2015研究生试题 (1)数值分析

2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。

x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・a 0、a 0 ,说明对任意实数。

工0,方程组AX=b 都是0 Q,非病态的。

（范数用||・|L ）四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。

五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分(2a 三、（8分）若矩阵A = 0J(a, /?) = !] [ax2取得最小值。

七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—Ln-1（兀）（斤=1, 2,…）试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分go ） = y （）儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +hk ｛）（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr ππθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷A （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

一．（12分）解答下列问题 1．欲计算下式： ()13(1)2(1)(2)7(1)(2)(3)6(1)(2)(3)(4),P x x x x x x x x x x x =+-+------+---- 2．设有递推公式 0161,1,2,n n y y y n -⎧=⎪⎨=-=⎪⎩ *001.732y y = 作实际计算，问计算到10y 时误差为初始误差*00y y -的多少 这个计算过程数值稳定吗 ？ . （14分）解答下列问题 1. 若2()63f x x =+，则[1,2,3]f 和[1,2,34]f ，的值分别是多少？ 2. 1012 . (10分) 设f 在互易节点i x 上的值()()0,1,....i i f f x i n ==。

试证明：f 在节点i x 上n 次最小二乘拟合多项式()n p x 与f 在节点i x 上的n 次Lagrange 插值多项式()n L x 一致，()()=n n p x L x 。

. (12分) 按代数精度的定义，构造下列形式的求积公式（即确定参数,A B ，α）: Gauss 型求积公式。

. (14分) 已知线性代数方程组Ax=b 为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----n n n n n n n n b b b b x x x x d u u u v d v d v d 121121121112211000000文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. (1) 用顺序高斯消去法求解方程组Ax=b ；(2) 先由(1)的消元过程直接写出A 的LU 分解，再利用该LU 分解求解方程组Ax=b 。

