研究生数值分析试题
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工科研究生《数值分析》复习练习一.填空(共4分,每空44分)(1)设i x i =(n i ,,2,1,0⋯=)插值结点,)(x l i 是相应的n 次Lagrange 插值基函数,则()ni i l x ==∑(),=∑=ni i i x l x 0)(().(2)用简单迭代法求方程3()10f x x x =−−=的正实根,迭代格式()至少是二阶收敛的。
(3)求解非线性方程01=−x xe 的牛顿迭代公式是()(4)在所有首项系数为1的n 次多项式中,首项系数为1的n 次()多项式在[-1,1]上与零的平方逼近误差最小。
(5)设211314122A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,则1||||A =(),||||A ∞=().(6)32()272f x x x =−+,则[1,2,3,4]f =(),[1,1,1]f =()(7)n 次Chebyshev 多项式在[-1,1]上的零点为()(8)插值型求积公式0()()nbk k ak A f x f x dx =≈∑∫至少具有()次代数精度,求积系数之和0nk k A ==∑(),而Gauss 求积公式至少具有()次代数精度。
(9)初值问题'24,(0)2,y y x y =−−=,则显式Euler 格式,隐式Euler 格式和梯形格式分别为(),(),()。
(10)已知数据对),,2,1)(,(n k y x k k ⋯=,用直线c bx ax y ++=2拟合这n 个点,则参数c b a ,,满足的法方程组是()(11)第一种幂法迭代格式为()二(10分)求一个次数不高于4次的代数多项式()p x ,使它满足(0)'(0)0,(1)'(1)1,(2)1p p p p p =====,并写出其余项表达式。
(利用Newton 插值公式,制作带重节点的差商表)三(10分)证明:区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式()n g x 的零点都是实数,相异的,且全部落在开区间(,)a b内部。
2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=,其中,y x ,由统计方法得到,分别为4,2==y x,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解:)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈ 6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-= 0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解:21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f ,0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξff 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.解:记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++= 1)(=x f 时:1110==⎰dx I1]00[121]2[21=-+=n I x x f =)(时:2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时:31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时:41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I 4)(x x f =时:51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.解:0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ 52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154153234520320320320221a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为:1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 解:12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H ,解得 5,3=-=b a 因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈110)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解:过点(1,-1)和点(3,1)作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -=得得Gauss 点: ,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A 解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为:()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解:令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈ Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k k k k kk k k k x x x x x x x x x令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解. 解: 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛135152121137253125121211113112即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y 令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .解:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n nn n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a , 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
数值分析(研究生,2008-12-15)1.(10分)求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=10,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1,1]上的最佳平方逼近式x e a x a a x 210)(++=φ。
2.(15分)利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012,初始向量为T x ]0,0,1[0=(要求结果有三位有效数字)。
同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。
