立体几何_二面角问题方法归纳

找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点.对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在60 :的二面角:-a的两个面内，分别有A和B两点•已知A和B到棱的距离分别为2和4,且线段AB =10，试求：(1)直线AB与棱a所构成的角的正弦值；(2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60 :角在哪儿•如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半.根据题意，在平面1内作AD — a ；在平面:-内作BE —〉，CD//EB，连结BC、AC •可以证明CD_a，则由二面角的平面角的定义，可知• ADC为二面角:-a —的平面角•以下求解略.二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2如图，在平面一：内有一条直线AC与平面-成30 ?, AC与棱BD成45:，求平面〉与平面：的二面角的大小.分析：找二面角的平面角，可过A作AF - BD ; AE -平面-■,连结FE .由三垂线定理可证BD _ EF，则/ AFE为二面角的平面角.总结：(1)如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.(2 )在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作AF丄BD ”、“连结EF ”、“证明EF丄BD ”.三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为〉- CD -:内的一点，PA—：•于A点，PB —:于B点，如果/APB二n ［试求二面角:--CD -：的平面角.图1第1页共3页图2UiJ C cPA丄an PA 丄CD分析： c n CD丄平面PAB.PB 丄B = PB 丄CD因此只要把平面PAB与平面〉、1的交线画出来即可•证明• AEB为〉-CD - 一：的平面角，.AEB =180 ：-n :（如图2）.注意：这种类型的题，如果过A作AE _ CD，垂足为E，连结EB，我们还必须证明EB _ CD，及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦.例4已知斜三棱柱ABC - A1B1C1中，平面AB!与平面AG构成的二面角的平面角为830 ［平面AB i与平面BC i构成的二面角为70匚试求平面AC i与平面BG构成的二面角的大小.分析：作三棱柱的直截面，可得△ DEF , 其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角.总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角.四、平移平面法例5如图，正方体ABCD-A i BQ i D i中，E为AA的中点，H为CC i上的点，且CH : C I H =i：2 .设正方体的棱长为a，求平面D I EH与底面A I B I C I D I构成的锐角的正切.分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点D i，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角.有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了.如图，过点E作EM //AD i与D i D相交于M点，过M点作MN —CP，与D i H相交于N点.可证平面EMN //平面ABiGD i .这样，求平面D i EH与平面ABQ i D i的二面角的平面角就转化为求平面D i EH与平面EMN的二面角的平面角.显然EN 为这两个平面的交线，过点M作MF - EN , F为垂足，连结D i F , 可证— EN .则.D i FM为本题要寻找的二面角.五、找垂面，作垂线例6 如图，正方体ABCD - A I B i C i D i中，M为棱AD的中点，求平面B i C i CB和平面BC i M所构成的锐二面角的正切.分析：平面AC与二面角M -BG-C的一个面B i C垂直，与另一个平面MBC i相交，过M点作MP — BC，垂足为P，过P作PN — BC，交BC i于N点，连结MN，由三垂线定理可证MN — BC i ,则• MNP为二面角M - BC i -C的平面角.总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平第2页共3页面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线•根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角.再如图，要找:-a--所构成的二面角的平面角，可找平面-一：，且咐「二=b , =丨，过b上任何一点A作AB _ I ,垂足为B，过B作BC _ ：,垂足为C ,连结AC , 可证ACB 为:-a--的平面角.六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1•三线合一例7 如图，空间四边形ABCD中，AB = AD=3 , BC=CD=4, BD = 2, AC =5 .试求A- BD - C二面角的余弦值.分析：如图1 , AB二AD , BC二CD，则△ ABD和A BDC为等腰三角形.过A作AE - BD ,垂足为E ,连结CE .根据三线合一，且E为BD 中点，可证CE _ BD，则• AEC为二面角A- BD - C的平面角.2.全等三角形——"■ I 一 1 ■「• r in i. ■ i ■ i例8 如图，已知空间四边形ABCD , AB二BC二6 , AD二DC二4 , BD二8 ,AC =6 .试求A-BD-C的余弦值.分析：过A作AE - BD，垂足为E，连结CE .根据已知条件，△ AED和△ CED全等，可证CE — BD ,则•AEC为二面角A-BD-C的平面角.3.二面角的棱蜕化成一点**!、**■、匸r・rir 、•匸—r例9 如图，四棱锥A- BCED中，DB和EC与面ABC垂直，△ ABC为正三角形.（1 ）若BC = EC = BD时，求面ADE与面ABC的夹角；（2）若BC =EC =2BD时，求面ADE与面ABC的夹角.分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面ADE与面ABC与面DC相交.如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2 ）一条交线；（3 ）三条交线互相平行.在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定有过A且平行于DE的一条交线.可过A作AM // DE，平面ADE与平面ABC的交线即为AM .过A作AN _ DE 于N，过A作AF _ BC 于F .可证AN _ AM , AF _ AM , 则• NAF 为面ADE与面ABC的夹角.如图，DE与BC不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点.延长ED、CB相交于G点，连结AG . AG即为平面ADE与平面ABC的交线，通过一些关系可证CAE为平面ADE与平面ABC的夹角.通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了.只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解.第3页共3页。

