2.1.2椭圆的几何性质2
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《椭圆的简单几何性质》教案
教学目标
1.知识与技能:(1)、能根据椭圆方程,利用图像得出椭圆的简单几何性质,并能熟练运用。
(2)、会利用椭圆的几何性质求椭圆方程。
2.过程与方法:通过复习回顾椭圆的两种标准方程与图形总结出椭圆简单几何性质,培养学生的观察能力和归纳能力;通过椭圆简单几何性质应用的两种类型培养学生学以致用,举一反三的能力。
3.情感态度与价值观:通过探究椭圆的简单几何性质激发学生的积极性,获取学习数学的成就感。
教学重点:
椭圆的简单几何性质
教学难点:
椭圆几何性质的灵活应用
教学过程:
一、复习回顾
认真复习课本,完成知识梳理:
二、学以致用
(一)、由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1、求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
变式训练:求椭圆252522=+y x 的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
(二)、利用椭圆的几何性质求标准方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) 经过点P (-3,0),Q (0,-2) (2)焦点在x 轴上,长轴长是12,离心率是3
2;
变式训练:已知椭圆的长轴长是20,离心率是35
,求椭圆的标准方程。
三、拓展提升
已知椭圆短轴的一个端点与椭圆的两焦点的连线互相垂直,则此椭圆的离心率e=_______.
变式训练:若椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成正三角形, 则此椭圆的离心率e=_______.
课堂小结
(1)、知识收获:
(2)、数学思想:
课后作业。
2.1.2椭圆的简单几何性质教学目标1.知识与技能掌握椭圆的几何性质,理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题.2.过程与方法通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程,培养学生观察、分析问题的能力,利用数形结合思想解决问题的能力.3.情感、态度与价值观通过数与形的辨证统一,对学生进行辨证唯物主义教育,通过对椭圆对称美的感受,激发学生对美好事物的追求.重点难点重点:由标准方程分析出椭圆的几何性质.难点:椭圆离心率几何意义的导入和理解及求法.对重难点的处理:为了突出重点,突破难点,应做好:①让学生自主探索新知;②重难点之处进行反复分析;③及时巩固.椭圆的简单几何性质问题导思1.观察椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的形状,图2-2-2你能从图中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?【答案】椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部,椭圆关于坐标轴对称.椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊.2.如何由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)求出椭圆与x、y轴的交点坐标?【答案】只要令x=0或y=0求解即可.椭圆的离心率问题导思1.观察不同的椭圆,我们会发现,椭圆的扁平程度不一.对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),若令a不变,b怎样变化时椭圆形状越圆(扁)?此时c的情况如何?【答案】当a值不变,b越大,即c越小时,椭圆形状越圆;b越小即c越大时,椭圆形状越扁.2.若用ca来描述椭圆的扁平情况会是怎样的?【答案】ca越小椭圆形状越圆;ca越大椭圆形状越扁.(注意:0<ca<1)1.定义:椭圆的焦距与长轴长的比e=ca,叫做椭圆的离心率.2.性质:离心率e的范围是(0,1).当e越接近1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.例题解析例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.解:把已知方程化成标准方程2222154x y +=,于是5,4, 3.a b c ====椭圆的长轴长和短轴长分别是210,28,a b == 离心率35c e a ==, 两个焦点坐标分别为12(3,0)(3,0)F F -,,四个顶点坐标分别为1212(5,0),(5,0),(0,4),(0,4).A A B B --1212121122().,,.,.,|| 2.8 ,|| 4.5 .,.0.1 BAC F F F F BC F F F B cm F F cm BAC cm ⊥==例如图,一种电影放映灯泡的反射镜是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分过对称轴的截口是椭圆的一部分灯丝位于椭圆的一个焦点上片门位于另一个焦点上由椭圆一个焦点发出的光线经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知试建立适当的坐标系求截口所在的椭圆方程(精确到)解:题图标设椭圆为2222建立如干所示的直角坐系,所求方程x y +=1.a b122在Rt ΔBF F 中,|F B|= 椭圆质12由的性知, |F B|+|F B|=2a,所以(1211a =(|F B |+|F B |)= 2.8 4.1;22≈3.4.b ==≈2222x y 所以,所求的椭圆方程为+=1.4.1 3.425 (,)(4,0):44.5M x y F l x M =例3点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数,求点的轨迹25:44 ,5l x MF P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解:设d 是点M 到直线的距离,根据题意,点M 的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方,并化简,得221.259x y +=即所以,点M 的轨迹是长轴, 短轴长分别为10, 6的椭圆.例4 已知椭圆221259x y +=,直线l :45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?【解析】作出直线l 及椭圆(如图).观察图形,可以发现,利用平行于 直线l 且与椭圆只有一个交点的直线,可以求得相应的最小距离.解:由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道,直线l 与椭圆不相交(为什么?).设直线m 平行于直线l ,则直线m 的方程可以写成224501259,,x y k x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程 222582250-y x kx k ++=消去,得,令方程②的根的判别式△=0,得22644252250().k k -⨯-=解方程③,得122525,.k k ==-或由图可知,当k =25时,直线m 与椭圆的交点到直线l 的距离最近,此时直线m 的方程为4x -5y +25=0直线m 与直线l 间的距离d ==max d ==根据椭圆的方程研究其几何性质 当堂训练1.椭圆x 281+y 245=1的长轴长为( )A .81B .9C .18D .45 【解析】 由标准方程知a =9,故长轴长2a =18. 【答案】 C2.椭圆6x 2+y 2=6的离心率为( )A.56B.306C.16D.66【解析】 椭圆方程可化为x 2+y 26=1,∴a 2=6,b 2=1,∴c 2=5,∴e =c a =56=306.【答案】 B3.椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m 的值为( )A.12 B .2 C.14 D .4 【解析】 方程化为x 2+y 21m=1,长轴长为2m ,短轴长为2,由题意,2m =2×2,∴m =14. 【答案】 C4.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0),焦点在x 轴上;(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)椭圆的焦点在x 轴上,设方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),∵椭圆过点A (3,0), ∴9a 2=1,a =3, ∵2a =3·2b , ∴b =1,∴方程为x 29+y 2=1.(2)由已知{ a =2c ,a -c =3,∴{ a =23,c =3,从而b 2=9,∴所求椭圆的标准方程为x 212+y 29=1或x 29+y 212=1.。