3.(15分)已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。
用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算,并估计近似计算的误差界。
4.(15分)用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间(0,2π)内的解,选择你认为合适的初始点,计算方程的根,使得近似解具有四位有效数字。
请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.(15分)用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]Tx =,估计达到4位有效数字需要的迭代次数,并实际计算之。
就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
6. (10分)应用拟牛顿法解非线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ,终止容限210-=ε。
7.(10分) 求解矛盾方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++232328.12221321321321321x x x x x x x x x x x x8. (10分)用复合Simpson 公式计算积分⎰=21sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容允许使用计算器一、 填空题 (本大题共10小题,每小题 2分,共 20分)1. 若2.71828x e == ,取近似值* 2.7180x =,则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度,应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===,那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-,则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ,当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7.用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯,那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题(本大题共5小题,每小题 2 分,共 10分)1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为( C )A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是( B )A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中( C )。
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷A (2015年1月9日) 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚; 所有答案请按要求填写在本试卷上; 课程代码:S0003004; 4. 考试形式:闭卷; 5. 考生类别:硕士研究生; 本试卷共八大题,满分100分,考试时间为150分钟。
一.(12分)解答下列问题 1.欲计算下式: ()13(1)2(1)(2)7(1)(2)(3)6(1)(2)(3)(4),P x x x x x x x x x x x =+-+------+---- 2.设有递推公式 0161,1,2,n n y y y n -⎧=⎪⎨=-=⎪⎩ *001.732y y = 作实际计算,问计算到10y 时误差为初始误差*00y y -的多少 这个计算过程数值稳定吗 ? . (14分)解答下列问题 1. 若2()63f x x =+,则[1,2,3]f 和[1,2,34]f ,的值分别是多少? 2. 1012 . (10分) 设f 在互易节点i x 上的值()()0,1,....i i f f x i n ==。
试证明:f 在节点i x 上n 次最小二乘拟合多项式()n p x 与f 在节点i x 上的n 次Lagrange 插值多项式()n L x 一致,()()=n n p x L x 。
. (12分) 按代数精度的定义,构造下列形式的求积公式(即确定参数,A B ,α): Gauss 型求积公式。
. (14分) 已知线性代数方程组Ax=b 为: ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----n n n n n n n n b b b b x x x x d u u u v d v d v d 121121121112211000000文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. (1) 用顺序高斯消去法求解方程组Ax=b ;(2) 先由(1)的消元过程直接写出A 的LU 分解,再利用该LU 分解求解方程组Ax=b 。
● 当22()3x x ϕ+=时,'12()3x x ϕ=,因此'1(2) 1.3333ϕ=>1,,因此,该迭代格式不收敛。
● 当2()x ϕ='2()x ϕ=,因此'2(2)0.75ϕ=<1,,因此,该迭代格式收敛。
● 当32()3x x ϕ=-时,'322()x xϕ=,因此'3(2)0.5ϕ=<1,,因此,该迭代格式收敛。
● 当242()23x x x ϕ-=- 时,2'44224()1213x x x x x ϕ--=-+,因此'4(2)0ϕ=<1,,因此,该迭代格式收敛。
(2)、● 当22()3x x ϕ+=时,迭代法计算公式是20122.5,3k k x x x ++==,程序如下: >> fi=inline('(x.*x+2)/3');x0=2.5;er=1;k=0;while er>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=xk=k+1end运行结果如下:x0 =2.7500k =1x0 =3.1875k =2x0 =4.0534k =3x0 =6.1433k =x0 =13.2468k =5x0 =59.1589k =6x0 =1.1673e+003 k =7x0 =4.5416e+005 k =8x0 =6.8755e+010 k =9x0 =1.5757e+021 k =10x0 =8.2765e+041 k =11x0 =2.2834e+083 k =12x0 =1.7379e+166 k =13x0 =Infk =14x0 =Infk =15由以上计算结果看,序列是发散的,运行14次已经超出计算机的识别范围,当2()x ϕ迭代法计算公式是1k x +=程序运行结果如下:>> fi=inline('sqrt(3*x-2)');x0=2.5;er=1;k=0;while er>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=xk=k+1;endx0 =2.3452x0 =2.2440x0 =2.1753x0 =2.1274x0 =2.0934x0 =2.0689x0 =2.0510x0 =2.0379x0 =2.0282x0 =2.0211x0 =2.0157x0 =2.0118x0 =2.0088x0 =2.0066x0 =2.0049x0 =2.0037x0 =2.0028x0 =2.0021x0 =2.0016x0 =2.0012x0 =2.0009x0 =2.0007x0 =2.0005x0 =2.0004x0 =2.0003x0 =2.0002x0 =2.0002x0 =2.0001x0 =2.0001x0 =2.0001x0 =2.0000x0 =2.0000x0 =2.0000>>由以上计算结果看,序列收敛与2,所以x=2是f(x)= 232x x -+=0的根。
