南开大学2003年数学分析考研试题及解答

一、 设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y,v=x-y,z=x则zv u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、 设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an 非负单增，故有nn n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a n n =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、 设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足：（1） 极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nx x x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l++⎰)(22与积分路径无关 解；令U=22y x +则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f(x)在R 上连续故存在F （u ）使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。

（此题应感谢小毒物提供思路）四、 设f(x)在[a,b]上可导，)2(=+b a f 且Mx f ≤')(证明2)(4)(a b Mdx x f b a-≤⎰证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f baba)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba ab a-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。

2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a nn n n n n =+++∞→121][lim三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x +→存在 （2） f(x)在x=0连续（3） f(x)在x=0可导 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l++⎰)(22与积分路径无关 四、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+b a f 且M x f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤⎰ 六、设}{n a 单减而且收敛于0。

∑n a n sin 发散（1） 证明∑收敛n an sin（2） 证明1l i m =∞→nn n v u 其中)s i ns i n (k ak k a u k n +=∑；)sin sin (k ak k ak v n -=∑七、设dx xxe t F tx sin )(1⎰∞+-= 证明 （1）dx xxe txsin 1⎰∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续八、命)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （2）对任意0>ε，存在一个εδδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f kn在[a,b]上一致收敛中科院2006年数学分析试题1求a,b 使下列函数在x=0处可导:21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.2 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n 1已知级数发散求证级数也发散a a 3 1(1).nx dx ≥-⎰m 设m,n 0为整数,求积分x 的值4 0().aaa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e5()[,]f x a b ''设函数在含有的某个开区间内二次可导且f (a)=f (b)=0,24(,)||()()|.()a b f b f a b a ξξ''∈)≥--则存在使得|f (6 122[,]222()[,],|()||'()|),1()()|'()|.2ba b abbaaf x a b f x f t dt f x dx b a f t dt ∈≤≤-⎰⎰⎰x 设实值函数及其一阶导数在区间上连续而且f(a)=0,则max72222n D C u ()C Du uds dxdy n u u ∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰⎰ 设是平面区域的正向边界线的外法线，则8 设曲线2222x :1y a bΓ+=的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令2222(2)J b x xy a y ds Γ=++⎰ ，则22S LJ π=.9 1n 110(1)32n n -∞=--∑⎰3dx 计算积分的值，并证明它也等于数项级数的和。

2003年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= .【答】 2e【详解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim 00e ee x x x x x x ==+++→→（2）dx e x x x∫−−+11)(= .【答】 )21(21−−e 【详解】dx ex x x∫−−+11)(=dx xedx ex xx∫∫−−−−+1111=dx ex x−−∫111122x x xe dx xde −−+=−∫∫=1102()xx xe e dx −−−−∫ =)21(21−−e .(3)设a>0，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(= .【答】2a 【详解】 ∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ∫∫≤−≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=−+=∫∫∫+（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则 1)(−−E A = .【答】 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】 由AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E, 即有 E E A B E A 2)(2)(=−−−， E E B E A 2)2)((=−−， E E B E A =−⋅−)2(21)(， 可见 1)(−−E A =)2(21E B −=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T"α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα−=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= . 【答】 -1【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+−= =TT T T a a E αααααααα⋅−+−11=TT T T a a E αααααααα)(11−+−=TT T a a E αααααα21−+−=E aa E T=+−−+αα)121(,于是有 0121=+−−a a ，即 0122=−+a a ，解得 .1,21−==a a 由于a<0 ,故a=-1.（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX, 则2)(Y X E += .【答】 6 【详解】 因为2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ⋅+=4+2.625.024=××+=⋅⋅DY DX XY ρ二、选择题（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. 【答】 [ D]【详解】 当±∞→x 时，极限y x ±∞→lim 均不存在，故不存在水平渐近线；又因为 1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，0)(lim 1=−∞→x xe x x ，所以有斜渐近线y=x.另外，在 x=0 处21x xe y =无定义，且∞=→1lim x x xe ，可见 x=0为铅直渐近线.故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选(D).（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 【答】 [ A ] 【详解】 因为)1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ=⋅−−=−−++→→x x x x f x f x x ， )1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ−=⋅−−−=−−−−→→x x x x f x f x x ， 可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是 .0)1()1(3)1(3=⇔−=ϕϕϕ 故应选(A).（3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. 【答】 [ A ]【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00=′y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).（4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 【答】 [ C ]【详解】 因为矩阵A 相似于B ，于是有矩阵A-2E 与矩阵B-2E 相似，矩阵A-E 与矩阵B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(B-2E)=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−，秩(B-E)=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−， 可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C). （5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立. 【答】 [ B ]【详解】 φ≠AB 推不出P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出A,B 一定独立，排除(A); 若φ=AB ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项为(B).（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 (A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. 【答】 [ C ]【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与Y 不相关⇔X 与Y 独立，本题仅仅已知X 和Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X 与Y 一定独立，排除(A); 若X 和Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y 是否独立，可排除(B); 同样要求X 与Y 相互独立时，才能推出X+Y 服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).三 、（本题满分8分） 设 21,0(,)1(11sin 1)(∈−−−=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.【详解】)(lim 0x f x +→= -.1π+xx xx x ππππsin sin lim 0−+→= -220sin lim 1ππππx x x x −++→= -xxx 202cos lim 1πππππ−++→= -2202sin lim 1ππππxx +→+ = -.1π由于f(x)在]21,0(上连续，因此定义π1)0(−=f ，使f(x)在]21,0[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g −=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【详解】v f x u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，.vfy u f x y g ∂∂−∂∂=∂∂ 故 v f v f x v u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂−∂∂+∂∂∂−∂∂=∂∂所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=∫∫−+−π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=∫∫+−π=.sin 2022dr r re d e r ∫∫−πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0∫−=πππ.记 tdt e A t sin 0∫−=π，则t t de e A −−∫−=int 0π=]cos sin [0∫−−−−ππtdt e te t t=∫−−πcos t tde =]sin cos [0tdt e te t t ∫−−+−ππ=.1A e −+−π因此 )1(21π−+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=−六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t−=)(在),(+∞−∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.【详解】 由0ln )(=−=′a a a t f t，得唯一驻点.ln ln ln 1)(aaa t −= 考察函数aaa t ln ln ln 1)(−=在a>1时的最小值. 令 0)(ln ln ln 1)(ln ln ln 11)(22=−−=−−=′a a aa aa a a t ，得唯一驻点 .ee a =当ee a >时，0)(>′a t ；当ee a <时，0)(<′a t ，因此ee t e11)(−=为极小值，从而是最小值.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式.【详解】 根据题意，有316)()](1[213+=++∫x x dt t f x f x .两边关于x 求导，得.21)()(21)](1[212x x f x f x x f =−′++当0≠x 时，得.1)(1)(2xx x f x x f −=−′ 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ]1[)(121C dx e xx ex f x dxx+∫−∫=−−−∫=]1[ln 2ln C dx e xx ex x+−−∫=)1(22C dx xx x +−∫ =.12Cx x ++ 当x=0时，f(0)=1.由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以 .)1(21)(22−=−+=x x x x f八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.