2.1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6,思考以下问题1.点与椭圆的位置关系如何判断?2.直线与椭圆的位置关系如何判断?[要点梳理]1.点与椭圆的位置关系点P(x0,y0)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的位置关系:点P在椭圆上⇔x20a2+y20b2=1;点P在椭圆内部⇔x20a2+y20b2<1;点P在椭圆外部⇔x20a2+y20b2>1.2.直线与椭圆的位置关系直线y =kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的位置关系判断方法:联立⎩⎨⎧y =kx +m ,x 2a 2+y 2b 2=1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程.3.弦长公式设直线方程为y =kx +m (k ≠0),曲线方程f (x ,y )=0,直线与曲线的两个交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2, ∴|AB |=(x 1-x 2)2+(kx 1-kx 2)2 =1+k 2(x 1-x 2)2=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2, 或|AB |=⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1-1k y 22+(y 1-y 2)2=1+1k 2(y 1-y 2)2=1+1k 2(y 1+y 2)2-4y 1y 2.其中,x 1+x 2,x 1x 2或y 1+y 2,y 1y 2的值,可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得.[自我诊断]判断(正确的打“√”,错误的打“×”)1.直线y =x +2与椭圆x 2m +y 23=1有两个公共点,则m 的取值范围是m >1.( )2.椭圆2x 2+3y 2=m (m >0)的离心率为33.( )3.点A (2,2)在椭圆x 2+4y 2=36的内部.( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 直线与椭圆的位置关系思考1:如何判断直线与椭圆的位置关系? 提示:联立直线与椭圆方程,求解的个数. 思考2:如何求椭圆上的点到直线的最小距离?提示:把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离.在椭圆x 24+y 27=1上求一点P ,使它到直线l :3x -2y-16=0的距离最短,并求出最短距离.[思路导引] 找点较难,所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线.[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y =32x +m , 代入x 24+y 27=1,并整理得4x 2+3mx +m 2-7=0,Δ=9m 2-16(m 2-7)=0⇒m 2=16⇒m =±4, 故两切线方程为y =32x +4和y =32x -4, 显然y =32x -4距l 最近, d =|16-8|32+(-2)2=813=81313, 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立,消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程,则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0;(2)直线与椭圆相切⇔Δ=0;(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是最基本的工具.[跟踪训练]已知椭圆x 2+8y 2=8,在椭圆上求一点P ,使P 到直线l :x -y +4=0的距离最短,并求出最短距离.[解] 设与直线x -y +4=0平行且与椭圆相切的直线为x -y +a=0,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2+8y 2=8,x -y +a =0,得9y 2-2ay +a 2-8=0,Δ=4a 2-36(a 2-8)=0, 解得a =3或a =-3,∴与直线l 距离较近的切线方程为x -y +3=0, 最小距离为d =|4-3|2=22.由{ x 2+8y 2=8,x -y +3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-83,y =13,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-83,13.题型二 直线与椭圆的相交弦问题思考1:直线与椭圆的中点弦问题如何解决? 提示:注意韦达定理的应用.思考2:如何求直线被圆锥曲线截得的弦长?提示:会应用弦长公式.已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点.(1)求直线l 的方程.(2)求直线l 被椭圆截得的弦长.[思路导引] 待定系数法,联立方程组,再由韦达定理求参数k ,然后由弦长公式求弦长.[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y -2=k (x -4), 而椭圆的方程可以化为x 2+4y 2-36=0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2+1)x 2-8k (4k -2)x +4(4k -2)2-36=0. 所以x 1+x 2=8k (4k -2)4k 2+1=8.所以k =-12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y -2=-12(x -4), 即x +2y -8=0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -8=0x 2+4y 2=36∴x 2-8x +14=0,则x 1+x 2=8,x 1·x 2=14,代入弦长公式 |AB |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程,利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点,还可使用点差法:设出弦的两端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.[跟踪训练]已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则椭圆E 的方程为__________________.[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程,有x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=12,∵线段AB 的中点坐标为(1,-1),∴b 2a 2=12,∵右焦点为F (3,0),c =3,∴a 2=18,b 2=9,∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1.[答案] x 218+y 29=1题型三 椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y =x +m .(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.[思路导引] 联立方程组,由解的个数确定m 的取值范围,再由韦达定理得弦长关于m 的函数.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2+y 2=1,y =x +m得5x 2+2mx +m 2-1=0, 因为直线与椭圆有公共点, 所以Δ=4m 2-20(m 2-1)≥0, 解得-52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点, 由(1)知:5x 2+2mx +m 2-1=0, 所以x 1+x 2=-2m 5,x 1x 2=15(m 2-1), 所以|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =2(x 1-x 2)2=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] = 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225-45(m 2-1) =2510-8m 2.∴当m =0时,|AB |最大,即被椭圆截得的弦最长,此时直线方程为y =x .解析几何中的综合性问题很多,而且可与很多知识联系在一起出题,例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.[跟踪训练]如图,点A 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点,过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ,若P 在y 轴上,且BP ∥x 轴,AB →·AP →=9.(1)若点P 的坐标为(0,1),求椭圆C 的标准方程; (2)若点P 的坐标为(0,t ),求t 的取值范围. [解] ∵直线AB 的斜率为1,∴∠BAP =45°, 即△BAP 是等腰直角三角形,|AB →|=2|AP →|. ∵AB →·AP →=9,∴|AB →||AP →|cos45°=2|AP →|2cos45°=9,∴|AP →|=3. (1)∵P (0,1),∴|OP →|=1,|OA →|=2, 即b =2,且B (3,1).∵B 在椭圆上,∴9a 2+14=1,得a 2=12, ∴椭圆C 的标准方程为x 212+y 24=1.(2)由点P 的坐标为(0,t )及点A 位于x 轴下方,得点A 的坐标为(0,t -3),∴t -3=-b ,即b =3-t .显然点B 的坐标是(3,t ),将它代入椭圆方程得:9a 2+t 2(3-t )2=1,解得a 2=3(3-t )23-2t. ∵a 2>b 2>0,∴3(3-t )23-2t>(3-t )2>0. ∴33-2t >1,即33-2t -1=2t 3-2t>0, ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题,经常利用设而不求的方法,解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2);(2)联立直线与椭圆的方程;(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程;(4)利用根与系数的关系设而不求;(5)把题干中的条件转化为x 1+x 2,x 1·x 2或y 1+y 2,y 1·y 2,进而求解.1.直线y =kx -k +1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( )A .相切B .相交C .相离D .不确定[解析] ∵直线y -1=k (x -1),即直线恒过(1,1)点,又∵19+14<1,∴点(1,1)在椭圆内,所以选B.[答案] B2.椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ,N 两点,过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22,则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2+ny 2=1,y =1-x 消去y 得,(m +n )x 2-2nx +n -1=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),MN 中点为(x 0,y 0),则x 1+x 2=2n m +n,∴x 0=n m +n ,代入y =1-x 得y 0=m m +n .