2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ()(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin23142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()1sin23142sin2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin23142sin2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）xyo(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()()()2P A P B P AB P A P B +≤⋅≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅-23221225=++⨯-⨯=，选(D) .二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====-(10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2z F x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1ze =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得1111200212022(1)2(1)220220012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++ 122n +=- (14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++=()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a a a b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 201sin cos 1lim 13x ab x bx x x kx→++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k→----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+； 即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++，模为()()2211y x +++，此题目转化为对函数()()()22,11g x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====所以最大值为93=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x = 12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++ (19)(本题满分 10 分)已知曲线L 的方程为222,,z x y z x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩起点为()0,2,0A ，终点为()0,2,0-B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.【答案】2π2【解析】由题意假设参数方程cos 2sin cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[(2sin cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π22sin sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=-+++⎰π220222sin d π2θθ==⎰ (20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭201212024021201kk kk ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B b a 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,) (注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得 1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以 12min nX X X θ={,,,} 为θ的最大似然估计量.文档内容由经济学金融硕士考研金程考研网 整理发布。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析戴又发一、选择题 共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，其2阶导数)(x f ''的图形如右图所示，则曲线)(x f y =的拐点个数为（ ）（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】若函数)(x f 的2阶导数存在，那么使函数2的阶导数)(x f ''为零，且三阶导数不为零的点是函数)(x f 的拐点，当2阶导数不存在时，只要在某点处的2阶导数改变符号，该点就是拐点，显然)(x f y =的拐点个数为2，故选C ． （2）设x x e x e y )31(212-+=是二阶常系数非齐次线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个特解，则（ ）（A ） 1,2,3-==-=c b a （B ）1,2,3-===c b a （C ）1,2,3==-=c b a （D ）1,2,3===c b a【解析】由题意，xx e e 31,212-是方程0=+'+''by y a y 的解，于是2,1是一元二次方程02=++b a λλ的两根，所以2,3=-=b a ，原微分方程为xce y y y =+'-''23再将特解x xe 代入，得1-=c ，故选A ． 收敛点，发散点 （3）若级数∑∞=1n na条件收敛，则3=x 与3=x 依次为幂级数nn nx na )1(1-∑∞=的（ ）（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点（D ）发散点，发散点 【解析】因为级数∑∞=1n na条件收敛，于是幂级数n n nx a)1(1-∑∞=的收敛半径为1，收敛区间为)2,0(，对幂级数逐项求导不改变其收敛区间，所以幂级数nn nx na )1(1-∑∞=的收敛区间也是)2,0(．而)2,0(3),2,0(3∉∈，故选B ．（4）设D 是第一象限中的曲线14,12==xy xy 与直线x y x y 3,==围成的平面区域，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(（ ）（A ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（B ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（C ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d（D ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d【解析】记 θθsin ,cos r y r x ==，区域D 可表示为，θθ2sin 212sin 1≤≤r ，34πθπ≤≤，θrdrd dxdy =，于是⎰⎰=Ddxdy y x f ),(⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d ，故选Ｂ．(5)设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24121111a a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21d d b ，若集合{}2,1=Ω，则线性方程组b Ax =有无穷多解的充分必要条件为（ ）（A ）Ω∉Ω∉d a , （B ）Ω∈Ω∉d a , （C ）Ω∉Ω∈d a , （D ）Ω∈Ω∈d a ,【解析】由方程组b Ax =有无穷多解，得3)()(<=A r A r ， 而当0)12)(2)(1(=---=a a A 时，2,1==a a ，当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000101011111030101011111411211111222d d d d d d d A3)(<r ，所以1=d 或2=d ．当2=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000111011111330111011114412211111222d d d d d d d A 3)(<A r ，所以1=d 或2=d ．故选Ｄ．（6）设二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=，则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为（ ）（A ）2322212y y y +- （B ）2322212y y y -+ （C ）2322212y y y -- （D ）2322212y y y ++ 【解析】设二次型对应的矩阵为A ，由),,(321x x x f 经正交变换PY X =化为标准型2322212y y y -+，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1121AP P ，其中),,(321e e e P =，又因为),,(231e e e Q -=，于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AQ Q ， 所以),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为2322212y y y +-．故选Ａ． （7）若B A ,为任意两个随机事件，则（ ）（A ）)()()(B P A P AB P ≤ （B ）)()()(B P A P AB P ≥（C ）2)()()(B P A P AB P +≤（D ）2)()()(B P A P AB P +≥【解析】对于任意两个随机事件B A ,，都有)()(A P AB P ≤，)()(B P AB P ≤，所以2)()()(B P A P AB P +≤，故选C ．（8）设随机变量Y X ,不相关，且3,1,2===DX EY EX ，则=-+]2([Y X X E（A ）3- （B ）3 （C ）5- （D ）5【解析】)(2)()()2(]2([22X E XY E X E X XY X E Y X X E -+=-+=-+542432))()(2=-++=-⋅++=EX EY EX EX X D ，故选D ．二、填空题：9～14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）=→20cos ln limxxx ． 【解析】 用罗必塔法则 21cos 2sin lim cos 2sin lim cos ln lim 0020-=-=-=→→→x x xx x x x x x x x ． （10）⎰-=++22)cos 1sin (ππdx x x x． 【解析】⎰⎰⎰---++=++222222cos 1sin )cos 1sin (ππππππdx x dx x xdx x x x ，0)cos 1ln()cos 1(cos 11cos 1sin 222222=+-=++-=+=-=--⎰⎰ππππππx x x x d x dx x x ，（或因为xx cos 1sin +是奇函数，所以0cos 1sin 22⎰-=+ππdx x x ） 422222022πππππ====-⎰⎰x xxdx dx x ，所以4)cos 1sin (222πππ⎰-=++dx x x x ．（11）若函数),(y x z z =由方程2cos =+++x x xyz e z 确定，则=)1,0(dz．【解析】将1,0==y x 代入2cos =+++x x xyz e z ，得21=+z e ，0=z ．又由于dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=， 将方程2cos =+++x x xyz e z 两边对x 求导，0sin 1=-++∂∂+∂∂x yz xzxy x z e z， 代入1,0==y x ，0=z ，得1-=∂∂xz； 方程2cos =+++x x xyz e z 两边对y 求导，0=+∂∂+∂∂xz yz xy y z e z， 代入1,0==y x ，0=z ，得0=∂∂yz； 所以dx dz-=)1,0(．（12）设Ω是由平面1=++z y x 与三个坐标平面所围成的空间区域，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )32( ．【解析】由对称性，有dz z z zdxdydz dxdydz z y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-⋅==++ΩΩ102)1(2166)32( 41)2(3132=+-=⎰dz z z z ． （13）n 阶行列式=--2100220020212002．【解析】记n D =--2100220020212002，则22)1(2)1(21111+=-⋅⋅-+=----n n n n n D D D222222222)22(2221112222+++++==++=++=----- n n n n n D D D22222221221-=+++++=+--n n n n ．（14）设二维随机变量),(y x 服从正态分布)0,1,1;0,1(N ，则{}=<-0Y XY P ． 【解析】因为，～，～)1,0(Y )1,1(N N X 且Y ，X 互相独立，所以{}=<-0Y XY P {}{}{}{}{}0010010)1(<>-+><-=<-Y P X P Y P X P Y X P2121212121=⨯+⨯=．三、解答题：15～23小题，共94分。