二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。

笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。

一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。

以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。

例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。

例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。

二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。

如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。

例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。

例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。

三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。

二面角问题在立体几何中比较常见，常见的命题形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值，证明两个平面互相垂直等.此类问题的难度一般较大，需综合运用立体几何知识、平面几何知识、解三角形知识、三角函数知识，才能顺利求得问题的答案.本文结合实例，重点探讨一下求解二面角问题的几种常用方法.一、定义法二面角是由从一条直线出发的两个半平面所组成的，而二面角的大小往往是用其平面角的大小来表示，因此在求二面角的大小时，通常要用到二面角的平面角的定义：过二面角的棱上的一点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角.然后根据正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小，即可求得二面角的大小.例1.如图1，已知空间中有三条射线CA 、CP 、CB ，且∠PCA =∠PCB =60°，∠ACB =90°，求二面角B -PC -A 的余弦值.图1解：在PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，连接EF ，所以∠EDF 为二面角B -PC -A 的平面角，设CD =a ，因为∠PCA =∠PCB =60°，所以CE =CF =2a ，DE =DF =3a ，因为∠ACB =90°，所以EF =22a ，在△DEF 中，根据余弦定理得：cos ∠EDF =3a 2+3a 2-8a 22∙3a2=-13.解答本题主要运用了定义法，需根据二面角的平面角的定义，在二面角B -PC -A 的棱PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，从而确定了二面角B -PC -A 的平面角∠EDF ，再根据余弦定理求得cos ∠EDF 的值.二、垂面法垂面法是指作一个垂直的平面，根据其中的垂直关系求得问题的答案.在求解二面角问题时，若题目中涉及的垂直关系较多，可过二面角棱上的一点在两个半平面内作棱的垂线；也可将两个半平面内的垂线平移，使其交于一点；还可过一条垂线上的一点作另一个平面的垂线，从而构成一个垂面，则垂面上的两条垂线或其平行线所形成的夹角即为二面角的平面角.最后根据勾股定理即可求得二面角的平面角的大小.例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，求二面角B -PC -D 的大小.图2解：因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以PA ⊥BD ，BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面PAC ,可得BD ⊥PC ，分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，则∠BHD 为二面角B -PC -D 的平面角，因为PA =AB =a ，所以BC =a ，PB =AC =2a ，所以PC =3a ，根据勾股定理可得∠PBC =90°，所以在△PBC 中，12PB ∙BC =S △PBC =12PC ∙BH ，则BH ，同理可得DH ，因为BD =2a ，所以在△BHD 中，由余弦定理可得：cos ∠BHD =ö÷2+ö÷2-2a 2-12，因为0<∠BHD <π，则∠BHD =2π3,即二面角B -PC -D 的大小为2π3.本题中的垂直关系较多，于是分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，得到PC 的垂面BHD ，据此确定二面角B -PC -D 的平面角∠BHD ，再在△BHD 中由怎样求解二面角问题方法集锦43余弦定理即可求得∠BHD 的大小，进而求得二面角B -PC -D 的大小.值得注意的是，二面角α的范围为：[0,π].三、三垂线法三垂线法是利用三垂线定理解题的方法.运用三垂线法求解二面角问题，需先找到平面的垂线，然后过垂线上的一点作平面的斜线，若平面内的一条直线与平面的斜线垂直，那么这条直线与斜线在平面内的射影垂直，根据这些垂直关系就可以确定二面角的平面角，最后根据勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.例3.如图3所示，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，∠ABC =30°，求二面角P -BC -A 的大小.图3解：如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，连接PH ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，PA ⊥AH ，所以BC ⊥平面PHA ，所以BC ⊥PH ，可知∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，在Rt△ABH 中，AB =a ，∠ABH =∠ABC =30°所以AH =AB sin ∠ABH =a sin 30°=12a ，因为PA ⊥AH ，所以在Rt△PHA 中，tan ∠PHA =PA AH=2，所以∠PHA =arctan 2，故二面角P -BC -A 的大小为arctan 2.根据题意作AH ⊥BC ，便可知AH 为PH 在平面ABCD 内的射影，由三垂线定理可得BC ⊥PH ，由此可确定∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，再在Rt△PHA 中根据正切函数的定义求得∠PHA 的大小，进而可得到二面角P -BC -A 的大小.由此可见，求解二面角问题的关键有两步：第一步，根据二面角的平面角的定义、三垂线定理、垂面的性质，确定二面角的平面角；第二步，根据勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义求得平面角的大小.（作者单位：江西省赣州市南康第三中学）二次函数是一种基本初等函数.二次函数问题的常见命题形式有求二次函数的解析式、最值、对称轴、单调区间、零点等.这类问题侧重于考查二次函数的图象和性质.下面重点谈一谈如何求解有关二次函数的最值问题、零点问题和不等式问题.一、二次函数的最值问题二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条抛物线，若a >0，则抛物线的开口向上；若a <0，则抛物线的开口向下.当x =-b 2a 时,函数在R 上有最值b 2-4ac 4a.若函数的定义域为[m ,n ]，则需分三种情况考虑：（1）当-b 2a ∈[m ,n ]时，函数在x =-b 2a 处取得最值；（2）当x =-b 2a,在[m ,n ]的左侧时，若a >0，则函数在x =m处取最小值，在x =n 处取最大值，若a <0，则相反；（3）当x =-b2a在[m ,n ]的右侧时，若a >0，则函数在x =m 处取最大值，在x =n 处取最小值；若a <0，则相反.例1.求y=-5x 2-6x ＋1的最大值.解：y =-5x 2-6x ＋1是二次函数，x 2的系数是-5，所以二次函数图象的开口向下，当x =-65时，函数有最大值1.利用二次函数的图象，即可确定二次函数在对称轴处取得最值.除了用图象法求解最值问题，还可以用配方法，比如y =x 2＋4x ＋3=()x +22-1，可知当x =-2时函数的最小值为-1.例2.已知函数f (x )=x 2＋(2a -1)x -3.方法集锦44。

