2015研究生试题 (1)数值分析

2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）

科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法

（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.

kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.

二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。

x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,

v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，

2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・

a 0、

a 0 ,说明对任意实数。工0,方程组AX=

b 都是

0 Q,

非病态的。（范数用||・|L ）

四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:

求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。

五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为

已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分

(2a 三、（8分）若矩阵A = 0

J(a, /?) = !] [ax2

取得最小值。

七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:

'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—L

2009级研究生《数值分析》试卷

一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为x

y y x y x u 22

3),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x

,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.

解：)(23)(6)(),()(),()(222

y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=∂∂+∂∂≈ 6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-= 0.01071456

6

.03)

()(22

=≈

+

=

x

y y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3

+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差

]4,3,2,1,0[f .

解：211

4

2512)1()2(]2,1[,

31

1

401)0()1(]1,0[=-=--=

=-=--=

f f f f f f

92

3

2102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f ,

0!

4)

(]4,3,2,1,0[)

4(==

ξf

f 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[12

1)]1()0([21)(1

f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.

解：记⎰=1

0)(dx x f I )]1(')0('[12

1)]1()0([21f f f f I n -++= 1)(=x f 时：111

0==⎰dx I

1]00[12

1

]2[21=-+=

数值分析期末试卷A卷

第 1 页共 6 页

西北农林科技⼤学本科课程考试试题（卷）

2015—2016学年第⼆学期《数值分析》课程A 卷专业班级：命题教师：审题教师：

学⽣姓名：学号：考试成绩：

⼀、填空题（每空2分，共20分）得分：分

1. 设x 1=1.216， x 2=3.654均具有3位有效数字，则x 1+ x 2的误差限为 .

2. 近似值x *=0.231关于真值x =0.229有位有效数字.

3. 误差有多种来源，数值分析主要研究误差和误差.

4. 已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝

5.9，则2次Newton 插值多项式中x 2项前⾯的系数为 .

5. 计算积分?1

5.0d x x , 计算结果取4位有效数字. ⽤梯形公式计算的近似值

为，⽤Simpson 公式计算的近似值为 . 其中，梯形公式的代数精度为，Simpson 公式的代数精度为

. ( 1.7321≈≈) 6. 假设n n H R ?∈是Householder 矩阵，n v R ∈是⼀个n 维向量，

则Hv = .

⼆、选择题（每⼩题 2分，共20分）得分：分

1. ⽤13x

+

所产⽣的误差是误差.

A. 舍⼊

B. 观测

C. 模型

D. 截断

2.

1.732≈

，计算)41x =，下列⽅法中最好的是 .

A.

28-

B. (24-

C. ()2164+

D. ()416

1 3. 在Newton-Cotes 求积公式中，当Cotes 系数为负值时，求积公式的稳定性不能保证. 因此在实际应⽤中，当时的Newton-Cotes 求积公式不使⽤.

数值分析试卷及答案

数值分析试卷

一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）

1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？

A. 数值计算方法

B. 数值误差

C. 数值软件

D. 数学分析答：A、B、C

2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？

A. 插值法

B. 微积分基本公式

C. 数值微积分

D. 数值积分公式

答：A

3. 数值积分的目的是求解什么？

A. 函数的导数

B. 函数的原函数

C. 函数的极值

D. 函数的积分

答：D

4. 数值微分的目的是求解什么？

A. 函数的导数

B. 函数的原函数

C. 函数的极值

D. 函数的积分

答：A

5. 数值微分的基本方法有哪几种？

A. 前向差分

B. 后向差分

C. 中心差分

D. 插值法

答：A、B、C

6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？

A. 迭代法

B. 曲线拟合法

C. 插值法

D. 数值积分法

答：A、B、C

7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？

A. 当迭代结果开始发散

B. 当迭代结果接近真实解

C. 当迭代次数超过一定阈值

D. 当迭代结果在一定范围内波动

答：B

8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？

A. 拉格朗日插值

B. 牛顿插值

C. 三次样条插值

D. 二次插值

答：A、B、C

9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？

A. 直接法

B. 迭代法

C. 插值法

D. 拟合法

答：A、B

10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？

A. 直接法

B. 迭代法

C. 插值法

D. 曲线拟合法

答：B

二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）

1. 数值积分的基本公式是_________。

------------------------------------------------ 装 ---------------------------------

订 ---------------------------------

线 ------------------------------------------------

装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容

允许使用计算器

一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）

1. 若

2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。 2.

为了提高数值计算精度，应将8

格式进行计算。

3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888

C C C ===，那么(3)3C =1

8 。

4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。

5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为

)1,0(e 1e )()(1

=+--='-=--+n x x x f x f x x n

n

x x n n n n n n

6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。

7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是13

22

y x =

+。 8.向量序列()211cos ,sin ,3T

允许使用计算器

一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分） 1. 若 2.71828

x e ==，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。

2.