允许使用计算器一、 填空题 (本大题共10小题,每小题 2分,共 20分) 1. 若 2.71828x e ==,取近似值* 2.7180x =,则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度,应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===,那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-,则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0xx e在0.5x 附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<=,当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7.用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k xe k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯,那么近似数有 2 位有效数字二、单项选择题(本大题共5小题,每小题 2 分,共 10分)1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为( C )A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩D 0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是( B )A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-=则在数值计算过程中( C )。
研究⽣考试数值分析试题研究⽣2002级数值分析⼀(12分)、对于积分=+1,2,1,0,999n dx x x n。
(1)试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ;(2)分析上述算法的数值稳定性;(3)若上⾯算法不稳定,请选择合适的算法,并分析其稳定性。
⼆(12分)、解⽅程组= 00001.8800001.626221x x 和?=00002.8800001.626221x x ,就所观察到的现象进⾏分析。
三(12分)、设⽅程组=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ;(1)适当调整⽅程的排列顺序,使得⽤Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛?说明收敛原因。
(2)取初始向量()()Tx 0,0,00=,⽤Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x,并求其()()k k x x-+1误差。
四(12分)、(1)已知函数()4xe xf =,在[0,1]内三点0,1/2,1的函数值,求其⼆次插值的余项;(2)三个节点如何安排能使其余项达最⼩,此时⼈余项为多少?五(12分)、对于⽅程()02ln =+-x x ,若求[-1.9,-1]内的根,分别选取迭代⽅程()2ln +=x x 和2-=x e x ,它们的收敛性如何?再写出⽜顿迭代公式。
六(10分)、设()?=>+-='100,5y x x y y ,解析解xe x y -+-=25262515,分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ,利⽤Euler ⽅法计算得y(10)的近似值分别为1.96,1.96,5.2851,142.8863,对此现象进⾏分析。
七(10分)、设()x e x f =,分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ,⽤中⼼差商公式计算()0f '的近似值并求出误差,对结果作分析⽐较。
⼋(10分)、求不超过2次的多项式()x P 2,使其满⾜条件:()21=f ,()32=f ,()12='f ,并写出其误差估计。
数值分析(100分试题) 第 1 页 共 3 页一、、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1、设*0.034x 为经过四舍五入后得到的近似数,则数*x 的有效数字位数是 。
2、设节点,0,1,2,3,,i x i n = ,(),0,1,2,,i l x i n = 是关于上述节点的Lagrange 插值基函数,则对于0,1,2,,k n = ,0()n k i i i x l x ==∑ 。
3、已知矩阵411141114A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求||||A ∞= ;2()cond A = 。
4、给定方程22cos x x =-,求该方程根的Newton 迭代格式是 。
5、 步长为h 时,求常微分方程初值问题⎩⎨⎧=≤≤=-1)0(,10,0'3y x xy y 的改进的Euler 公式是 。
二、(10分)求一个3次多项式)(x p ,使其满足4)2('',3)2(,2)1(',1)1(====p p p p .三、(10分)给定线性方程组12310112013a x a a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中a 为常数.写出求解上述线性方程组的Jacobi 迭代格式,并分析当a 取何值时Jacobi 迭代法收敛。
四、(10分)用列主元Gauss 消去法解线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡81213612002120321203214321x x x x 五、(10分)求3()f x x = 在区间[1,1]- 上关于()1x ρ= 的最佳平方逼近2次多项式。
六、(10分) 分析方程01224=---x x x 存在几个实根,并用迭代法求出其中一个实根,精确到3位有效数字。
七、(10分)已知求积公式 )53(95)0(98)53(95)(11f f f dx x f ++-≈⎰- 为Gauss 公式,试给出形如)()()()(221100x f A x f A x f A dx x f ba++≈⎰的求积公式,使其代数精度达到5.八、(10分)用初等反射矩阵将111211245A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦分解为QR 的形式,其中Q 为正交矩阵,R 为上三角矩阵。
重庆大学研究生数值分析课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 1学期开课学院:数统学院 课程号:考试日期:考试方式:开卷闭卷 其他 考试时间 120 分钟注:1.大标题用四号宋体、小标题及正文推荐用小四号宋体;2。
按A4纸缩小打印一、 选择题(3分/每小题,共15分)1、以下误差公式不正确的是( A )A. ()()()1212x x x x εεε-=- B 。