【详解】 (1) 在时刻t 商品的剩余量为 )()(t x A t y −==kt A −， ].,0[T t ∈ 由kt A −=0，得 TA k =， 因此 ,)(t TAA t y −= ].,0[T t ∈ (2) 依题意，)(t y 在[0，T]上的平均值为∫=Tdt t y T y 0)(1 =∫−T dt t T A A T 0)(1=.2A因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为.2A九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T)2,0,1(1=α，T)3,1,1(2=α，Ta )2,1,1(3+−=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？【详解】 作初等行变换，有),,,,(321321βββααα#=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++−463232112110221111a a a a ###⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−+−−→111100112110111201a a a a ###.(1) 当1−≠a 时，有行列式[]01321≠+=a ααα，秩（3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解. 所以，321,,βββ可由向量组（I ）线性表示.同样，行列式[]06321≠=βββ，秩（3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组（II ）线性表示. 因此向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当a=-1时，有),,,,(321321βββααα#⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→202000112110111201###. 由于秩（321,,ααα）≠秩（),,1321βααα#，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 因此，向量组（I ）与（II ）不等价.十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α， 由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且 λαα=*A.两边同时左乘矩阵A ，得 αλαA AA =*， αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ， 由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b (1)(2)(3) 由式(1),(2)解得1=b或2−=b ;由式(1),(3)解得 a=2. 由于 42311121112=−==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bb A+=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ；当2−=b 时，.4=λ十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1.对于]8,1[∈x ，有.131)(3132−==∫x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1.对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==})1({}1{33+≤=≤−y X P y X P=.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为 0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P −=ρ称做事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ【详解】 (1) 由ρ的定义，可见0=ρ当且仅当P(AB)-P(A)P(B)=0,而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件.(2) 考虑随机变量X 和Y:A A X 不出现若出现若⎩⎨⎧=,0,1 .,0,1不出现若出现若B B Y ⎩⎨⎧= 由条件知，X 和Y 都服从0—1分布：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)((10~A P A P X ，.)((10~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛B P B P Y 易见)(A P EX =， )(B P EY =；)()(A P A P DX =, )()(B P B P DY =;).()()(),cov(B P A P AB P EXEY EXY Y X −=−= 因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二随机变量相关系数的基本性质，可见 .1≤ρ。

2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ρ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n ρ平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132 .【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21Λ]=[nααα,,,21Λ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n αααΛ[],,,21n βββΛ.【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21Λ==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).（4）设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).（6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C).三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey =平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四 、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→= .(2)曲面22y x z+=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a =.(4)从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧= 则=≤+}1{Y X P.(6)已知一批零件的长度X (单位:cm )服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm ),则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注:标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.ΦΦ==)二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A ) 一个极小值点和两个极大值点. (B ) 两个极小值点和一个极大值点. (C ) 两个极小值点和两个极大值点. (D ) 三个极小值点和一个极大值点.(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A ) n n b a <对任意n 成立.(B ) n n c b <对任意n 成立.(C ) 极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D ) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且22200(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+,则 (A ) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B ) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C ) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D ) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4)设向量组I:r ααα,,,21 可由向量组II:s βββ,,,21 线性表示,则 (A ) 当s r <时,向量组II 必线性相关.(B ) 当s r>时,向量组II 必线性相关.(C ) 当s r <时,向量组I 必线性相关.(D ) 当s r >时,向量组I 必线性相关.(5)设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ①若0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B ); ②若秩(A )≥秩(B ),则0Ax =的解均是0Bx =的解; ③若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B ); ④若秩(A )=秩(B ),则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是(A ) ①②.(B ) ①③.(C ) ②④.(D ) ③④.(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则 (A ) )(~2n Yχ.(B ) )1(~2-n Yχ.(C ) )1,(~n F Y .(D ) ),1(~n F Y .过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A ;(2)求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五、(本题满分10分) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:(1)dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex Ly六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a (m ).根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.设函数()f x 连续且恒大于零,222()22()()()()t D t f xy z dVF t f x y d σΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰,22()2()()()D t tt f x y d G t f x dxσ-+=⎰⎰⎰,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ,P A P B *1-=,求2B E +的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数.从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记12ˆmin(,,,X X θ=L )n X .(1)求总体X 的分布函数()F x ; (2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ;(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 属1∞型. 原式=1cos 1cos 1ln(1)lim[1(cos 1)].x x x x x -⋅-+→+-利用等价无穷小因子替换易求得2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x , 故原式=12.e -(2)【分析】 曲面在任意点(,,)P x y z 处的法向量{2,2,1}x y =-n ,n 与平面042=-+z y x 的法向量{2,4,1}=-0n 平行,λλ⇔=0n n 为某常数,即22,24,1.x y λλλ==-=- 从而1, 2.x y ==,又点P 在曲面上22(1,2)()5z x y P ⇒=+=⇒点处的{2,4,1}=-n .因此所求切面方程是0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,即245x y z +-=.(3)【分析】 这是求傅氏系数的问题. 已知)()(2ππ≤≤-=x x x f 是以2π为周期的偶函数,按傅氏系数计算公式得2220002211cos 2sin 22sin 22a x xdx x d x x xdx ππππππ===-⎰⎰⎰=00111cos 2cos 2cos 2 1.xd x x x xdx ππππππ=-=⎰⎰(4)【分析】 设由基12,αα到基12,ββ的过渡矩阵为C ,则1212(,)(,)C ββαα=,即11212(,)(,).C ααββ-=那么,由111110231023011201120112⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 可知应填:23.12⎡⎤⎢⎥--⎣⎦当然也可先求出11111,0101-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦再作矩阵乘法而得到过渡矩阵.(5)【分析】 =≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰12016(12).4x x dx =-=⎰(6)【分析】 这是一个正态总体方差已知求期望值μ的置信区间问题,该类型置信区间公式为(,),I x x =+其中λ由{}0.95P U λ<=确定(~(0,1))U N 即 1.96λ=.将40,1,16, 1.96x n σλ====代入上面估计公式,得到μ的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).二、选择题(1)【分析】 由图,()f x 有三个驻点和一个不可导点0.x ='()f x 在三个驻点处,一个由正变负,两个由负变正,因而这三个驻点中一个是极大值点,两个是极小值点;而点0x =(()f x 的连续点)的左侧'()0f x >,0x =的右侧'()0f x <,0x =是()f x 由增变减的交界点,因而是极大值点.应选(C ).(2)【分析】 (A ),(B )显然不对,因为由数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情况,不可能得出“对任意n 成立”的性质.(C )也明显不对,因为“无穷小⋅无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在. 故应选(D ).(3)【分析】 由条件000lim[(,)]0lim (,)(0,0)0.x x y y f x y xy f x y f →→→→⇒-=⇒==由极限与无穷小的关系⇒222(,)1(1)()f x y xyo x y -=++ (0).ρ=→⇒2222222(,)()(())()(0).f x y xy x y o x y xy o ρρ=++++=+→ 当y x =时,2(,)(0,0)[1(1)]0f x y f x o -=+>(0ρδ<<时), 当y x =-时,2(,)(0,0)[1(1)]0f x y f x o -=-+<(0ρδ<<时),其中δ是充分小的正数,因此,(0,0)不是(,)f x y 的极值点.应选(A ).(4)【分析】 根据定理“若12,,,s αααL可由12,,,t βββL 线性表出,且s t >,则12,,,s αααL 必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选(D ).(5)【分析】 显然命题④错误,因此排除(C ),(D ).对于(A )与(B )其中必有一个正确,因此命题①必正确,那么②与③哪一个命题正确呢?由命题①,“若0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B )”正确,知“若0Bx =的解均是0Ax =的解,则秩(A )≥秩(B )”正确,可见“若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B )”正确.即命题③正确,所以应当选(B ).(6)【分析】 根据t 分布的性质,2~(1,)X F n ,再根据F 分布的性质21~(,1),F n X因此21~(,1)Y F n X=.