由题意y 0x 0=22,∴m n =22,选A.[答案] A3.若直线mx +ny =4和⊙O :x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为( )A .2个B .至多一个C .1个D .0个[解析] ∵直线mx +ny =4与圆x 2+y 2=4没有交点,∴4m 2+n2>2,即m 2+n 2<4,又∵m 29+n 24<m 29+4-m 24=1-5m 236<1,∴点P 在椭圆内.故直线与椭圆有2个交点.[答案] A4.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A .(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→,∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上,又点M在椭圆内部,∴c <b ,∴c 2<b 2=a 2-c 2,即2c 2<a 2,∴c 2a 2<12,即c a <22.又e >0,∴0<e <22.[答案] C 5.已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24+y 2=1的右焦点,交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.[解] ∵a 2=4,b 2=1,∴c =a 2-b 2=3, ∴右焦点F (3,0),∴直线l 的方程y =x - 3.由⎩⎨⎧ y =x -3,x 24+y 2=1,消去y 并整理,得5x 2-83x +8=0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=835,x 1x 2=85, ∴|AB |=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] = 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352-4×85=85, 即弦AB 的长为85.。
2.1.2 椭圆的简单几何性质◆知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例题了解椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义.◆过程与方法目标(1)复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论,研究椭圆的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围;②由方程的性质得到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念;④通过P48的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率.〖板书〗§2.1.2椭圆的简单几何性质.(2)新课讲授过程(i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质.提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究?通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质①范围:由椭圆的标准方程可得,222210y x b a=-≥,进一步得:a x a -≤≤,同理可得:b y b -≤≤,即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里;②对称性:由以x -代x ,以y -代y 和x -代x ,且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴,原点为对称中心;③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比a c e =叫做椭圆的离心率(10<<e ),⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ,,b ,c e ;⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a,b ,c e 00 .(iii )例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出,,a b c .引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量.扩展:已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为105e =m 的值. 解法剖析:依题意,0,5m m >≠,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当焦点在x 轴上,即05m <<时,有5,,5a b m c m ===-5255m-=,得3m =;②当焦点在y 轴上,即5m >时,有,5,5a m b c m ===-510253m m m -=⇒=. 例 5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上,片门位于另一个焦点2F 上,由椭圆一个焦点1F 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥,1 2.8F B cm =,12 4.5F F cm =.建立适当的坐标系,求截口BAC 所在椭圆的方程.解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为22221x y a b +=,算出,,a b c 的值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于,,a b c 的近似值,原则上在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定.引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆,近地点A 距地面200km ,远地点B 距地面350km ,已知地球的半径6371R km =.建立适当的直角坐标系,求出椭圆的轨迹方程.例6如图,设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l :254x =的距离的比是常数45,求点M 的轨迹方程.分析:若设点(),M x y ,则()224MF x y =-+l :254x =的距离254d x =-,则容易得点M 的轨迹方程.引申:(用《几何画板》探究)若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l :2a x c =的距离比是常数c e a=()0a c >>,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点(),0F c 是焦点,定直线l :2a x c=相应于F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点(),0F c '-,相应于F '的准线l ':2a x c =-.◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观,激励学生创新.必须让学生认同和掌握:椭圆的简单几何性质,能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角坐标系的两个原则,①充分利用图形对称性,②注意图形的特殊性和一般性;必须让学生认同与熟悉:取近似值的两个原则:①实际问题可以近似计算,也可以不近似计算,②要求近似计算的一定要按要求进行计算,并按精确度要求进行,没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理;让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题,培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.◆能力目标(1)分析与解决问题的能力:通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力.(2)思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力.(3)实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题的一般的思想、方法和途径.。
第2课时椭圆方程及性质的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,初步探寻弦长公式有关知识.2.过程与方法通过问题的提出与解决,培养学生探索问题、解决问题的能力.领悟数形结合和化归等思想.3.情感、态度与价值观培养学生自主参与意识,激发学生探索数学的兴趣.●重点、难点重点:掌握直线与椭圆位置关系的判断方法,注意数形结合思想的渗透.难点:应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题.教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课,涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题,掌握好椭圆方程与性质,类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键.(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程,但大部分还停留在经验基础上,主动迁移能力、整合能力较弱,所以本节课宜采用启发引导式教学;同时借助多媒体,充分发挥其形象、生动的作用.●教学流程创设问题情境,引出命题:能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系?⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系,通过比较、分析,得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤,引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练,使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练,使学生掌握直线与椭圆相交问题,学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用.