()()()1212x x x x εεε+=+C .()()()122112x x x x x x εεε=+ D. ()()22x x x εε=2、通过点()00,x y ,()11,x y 的拉格朗日插值基函数()0l x ,()1l x 满足(C )A. ()000l x =,()110l x =B. ()000l x =,()111l x = C 。
()001l x =,()111l x = D. ()001l x =,()110l x =3、已知等距节点的插值型求积公式 ()()352k k k f x dx A f x =≈∑⎰,则3k k A ==∑( C )A. 1B. 2C. 3 D 。
44、解线性方程组Ax b =的简单迭代格式()()1k k x Bx f +=+收敛的充要条件是( B ) A 。
()1A ρ< B. ()1B ρ< C 。
()1A ρ> D 。
()1B ρ>5、已知差商021[,,]5f x x x =,402[,,]9f x x x =,234[,,]14f x x x =,032[,,]8f x x x =,则420[,,]f x x x =( B )A. 5B. 9C. 14D. 8二、 填空题(3分/每小题,共15分)1取 3.141592x =作为数3.141592654...的近似值,则x 有____6____位有效数字 2、Cotes 求积公式的代数精度为 5学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密3、若()2[,]f x C a b ∈,则梯形求积公式的截断误差为:3''()()2b a f η--4、迭代法()1n n x x ϕ+=收敛的充分必要条件是:()'1x ϕ<5。
哈⼯⼤研究⽣数值分析试题及答案1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根;讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。
取初值02x =-计算根3x =-的近似值,要求迭代3次。
(结果保留4位⼩数)解:设 32()812f x x x x =--+ 2()328f x x x '=-- ()62f x x ''=- (3)0,(3)0f f '-=-≠,(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则:3-是()0f x =的单根,故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛; 2是()0f x =的⼆重根,故Newton 迭代在2附近是线性收敛;取02x =-,Newton 迭代:3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+2001023634x x x x ++==+2112123634x x x x ++==+2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ,求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ???????的Jacobi 迭代法收敛。
解: Jacobi 迭代:(1)()k k J x B x g +=+10210211203203130130J a B a a a -----=--=-- ? ? ? ? ? ???123a b g a b a b -??=迭代矩阵J B 的特征⽅程:021211120323013013J a E B a a a a λλλλλλλ-----=+-=-=即:3()14()0a a λλ+=特征根:0,aλλ==±谱半径:()1J B aρ=< 时Jacobi 迭代收敛故:a >3. 设(1)⽤Crout 三⾓分解法求解⽅程组 12323251034133619x x x ?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????;(2)⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。
一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=,其中,y x ,由统计方法得到,分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解:)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解:21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解:记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时:1110==⎰dx I 1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时:2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时:31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时:41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I4)(x x f =时:51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ. 解:0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1541532345203203203202210a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为:1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解:12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H 解得 5,3=-=b a因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈11)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解:过点(1,-1)和点(3,1)作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -= 得得Gauss 点:,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为:()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I 七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解:令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增 又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k kk k kk k k k x x x x x x x x x 令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.解: 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c 37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛135152121137253125121211113112 即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .(注:原题中)(2h o 错误)解:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n n n n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y 对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y 得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a , 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