故应选择(C ).三、【解】(1)曲线ln y x =在点0000(,)(ln )x y y x =处的切线方程为0001();y y x x x -=- 由切线过原点(0,0),得000,y x e ==,所以该切线方程为x y e=.从而,图形的D 面积为(如图)1() 1.2y eA e ey dy =-=-⎰ (2)切线y x e x =、轴与直线x e =所围三角形绕x e =旋转所得圆锥体的体积为211,3V e π=而曲线ln y x x =、轴与直线x e =所围曲边三角形绕x e =的旋转体体积为1222011()(2),22y V e e dy e e ππ=-=-+-⎰或者221112()ln (2).22e V e x xdx e e ππ=-=-+-⎰因此所求旋转体的体积为 212(5123).6V V V e e π=-=-+四、【分析与求解】 (1)因为'()f x 简单,先求'()f x 的展开式,然后逐项积分得()f x 的展开式.因2220112211()()'2(1)4,(,),121214221()12n n nn x f x x x x x x x∞=--'==-=--∈--++++∑ 又(0)4f π=,两边积分得221000(1)411()2(1)42,(,).442122n n x n n nn n n f x t dt x x n ππ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰因为()f x 在21=x 连续,21102(1)41(1)21221n n nn x n n xn n ∞∞+===--=++∑∑收敛,所以210(1)411()2,(,].42122n n n n f x x x n π∞+=-=-∈-+∑(2)令21=x ,得21001(1)41(1)()2.24212421n n n n n n f n n ππ∞∞+==--=-⋅=-++∑∑又0)21(=f ,因此0(1).214n n n π∞=-=+∑五、【分析与证明】用格林公式把第二类曲线积分转化为二重积分.(1)由格林公式,有左边曲线积分=sin sin sin sin [()()](),y x y x DDxe ye dxdy e e dxdy x y --∂∂--=+∂∂⎰⎰⎰⎰ 右边曲线积分=sin sin ().y x De e dxdy -+⎰⎰ 因为区域D 关于y x =对称⇒⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin (x 与y 互换). 因此dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=---.①(2)由(1)的结论,有sin sin sin sin sin sin ()()y x y x y yLDDxe dy ye dx e e dxdy e e dxdy ----=+=+⎰⎰⎰⎰⎰Ñ2222.DDdxdy π≥==⎰⎰⎰⎰六、【分析】 设第n 次打击后,桩被打进地下n x ,第n 次打击时,气锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设,已知当桩被打进地下的深度为x 时,土层对桩的阻力的大小为kx ,1n n W rW -=要求的是(n x n 3)=及lim .n n x →+∞【解】 通过求1nii W =∑直接求出nx .按功的计算公式:12211011,22x W kxdx kx ka ===⎰2312123,,,.nn x x x n x x x W kxdx W kxdx W kxdx -===⎰⎰⎰L相加得 21201.2nx n n W W W kxdx kx +++==⎰L又 21121n n n n W rW r W r W ---====L ,代入上式得21221111(1),.22n n r r r W kx W ka -++++==L 于是().n x a m ==因此3().x m ==lim ).n n x m →+∞=七、【证明】 (1)实质上是求反函数的一、二阶导数的问题.由反函数求导公式知y dy dx '=1,2211()'()'()'''y y x d x dx dx dy dy y y dy===⋅33''().y dxy y dy ''=-=-' 代入原微分方程,便得常系数的二阶线性微分方程.sin x y y =-''(*)(2)特征方程210r -=的两个根为1,21;r =±由于非齐次项()sin f x x =sin x e x αβ=,0,α=1β=,i i αβ±=±不是特征根,则设(*)的特解*cos sin y a x b x =+,代入(*)求得,10,2a b ==-,故x y sin 21*-=,于是(*)的通解为121()sin .2x x y x C e C e x -=+- 又由初始条件得1,121-==C C ,所求初值问题的解为.sin 21x e e y x x --=-八、【分析与证明】(1)分别作球坐标变换:sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθϕθρϕ===与极坐标变换:cos ,sin .x r y r θθ==将()F t 中的分子与分母表成定积分,于是222220222()sin 2()().()()ttttd d f drf drF t d f r rdrf r rdrπππθϕρρϕρρθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰下面求'()F t ,由它的符号讨论()F t 的单调性.由变限积分求导法得2222222022()()()()()2(())tttt f t f r rdr t f t f r r drF t f r rdr -'=⎰⎰⎰220220()()()20,[()]tttf t f r r t r drf r rdr -=>⎰⎰(0,)t ∈+∞.因此()F t 在),0(+∞单调增加.(2)如同题(1),先将()G t 表成定积分:22200022()()().2()()ttttd f r rdrf r rdrG t f r rdrf r drπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰要证0t >时,2()(),F t G t π>即证2220022()(),()()t t ttf r r dr f r rdr f r rdrf r dr>⎰⎰⎰⎰即证222220()()[()]0.ttt f r dr f r r dr f r rdr ->⎰⎰⎰(*)我们将利用单调性证明这个不等式. 令222220()()()[()],tttt f r dr f r r dr f r rdr Φ=-⎰⎰⎰⇒2222222200'()()()()()2[()]()tttt f t f r r dr f t tf r dr f r rdr f t t Φ=+-⋅⎰⎰⎰2220()()()0t f t f r t r dr =->⎰,(0,)t ∈+∞又()t Φ在0t =处连续⇒()t Φ在[0,)+∞单调增加0t ⇒>时,()(0)0.t ΦΦ>=因此0t >时,).(2)(t G t F π>九、【解】由于322777232232223011E A λλλλλλλλλλ-------=---=--------2111(7)(1)232(1)(7),011λλλλλ=-----=---故A 的特征值为.7,1321===λλλ因为7,i A λ==∏若,A αλα=则.AA ααλ*=所以,A *的特征值为:7,7,1.由于1B P A P -*=,即A *与B 相似,故B 的特征值为7,7,1.从而2B E +的特征值为9,9,3.因为11111()()(),AB P P A P P P A P ααααλ--*--*-===按定义可知矩阵B 属于特征值Aλ的特征向量是1Pα-.因此2B E +属于特征值2+λA的特征向量是1Pα-.由于,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ,而当1λ=时,由222111()0,222000,222000E A x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得到属于1λ=的线性无关的特征向量为111,0α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210.1α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 当7λ=时,由422121(7)0,242011,224000E A x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 得到属于7λ=的特征向量为311.1α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦那么1111,0P α-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1211,1P α--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1301.1P α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故2B E +属于特征值9λ=的全部特征向量为121111,01k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12,k k 是不全为零的任意常数. 而2B E +属于特征值3λ=的全部特征向量为301,1k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中3k 为非零的任意常数.十、【解】必要性:若三条直线交于一点,则线性方程组23,23,23ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩(*)有唯一解,故()()2r A r A ==.于是0.A =由于23111236()23a bc A b c a a b c b c a c a b c a b--=-=++---2226()()a b c ab c ab ac bc =++++---2223()[()()()],a b c a b b c c a =++-+-+-(* *)由321,,l l l 是三条不同直线,知a b c ==不成立,那么0)()()(222≠-+-+-a c c b b a .故必有.0=++c b a充分性:若0,a b c ++=由(**)知0=A ,故秩() 3.r A <由22222132()2[()]2[()]0,224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠(否则0a b c ===.)知秩() 2.r A =于是()() 2.r A r A ==因此,方程组(*)有唯一解,即三条直线321,,l l l 交于一点.十一、【解】 (1)易见,X 服从超几何分布,其分布参数为123,3n N N ===,根据超几何分布的期望公式,可直接得到1123.2N EX nN N ==+(2)设A 表示事件“从乙箱中任意取出的一件产品是次品”,由于{0},{1},{2}X X X ===和{3}X =构成完备事件组,因此根据全概率公式,有3300(){}{}{}6k k kP A P X k P A X k P X k =======⋅∑∑3011131{}.66624k kP X k EX =====⋅=∑十二、【解】 (1)2(),1,()().0,x xx e F x f t dt x θθθ---∞≥⎧-==⎨<⎩⎰(2)}),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤=θθ 12121{min(,,,)}1{,,,}n n P X X X x P X x X x X x =->=->>>L L 121{}{}{}n P X x P X x P X x =->>>L1[1()]nF x =--=2(),1,.0,n x x e x θθθ--≥⎧-⎨<⎩(3)ˆθ的概率密度为 2()ˆˆ,2,()'().0,n x x ne f x F x x θθθθθ-->⎧==⎨≤⎩因为2()ˆ1ˆ()2,2n x E xf x dx nxe dx nθθθθθθ+∞+∞---∞===+≠⎰⎰ 所以ˆθ作为θ的矩估计量不具有无偏性.。

2003年考研数学（一）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和 《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xy1DO211 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] yO x【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例1.71】.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。

2003年考研数学（一）真题分析详解一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以 原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1. （4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ. =.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21X Y =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C).三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y 212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四 、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。

2003考研数学一真题及答案一、填空题：此题共6小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21ln(1)lim(cos )x x x +→=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，那么2a = .(4) 从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为.(5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=那么=≤+}1{Y X P.(6) 一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40 (cm )，那么μ的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题：此题共6小题，每题4分，共24分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数()f x 在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如下图， 那么()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3) 函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，那么( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4) 设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么( )(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 假设0Ax =的解均是0Bx =的解，那么秩(A )≥秩(B )； ② 假设秩(A )≥秩(B )，那么0Ax =的解均是0Bx =的解； ③ 假设0Ax =与0Bx =同解，那么秩(A )=秩(B )； ④ 假设秩(A )=秩(B )， 那么0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的选项是( )(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，那么( ) (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y .