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，
8,2⎤⎦为( A )（C ）、1；,)n 是n 个互异节点,)n 的拉格朗日
插值基函数，则下列选项中正确的是（ C ）； ）、(0
n
i i i x l =∑
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，。

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，1试题__2016_年~__2017__年第1学期课程名称： 数值计算方法 专业年级： 2016级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………注意：本试卷共八道大题，共100分。

一、选择题(5小题，每小题3分，共3*5=15分)1、设设()849310f x x x =++，则0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦L 为( )。

（A ）、9； （B ）、8； （C ）、1； (D ）、0。

2、设()(0,1,2,,)i l x i n =L 是1n +个互异节点(0,1,2,,)i x i n =L 的拉格朗日插值基函数，则下列选项中正确的是（ ）。

（A ）、()230ni ii x l x x ==∑； (B ）、()20ni i j i x l x x ==∑；（C ）、()01ni i l x ==∑； （D ）、()20ni i i x l x x ==∑。

3、设矩阵A=1002-⎛⎫⎪⎝⎭, 则Cond(A)∞为( )。

(A)、-2； (B)、1； (C)、0； (D)、2。

4、下列说法不正确的是（ ）。

(A)、2(31)/2x -是2次Legendre 多项式； (B)、()[()()]2bab af x dx f a f b -=+⎰余项为3(2)()()12b a f η--；注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin23142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D) ()1sin23142sin2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为 ( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim _________.x xx →=(10) 22sin ()d ________.1cos xx x x ππ-+=+⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()00,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.(19)(本题满分 10 分)已知曲线L 的方程为222,,z x y z x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩起点为()0,2,0A ，终点为()0,2,0-B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布;(II)求EY(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

课程名称数值分析拟题老师签名教研室主任签名适应班级研2015 2015 至2016 学年一学期考试（A）卷《数值分析》考试试卷（A ）参考答案（研2015级）一、判断题（18分）1（⨯），2（⨯），3（⨯），4（√），5（√），6（√）二、填空题（20分）1. 4，2. 112311214013⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ， 3. 404.01，4. 3， 5. 0.25三、同解变换为1231231234275322361++=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=-⎩x x x x x x x x x （4分）GS 迭代格式为(1)()()711123424(1)(1)()321213555(1)(1)(1)111312632++++++⎧=--⎪=++⎨⎪=--+⎩k k k k k k k k k x x x x x x x x x ， ,2,1,0=k （4分）其中)0(1x ，)0(2x ，)0(3x 为初值；变换后的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以GS 迭代格式收敛。

（2分）四、对1(0,1)Tb =，计算111(1,1), 1,1),T T b b e u -=-=- （4分）1110012, 010TH I uu Q H ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （4分）110112.021TQAQ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎝⎭（2分）五、1) Newton 迭代公式为01ln 2(1ln )3,,(0,1,).111k k k k k k k kx x x x x x x k x x +--+==-==-- (4分) 2) 令()ln 2,f x x x =-- 则 /1()10f x x=->, 故()f x 在[2,4]上有唯一的根. (4分) 3) 根据牛顿法收敛的充分条件可验证, 略. (4分)六、()220.50.51p x x x =++， （2分） ()()()321(2)H x p x ax x x =+--，()23(0.5)(2),H x x a x x '=++- 3(1)10.5.H a '=⇒= （3分）()3230.5 1.5 1.H x x x x ∴=-++ （3分） ()()()()()()24310124!=---R x f x x x ξ. （2分）七、x x f sin )(=，1)(0=x ϕ，x x =)(1ϕ，则 2),(2000πϕϕπ⎰==dx ，⎰===20201108),(),(ππϕϕϕϕxdx ，⎰==120321124),(ππϕϕdx x ，⎰==2001sin ),(πϕxdx f ，⎰==2011sin ),(πϕxdx x f ，法方程为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1124882*1*0322c c ππππ， 解得 1145.013242*0≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππc ，6643.041963*1≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππc ， （6分）故最佳平方逼近元素为 x x p 6643.01145.0)(*+=（02x π≤≤）， （2分）最佳平方逼近误差()()1***010,,0.00664k k k f f c f c c πδφ==-=--≈∑. （2分）八、1）梯形公式()[()()],2bab af x dx f a f b -≈+⎰112211[] 2.1835,2xe dx e e ≈+≈⎰（3分）又134121221max ()max (1)8.1548,x x x f x e f x x ≤≤≤≤⎛⎫''''=+=≈ ⎪⎝⎭截断误差1121max ()0.6796.12x R f x ≤≤''≤≈ （5分）2）Simpson 公式()()4(),62bab a a b f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰11121.5211[4] 2.0263,6xe dx e e e ≈++≈⎰（8分）又1(4)876512121123624max ()max (1)198.4346xx x fx e f x xx x ≤≤≤≤⎛⎫''=+++=≈ ⎪⎝⎭截断误差(4)2121max ()0.068902880x R f x ≤≤≤≈（10分）。

