二阶线性微分方程解的结构与通解性质

一. 二阶线性微分方程的概念
定义1：微分方程
d2 dx
y
2

a(
x
)
dy dx

b(
x
)
y

f (x)
(1)
称为二阶线性微分方程，其中a( x),b( x), f ( x)
都是某区间I 上已知的连续函数。
当 f ( x) 0 时，称为二阶齐次线性 方程；
当 f ( x) 0 时，称为二阶非齐次线 性方程.
将 y y1 Y 代入非齐次方程的左端，得： ( y1 Y ) a( x)( y1 Y ) b( x)( y1 Y )
(Y a( x)Y b( x)Y ) ( y1 a( x) y1 b( x) y1) 0 f (x) f (x) 即 y y1 Y 是非齐次方程的解，又由于 Y 是对应 齐次方程的通解，含有两个独立的任意常数，所 以 y 中含有两个独立常数，故为通解。
定理4 设 y1 是非齐次方程
y a( x) y b( x) y f ( x)
的一个特解，Y 为对应的齐次方程的通解，则 y y1 Y
为非齐次方程的通解。
证明： 由假设知：Y a( x)Y b( x)Y 0 y1 a( x) y1 b( x) y1 f ( x)

k1 k1

2k2 4k2

0 0
x ex

C,
x, e x 线性无关.
只有零解。
故得齐次方程的两个线性无关的特解， 非齐方程的通解为：
的两个线性无关解，则 y1 y2 是对应齐次方程 的解。已知二阶线性非齐次方程的3个特解为
y1 x ( x2 1), y2 3e x ( x2 1) y3 2x e x ( x2 1)
求该方程满足初始条件 y(0) 0, y(0) 0 的特解。
证明：y1, y2 是 y a( x) y b( x) y f ( x) 的解，则
特别地: 若在 I 上有 y1( x) 常数， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
y1( x) k2 y2( x) k1
( 无妨设
k1 0 )
ห้องสมุดไป่ตู้
y1( x) y2( x)
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
定理2 若 y1( x), y2( x) 是方程(2)的两个线性无 关的解，则： y C1 y1( x) C2 y2( x)
就是方程(2)的通解，其中C1, C2 为任意常数。
对高阶线性齐次方程，有类似定理：
定理3 若 y1( x), y2( x), , yn( x) 是n阶线性齐次方程
f ( x) 称为齐次项或自由项.
二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构
设有二阶线性齐次微分方程
d2y dx2

a(
x
)
dy dx

b(
x
)
y

0
(2)
关于(2)的解，我们有：
定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(2)的解，则它们 的任意组合
y C1 y1( x) C2 y2( x)
y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y an( x) y 0
的n个线性无关的特解，则它的通解为：
y C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x)
其中 C1,C2 , ,Cn 为任意常数。
三. 二阶线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构
要求出非齐次方程的通解，须先构造齐次 方程的通解.
y3 y1 x e x , y3 y2 2x 4e x ,
k1( y3 y1 ) k2( y3 y2 )
k1( x e x ) k2(2x 4e x )
(k1 2k2 )x (k1 4k2 )e x 0
都是方程(2)的解，其中 C1,C2 为任意常数。 线性齐次方程的解具有可叠加性。
说明:
y C1 y1( x) C2 y2( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
定义2 设 y1( x), y2( x), , yn( x) 为定义在区间 I 内的 n 个函数，如果存在不全为零的 常数 k1, k2 , , kn，使得对于该区间内的 一切 x，有恒等式
例 y y x2
已知 Y C1e x C2ex
是对应齐次方程的通解， 容易验证： y* ( x2 2) 为该方程的一个特解. 故该方程的通解为，
y y* Y C1e x C2ex ( x2 2)
例1 证明：如果 y1 和y2 是
y a( x) y b( x) y f ( x)
y1 a( x) y1 b( x) y1 f ( x) 及 y2 a( x) y2 b( x) y2 f ( x) 将 y1 y2 代入方程得： ( y1 y2 ) a( x)( y1 y2 ) b( x)( y1 y2 ) [ y1 a( x) y1 b( x) y1] [ y2 a( x) y2 b( x) y2 ] f (x) f (x) 0 故 y1 y2 是 y a( x) y b( x) y f ( x) 的解.
k1 y1( x) k2 y2( x) kn yn( x) 0
成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关， 否则线性无关。
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.