南开大学2003年数学分析考研试题及解答
一．设(),,w f x y x y x =+-，其中(),,f u v s 有二阶连续偏导数，求xy w .
解：令u x y =+，v x y =-，s x =，
则x
u v s w f f f =++；
()()()111xy uu uv vu vv su sv w f f f f f f =+-++-++-.
二．设数列{}n a 非负单增，且lim n n a a →∞
=，证明：()
1
12lim n n
n n n
n a a a
a →∞+++=L .
证明：因为
{}n a 非负单增，
所以有()()
1111
2
n n n n n
n n n
n
n
n a a a a
na n a ≤+++≤=L ，
由lim n
n a a →∞
=，1lim n
n n n a a →∞
=，
根据夹逼定理，得()
11
2
lim
n n n n n
n a
a a
a →∞
+++=L .
三．设
()()2ln 1,00,
0x x x f x x α⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，试确定α的取值范围，使()f x 分别满足：
（1）极限()0
lim x f x +
→存在；
（2）()f x 在0x =处连续； （3）
()f x 在0x =处可导.
解（1）因为()()2
lim lim ln 1x x f x x x α+
+
→→=+
()2
2
2
ln 1lim x x x x
α+
+→+=，
()22
0ln 1lim
1x x x
+
→+=，
极限存在的条件为20α+≥，即2α≥-，
所以当2α
≥-时，极限()0
lim x f x +
→存在； （2）因为()()0
lim 00x f x f -→==，
所以要使()f x 在0x =处连续，
需要求20α+>，2α>-，
所以当2α
>-时，()f x 在0x =处连续；
（3）显然
()00f -'=，
()()()12
000lim lim ln 1x x f x f x x x
α++
-→→-=+
()2
1
2
ln 1lim x x x x
α+
+→+=，
要使其存在且为0，必须10α+>，1α>-，
所以当1α>-时，()f x 在0x =处可导.
四．设
()f x 在(),-∞+∞上连续，
证明积分()()22
L
f x y xdx ydy ++⎰与积分路径无关. 证明：设()()22
01,2
x y U x y f t dt +=⎰， 则有()()()22,dU
x y f x y xdx ydy =
++，
即存在势函数， 所以
()()22L
L
f x y xdx ydy dU ++=⎰
⎰与积分路径无关.
五．设
()f x 在[],a b 上可导，02a b f +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且()f x M '≤，
证明：
()()2
4
b
a
M f x dx b a ≤
-⎰
. 证明：因为
()f x 在[],a b 上可导，
则由拉格朗日中值定理，存在ξ在x 与2
a b
+之间，使得
()()22a b a b f x f f x ξ++⎛⎫⎛⎫'-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 由题设条件
02a b f +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()f x M '≤， 得
()2
a b f x M x +≤-
，
[](),x a b ∈，
从而
()()b
b a
a
f x dx f x dx ≤⎰
⎰
2
b
a
a b
M x dx +≤-
⎰
2222a b
b a b a a b a b M x dx x dx ++⎡⎤++⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎰⎰
()2
4
M b a =-. 六．设
{}n a 单调递减，且收敛于0，1
sin n n a n ∞
=∑发散，
（1）证明：
1
sin n
n a
n ∞
=∑收敛；
（2）证明lim 1n
n n
u v →∞=，其中()1sin sin n
n k k k u a k a k ==+∑，
()1
sin sin n
n k k k v a k a k ==-∑.
证明：（1）因为
1
1sin 1
sin 2
n
k k =≤
∑，
即
1
sin n
k k =∑有界，而{}n
a 单调递减且收敛于0，
据迪利克列判别法，知
1
sin n
n a
n ∞
=∑收敛；
（2）因为
1
sin n
n a
n ∞
=∑发散，