(重点)2.掌握直线与椭圆位置关系的判断方法,初步探寻弦长公式.(难点)点与椭圆的位置关系【问题导思】点与椭圆有几种位置关系?【提示】 三种位置关系:点在椭圆上,点在椭圆内,点在椭圆外.设点P (x 0,y 0),椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2+y 20b 2=1;(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2+y 20b 2<1;(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2+y 20b2>1.直线与椭圆的位置关系【问题导思】1.直线与椭圆有几种位置关系?【提示】 三种位置关系:相离、相切、相交.2.我们知道,可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系,这种方法称为几何法,能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系?【提示】 不能.3.用什么方法判断直线与椭圆的位置关系? 【提示】 代数法.直线y =kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 2a 2+y2b 2=1,消y 得一个一元二次方程.位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ=0 相离无解Δ<0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时,直线y =x +m 与椭圆x 24+y 2=1相交、相切、相离?【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m , ①x 24+y 2=1, ②将①代入②得x 24+(x +m )2=1,整理得5x 2+8mx +4m 2-4=0③Δ=(8m )2-4×5(4m 2-4)=16(5-m 2).当Δ>0,即-5<m <5时,方程③有两个不同的实数根,代入①可得到两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交;当Δ=0,即m =-5或m =5时,方程③有两个相等的实数根,代入①可得到一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切;当Δ<0,即m <-5或m >5时,方程③没有实数根,直线与椭圆相离.判断直线与椭圆位置关系的步骤:试判断直线y =x -12与椭圆x 2+4y 2=2的位置关系.【解】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y =x -12,x 2+4y 2=2,消去y ,整理得5x 2-4x -1=0,(*)Δ=(-4)2-4×5×(-1)=36>0,即方程(*)有两个实数根,所以方程组有两组解,即直线和椭圆相交.直线与椭圆相交问题已知椭圆x 236+y 29=1和点P (4,2),直线l 经过点P 且与椭圆交于A ,B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时,求线段AB 的长度;(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时,求l 的方程.【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗?怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度? (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系?能否用根与系数的关系求得直线的斜率? 【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y -2=12(x -4),即y =12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y =12x ,x 236+y 29=1,可得x 2-18=0,若设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=0,x 1x 2=-18. 于是|AB |=x 1-x 22+y 1-y 22=x 1-x 22+14x 1-x 22=52x 1+x 22-4x 1x 2=52×62=310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一:设l 的斜率为k ,则其方程为y -2=k (x -4).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236+y 29=1,y -2=k x -4,消去y 得(1+4k 2)x 2-(32k 2-16k )x +(64k 2-64k -20)=0. 若设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=32k 2-16k 1+4k 2,由于AB 的中点恰好为P (4,2),所以x 1+x 22=16k 2-8k 1+4k 2=4,解得k =-12.这时直线l 的方程为y -2=-12(x -4),即y =-12x +4.法二:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136+y 219=1,x 2236+y229=1,两式相减得x 22-x 2136+y 22-y 219=0.由于P (4,2)是AB 的中点,∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=4, 从而(x 2-x 1)+2(y 2-y 1)=0,k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-12,于是直线AB ,即为l 的方程为y -2=-12(x -4),即y =-12x +4. 1.求直线与椭圆相交所得弦长问题,通常解法是将直线方程与椭圆方程联立,然后消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程,根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解.也可以直接代入弦长公式:|P 1P 2|=1+k2x 1+x 22-4x 1x 2=1+1k 2y 1+y 22-4y 1y 2求解.2.解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时,通常有两种方法:法一:由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程,再利用根与系数的关系,运用中点坐标公式建立方程组求解.法二:通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解,得到两个“对称方程”,然后将两个方程相减,再变形运算转化为直线的斜率公式,这种方法通常称为“点差法”.过点P (-1,1)的直线与椭圆x 24+y 22=1交于A ,B 两点,若线段AB 的中点恰为点P ,求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由于A ,B 两点在椭圆上, ∴x 21+2y 21=4,x 22+2y 22=4. 两式相减,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)+2(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0 ①显然x 1≠x 2, 故由①得:k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22y 1+y 2. ②又点P (-1,1)是弦AB 的中点, ∴x 1+x 2=-2,y 1+y 2=2. ③把③代入②得:k AB =12,∴直线AB 的方程为y -1=12(x +1),即x -2y +3=0由⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +3=0,x 24+y22=1,消去y 得3x 2+6x +1=0,∴x 1+x 2=-2,x 1x 2=13,|AB |=1+k 2·x 1+x 22-4x 1x 2=1+14·243=303.与椭圆相关的实际应用问题 图2-1-3如图2-1-3,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 是多少?【思路探究】 恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】 如图建立直角坐标系,则点P (11,4.5),椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1.∵P (11,4.5)在椭圆上, ∴112a 2+4.52b2=1,又b =h =6代入①式,得a =4477.此时l =2a =8877≈33.3(米).因此隧道的拱宽约为33.3米.1.解答与椭圆相关的应用问题,事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键,其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论,以解决实际问题.2.实际问题中,最后的结论不可少,一定要结合实际问题中变量的含义做出结论. 有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m ,短轴长60 m ,现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少?【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上.因为矩形的各顶点都在椭圆上,而矩形是中心对称图形,又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形, 所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴,y 轴都对称. 