2015 年考研数学（一）答案解析一、选择题（1）设函数 f (x ) 在（-∞,+∞）连续，其 2 阶导函数 f ′′(x ) 的图形如下图所示，则曲线 y = f (x ) 的拐点个数为（）（ A ）0 （B ）1 (C) 2 ( D) 3【 答案】C解析】 拐点为f "(x)正负发生变化的点 【 （ 2）设y = e 2x + x −e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程y ″ +ay ′ + by = ce 的一个特解，x则：【 答案】（A ） 【 解析】∞ ∞∑ ∑ 条件收敛，则 = 与 = 依次为幂级数 x 3 x 3 ( − ) na x 1 的：n(3)若级数 a n n n =1 n =1 (A)收敛点，收敛点. (B)收敛点，发散点. (C)发散点，收敛点. (D)发散点，发散点.【 答案】B 【 解析】∞ ∞∞∑ ∑ ∑ 条件收敛，故 = 为幂级数 x 2 a x 1 ( −) n的条件收敛点，进而得 ( − ) a x 1nn因为 a n n n =1 n =1 ( )的收敛半径为1，收敛区间为 0,2 ；又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 ∞∞∑ ∑ ( − ) n( ) = = ( − ) nnax 1 的收敛区间仍为 0,2 ，因而x3与x 3依次为幂级数 na x1 n n =1的收敛点，发散点.（ 4）设 D 是第一象限中曲线 2xy =1, 4xy =1与直线 y = x , y = 3x 围成的平面区域，函数∫∫ f (x , y ) 在 D 上连续，则f (x , y )dxdy =π1 π 1 ∫ ∫∫ ∫ （ A ）3 3 d θsin2θf (r cos θ,r sin θ)rdrπ 1 π 1 42sin2θ42sin2θπ 1π 1 ∫ ∫∫∫(C)3 d θ sin2θf (r cos θ,r sin θ)dr ( D)3 π 1 π 1 42sin2θ42sin2θ【 答案】Bπ【 解析】由 y = x 得，θ = 4π 由 y = 3x 得，θ = 31 由 2xy =1得， 2r由 4xy =1得， 4r2cos θsin θ =1, r =cos θsin θ =1, r =sin 2θ 1 22 sin 2θπ1 ∫ ∫ ∫ ∫ 所以f (x , y )dxdy =d θsin2θf (r cos θ,r sin θ)rdr3 π 1 D42sin2θ1 1 1 1（ 5）设矩阵 A = 1 2 a ， b = d ，若集合 Ω ={1,2}，则线性方程组 Ax = b 有无1 4 a2 d 2 穷多个解的充分必要条件为（ A ） a ∉Ω,d ∉Ω （B ） a ∉Ω,d ∈Ω （C ） a ∈Ω,d ∉Ω （D ） a ∈Ω,d ∈Ω 答案】D 【1 1 111 1 1 1 d [ → 【 解析】 A ,b1 2 a0 1 a 1 220 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2) − − − − 1 4 adAx = b 有无穷多解 ↔ R (A ) = R (A ,b ) < 3a =1或 a = 2且 d =1或 d = 26）设二次型 f (x , x , x )在正交变换 x = Py 下的标准形为 2y ↔ （ + y 2 − y 2 ，其中321 2 3P = (e ,e ,e ) ，若Q = (e ,−e ,e )，则 f (x , x , x )在正交变换 x = Qy 下的标准形为 1 2 3 1 2 3（ A ） 2y 1 2− y 2 2+ y 2 （B ） 2y 1 2+ y 2 2 − y 2 （C ） 2y 1 2 − y 2 2 − y 2 （D ） 2y 1 2 + y 2 2 + y 32 3 3 3 【 答案】A( ) 二次型在正交变换 = 【 解析】设二次型对应的矩阵为 A , P e ,e ,e , = x Py 下的标准行 1 23 2( − 为 2y 1 222, 则 P −1AP = 1 = 1 32−12Q −1 AQ =−1 , 故在正交变换 = 下的标准型是： 2y -y +y 2，故选 A 。