三 、(此题总分值10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四 、(此题总分值12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、(此题总分值10分)平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex L y六 、(此题总分值10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克制土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 假设击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.)七 、(此题总分值12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(此题总分值12分)设函数()f x 连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F π>九 、(此题总分值10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(此题总分值8分)平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(此题总分值10分)甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X 的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(此题总分值8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数()F x ;(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 假如用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.参考答案一、填空题 (1)【答案】【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．)1ln(12)(cos lim x x x +→=220ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxx x x e e→++→=,而2200ln cos ln(1cos 1)limlim ln(1)ln(1)x x x x x x →→+-=++20cos 1lim x x x→-=(等价无穷小交换ln(1)x x +) 220112lim 2x x x →-==-(等价无穷小交换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)xy x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-；曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =- 由于12//n n ，因此有00221241x y -==- 可解得，2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数2()cos ()n n f x x a nx x ππ∞===-≤≤∑，其中⎰=ππcos )(2nxdx x f a n ．所以 x d x xdx x a 2sin 12cos 2222⎰⎰=⋅=ππππ201[sin 2sin 22]x xx xdx πππ=-⋅⎰1cos2xd x ππ=⎰001[cos2cos2]x x xdx πππ=-⎰1=(4)【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132【详解】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n ααα [],,,21n βββ ．根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(5)【答案】14． 【分析】此题为二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法(,)(,),yxF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤0(,)(,)g x y z f x y dxdy ≤=⎰⎰进展计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有=≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰1220(612)x x dx =-⎰14=(6)【答案】)49.40,51.39(． 【分析】可以用两种方法求解：(1) 方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进展估计. 因为(,1)X N μ，设有n 个样本，样本均值11ni i X X n ==∑，那么1(,)XN n μ，将其标准化，~(0,1)X N 得：)1,0(~1N nX μ- 由正态分布分为点的定义αμα-=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+．(2)此题是在单个正态总体方差条件下，求期望值μ的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(x u x u αα-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN αα<=-，可以直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 此题16n =, 40=x .根据 1.96}0.95P <=，有 1.96}0.95P <=，即{39.5140.49}0.95P μ<<=，故μ的置信度为0．95的置信区间是)49.40,51.39(． 方法2：由题设，95.01=-α，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=查得.96.12=αu 将1σ=，16n =, 40=x代入22(x u x u αα-+得置信区间)49.40,51.39( 二、选择题(1)【答案】()Cy【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件断定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，那么三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，那么lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+222(,)(1)()f x y xy x y α⇒-=++，其中00lim 0x y α→→=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=++>； 取y x =-，x 充分小，0x ≠，有222(,)(1)(2)0f x y x x α=-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ． (极值的定义)(4)【分析】 此题为一般教材上均有的比拟两组向量个数的定理：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，那么必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 此题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，那么21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，那么21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】此题可找反例用排除法进展分析，但①、②两个命题的反例比拟复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项．【详解】假设0AX =与0BX =同解，那么它们的解空间中的根底解系所含向量个数一样，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，假设秩(A )=秩(B )，那么不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，假设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，那么秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于理解产生2χ变量、t 变量、F 变量的典型形式．(1)2χ分布：设12,,,n X X X 互相独立且均服从标准正态分布，那么随机变量21ni i Z X ==∑服从自由度为n 的2χ分布．记做2().Zn χ(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n χ，且12,X X 互相独立，那么随机变量Z =n 的t 分布．记做()Z t n(3)F 分布：设2212(),(),Xn Y n χχ且,X Y 互相独立，那么随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).ZF n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，(1) 假如统计量 ()T t n ，那么有2(1,)T F n ；(2) 假如统计量12(,)FF n n ，那么有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出此题的答案为(C)．先由t分布的定义知()X t n =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是 21XY ==122U n V U n V =，分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22χU. 由F 分布的定义知~(,1).Y F n 故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h π=⋅；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()ba V f x x dx π=-⎰(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dcV g y y dy π=-⎰【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，那么曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+= 切线的斜率为01x y x '=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为.1x ey =(1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy βαϕψ=-⎰，得⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y (2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进展计算，为了帮助理解，可画一草图．切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为： 122101().3V e ey dy e ππ=-=⎰曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 212)(⎰-=π1220(2)y y e e e e dy π=-⋅+⎰12201(2)2yy e y e e e π=-⋅+211(2)22e e π=-+-因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考察间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ∞==-∑收敛区间为00(,)x R x R -+． 假如在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，那么展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续．【详解】此题可先求导，()f x '()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x '-+---⎛⎫ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭根本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x=-+ 对于函数2114x +，可以利用我们所熟悉的函数x-11的幂级数展开： 2011(11)1nnn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑所以 2222001(4)(1)414114n n n nn n x x x x ∞∞===-=--<-<+∑∑ (把x 换成24x -) 有 22111()22(1)4,(,).1422n n n n f x x x x ∞='=-=--∈-+∑对上式两边求积分，得200()(0)()2(1)4xxn n n n f x f f t dt t dt ∞=⎛⎫'-==-- ⎪⎝⎭∑⎰⎰221000(1)4112(1)42,(,)2122n n x nnnn n n t dt x x n ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰，又因为04f π=（），所以()(0)()xf x f f t dt '=+⎰=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n nn π即 21012(1)411arctan 2,(,).1242122n n n n x x x x n π∞+=--=-∈-++∑ (*)在21=x 处，右边级数成为0(1)1212n n n ∞=-⋅+∑，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x ∈-．为了求∑∞=+-012)1(n nn ，令21=x 代入(*)得∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n n n n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰． 所以 ⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin所以 ⎰⎰⎰+=---Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin因为积分区域D 关于y x =对称，所以sin sin sin sin ()()x y yxyx DDeedxdyee dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--方法2：化为定积分证明左边sin sin yxLL xedy yedx -=-⎰⎰=dx edy exy⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x右边sin sin y x LLxe dy ye dx -=-⎰⎰=⎰⎰--ππππ00sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x 所以 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--．(2) 方法1：用格林公式证明⎰⎰⎰--+=-Dxy x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eDDx y⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin 利用轮换对称性=sin sin ()2x x DDe e dxdy dxdy -+≥⎰⎰⎰⎰22π=(因为0,0a b a b +≥>>)方法2：由(1)知，sin sin sin sin 0()2y x x x Lxe dy ye dx e e dx dx ππππ---=+≥⎰⎰⎰22π=六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克制阻力所做的功．