南开大学年数学分析考研试卷答案
一、
设),,(x y x y x f w -+=
其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w .
解：令u =x +y ，v =x -y ，z =x ，则z v u x f f f w ++=；
)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w
二、
设数列}{n a 非负单增且a a n
n =∞
→lim ，证明
a a a a n
n n n n n =+++∞
→1
21][lim .
解：因为a n 非负单增，故有n
n n n
n
n n n n na a a a a 11
21)(][≤+++≤ .
由a a n
n =∞
→lim ；据两边夹定理有极限成立。
三、
设⎩
⎨⎧≤>+=0
,00),1ln()(2
x x x x x f α,试确定α的取值范围，使f (x )分别满足：
（1） 极限)(lim 0x f x +
→存在
（2） f (x )在x=0连续 （3） f (x )在x=0可导 解：（1）因为
)(lim 0x f x +
→=)1ln(lim
2
0x
x x ++
→α=)]()1(2[lim 221420n n
n x x o n
x x x x +-++-
-→+
α极限存在，则 2+α0≥知α2-≥.
(2)因为)(lim 0
x f x -
→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α
.
（3）0)0(='-
f 所以要使f(x)在0可导则1->α.
四、设f (x )在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关.
解；令U =22
y x
+，则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=2
1du u f l )(⎰又f (x )在R 上连续，故存
在F （u ）使d F (u )=f (u )du=ydy xdx y x f ++)(22. 所以积分与路径无关。
五、 设f(x)在[a,b]上可导，
0)2
(
=+b
a f 且
M
x f ≤')(,证明
2)
(4)(a b M
dx x f b a -≤⎰ 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在
)2
)(()2(
)(),(b
a x f
b a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有
dx b
a x f dx x f b
a
b
a
)2
)(()(+-
'=
⎰
⎰
ξ2
2
2)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f b
b a b
a a
b a
-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。∑n a n sin 发散
a) 证明∑收敛n an sin
b) 证明1l i m =∞→n
n
n v u 其中
1
(
s i n
s i n )
n
n k k
k u a k a k ==+∑；1(sin sin )n
n k k k v a k a k ==-∑.
证：（1）因为2
1sin 1sin ≤
∑k 而}{n a 单减而且收敛于0，根据狄利克莱判别法
知sin n a n ∑收敛
（2）因为正项级数∑n a n sin 发散则sin ()k a k n →∞→∞∑又由上题知
1
sin n
k k a k =∑有界，故有1lim
=∞→n
n
n v u
七、设dx x
x
e
t F tx
sin )(1⎰∞
+-= 证明
（1）dx x
x
e tx
sin 1
⎰
∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续
证：（1）因dx x
x
⎰∞+1
sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；
又tx
e
-在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥∀≤≤-t x e
tx
由阿贝尔判别
法知一致收敛
（2）],[0,),,0[00βαβα∈≥∃+∞∈∀t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致
收敛，且由x
x
e
tx
sin -在（x,t ）],[),1[βα⨯+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连
续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证