立体几何二面角求法
立体几何中的二面角是指两个平面的夹角，其中一个平面是由立体图形的两个面组成的。

二面角是非常重要的几何概念，它在计算立体图形的体积、表面积和角度时都有很多应用。

二面角的求法有很多种，其中比较常用的方法有以下几种：
1. 用余弦定理求解
在立体图形中，二面角的两个平面可以看做是两个三角形的平面。

如果已知两个三角形的边长及它们之间的夹角，就可以用余弦定理求出二面角的大小。

2. 用向量求解
向量是几何中非常重要的概念，可以用来表示空间中的点和方向。

如果已知二面角的两个平面的法向量，就可以用向量求解的方法求出二面角的大小。

3. 用三维坐标系求解
在三维坐标系中，可以用向量表示空间中的点和方向。

如果已知二面角的两个平面在三维坐标系中的方程式，就可以用向量求解的方法求出二面角的大小。

以上是三种比较常用的二面角求解方法，不同的方法适用于不同的情况。

在实际应用中，根据具体的问题选择合适的方法可以提高计算的效率。

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立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

jA BCDPHPOBA二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.ABCDA 1B 1C 1D 1EO例、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC—B 的大小为45°。

求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小.B 1AαA 1 LE F三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PβαlCBA例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

六种方法求二面角的大小河北省武邑县职教中心 053400 李凤迎 李洪涛求二面角的大小是高考立体几何题中的重要题型，它几乎涉及到了立体几何中的所有知识点，考查到了所有思想和方法，具有很强的综合性.我们要根据题目环境条件的不同灵活地采用适当的方法.下面总结一下二面角的常见求法，以供大家学习和参考.一、定义法例1. 在三棱锥A BCD -中，AB AC AD BC ===，CD BD =，90BAC ∠=，90BDC ∠=，求二面角A BC D --的大小.分析 因为ABC ∆和BCD ∆是有公共边的等腰三角形，此时宜采用“定义法”.解答 取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，因为OA 、OD 分别为等腰ABC ∆和BCD ∆的中线，所以AO BC ⊥，DO BC ⊥，则AOD ∠即为所求二面角A BC D --的平面角.设AB a =，则AD a =，AO =，2OD a =，在AOD ∆中，因为2222a a ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222AO OD AD +=，所以90AOB ∠=，所以二面角A BC D --大小为90.说明 当二面角的两个面是有公共边的等腰三角形和矩形的组合时，可采用“定义法”；当二面角的两个面是关于公共边对称的两个全等三角形时，同时取公共边上的高，由定义可作出二面角的平面角.变式训练1 （2008年高考题）在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =, CD =,AB AC =.设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C AD E --的大小. 二、三垂线定理法例2. 在三棱锥P ABC -中，AP BP BC==，90APB ABC ∠=∠=，面APB ⊥面PBC .（1）求证：APB ABC ⊥面面；（2）求二面角P AC B --的大小.分析 由（1）中APB ABC ⊥面面可知，此时宜采用“三垂线定理法”作出二面角P AC B --的平面角.只需过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH ，则PHO∠即为所求. 解答 （1）略.（2）过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH .因为APB ABC ⊥面面，=APB ABC AB 面面，PO APB ⊂面，PO AB ⊥，所以DCO ABO HCA B PEGOB DCAPO ABC ⊥面，则OH 为斜线PH 在面ABC 内的射影.又因为AC OH ⊥，所以AC PH ⊥（三垂线定理），则PHO ∠即为所求.设AP a =，则PB BC a ==.在Rt APB ∆中2PO AO a ==，在Rt ABC ∆中AC =，由Rt AOH ∆∽Rt ABC ∆得OH BC AO AC=，所以BC OH AO AC =⋅2a ==，又因为PO ABC ⊥面，OH ABC ⊂面，所以PO OH ⊥，则在Rt ABC ∆中，tan PO PHO HO ∠===60PHO ∠=，即二面角P AC B --的大小为60.说明 当题目中有一条从一个半平面内的一点到另一个半平面的垂线段时，可采用“三垂线定理法”.垂线段可由题目中的线面垂直、面面垂直等条件作出.变式训练2 如图，三棱柱111ABC A B C -，底面是边长为的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点.若侧棱1AA 和底面ABC 所成的角为45时，求二面角1A AC B --的正切值.三、垂面法例3. 