121102x k W kxdx x ==⎰，2122221()2x x k W kxdx x x ==-⎰，3222332()2x x k W kxdx x x ==-⎰，1x a =从而 212332k W W W x ++=又 12rW W =，2321W rW r W ==， 从而222231231(1)(1)22k k x W W W r r W r r a =++=++=++于是 3x =(2) 第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n ． 那么汽锤前n 次所功的和等于克制桩被打进地下n x m 所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r r W -=+++=+++⎰而 2102a kW kxdx a ==⎰ 牛-莱公式 所以212(1)22n n k k x r r a -=+++从而 1n n x r-=++= 等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim n n x +→∞=．七【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xxe C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=那么 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进展化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．222222220()()()sin 2sin ()t tt f x y z dv d d f r r dr d f r r dr πππθϕϕπϕϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222002()cos 4()t tf r r dr f r r dr ππϕπ=⋅-=⎰⎰ (球面坐标)222220()()()2()t tD t f x y d d f r rdr f r rdr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰ (极坐标)所以222220000222()sin 4()()()2()ttttd d f r r drf r r drF t d f r rdrf r rdrπππθϕϕπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22022()()ttf r r drf r rdr=⎰⎰为了讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性，对()F t 求导：222222022()()()()()2[()]t ttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ⋅-⋅'=⎰⎰⎰22022()()()2[()]tttf t f r r t r drf r rdr ⋅-=⎰⎰由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：假设在区间[,]a b 上()0f x >，那么()0baf x dx >⎰. 所以()0F t '>，所以()F t 在区间),0(+∞内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进展证明即可． 因为 2220()2()2()ttttf x dx f x dx f r dr -==⎰⎰⎰，所以2222()0022200()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdr f r rdrG t f x dxf r drf r drσππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰要证明0t >时)(2)(t G t F π>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F π，即22200222()2()2()()()()t tttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drπ-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()222222202()()()()()tt tttf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dr⎡⎤⋅-⎢⎥⎣⎦=⋅⎰⎰⎰⎰⎰令 ()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =⋅-⎰⎰⎰222222220222()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t '=+-=->>⎰⎰⎰⎰故()g t 在),0(+∞内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g >=（， 从而0t >时，).(2)(t G t F π>九【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量． 【详解】方法1：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，所以 P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ． 令 2900(2)274(9)(3)0225E B E λλλλλλ--+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数．当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数． 方法2：设A 的特征值为λ，对应的特征向量为η，即ληη=A ．由于07≠=A ，所以.0≠λ所以 ***()()A A A E A A A E A A A E ηηηη=⇒=⇒=***()AA A A A A ληηληηηηλ⇒=⇒=⇒=，于是 11*11()()()AB P P A P P P ηηηλ----==，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于)7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为1231,7λλλ===当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP ．因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性〞. 设三条直线321,,l l l 交于一点，那么线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bc a b c a c a bcab-++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b -=++-=-++-16()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c --=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++----- 2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不一样，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性〞. 由0=++c b a ，那么从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性〞设三直线交于一点),(00y x ，那么⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=--2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性〞：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333kkC C -种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P201 209 209 201 因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑易得 19913()0123.202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法2：此题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ⎧=⎨⎩从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品. 那么i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品〞，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===⋅=⋅=∑∑ ()1131.6624E X ==⋅=十二【分析】此题外表上是一数理统计问题，实际上考察了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基此题型：求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维互相独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立．【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) 由题给).,,,min(ˆ21nX X X =θ，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>> 1[1()]n F x =--2(),1,.0,n x x e x θθθ-->⎧-=⎨≤⎩(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx θθθθ+∞+∞---∞==⎰⎰12nθθ=+≠， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性．。

南开大学陈省身数学研究所数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年数学物理主意2003——2023年年数学科学学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002第 1 页/共22 页微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000数学物理主意2003——2023年年物理科学学院材料化学2023年年材料物理2004——2023年年热力学统计物理2003——2004统计物理1999——2000理论力学1999——2000，2003——2004固体物理（基础部分）2004——2023年年大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004晶体物理2004激光物理2003——2004光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年光物理学2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年电动光学1999晶体管原理1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年量子物理概论2003——2004细胞生物学1999——2000高等数学1999——2000高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年电磁学2003——2023年年电力电子学基础2003——2004经典物理学2023年年普通生物化学2003——2023年年生物物理学2003——2023年年数学物理主意2003——2023年年泰达生物技术学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）微生物学1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年信息技术科学学院高等数学1999——2000第 3 页/共22 页高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年信号与系统1999——2023年年控制原理1999——2000自动控制2023年年自动控制原理2003——2004现代控制论基础1999——2000，2003——2004综合基础课（光学、电路与系统、通信与信息系统、信号与信息系统、物理电子学、微电子学与固体电子学、光学工程专业）1999——2000，2002——2023年年编译原理1998数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000软件基础1999——2000计算机软硬件基础2023年年C语言与数据结构2004计算机原理1999——2000，2003综合基础课（模拟电路、数字电路、计算机原理）1999——2000大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004晶体管原理2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004通信原理2003——2023年年物理学2023年年运筹学2003——2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年环境科学与工程学院水污染控制工程2004——2023年年安全学导论2004——2023年年环境监测1999——2000，2002——2023年年环境经济学2003——2023年年环境微生物学1999——2000环境生物学2003——2023年年环境学导论2004——2023年年环境管理1999——2000，2003——2023年年动物生理学1999——2000环境化学1999——2000，2002，2023年年环境化学与分析化学2003——2004（注：2004年试卷缺页，惟独“环境化学”内容）环境质量评价1999——2000环境工程1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000环境科学概论1999——2000，2002——2003化学学院综合化学2023年年——2023年年无机化学1999——2000，2003——2023年年分析化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年有机化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年物理化学2000，2003，2023年年——2023年年第 5 页/共22 页药物化学2004——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000固体物理（基础部分）2004——2023年年普通生物化学2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004生命科学学院微生物学1999——2000，2003——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）遗传学1999——2000，2003，2023年年真菌学1999——2000普通植物生理学1999——2000，2003——2023年年植物学1999——2000，2003动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年分子遗传学1999——2000植物生理学2000，2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004植物解剖学2023年年普通生态学1999——2000，2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年普通微生物学2003——2023年年普通物理1999——2000，2003——2004数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000医学院病理学2004——2023年年人体解剖学2004——2023年年生理学2004——2023年年生物化学（医）2004——2023年年药理学2004——2023年年汉语言文化学院汉语2023年年古代汉语2002现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2002——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 