已知椭圆的长轴长2a =100 m ,短轴长2b =60 m , 则椭圆的方程为x 2502+y 2302=1.考虑第一象限内的情况,设A (x 0,y 0), 则有1=x 20502+y 20302≥2x 20502·y 20302=2x 0y 01 500, 当且仅当x 20502=y 20302=12,即x 0=252,y 0=152时,等号成立,此时矩形ABCD 的面积S =4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0+y 0)=4(252+152)=160 2 (m).(对应学生用书第27页) 运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),过点A (-a,0),B (0,b )的直线倾斜角为π6,原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程;(2)斜率大于零的直线过D (-1,0)与椭圆分别交于点E ,F ,若ED →=2DF →,求直线EF 的方程;(3)对于D (-1,0),是否存在实数k ,使得直线y =kx +2分别交椭圆于点P ,Q ,且|DP |=|DQ |,若存在,求出k 的值,若不存在,请说明理由.【思路点拨】 【规范解答】 (1)由b a =33,12ab =12×32×a 2+b 2,得a =3,b =1,所以椭圆的方程是x 23+y 2=1.2分(2)设EF :x =my -1(m >0)代入x 23+y 2=1,得(m 2+3)y 2-2my -2=0.设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2).由ED →=2DF →,得y 1=-2y 2,4分 由y 1+y 2=-y 2=2m m 2+3,y 1y 2=-2y 22=-2m 2+3得 (-2m m 2+3)2=1m 2+3,∴m =1,m =-1(舍去), 直线EF 的方程为x =y -1,即x -y +1=0. 7分(3)记P (x ′1,y ′1),Q (x ′2,y ′2).将y =kx +2代入x 23+y 2=1,得(3k 2+1)x 2+12kx+9=0(*),x ′1,x ′2是此方程的两个相异实根.设PQ 的中点为M ,则x M =x ′1+x ′22=-6k 3k 2+1,y M =kx M +2=23k 2+1.由|DP |=|DQ |,得DM ⊥PQ ,∴k DM =y M x M +1=23k 2+1-6k 3k 2+1+1=-1k,∴3k 2-4k +1=0,得k =1或k =13.10分但k =1,k =13均不能使方程(*)有两相异实根,∴满足条件的k 不存在.1.直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧,在解题中要注意运用.2.直线和椭圆相交时要切记Δ>0是求参数范围的前提条件,不要因忘记造成不必要的失分.1.直线与椭圆的位置关系,可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定.直线与椭圆相交的弦长公式: |P 1P 2|=[x 1+x 22-4x 1x 2]1+k2或|P 1P 2|=[y 1+y 22-4y 1y 2]1+1k 2.2.直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决,设点而不求点是解析几何中重要的解题方法.3.解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题,弄懂题意,再把实际问题中的量化归为椭圆的性质,从而得以解决.(对应学生用书第28页)1.下列在椭圆x 24+y 22=1内部的点为( )A .(2,1)B .(-2,1)C .(2,1)D .(1,1)【解析】 点(2,1),(-2,1)满足椭圆方程,故在椭圆上;把点(1,1)代入x 24+y 22得:14+12=34<1,故点(1,1)在椭圆内.【答案】 D2.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1有两个顶点在直线x +2y =2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A .(±3,0)B .(0,±3)C .(±5,0)D .(0,±5)【解析】 ∵直线x +2y =2过(2,0)和(0,1)点, ∴a =2,b =1,∴c =3, 椭圆焦点坐标为(±3,0). 【答案】 A3.直线y =x +1被椭圆x 24+y 22=1所截得线段的中点的坐标是( )A .(23,53)B .(43,73)C .(-23,13)D .(-132,-172)【解析】 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =x +1,x 24+y22=1,消去y 得3x 2+4x -2=0.设交点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),中点M (x 0,y 0).∴x 1+x 2=-43,x 0=x 1+x 22=-23,y 0=x 0+1=13,∴中点坐标为(-23,13).【答案】 C4.直线2x -y -2=0与椭圆x 25+y 24=1交于A 、B 两点,求弦长|AB |.【解】 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x -y -2=0,x 25+y24=1,消去y 得3x 2-5x =0,则x 1+x 2=53,x 1·x 2=0,∴|AB |=1+k 2AB ·x 1+x 22-4x 1x 2=1+22·532-4×0=553.一、选择题1.点A (a,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是( )A .-2<a < 2B .a <-2或a > 2C .-2<a <2D .-1<a <1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24+y 22=1内部,∴a 24+12<1.∴a 24<12. 则a 2<2,∴-2<a < 2. 【答案】 A2.已知直线y =kx +1和椭圆x 2+2y 2=1有公共点,则k 的取值范围是( ) A .k <-22或k >22 B .-22<k <22 C .k ≤-22或k ≥22D .-22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2+2y 2=1,得(2k 2+1)x 2+4kx +1=0.∵直线与椭圆有公共点. ∴Δ=16k 2-4(2k 2+1)≥0,则k ≥22或k ≤-22. 【答案】 C3.直线l 交椭圆x 216+y 212=1于A ,B 两点,AB 的中点为M (2,1),则l 的方程为( ) A .2x -3y -1=0 B .3x -2y -4=0 C .2x +3y -7=0D .3x +2y -8=0【解析】 根据点差法求出k AB =-32,∴l 的方程为:y -1=-32(x -2).化简得3x +2y -8=0. 【答案】 D4.若直线mx +ny =4和⊙O :x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为( )A .2个B .至多一个C .1个D .0个【解析】 若直线与圆没有交点,则d =4m 2+n 2>2,∴m 2+n 2<4,即m 2+n 24<1.∴m 29+n 24<1,∴点(m ,n )在椭圆的内部,故直线与椭圆有2个交点.【答案】 A5.椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A ,B 是它的两个焦点,其长轴长为2a ,焦距为2c (a >c >0),静放在点A 的小球(小球的半径不计),从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是( )A .2(a -c )B .2(a +c )C .4aD .以上答案均有可能【解析】 如图,本题应分三种情况讨论:当小球沿着x 轴负方向从点A 出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是2(a -c );当小球沿着x 轴正方向从点A 出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是2(a +c );当是其他情况时,从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是4a .【答案】 D 二、填空题6.(2013·济宁高二检测)已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为________.【解析】 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与直线方程联立消去x 得(a 2+3b 2)y 2+83b 2y +16b 2-a 2b 2=0,由Δ=0及c =2得a 2=7,∴2a =27.【答案】 277.(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________.【解析】 当以两锐角顶点为焦点时,因为三角形为等腰直角三角形,故有b =c ,此时可求得离心率e =c a=cb 2+c2=c2c=22;同理,当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时,设直角边长为m ,故有2c =m,2a =(1+2)m ,所以离心率e =c a =2c 2a =m1+2m=2-1.【答案】2-1或228.(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点,O 为原点,则△OAB 的面积为________.【解析】 直线方程为y =2x -2,与椭圆方程x 25+y 24=1联立,可以解得A (0,-2),B (53,43),∴S △=12|OF |·|y A -y B |=53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |,再求出点O 到AB 的距离,进而求出△AOB 的面积).【答案】 53三、解答题9.已知椭圆的短轴长为23,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0). (1)求这个椭圆的标准方程;(2)如果直线y =x +m 与这个椭圆交于不同的两点,求m 的取值范围. 【解】 (1)∵2b =23,c =1,∴b =3,a 2=b 2+c 2=4. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m ,x 24+y23=1,消去y 并整理得7x 2+8mx +4m 2-12=0.若直线y =x +m 与椭圆x 24+y 23=1有两个不同的交点,则有Δ=(8m )2-28(4m 2-12)>0,即m 2<7,解得-7<m <7. 即m 的取值范围是(-7,7).10.椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y -1=0相交于A ,B 两点,C 是AB 的中点,若|AB |=22,OC 的斜率为22,求椭圆的方程.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2+by 2=1,x +y =1,得(a +b )x 2-2bx +b -1=0.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2), 则|AB |=k 2+1x 1-x 22=2·4b 2-4a +bb -1a +b 2.∵|AB |=22,∴a +b -aba +b =1.①设C (x ,y ),则x =x 1+x 22=ba +b,y =1-x =aa +b,∵OC 的斜率为22,∴a b =22. 代入①,得a =13,b =23.∴椭圆方程为x 23+23y 2=1.图2-1-411.(2013·亳州高二检测)如图2-1-4所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点(1,22),离心率为22,左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l :x +y =2上且不在x 轴上的任意一点,直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ,O 为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程;(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2. 证明:1k 1-3k 2=2.【解】 因为椭圆过点(1,22),e =22, 所以1a 2+12b 2=1,c a =22,又a 2=b 2+c 2,所以a =2,b =1,c =1, 故所求椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)证明:设点P (x 0,y 0),则k 1=y 0x 0+1,k 2=y 0x 0-1, 因为点P 不在x 轴上,所以y 0≠0,又x 0+y 0=2, 所以1k 1-3k 2=x 0+1y 0-3x 0-1y 0=4-2x 0y 0=2y 0y 0=2. (教师用书独具)(2012·北京高考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0),离心率为22.直线y =k (x -1)与椭圆C 交于不同的两点M ,N .(1)求椭圆C 的方程; (2)当△AMN 的面积为103时,求k 的值. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c a =22,a 2=b 2+c 2,解得b = 2.所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -1,x 24+y22=1得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-4=0.设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1=k (x 1-1),y 2=k (x 2-1),x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-41+2k 2.所以|MN |=x 2-x 12+y 2-y 12=1+k2[x 1+x 22-4x 1x 2]=21+k 24+6k21+2k2.又因为点A (2,0)到直线y =k (x -1)的距离d =|k |1+k2,所以△AMN 的面积为 S =12|MN |·d =|k |4+6k 21+2k 2. 由|k |4+6k 21+2k 2=103,解得k =±1.(2013·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距;(2)如果AF 2→=2F 2B →,求椭圆C 的方程.【解】 (1)设焦距为2c ,由已知可得F 1到直线l 的距离3c =23,故c =2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知y 1<0,y 2>0. 直线l 的方程为y =3(x -2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y =3x -2,x 2a 2+y 2b2=1,得(3a 2+b 2)y 2+43b 2y -3b 4=0.解得y 1=-3b 22+2a 3a 2+b 2,y 2=-3b 22-2a 3a 2+b2. 因为AF 2→=2F 2B →,所以-y 1=2y 2.则3b 22+2a 3a 2+b 2=2·-3b 22-2a3a 2+b 2. 解得a =3.又b 2=a 2-c 2=9-4=5. ∴b = 5.故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.。
2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)一、根底过关x 225+y 29=1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是 ( )A.8,2B.5,4C.5,1D.9,1y =x +2与椭圆x 2m +y23=1有两个公共点,那么m 的取值范围是( )A.m >1B.m >1且m ≠3C.m >3D.m >0且m ≠33.AB 为过椭圆x 2a2+y 2b2=1中心的弦,F (c,0)为椭圆的右焦点,那么△AFB 面积的最大值为( ) A.b 2B.abC.acD.bcx22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A 、BO 为坐标原点,那么OA →·OB →等于( )A.-3B.-13C.-13或-3D.±135.点(m ,n )在椭圆8x 2+3y 2=24上,那么2m +4的取值范围是 ( )A.[4-23,4+23]B.[4-3,4+3]C.[4-22,4+22]D.[4-2,4+2] π4的直线交椭圆x 24+y 2=1于A ,B 两点,那么线段AB 的中点的轨迹方程是________________. 7.人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面p 千米,远地点距地面q 千米,假设地球半径为r 千米,那么运行轨迹的短轴长为______________. 二、能力提升F 1、F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,那么椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1 x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点(1,12)作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,那么椭圆方程是________________.P 与平面上两定点A (-2,0),B (2,0)连线的斜率的积为定值-12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ;(2)设直线l :y =kx +1与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=423时,求直线l 的方程.C 1:x 24+y 2=1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率.(1)求椭圆C 2的方程;(2)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆C 1和C 2上,OB →=2OA →,求直线AB 的方程.xOy 中,点P 到两点(0,-3),(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程;(2)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点,k 为何值时OA →⊥OB →?此时|AB |的值是多少? 三、探究与拓展x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2.点P (a ,b )满足|PF 2|=|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ,BPF 2与圆(x +1)2+(y -3)2=16相交于M ,N 两点,且|MN |=58|AB |,求椭圆的方程.答案6.x +4y =0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-455<x <455p +rq +r8.C 9.x 25+y 24=110.解 (1)设点P (x ,y ),那么依题意有y x +2·yx -2=-12,整理得x 22+y 2x ≠±2,所以求得的曲线C 的方程为x 22+y 2=1 (x ≠±2).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =kx +1.消去y 得:(1+2k 2)x 2+4kx =0.得x 1=0,x 2=-4k1+2k 2 (x 1,x 2分别为M ,N 的横坐标),由|MN |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 1+2k 2=432, 解得,k =±1.所以直线l 的方程为x -y +1=0或x +y -1=0.11.(1)解 由可设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 24=1(a >2),其离心率为32,故a 2-4a =32,解得a =4.故椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1.