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且3PA =，4PB =若ABC S ∆=l αβ--的度数为______.分析 由已知得l PAB ⊥面.设PAB l O =面，连接,OA OB ，则l OA ⊥，l OB ⊥，则AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角，且180AOB P ∠+∠=.要想求AOB ∠，只需由ABC ∆的面积公式求出P ∠即可.解答 因为1sin 2ABC S PA PB P ∆=⋅⋅⋅∠134sin 2P =⋅⋅⋅∠=所以sin 2P ∠=，所以60P ∠=或120，又因为180AOB P ∠+∠=，从而=120AOB ∠或60.说明 180AOB P ∠+∠=可作为结论使用.若给出ABP ∆的三边，则可通过余弦定理l OA BPβαHC 1B 1A 1OC B A求出P ∠的度数.变式训练 3 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且7PA =，8PB =，13AB =，则二面角l αβ--的度数为______.四、面积射影法例4. 在三棱锥中P ABC -，,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，若DE ABC ⊥∆面，PBC ABC ∆∆=S ，则二面角P BC A --的大小为______.分析 易证DE ∥PA ，则PA ABC ⊥面，则PBC ∆的射影为ABC ∆，此时宜采用“面积射影法”.解答 设二面角为θ，因为,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，则可得=MD MEDP EA，所以DE ∥PA .又因为DE ABC ⊥面，所以PA ABC ⊥面.因为cos ABC PBC S θ∆∆=S ==45θ=. 说明 当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小.变式训练4 若一正四棱锥的表面积与其底面积满足关系式21=x x S S x++表底，则其侧面与底面所成的二面角的范围是______.五、三正弦定理法例5. （2012年全国新课标卷）在直三棱柱ABC A B C '''-中，12AC BC AA '==，D 是棱AA '的中点，DC BD '⊥.（1）证明：DC BC '⊥；（2）求二面角A BD C ''--的大小.分析 考察面BDC '内的直线DC '，易求90BDC '∠=，即2sin 1θ=；取A B ''的中点N ，则C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角，且1sin 2C DN '∠=，即11sin 2θ=，最后代入公式即可求出二面角的大小.解答 因为DA C ''∆和DAC ∆均为等腰直角三角形，所以DC DC '⊥.又因为DC BC '⊥，所以DC DBC '⊥面，从而DC DB '⊥，即2sin sin 901θ==；取A B ''的中点N ，连接DN ，则C N A B '''⊥.又因为AA C N ''⊥，所以C N ABB A '''⊥面，则C DN'∠M EDC BAPB B'A'C'AD N即为直线DC '与ABB A ''面所成的角.设2AA a '=，则AC BC a ==，因为2C N a '=，D C '=，即11sin sin 2C N C DN CD θ''=∠==.由12sin sin sin θθθ=得1sin 2θ=，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=.说明 当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.变式训练 5 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，若A EF ∈，AG α⊂，45GAE ∠=，若AG 与β所成的角为30，则该二面角的大小为______.六、向量法例6. 题目同例5.分析 由（1）可证BC CC A A ''⊥面，则BC CA ⊥，所以,,CA CB CC '两两互相垂直，此时可以采用“向量法”求二面角的大小.解答 (1) 略.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设所求二面角为θ，平面BDC '的法向量为()1,,n x y z =，又因为()101DC '=-，，，()012BC '=-，，，则1100DC n BC n ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即020x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则2y =，1z =，所以()11,2,1n =；同理设平面ABB A ''的法向量为2n ，取AB 的中点M ，则可知CM ABB A ''⊥面，所以取211==,022n CM ⎛⎫⎪⎝⎭，，又因为121212cos ,n n n n nn ⋅=32==，由题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=. 说明 向量法又俗称“万能法”.当题目中出现三条线段具有或可以证明存在两两互相垂直的位置关系时，可采用“向量法”.但计算时一定要认真，并且要根据所求二面角是锐二面角还是钝二面角合理取舍.变式训练 6 如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.βαGE FA（参考答案：1.π- 2. 2；3.60；4.6090θ≤<；5.45；6.sinθ=.）。