研究生2002级数值分析一(12分)、对于积分⎰=+1,2,1,0,999n dx x x n。
(1)试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ;(2)分析上述算法的数值稳定性;(3)若上面算法不稳定,请选择合适的算法,并分析其稳定性。
二(12分)、解方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00001.8800001.626221x x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00002.8800001.626221x x ,就所观察到的现象进行分析。
三(12分)、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ;(1)适当调整方程的排列顺序,使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛?说明收敛原因。
(2)取初始向量()()Tx0,0,00=,用Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x ,并求其()()k k x x -+1误差。
四(12分)、(1)已知函数()4xe xf =,在[0,1]内三点0,1/2,1的函数值,求其二次插值的余项;(2)三个节点如何安排能使其余项达最小,此时人余项为多少?五(12分)、对于方程()02ln =+-x x ,若求[-1.9,-1]内的根,分别选取迭代方程()2ln +=x x 和2-=x e x ,它们的收敛性如何?再写出牛顿迭代公式。
六(10分)、设()⎩⎨⎧=>+-='100,5y x x y y ,解析解x e x y -+-=25262515,分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ,利用Euler 方法计算得y(10)的近似值分别为1.96,1.96,5.2851,142.8863,对此现象进行分析。
七(10分)、设()xe xf =,分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ,用中心差商公式计算()0f '的近似值并求出误差,对结果作分析比较。
一、填空题1、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3214A 的两个圆盘分别为( ) 2、求方程0)(=x f 的根的割线法(弦截法)迭代公式为( )3、设向量T )3,1,2(--=x ,则范数=2x ( ),=∞x ( )4、设0x ,1x ,… ,n x 是互异的插值节点,)(x l j (n j ,,1,0 =)是Lagrange 插值基函数,则≡∑=nj jx l 0)(( ) 5、求积公式)31()31(d )(11f f x x f +-≈⎰-的代数精度为( ) 二、用追赶法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=-3425212z y z y x y x三、已知2)1(=f ,1)2(=f ,8)4(=f ,试分别用线性插值公式和抛物(二次)插值公式计算)3(f 。
四、判别方程01e =-x x 有几个实根,并用Newton 迭代法求其全部正实根,要求近似根具有三位有效数字。
五、设n n ⨯∈R A ,证明:F F n n A A A ≤≤11 六、推导求⎰=ba x x f I d )(的复化梯形求积公式及其余项公式。
七、设*x 是方程d Bx x +=的唯一不动点,1<B ,证明迭代法d Bx x +=+)()1(k k 产生的向量序列{)(k x }满足)0()1(*)(1x x B B x x --≤-kk 八、导出用Euler 方法求解初值问题⎩⎨⎧=+='2)0(12y x y 的公式,并证明它收敛于该问题的精确解。
九、求常数c b a ,,,使得线性二步法111+-+'++=nn n n y c y b y a y 具有尽可能高的精度,并给出截断误差首项。
十、求次数不大于3次的插值多项式)(x H ,使它满足插值条件)()(j j x f x H =,2,1,0=j ,)()(00x f x H '='并推导其余项表达式。
数值分析试题一.(10分)设给实数0a >,初值00x >:⑴试建立求1a的Newton 迭代公式,要求在迭代函数中不含除法运算; ⑵证明给定初值0x ,迭代收敛的充分必要条件为020x a<<;⑶该迭代的收敛速度是多少?⑷取00.1x =,计算15的近似值,要求计算迭代三次的值(结果保留5位小数)。
二.(10分)试确定参数,,a b c ,使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。
332,01()1(1)(1)(1),132x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数?三.(10分)利用Dollite 三角分解方法求解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四.(10分)给定3阶线性方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性五.(10分)推导出中矩形求积公式()()()2baa b f x dx b a f +≈-⎰ ,并求出其截断误差。
六.(10分用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。
七.(10分)根据已知函数表:建立不超过三次的Newton 插值项式。
八.(10分)试确定常数01,A A ,使求积公式1011()(f x dx A f A f -≈+⎰有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此公式计算积分311I dx x=⎰(结果保留5位小数)。
九.(10分)利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题:20,01(0)1y y x y '=-≤≤⎧⎨=⎩在0.2x =处的数值解(取步长0.1h =)。
10.(10分)讨论两步方法 11112(4)33n n n ny y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差,求出它的局部阶段误差的首项(主部),它是多少阶的? (在线性多步法的局部截断误差中10111[()()],2,3,!p prr r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭∑∑ )。