(2)解 A ,B 两点的坐标分别记为(x A ,y A ),(x B ,y B ), 由OB →=2OA →及(1)知,O ,A ,B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上, 因此可设直线AB 的方程为y =kx . 将y =kx 代入x 24+y 2=1中,得(1+4k 2)x 2=4,所以x 2A =41+4k2.将y =kx 代入y 216+x 24=1中,得(4+k 2)x 2=16,所以x 2B =164+k 2.又由OB →=2OA →,得x 2B =4x 2A ,即164+k 2=161+4k2, 解得kAB 的方程为y =x 或y =-x . 12.解 (1)设P (x ,y ),由椭圆定义可知, 点P 的轨迹C 是以(0,-3),(0,3b =22-32=1,故曲线C 的方程为x 2+y24=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 24=1,y =kx +1.消去y ,并整理得(k 2+4)x 2+2kx -3=0, 故x 1+x 2=-2k k 2+4,x 1x 2=-3k 2+4.∵OA →⊥OB →,∴x 1x 2+y 1y 2=0.∵y 1y 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1,于是x 1x 2+y 1y 2=-3k 2+4-3k 2k 2+4-2k 2k 2+4+1=-4k 2+1k 2+4.又x 1x 2+y 1y 2=0,∴k =±12.当k =±12时,x 1+x 2=∓417,x 1x 2=-1217.|AB |=x 2-x 12+y 2-y 12=1+k 2x 2-x 12,而(x 2-x 1)2=(x 2+x 1)2-4x 1x 2=42172+4×1217=43×13172, ∴|AB |=54×43×13172=46517. 13.解 (1)设F 1(-c,0),F 2(c,0)(c >0),因为|PF 2|=|F 1F 2|,所以a -c2+b 2=2c .整理得2(c a )2+c a -1=0,得c a =-1(舍),或c a =12.所以e =12.(2)由(1)知a =2c ,b =3c ,可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2,直线PF 2的方程为y =3(x -c ).A ,B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2+4y 2=12c 2,y =3x -c .消去y 并整理,得5x 2-8cx =0.解得x 1=0,x 2=85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1=0,y 1=-3c ,⎩⎪⎨⎪⎧x 2=85c ,y 2=335c .不妨设A (85c ,335c ),B (0,-3c ),所以|AB |=85c 2+335c +3c 2=165c . 于是|MN |=58|AB |=2c .圆心(-1,3)到直线PF 2的距离 d =|-3-3-3c |2=3|2+c |2.因为d 2+(|MN |2)2=42,所以34(2+c )2+c 2=16.整理得7c 2+12c -52=0,得c =-267(舍),或c =2.所以椭圆方程为x 216+y 212=1.。
第2课时 椭圆几何性质的应用学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系等相关知识.知识点一 点与椭圆的位置关系点P (x 0,y 0)与椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的位置关系:点P 在椭圆上⇔x 20a 2+y 20b2=1;点P 在椭圆内部⇔x 20a 2+y 20b 2<1;点P 在椭圆外部⇔x 20a 2+y 20b 2>1.知识点二 直线与椭圆的位置关系直线y =kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的位置关系的判断方法:联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 2a 2+y 2b 2=1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ=0 相离无解Δ<0知识点三 弦长公式设直线方程为y =kx +m (k ≠0),椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)或y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0),直线与椭圆的两个交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2, ∴|AB |=(x 1-x 2)2+(kx 1-kx 2)2 =1+k 2(x 1-x 2)2=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2, 或|AB |=⎝⎛⎭⎫1ky 1-1k y 22+(y 1-y 2)2=1+1k 2(y 1-y 2)2 =1+1k2(y 1+y 2)2-4y 1y 2. 其中,x 1+x 2,x 1x 2或y 1+y 2,y 1y 2的值,可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得.1.点P (2,1)在椭圆x 24+y 29=1的内部.( × )2.过点A (1,0)的直线一定与椭圆x 24+y 2=1相交.( √ )3.直线x 2-y =1被椭圆x 24+y 2=1截得的弦长为 5.( √ )4.长轴是椭圆中最长的弦.( √ )一、直线与椭圆的位置关系例1 已知直线l :y =2x +m ,椭圆C :x 24+y 22=1.试问当m 取何值时,直线l 与椭圆C :(1)有两个公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点.解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +m ,x 24+y 22=1,消去y ,得9x 2+8mx +2m 2-4=0.①方程①的判别式Δ=(8m )2-4×9×(2m 2-4)=-8m 2+144.(1)当Δ>0,即-32<m <32时,方程①有两个不同的实数解,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个公共点.(2)当Δ=0,即m =±32时,方程①有两个相同的实数解,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.(3)当Δ<0,即m <-32或m >32时,方程①没有实数解,可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.反思感悟 判断直线与椭圆的位置关系的方法注意 方程组的解与交点个数之间的等价关系.跟踪训练1 若直线y =kx +1与焦点在x 轴上的椭圆x 25+y 2m =1总有公共点,则实数m 的取值范围为________. 答案 [1,5)解析 ∵直线y =kx +1过定点M (0,1),∴要使直线与该椭圆总有公共点,则点M (0,1)必在椭圆内或椭圆上, 由此得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <5,025+12m ≤1,解得1≤m <5.二、直线与椭圆的相交问题例2 已知椭圆x 236+y 29=1和点P (4,2),直线l 经过点P 且与椭圆交于A ,B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时,求线段AB 的长度;(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时,求l 的方程. 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y -2=12(x -4),即y =12x .由⎩⎨⎧y =12x ,x 236+y 29=1,消去y 可得x 2-18=0,若设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 则x 1+x 2=0,x 1x 2=-18. 于是|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =(x 1-x 2)2+14(x 1-x 2)2=52(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =52×62=310.所以线段AB 的长度为310. (2)方法一 当直线l 的斜率不存在时,不合题意. 所以直线l 的斜率存在.设l 的斜率为k ,则其方程为y -2=k (x -4). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y -2=k (x -4),x 236+y 29=1,消去y ,得(1+4k 2)x 2-(32k 2-16k )x +64k 2-64k -20=0. 显然,Δ>0,若设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=32k 2-16k1+4k 2,由于AB 的中点恰好为P (4,2), 所以x 1+x 22=16k 2-8k 1+4k 2=4,解得k =-12,且满足Δ>0.这时直线的方程为y -2=-12(x -4),即x +2y -8=0.方法二 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有⎩⎨⎧x 2136+y 219=1,x 2236+y229=1,两式相减得x 22-x 2136+y 22-y 219=0,整理得k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-9(x 2+x 1)36(y 2+y 1),由于P (4,2)是AB 的中点,∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=4, 于是k AB =-9×836×4=-12,于是直线AB 的方程为y -2=-12(x -4),即x +2y -8=0.反思感悟 (1)直线与椭圆相交弦长的求法①直接利用两点间距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.