二面角求法归纳18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。

定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG FGFG∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-例2. （2010全国I 理，19题，12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以，二面角A DE C --的大小为120°.例3（2010浙江省理，20题，15分）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别 在线段,AB AD 上，243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF 翻折成'A EF ，使平面'A EF BEF ⊥平面.（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长.练习（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，60ABC∠=︒,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。

立体几何篇（空间角专题之二面角）二面角的定义：在两个平面的交线上任取一点，过该点，在各自的平面内作交线的垂线，两根射线所成的平角即为两个平面的二面角，二面角的范围为ο≤θ或]0≤180,0[π二面角的求法：1、定义法：2、三垂线法：（最重要的方法）3、面积比法：4、垂面法：5、向量法：（建系）例题1、定义法：（当等腰三角形出现的情况下，用定义法）1、求正四面体相邻的两个平面的所成二面角余弦值的大小2、如图，在三棱锥A BCD-中，侧面ABD ACD，是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且31AD BD CD===，，另一侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD BC⊥；（2）求二面角B AC D--的余弦值；2、三垂线法（也叫站柱法）三垂线定理：（1）垂直于斜线由垂直于射线；（2）垂直于射线则垂直于斜线。

ABCD例3、如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的正切值；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C所成角的正切值．例4、在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形, AB ∥CD ,∠DAB = 60,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF .(Ⅰ).求证: BD ⊥平面AED .(Ⅱ)求二面角F -BD -C 的余弦值.E F BA C D3、面积比法原射S S =θcos例5、1111D C B A ABCD -是长方体，侧棱1AA 长为1，底面为正方体且边长为2，E 是棱BC 的中点，求面DE C 1与底面CDE 所成二面角的正切值。

例6、E 为正方体1111D C B A ABCD -的棱1CC 的中点，求平面E AB 1的底面1111D C B A 所成锐角的余弦值。

4、垂面法通过作二面角棱的垂面得到平面角的方法叫垂面法。

例7、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.Pβα lC B A。

求解二面角问题的基本方法二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系，具有综合性强，灵活性大的特点，因此，一直成为高考、会考的热点。

求解二面角问题一般可分为直接法和间接法二大类。

一、 直接法角平面角的方法主要有：①利用定义即在二面角α-l-β的棱l 上任取一点，然后在两个半平面内分别作棱的垂线a,b 两条垂线a,b 所成的角即为二面角的平面角。

例1、 在三棱锥P-ABC 中，∠ APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。

分析：所求二面角与底面ABC 所在的位置无关，故不妨利用定义求解。

略解：在二面角的棱PB 上任取一点Q ，在半平面PBA 和半平面PBC 上作QM ⊥PB ，QN ⊥PB ，则由定义可得∠MQN 即为二面角的平面角。

设PM=a,则在Rt ∆PQM 和Rt ∆PQN 中可求得QM=QN=23a ；又由∆PQN ≅∆PQM 得PN=a,故在正三角形PMN 中MN=a,在三角形MQN 中由余弦定理得cos ∠MQN=31，即二面角的余弦值为31。