语言学理论2023年年文学院文学基础2023年年中国古代文学2023年年人文社科基础2004——2023年年世界文学2023年年综合考试（文学）1999——2000文学综合1999——2000文艺理论1999——2000，2004——2023年年文艺评论2004——2023年年文艺写作2023年年文艺评论写作1999——2000中国文学史1998——2002第7 页/共22 页中国文学批评史1998——2001古代汉语2002现代汉语与古代汉语2003——2023年年古典文学文献学2004——2023年年语言学概论2023年年现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2003——2004语言理论基础（文学院）2003——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 汉语基础知识2004汉语知识2004中国文学史2003——2023年年人文地理学1999——2000传扬学2003传扬学原理2004——2023年年绘画基础与创作2004——2023年年美学原理2003——2023年年书法技法2003——2004书法史论2003——2004新闻学原理2004——2023年年艺术史论2004——2023年年艺术与设计史论2003——2023年年中外美术史论2003——2023年年专业设计（环境设计）2003专业设计（设计艺术学、环境设计专业）2004专业设计（设计艺术学、视觉设计）2023年年历史学院古代汉语2003——2023年年古代文献2003——2004古典文献学2004——2023年年拉丁美洲史2003——2004历史地理2004——2023年年历史文献学2004——2023年年历史学基础理论2023年年美国史2003——2004美国学综论2023年年明清史2003——2004史学史2023年年世界近现代史（历史学院）2003——2023年年世界近现代史（日研院）2023年年世界上古中古史2003——2023年年世界通史2003——2023年年文物博物馆学2003——2023年年中国古代史2003——2023年年中国近现代史2003——2023年年中国史学史与史学理论2003——2004中国思想史2003——2023年年中国通史1994——1997，2003——2023年年中国文献学基础2003——2004中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年哲学系马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年宗教学概论2004——2023年年伦理学原理2004——2023年年美学概论2023年年第9 页/共22 页欧美哲学通史2003——2023年年西方哲学通史2023年年形式逻辑2003——2023年年中国哲学史2023年年中外哲学史2003——2023年年外国语学院二外日语2001——2023年年二外德语2001——2023年年二外法语2001——2023年年二外俄语2003——2023年年专业英语2000——2003，2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）（注：2023年年答案惟独英美文学部分，2023年年答案有英美文学部分和语言学部分）基础英语1997，2000——2023年年（1997，2004——2023年年，2023年年有答案）语言学基础2023年年（2023年年有答案）翻译2004（2004有答案）双语翻译与文学2004英美文学2004（2004有答案）语言学2004——2023年年（2004——2023年年有答案）二外英语2001，2003——2023年年，2023年年基础日语2001，2003——2023年年专业日语2001，2003——2023年年基础俄语2004——2023年年法学院刑法学2023年年法学综合（含法理学、宪法、民法、刑法、刑诉、民诉）2000——2023年年（2023年年试题有答案）民法与商法2003——2023年年，2023年年民法（民商法专业）2002民法（经济法专业）2002民法2000——2001（法理学）法学理论2023年年法学理论2003法制史（含中国法制史、外国法制史）2003——2023年年，2023年年国际法学（含国际经济法、国际公法、国际私法）2003——2023年年，2023年年国际经济法概论2000经济法与商法2003——2023年年，2023年年经济法1999诉讼法学（含行政诉讼法、刑事诉讼法、民事诉讼法）2004——2023年年，2023年年宪法学、行政法与行政诉讼法2003——2023年年，2023年年（2004有答案）环境法2023年年周恩来政府管理学院行政管理学2003——2023年年政策原理与政策分析2003——2023年年（2004有答案）国际关系史1999——2000，2003——2023年年国际关系学2003——2023年年国际关系概论1999——2000外交学概论与当代中国外交2004——2023年年外国政治制度史1999——2000政治学原理1999——2023年年中国政治制度史1999——2000中国通史1994——1997第11 页/共22 页中外政治思想史2003——2023年年中国政治思想史1999——2000，2002西方政治思想史1999——2000中外经济地理1999——2000世界近现代历史2002社会保障学2004——2023年年社会学理论2023年年社会学概论1995——2001，2003——2004社会调查主意与社会统计1995——2023年年社会工作2001环境学与环境法2004——2023年年西方经济学流派2004——2023年年（2004——2023年年有答案）心理学主意2004——2023年年（2004有答案）心理学基础2004——2023年年（2004有答案）马克思主义教诲学院马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年科学社会主义原理2004——2023年年专业综合基础理论（科学社会主义与国际共产主义运动理论专业）2004——2023年年思想政治教诲原理2003——2023年年中共党史2003——2023年年中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年中外哲学史2003——2023年年经济学院微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年第13 页/共22 页有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000综合基础课（保险）1999——2000金融学基础（联考）2002——2023年年（2002——2023年年有答案）商学院会计学综合2023年年——2023年年会计学综合考试1999——2000，2003——2023年年（2000，2003——2023年年有答案）财务管理1999——2000财务管理与管理会计1999——2000（1999——2000有答案）公司治理2023年年技术经济学2003——2023年年市场学1999——2000管理综合（含管理学、微观经济学）2003——2023年年（2003——2023年年有答案）（注：2023年年——2023年年的答案惟独管理学部分的答案，无微观经济学部分的答案）管理学概论2002信息系统技术1999——2000管理信息系统2003——2023年年旅游管理1999旅游学综合（旅游概论和旅游经济学）2001——2023年年旅游学概论1997企业人力资源开辟与管理1999——2000（1999——2000有答案）人文地理学1999——2000中外经济地理1999——2000计算机应用（设计程序、数据库系统）2004——2023年年编辑学2001出版学2001网络技术基础2001档案管理学2004——2023年年档案学概论2004——2023年年目录学（含目录学概论、中西文工具书）2003——2004文献目录学2023年年情报学（含情报学概论、科技文献检索、计算机情报检索）2003情报学（含情报学概论、信息检索）2004第15 页/共22 页情报学综合2023年年图书馆学理论2003——2023年年高等教诲研究所高等教诲原理2003——2023年年（2023年年有答案）经济学原理2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）高等教诲管理学2003——2023年年教诲社会学2004——2023年年教诲学原理2004——2023年年（2004有答案）普通心理学2003——2023年年（2004有答案）中国高等教诲史2003——2023年年经济与社会发展研究院专业综合（含微观经济学、区域经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）专业综合（宏观经济学、产业经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000第17 页/共22 页保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000深圳金融工程学院专业基础（金融学）2003——2023年年（2003——2023年年有答案）微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000第19 页/共22 页保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000日本研究院日本经济2004日本史2003，2023年年日本通史2004世界近现代史（历史学院）2003——2023年年世界近现代史（日研院）2023年年微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）第21 页/共22 页中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000。

2003212003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1)21ln(1)lim(cos )x x x +®=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02p p ££-=å¥=x nx ax n n，则2a =. (4) 从2R的基÷÷øöççèæ-=÷÷øöççèæ=11,0121a a 到基÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=21,1121b b 的过渡矩阵为. (5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(£££îíì=则=£+}1{Y X P. (6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(m N ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则m 的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=F =F二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+¥-¥内连续，其导函数的图形如图所示，内连续，其导函数的图形如图所示， 则()f x 有() (A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =¥®n n a ,1lim =¥®n n b ,¥=¥®n n c lim ,则必有() (A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ¥®lim 不存在. (D) 极限n n n c b ¥®lim 不存在.yx(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-®®y x xy y x f y x ，则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点.(B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点. (4) 设向量组I ：r a a a ,,,21 可由向量组II ：s b b b ,,,21 线性表示，则() (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关.(B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ´矩阵，现有4个命题：个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )³秩(B )；② 若秩(A )³秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解；的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解.以上命题中正确的是() (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则( )(A) )(~2n Y c .(B) )1(~2-n Y c . (C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . 三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 四 、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数å¥=+-012)1(n n n 的和.已知平面区域}0,0),{(p p ££££=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证：试证：(1)dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-òò--;(2) 22sin sin p ³--òdx ye dy xe x L y 六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.) 七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+¥-¥内具有二阶导数，且)(,0y x x y =¹¢是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程；的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(=¢=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，连续且恒大于零，òòòòò+++=W )(22)(222)()()(t D t d y x f dv z y x f t F s，òòò-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(s，其中}),,{()(2222t z y x z y x t £++=W ，}.),{()(222t y x y x t D £+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+¥内的单调性. (2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F p>设矩阵úúúûùêêêëé=322232223A ，úúúûùêêêëé=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a 十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X 的数学期望；的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为的概率密度为îíì£>=--,,,0,2)()(2q q q x x e x f x其中0>q 是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n XX X ,,,21，记，记 ).,,,min(ˆ21n X X X =q(1) 求总体X 的分布函数()F x ; (2) 求统计量q ˆ的分布函数)(ˆx F qq； (3) 如果用q ˆ作为q 的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【答案】1e【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．，再回到指数上去．)