②求弦长的公式:设直线l 的斜率为k ,方程为y =kx +b ,设端点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2. (2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.②点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两个不同的点,M (x 0,y 0)是线段AB 的中点,则⎩⎨⎧x 21a 2+y 21b2=1,x 22a 2+y22b 2=1,由两式作差,得1a 2(x 21-x 22)+1b 2(y 21-y 22)=0,变形得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2·x 0y 0,即k AB =-b 2x 0a 2y 0.跟踪训练2 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,且椭圆与直线x +2y +8=0相交于点P ,Q ,且|PQ |=10,求椭圆的标准方程. 解 ∵e =32,∴b 2=14a 2. ∴椭圆的方程为x 2+4y 2=a 2. 与x +2y +8=0联立,消去y , 得2x 2+16x +64-a 2=0, 由Δ>0,得a 2>32,由弦长公式得10=54×[64-2(64-a 2)].∴a 2=36,b 2=9.∴椭圆的标准方程为x 236+y 29=1.三、椭圆在实际问题中的应用例3 我国计划发射火星探测器,该探测器的运行轨道是以火星(其半径R =34百公里)的中心F 为一个焦点的椭圆.如图,已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A 到火星表面的距离为8百公里,远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B 到火星表面的距离为800百公里.假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨,其中a ,b 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长,求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里).解 设所求轨道方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),c =a 2-b 2. ∵a +c =800+34,a -c =8+34,∴a =438,c =396,∴b 2=a 2-c 2=35 028. ∴所求轨道方程为x 2191 844+y 235 028=1.设变轨时,探测器位于P (x 0,y 0),则x 20+y 20=ab ≈81 975.1. 又x 20191 844+y 2035 028=1, 联立解得x 0≈239.7,y 0≈156.7(由题意知x 0>0,y 0>0). ∴探测器在变轨时与火星表面的距离为 (x 0-c )2+y 20-R ≈187(百公里).即探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里.反思感悟 处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤是:首先要结合所给的图形及题意建立适当的平面直角坐标系,然后利用相关的几何知识分析问题,并注意椭圆定义及相关性质的灵活运用,求出椭圆的标准方程,结合实际问题的意义顺利求解.跟踪训练3 如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 是多少?(精确到小数点后一位)解 如图建立平面直角坐标系,则点P (11,4.5),设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1,因为P (11,4.5)在椭圆上, 所以112a 2+4.52b2=1,把b =h =6代入椭圆方程,得a =4477,此时l =2a =8877≈33.3(米),即隧道的拱宽约为33.3米.转化化归思想在椭圆中的应用典例 已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),左、右焦点分别是F 1,F 2,若椭圆C 上的点P ⎝⎛⎭⎫1,32到F 1,F 2的距离和等于4.(1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标;(2)直线l 过定点M (0,2),且与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,若原点O 在以线段AB 为直径的圆外,求直线l 的斜率k 的取值范围. 解 (1)由题意得2a =4,即a =2, 又点P ⎝⎛⎭⎫1,32在椭圆C 上, ∴14+34b2=1,即b 2=1, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1,焦点F 1(-3,0),F 2(3,0).(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0, 设l :y =kx +2,代入x 24+y 2=1,整理得(1+4k 2)x 2+16kx +12=0, Δ=(16k )2-4(1+4k 2)·12=16(4k 2-3)>0, 得k 2>34.①设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴x 1+x 2=-16k 1+4k 2,x 1x 2=121+4k 2. ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆外, ∴∠AOB 为锐角,∴cos ∠AOB >0, 则OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2>0, 又y 1y 2=(kx 1+2)·(kx 2+2) =k 2x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4,∴x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4 =(1+k 2)121+4k 2+2k⎝⎛⎭⎫-16k 1+4k 2+4 =4(4-k 2)1+4k 2>0. ∴k 2<4,∴34<k 2<4,∴直线l 的斜率k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-2,-32∪⎝⎛⎭⎫32,2. [素养提升](1)本例中点O 在以AB 为直径的圆外⇒∠AOB 为锐角⇒OA →·OB →>0⇒x 1x 2+y 1y 2>0 利用根与系数的关系与判别式可得到直线斜率的范围.(2)逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,本例从条件出发与已有知识结合,逐步推出相应的结论.对逻辑推理素养的培养有很好的帮助.1.点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是( )A .-2<a < 2B .a <-2或a > 2C .-2<a <2D .-1<a <1答案 A解析 由题意知a 24+12<1,解得-2<a < 2.2.直线y =x +2与椭圆x 2m +y 23=1有两个公共点,则m 的取值范围是( )A .m >1B .m >1且m ≠3C .m >3D .m >0且m ≠3 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +2,x 2m +y 23=1,得(3+m )x 2+4mx +m =0,∵Δ=(4m )2-4m (3+m )>0,∴16m 2-4m (3+m )>0, ∴m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3,∴m >1且m ≠3.3.过椭圆x 28+y 24=1内一点P (1,1)的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,且P 是线段AB 的中点,则直线l 的方程是( ) A .x +2y -3=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -3=0 D .2x -y -1=0 答案 A解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (1,1)是线段AB 的中点,则x 1+x 2=2,y 1+y 2=2, 将点A ,B 的坐标代入椭圆方程作差,得18(x 1+x 2)(x 1-x 2)+14(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即14(x 1-x 2)+12(y 1-y 2)=0, 由题意知,直线l 的斜率存在,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-12,∴直线l 的方程为y -1=-12(x -1),整理得x +2y -3=0.4.已知椭圆的方程为x 29+y 25=1,直线l :y =x +2与椭圆相交于P ,Q 两点,则|PQ |=________.答案307解析 直线l 的方程为y =x +2,代入方程x 29+y 25=1,得5x 2+9(x +2)2=45,即14x 2+36x -9=0, 显然,Δ>0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-187,x 1x 2=-914,则由弦长公式得|PQ |=1+k 2|x 1-x 2| =1+12×(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2×⎝⎛⎭⎫-1872-4×⎝⎛⎭⎫-914=307. 5.已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为________________________________________________________. 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2-4=1(a >2),与直线方程x +3y +4=0联立,得4(a 2-3)y 2+83(a 2-4)y +(16-a 2)(a 2-4)=0, 由Δ=0,得a =7, 所以椭圆的长轴长为27.1.知识清单:(1)直线与椭圆位置关系的判断. (2)弦长公式. (3)中点弦问题.2.方法归纳:设而不求、点差法.3.常见误区:直接求交点坐标造成运算量增大;弦长公式使用不恰当;不考虑直线的斜率是否存在.。