导数，讨论a≥0，a＜0，判断f（x）的单调性和极值、最值，结合题意，可令最大值大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和转化思想，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由f′（x）=ae x-be-x+c，又由导函数f′（x）为偶函数，可知ae x-be-x+c=ae-x-be x+c，整理为：a（e x-e-x）=b（e-x-e x）①，又f′（0）=a-b+c=c+2②，联立①②，解方程组，得；（2）由（1）知f′（x）=e x+e-x-1≥2-1=1＞0，可得此时函数f（x）的增区间为（-∞，+∞）．（3）由（1）知f′（x））=e x+e-x+c=，x-x有极值点．②当c＜-2时，f′（x）=，由＞0，＜=0，故此时函数f（x）有两个极值点，由上知实数c的取值范围为（-∞，-2）．【解析】（1）依题意，f′（x）=ae x-be-x+c为偶函数，可得ae x-be-x+c=ae-x-be x+c，即a （e x-e-x）=b（e-x-e x）①，结合f′（0）=a-b+c=c+2②，联立①②即可求得a与b的值；（2）由（1）知f′（x）=e x+e-x-1，利用基本不等式可得f′（x）≥2-1=1＞0，由此知函数f（x）在（-∞，+∞）单调增；（3）由（1）知f′（x））=e x+e-x+c=，分c≥-2与c＜-2两类讨论，满足函数f（x）有两个极值点，即可求得实数c的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查分类讨论思想与函数与方程思想的运用，考查逻辑思维能力与综合运算能力，属于难题．。

广东碧桂园学校2007-2008学年度高二下学期期中考试试卷数 学 （理 科）（适用范围2-2＆2-3之第一、二章）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1． 复数(1)(1)i i +-=………………………………………………………………………（ ） A . 2 B . 2-C . 2iD . 2i -2． 下列积分的值等于1的是………………………………………………………………( )A.1xdx ⎰B.1(1)x dx +⎰C.11dx ⎰ D.1012dx ⎰3． 已知曲线y ＝3x 2上的一点A （1，3），则过点A 的切线的斜率等于…………………（ ）A ．2 B. 4 C.12 D.6 4. 4名男生和2名女生排成一排照相，要求2名女生必须相邻，则不同的排列方法为…（ ）A ．4242A AB ．5252A A C ．55AD ．6622A A5． 函数y ＝221x x ++上的点到直线2x －y 4-=0的最短距离…………………………（ ）A ．5 B. 52 C. 53 D. 06.在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15则第n 个三角形数为……………………………………………………………………（ ）（A ）n （B ）)1(21+n n （C ）12-n （D ）)1(21-n n 7. .函数y =ax 3－x 在(－∞,+∞)上是减函数，则…………………………………………（ ）A.a =31B.a =1C.a =2D.a ≤08. 已知随机变量8ξη+=，若()~10,0.6B ξ，则,E D ηη分别是……………………（ ）A. 6和2.4B. 2和2.4C. 2和5.6D. 6和5.6二、填空题：本大题共6小题，其中9～12题是必做题. 每小题5分，满分30分. 9． (1)(34)(34)i i i +++÷-的值所对应的点在第 象限. 10.函数3269y x x x =-+的极大值为： 。

江西省上饶市二中、余干中学、南康中学、萍乡中学、遂川中学07-08学年第二学期期中联考高二数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分150分命题人：上饶市二中 顾建忠 审题人：上饶市二中 柯林本次试卷分第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题）和答题卷三部分，共8页。

第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，答题卷5至8页。

答题时，请将答案直接写在答题卡相应的位置上。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符号要求的）1、在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件2、若a ∥b ，A c b =⋂，则c a ,的位置关系是（ ） A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线3、a 、b 是空间两条不相交的直线，那么过直线b 且平行于直线a 的平面（ ） A.有且仅有一个 B.至少有一个 C.至多有一个 D.有无数个4、设a 、b 表示两条直线，α表示平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α，b ∥a ，则b ⊥α； ②若a ⊥α，b ∥α，则b ⊥a ； ③若a ⊥α，b ⊥a ，则b ∥α； ④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b 其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.45、已知m 、n 是互不垂直的异面直线，α、β是两个平面，m ⊂α，n ⊂β，则下列结论中，不可能成立的是（ ）A.m ∥βB.α∥βC.m ⊥βD.α⊥β6、空间四边形ABCD 中，AB=CD ，且异面直线AB 和CD 成30°的角，E 、F 分别是边BC 和AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成角等于（ ）A.15°B.75°C.30°D. 15°或75° 7、棱柱成为直棱柱的一个充要条件是（ ） A.棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直 B.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直C.棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直D.棱柱的侧面与底面都是矩形8、侧棱长为2的正三棱锥，若底面周长为9，则该正三棱锥的体积是（ ）A.329 B. 349 C. 223 D. 343 9、设正四棱锥的侧棱与底面所成的角为α,侧面与底面所成的角为β,则βtan :αtan 的值是（ ）A.2:1B. 2:1C. 2:3D.3:1 10、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题： ①α∥βm l ⊥⇒ ②α⊥βm l //⇒③⇒m l //α⊥β ④⇒⊥m l α⊥β，其中正确的两个命题是（ ） A.①② B.③④ C.②④ D.①③11、在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α等于（ ）A.3π B. 4π C. 410arcsin D. 46arcsin 12、正三棱锥的两个侧面所成的二面角（ ）A.等于45°B.等于60°C.小于45°D.大于60°第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分）13、已知二面角α－a －β为300，A ∈α，B ∈β，AB ⊥β，点C ∈棱a ，则∠ACB 的取值范围是 .14、三棱锥P －ABC 的各侧面与底面所成的二面角都为600，底面三角形的三边长分别是3、4、5，则这个三棱锥的侧面积等于 .15、正立体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，二面角B —A ′C —D 的平面角的余弦值为 . 16、如图，直三棱锥ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 。