②利用三垂线定理。

即从半平面α内的任一点A 出发向另一个半平面β引一条直线AH ，过H 作棱l 的垂线HG ，垂足为G ，连AG ，则由三垂线定理可证l ⊥AG,故∠AGH 就是二面角α-l-β的平面角。

三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。

例2、 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=900，AB=BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30角，求二面角B-B 1C-A 的正弦值。

分析：易知，平面ABC 与平面BCC 1B 1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。

略解：由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，过A 作AN ⊥平面BCC 1B 1，垂足为N ，则AN ⊥平面BCC 1B 1，（AN 即为我们要找的垂线）在平面BCB 1内过N 作NQ ⊥棱B 1C ，垂足为Q ，连QA ，则∠NQA 即为二面角的平面角。

高中数学立体几何——二面角求法
二面角是指两个平面之间的角度，通常用于描述两个多面体表面相接的角度。

二面角的求法有以下几种常见的方法：
1.面对面法：首先确定两个相邻平面的法向量，然后计算它们之间的夹角，即为二面角。

2.边对边法：首先找到两个相邻平面的公共边，然后计算这条边分别在两个平面上的投影长度，最后使用向量夹角的方法求得二面角。

3.用平行面的夹角计算二面角：如果两个面是平行的，则二面角为零。

需要注意的是，在具体的问题中，可能还会有其他方法来计算二面角，具体的求解方法要根据具体的情况和已知条件来选择合适的计算方式。

⽴体⼏何中⼆⾯⾓8个常⽤求法
⼆⾯⾓定义的回顾：
⼆⾯⾓的通常求法
1、由定义作出⼆⾯⾓的平⾯⾓；
2、利⽤三垂线定理（逆定理）作出⼆⾯⾓的平⾯⾓；
3、作⼆⾯⾓棱的垂⾯，则垂⾯与⼆⾯⾓两个⾯的交线所成的⾓就是⼆⾯⾓的平⾯⾓。

4、空间坐标法求⼆⾯⾓的⼤⼩
5、平移或延长（展）线（⾯）法
6、射影公式S射影=S斜⾯cosθ
7、化归为分别垂直于⼆⾯⾓的两个⾯的两条直线所成的⾓
⼀、利⽤定义作出⼆⾯⾓的平⾯⾓，并设法求出其⼤⼩。

⼆、三垂线定理（逆定理）法
由⼆⾯⾓的⼀个⾯上的斜线（或它的射影）与⼆⾯⾓的棱垂直，推得它位于⼆⾯⾓的另⼀的⾯上的射影（或斜线）也与⼆⾯⾓的棱垂直，从⽽确定⼆⾯⾓的平⾯⾓。

四、找（作）公垂⾯法
由⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义可知两个⾯的公垂⾯与棱垂直，因此公垂⾯与两个⾯的交线所成的⾓，就是⼆⾯⾓的平⾯⾓。

五、平移或延长（展）线（⾯）法
将图形中有关线段或平⾯进⾏平移或延长（展），以其得到⼆⾯⾓的两个平⾯的交线。

图⼆：
六、射影公式
由公式S射影=S斜⾯cosθ，作出⼆⾯⾓的平⾯⾓直接求出。

运⽤这⼀⽅法的关键是从图中找出斜⾯多边形和它在有关平⾯上的射影，⽽且它们的⾯积容易求得。

图⼆：
七、化归为分别垂直于⼆⾯⾓的两个⾯的两条直线所成的⾓
图⼆：
图三：
⼋、空间向量求解⼆⾯⾓
求解⼆⾯⾓⼤⼩的⽅法很多，诸如定义法、三垂线法、垂⾯法、射影法、向量法等若⼲种。

⽽这些⽅法中最简单易学的就是向量法。

图⼆：
图四：
图五：
图六：
图七：
图⼋：
图九：
图⼗：。

αβa O A B 二面角题型归纳及解题方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。

求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。

从而给出二面角的通性通法。

第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的余弦值。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠FG∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三：空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B -PC -A 的大小。

备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。

二面角求法归纳18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。

定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG FGFG∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-例2. （2010全国I 理，19题，12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以，二面角A DE C --的大小为120°.例3（2010浙江省理，20题，15分）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别 在线段,AB AD 上，243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF 翻折成'A EF ，使平面'A EF BEF ⊥平面.（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长.练习（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，60ABC∠=︒,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。