1ln(102)(cos lim x x x +®=22ln cos ln cos limln(1)ln(1)0lim x xx x x x e e ®++®=,而220ln cos ln(1cos 1)limlimln(1)ln(1)x x x x x x ®®+-=++20cos 1lim x x x®-=(等价无穷小替换ln(1)x x +) 220112lim 2x xx ®-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)x y x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-；曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =- 由于12//n n ，因此有，因此有00221241x y-==- 可解得，2,10==y x ，相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即，即542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2p p ££-=x x x f 展开为余弦级数展开为余弦级数20()cos ()n n f x x a nx x p p ¥===-££å，其中ò=ppcos )(2nxdx x f a n ．所以所以x d x xdx x a 2sin 12cos 22022òò=×=pppp2001[sin2sin22]x xx xdx pp p=-×ò1cos2xd x pp =ò001[cos2cos2]x x xdx ppp=-ò1=(4)【答案】÷÷øöççèæ--2132 【详解】n 维向量空间中，从基n a a a ,,,21 到基n b b b ,,,21 的过渡矩阵P 满足满足[n b b b ,,,21 ]=[n a a a ,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：为：P =[121],,,-n a a a [],,,21n b b b ．根据定义，从2R 的基÷÷øöççèæ-=÷÷øöççèæ=11,0121a a 到基÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=21,1121b b 的过渡矩阵为的过渡矩阵为P =[121],-a a [úûùêëéúûùêëé-=-21111011],121b b =.213221111011úûùêëé--=úûùêëéúûùêëé-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P £．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法概率的求解方法(,)(,),y xF x y f u v dudv -¥-¥=òò此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P £0(,)(,)g x y z f x y dxdy £=òò进行计算．进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有由题设，有=£+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +£òò11206xx dx xdy -=òò1yy x =1220(612)x x dx =-ò14= (6)【答案】)49.40,51.39(． 【分析】可以用两种方法求解：【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=s，对正态总体的数学期望m 进行估计. 因为(,1)XN m ，设有n个样本，样本均值11ni i X X n ==å，则1(,)XN n m ，将其标准化，由公式()~(0,1)()X E X N D X n-得：)1,0(~1N nX m -由正态分布分为点的定义a ma -=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2a u ，进而确定相应的置信区间22(,)x u x u nnaas s -+． (2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值m 的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(,)x u x u nnaass-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN a a <=-，可以直接得出答案．直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-a ，可见.05.0=a 查标准正态分布表知分位点.96.12=a u 本题16n =, 40=x . 根据{ 1.96}0.951X P n m-<=，有40{ 1.96}0.95116P m -<=，即{39.5140.49}0.95P m <<=，故m 的置信度为0．95的置信区间是)4940,5139(．方法2：由题设，95.01=-a ，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u a a a a a <=-<<=F -=F =查得9612=au将1s =，16n =, 40=x 代入22(,)x u x u n n a a ss-+得置信区间)49.40,51.39(二、选择题(1)【答案】()Cy【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数是导数 不存在的点．不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法：推理法由题设lim 1n n b ®¥=，假设lim n nnb c ®¥存在并记为A ，则lim limn n n n n nb c c A b ®¥®¥==,这与lim n n c ®¥=¥矛盾，故假设不成立，lim n n n b c ®¥不存在．不存在． 所以选项()D 正确．正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =¥®n n a ,1lim =¥®n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确； 取1n n b n-=，2n c n=-，满足1lim =¥®n n b ,¥=¥®n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =¥®n n a ,¥=¥®nn c lim ,而lim1n n n a c ®¥=，()C 不正确．不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xy x y ®®-=+222(,)(1)()f x y xy x y a Þ-=++，其中00lim 0x ya ®®=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ¹，有222(,)(1)(2)0f x y x x a =++>；取y x =-，x 充分小，0x ¹，有222(,)(1)(2)0f x y x x a =-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ．(极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r a a a ,,,21 可由向量组II ：s b b b ,,,21 线性表示，线性表示，则当则当s r >时，向量组I 必线性相关．必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r a a a ,,,21 可由向量组II ：s b b b ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r £． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】【详解】 用排除法：用排除法：÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=10,01,00211b b a ，则21100b b a ×+×=，但21,b b 线性无关，排除(A)；÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=01,01,00121b a a ，则21,a a 可由1b 线性表示，但1b 线性无关，排除(B)；÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=10,01,01211b b a ，1a 可由21,b b 线性表示，但1a 线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项．抓住③、④，迅速排除不正确的选项．【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若úûùêëé=0001A ，úûùêëé=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2c 变量、t 变量、F 变量的典型模式．变量的典型模式．(1)2c 分布：设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21nii Z X ==å服从自由度为n 的2c 分布．记做2().Zn c(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n c ，且12,X X 相互独立，则随机变量12/X Z X n=服从自由度为n 的t 分布．记做()Zt n(3)F 分布：分布：设设2212(),(),Xn Yn c c 且,X Y 相互独立，相互独立，则随机变量则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).ZF n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，分布的关系得，(1) 如果统计量如果统计量()T t n ，则有2(1(1,,)T F n ；(2) 如果统计量12(,)FF n n ，则有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t 分布的定义知()UX t n Vn=，其中)(~),1,0(~2n V N U c ，于是，于是 21XY ==122U n VU n V =，分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22c U . 由F 分布的定义知~(,1).Y F n故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h p =×；旋转体的体积：；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()b aV f x x dx p=-ò(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dc V g y y dy p=-ò【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+= 切线的斜率为01x y x ¢=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x=所以该切线的方程为所以该切线的方程为.1x ey = (1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy baj y =-ò，得，得ò-=-=1.121)(e dy ey eA y(2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．可画一草图．y 1D O 1 ex切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为：122101().3V e ey dy e p p =-=ò 曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 212)(ò-=p 1220(2)y y e e e e dy p =-×+ò12201(2)2yye y e e e p =-×+211(2)22e e p =-+-因此所求旋转体的体积为因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=òe e dy e e e V V V y p p p四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ¥==-å收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续．连续．【详解】本题可先求导，【详解】本题可先求导，()f x ¢()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x ¢-+---æöç÷++èø==--æöæö++ç÷ç÷++èøèø基本求导公式基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x =-+ 对于函数2114x+，可以利用我们所熟悉的函数x -11的幂级数展开：的幂级数展开： 211(11)1nnn x x x x x x ¥==+++++=-<<-å所以所以 2222001(4)(1)414114nn n n n n x x x x ¥¥===-=--<-<+åå(把x 换成24x -) 有 220111()22(1)4,(,).1422n n n n f x x x x ¥=¢=-=--Î-+å对上式两边求积分，得对上式两边求积分，得2000()(0)()2(1)4x xn n n n f x f f t dt t dt ¥=æö¢-==--ç÷èøåòò 221000(1)4112(1)42,(,)2122n nxn n n n n n t dt x x n ¥¥+====-=--=-Î-+ååò， 又因为04f p=（），所以，所以()(0)()xf x f f t dt ¢=+ò=).21,21(,124)1(24120-Î+--+¥=åx x n n n nn p即21012(1)411arctan 2,(,).1242122n nn n xx x x n p ¥+=--=-Î-++å (*) 在21=x 处，右边级数成为0(1)1212nn n ¥=-×+å，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x Î-．为了求å¥=+-012)1(n n n ，令21=x 代入(*)得åå¥=+¥=+--=×+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n nn n f pp,再由0)21(=f ，得，得 .4)21(412)1(0pp =-=+-å¥=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式LD Q P Pdx Qdy dxdy x y æö¶¶+=-ç÷¶¶èøòòò． 所以所以òòò--+=-DxyxLydxdy eedx yedy xe)(sin sin sin sin所以所以òòò+=---Dx y xLLydxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin 因为积分区域D 关于y x =对称，所以对称，所以sinsinsinsin()()x y yxyxDDee dxdy e edxdy --+=+òòòò与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Lysin sin sin sin -=-òò--方法2：化为定积分证明：化为定积分证明左边sin sin yxLLxedy yedx -=-òò=dx edy exyòò--0sin 0sin ppp p =ò-+ppsinsin)(dx eexx右边sin sin yxLLxedy yedx -=-òò=òò--ppp p 0sinsin dx edy exy=ò-+ppsin sin )(dx e e xx所以所以 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Lysin sin sin sin -=-òò--．(2) 方法1：用格林公式证明：用格林公式证明òòò--+=-DxyxLy dxdy eedx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDx y òòòò-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x òòòò-+sin sin 利用轮换对称性利用轮换对称性=sin sin()2xxDDee dxdy dxdy -+³òòòò22p =(因为2,0,0a b ab a b +³>>) 方法2：由(1)知，sin sin sin sin 0()2yxxxLxedy yedx eedx dx pppp---=+³òòò22p =六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下nx ，第n 次击打时，次击打时，汽锤所作的功为汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．112112x k W kxdx x ==ò，2122221()2x x k W kxdx x x ==-ò，3222332()2x x k W kxdx x x ==-ò，1x a =从而从而 212332k W W W x ++=又12rW W =，2321W rW r W ==， 从而从而222231231(1)(1)22k kx W W W r r W r r a =++=++=++ 于是于是231x a r r =++． (2) 第n 次击打后，桩被打进地下nx ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n．则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r rW -=+++=+++ò而2102akW kxdx a ==ò牛-莱公式莱公式 所以所以212(1)22nn kk x r ra -=+++ 从而从而111.1n n n r x a r ra r--=+++=- 等比数列求和公式等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim 1n n a x r+®¥=-．七【详解】【详解】(1) 将题中的dydx 与22d x dy变换成以x 为自变量y为因变量的导数dxdy 与22d y dx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有，有dy dx =y dxdy ¢=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ×¢)1(=32)(1y y y y y ¢¢¢-=¢×¢¢¢-． 代入原方程，得代入原方程，得.s i n x y y =-¢¢ ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-¢¢y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xxe C e C Y-+=由于i l w +不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为的特解为 x B x A y sin cos *+=则*sin cos y A x B x ¢=-+，*cos sin y A x B x ¢¢=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-¢¢的通解为的通解为.sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(=¢=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(=¢=y y 的解为的解为.sin 21x e e y xx --=-且()y x 的导函数1()cos 02x xy x e e x -¢=+->，满足题设0y ¢¹条件．条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．化为在极坐标系中的计算．22222222000()()()sin 2sin ()t tt f x y z dvddf r r drdf r r drp ppq j j pj j W ++==òòòòòòòò()22220002()cos 4()ttf r r dr f r r dr pp jp =×-=òò(球面坐标) 22222000()()()2()ttD t f x y d d f r rdr f r rdr ps q p +==òòòòò(极坐标) 所以所以22222000222()sin 4()()()2()ttt td d f r r dr f r r drF t d f r rdrf r rdrpppqj j p qp==òòòòòòò22022()()ttf r r drf r rdr=òò为了讨论()F t 在区间),0(+¥内的单调性，对()F t 求导：求导：222222022()()()()()2[()]tttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ×-×¢=òòò22022()()()2[()]tt tf t f r r t r drf rrdr ×-=òò由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0baf x dx >ò. 所以()0F t ¢>，所以()F t 在区间),0(+¥内严格单调增加．内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可．将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可．因为因为 2220()2()2()tt t tf x dx f x dx f r dr -==òòò， 所以所以2222()0222()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdrf r rdrG t f x dx f r drf r drsp p -+===òòòòòòò要证明0t >时)(2)(t G t F p>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F p，即，即22200222()2()2()()()()ttttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drp-=-òòòò()()()()()222220022002()()()()()tttt tf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dréù×-êúëû=×òòòòò 令()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =×-òòò2222222202220()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t ¢=+-=->>òòòò故()g t 在),0(+¥内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g>=（， 从而0t >时，).(2)(t G t F p>九【分析】【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量．相似求出其特征值与特征向量．【详解】方法1：经计算可得经计算可得úúúûùêêêëé------=522252225*A ，úúúûùêêêëé-=-1000011101P ， 所以所以P A P B *1-==úúúûùêêêëé----322452007，úúúûùêêêëé----=+5224720092E B ． 令 290(2)274(9)(3)0225E B E l l l l l l --+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===l l l当921==l l 时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为，得线性无关的特征向量为,0111úúúûùêêêëé-=h ,1022úúúûùêêêëé-=h 所以属于特征值921==l l 的所有特征向量为的所有特征向量为úúúûùêêêëé-+úúúûùêêêëé-=+102011212211k k k k h h ，其中21,k k 是不全为零的任意常数．是不全为零的任意常数．当33=l 时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为，得线性无关的特征向量为úúúûùêêêëé=1103h ， 所以属于特征值33=l 的所有特征向量为úúúûùêêêëé=110333k k h ，其中03¹k 为任意常数．为任意常数． 方法2：设A 的特征值为l ，对应的特征向量为h ，即lh h =A ．由于07¹=A ，所以.0¹l所以所以 ***()()A A A E A A A E A A A E h h h h =Þ=Þ=***()A A A A A A lh h l h h h h lÞ=Þ=Þ=，于是于是11*11()()()A B P P A P P P h h h l----==， .)2()2(11h lh --+=+P AP E B因此，2+lA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1h -P由于)7()1(3222322232--=---------=-l l l l l l A E ，故A 的特征值为1231,7l l l ===当121==l l 时，对应的线性无关特征向量可取为úúúûùêêêëé-=0111h ， .1012úúúûùêêêëé-=h当73=l 时，对应的一个特征向量为.1113úúúûùêêêëé=h 由úúúûùêêêëé-=-1000011101P ，得úúúûùêêêëé-=-01111h P ，úúúûùêêêëé--=-11121h P ，úúúûùêêêëé=-11031h P ．因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为的全部特征向量为úúûùêêëé--+úúûùêêëé-=+--11101121212111k k P k P k h h ，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为的全部特征向量为úúúûùêêêëé=-1103313k P k h ，其中3k 是不为零的任意常数．是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组交于一点，则线性方程组ïîïíì-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵úúúûùêêêëé=a c c b b a A 222与增广矩阵úúúûùêêêëé---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A b c a b c ac a b c a b -++++-++=-=--- 123111()236()23a b c b c a a b c b c a c a b c a b-=++-=-++-1006()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c --=-++--=-++---- 6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222¹-+-+-a c c b b a ，故，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于由于])([2)(22222b b a a b ac c b b a ++-=-==0]43)21[(222¹++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,ll l 交于一点．于一点．方法2：“必要性”“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则úúúûùêêêëé100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b éùêú=êúêúëû 所以||0B =．而．而232323232323a b c a b cB b c a b c a A c a b c a b-==--=--2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设但根据题设0)()()(222¹-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组：考虑线性方程组ïîïíì-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组等价于方程组îíì-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为因为])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==222[()]0a b a b -+++¹,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333kkC C -种；种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P 201 209 209 201因此，由离散型数学期望的定义因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==×=å易得易得19913()0123.202020202E X =´+´+´+´=方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ì=íî从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品件产品是次品..则i X 的概率分布为的概率分布为i X 01 P 21 21.3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有，所以由数学期望的线性可加性，有200321 ()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有构成完备事件组，因此根据全概率公式，有å====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===×=×=åå ()1131.6624E X ==×= 十二【分析】【分析】本题表面上是一数理统计问题，本题表面上是一数理统计问题，本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量q ˆ的分布函数)(ˆx F qq ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验q q=ˆE 是否成立．是否成立．【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2q q q £>îíì-==ò¥---x x e dt t f x F xx(2) 由题给).,,,min(ˆ21n X X X =q ，有，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n £=£= q q 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>> 1[1()]n F x =--2(),1,.0,n x x e x q q q -->ì-=í£î (3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得q ˆ概率密度为概率密度为.,,0,2)()()(2ˆˆq q q q q q q £>îíì==--x x ne dx x dF x f x n 因为因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx q q q q +¥+¥---¥==òò12n q q =+¹， 所以q ˆ作为q 的估计量不具有无偏性．的估计量不具有无偏性．。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim 20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】 本题属基本题型。

2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1. （4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ C ]【分析共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).（6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21X Y =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C).三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四 、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。