为了提高数值计算精度，应将8

格式进行计算。

3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133

,,888

C C C ===，那么(3)3C =18 。

4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。

5. 用牛顿迭代法解方程0x

x e

在0.5x 附近的近似实根的牛顿迭代格式为

)1,0(e 1e )()(1

=+--='-=--+n x x x f x f x x n

n

x x n n n n n n

6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<

<=，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数

且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。

7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是13

22

y x =

+。 8.向量序列()

211cos ,sin ,3T

k k x

e k k k k -⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的极限向量为()0,1,3T

9.求积公式 1

0311

()()(1)434

f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。

10.若绝对误差限为31

102

-⨯，那么近似数有 2 位有效数字

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）

1. 已知实验数据

5

5

5

5

21

1

1

1

(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k k

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，

8,2⎤⎦为( A )（C ）、1；,)n 是n 个互异节点,)n 的拉格朗日

插值基函数，则下列选项中正确的是（ C ）； ）、(0

n

i i i x l =∑

注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，

注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，

注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，

注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，

2015《数值分析》练习题

1、 填空题

（1）1.73和1.7321都是3的近似值，已知 7320508.13=则1.73具有 位有

效数字，则1.7321具有 位有效数字。

（2）设25.1=x 是四舍五入后得到的某个量的近似值，则x 有 位有效数字

（3）设80~

=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取 位有效数字。

（4）为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为 。

（5）设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，则1A ＝ ，1x = 。

（6）矩阵3132A ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

，则1A =_____，2A =_____，A ∞=_____，()cond A ∞=_____。

（7）已知4222102226A -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

， 对于A 作Cholesky 分解T A LL =，则L = . （8）设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

（9）设14)(34-++=x x x x g ，则差商[]4,3 ,2 ,1 ,0g =________ 。

（10）已知16)4(,8)2(,4)1(===f f f ，则=]2,1[f ，=]4,2,1[f ；相应的二次Newton 插值多项式为 ；

（11）解方程0)(=x f 的Newton 迭代公式为，Newton 迭代法对于单根

贵州大学2009级工程硕士研究生考试试卷

数值分析

注意事项：

1.请考生按要求在下列横线内填写姓名、学号和年级专业。

2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4．满分100分，考试时间120分钟。

专业 学号 姓名

一、（12分）用牛顿迭代法求3220--=x x 在区间[1.5,2]内的一个近似根，要求3

1||10-+-<k k x x 。

（1）用三次插值公式求(1.28)f 的近似值；

（2）用中心差商微分公式，求(1.5)'

ƒ与求(2.0)'ƒ的近似值。

三、（20分）设方程组12312312

335421537

++=-+=--⎧⎪

⎨⎩+=⎪x x x x x x x x x

（1）用列主法求解方程组；

（2）构造使G -S 方法收敛的迭代法，并取(0)

(0,0,0)=T x ，求方程组的二次迭代近似解根。

四、（16分）将积分区间2等分，分别用复化梯形公式与复化辛普森公式求

2

1

⎰x e

dx 的近似值。

五、（9分）设3211⎛⎫=

⎪--⎝⎭A ，31⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

x ，求2||||x ；谱半径()s A 及条件

数1()cond A 。

六、（16分）取步长0.1=h ，用Euler 预报-校正公式求微分方程

024|2

='=--

⎧⎨

=⎩x y y x y 的解()y x 在x =0.1与x =0.2处的近似值(2)

(0.1)y ，(2)(0.2)y 。

七、（7分）设A 为非奇异矩阵，0≠b ，x 是=Ax b 的近似解，x 是=Ax b ||||||

数值分析

—计算实习作业一

学院：17系

专业：精密仪器及机械

姓名：张大军

学号：DY1417114

2014-11-11

数值分析计算实现第一题报告一、算法方案

算法方案如图1所示。（此算法设计实现完全由本人独立完成）

图1算法方案流程图

二、全部源程序

全部源程序如下所示

#include

#include

#include

int main()

{

double a[501];

double vv[5][501];

double d=0;

double r[3];

double uu;

int i,k;

double mifayunsuan(double *a,double weiyi);

double fanmifayunsuan(double *a,double weiyi);

void yasuo(double *A,double (*C)[501]);

void LUfenjie(double (*C)[501]);

//赋值语句

for(i=1;i<=501;i++)

{

a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i);

}

//程序一：使用幂方法求绝对值最大的特征值

r[0]=mifayunsuan(a,d);

//程序二：使用幂方法求求平移λ[0]后绝对值最大的λ，得到原矩阵中与最大特征值相距最远的特征值

d=r[0];

r[1]=mifayunsuan(a,d);

//比较λ与λ-λ[0]的大小，由已知得

if(r[0]>r[1])

{

d=r[0];

r[0]=r[1];

r[1]=d;

研究生数值分析期末考试试卷参考答案

太原科技大学硕士研究生

2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷

参考答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

1、x x ++11

；2、2；3、20；4、6；5、k

k k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12

121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、

+++++++--100052552452552052552525524；

二、（本题满分10分）

解：

Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为

+--=+--=++-=++++++3221

522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则

第一次迭代可得===3

15)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误

第二次迭代可得=-==7119)2(3

)2(2)2(1x x x ，-----------9分

所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分

三、（本题满分10分）

解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，

1)

()

(402040

200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)

一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为x

y y x y x u 2

2

3),(+=，其中，y x ,由统计方法

得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限

)(u r ε.

解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛

++⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=∂∂+∂∂≈

6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=

0.010714566

.03)

()(2

2

=≈+

=x

y y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3

+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差

]4,3,2,1,0[f .

解：211

4

2512)1()2(]2,1[,

31

1

401)0()1(]1,0[=-=--=

=-=--=

f f f f f f

92

3

2102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=

f f f

0!

4)

(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f

三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[12

1

)]1()0([21)(1

0f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=1

0)(dx x f I )]1(')0('[12

1

)]1()0([21f f f f I n -++=

1)(=x f 时：111

0==⎰dx I 1]00[121

]2[21=-+=n I

x x f =)(时：211

数值分析试题

一、选择题

1.数值分析的目的是：

– A. 提供数值计算的方法和技巧

– B. 解决数值计算中的实际问题

– C. 研究数值计算的理论基础

– D. 分析和验证已有的数值计算方法

2.数值分析中的舍入误差是由以下哪个原因引起的？

– A. 人为输入错误

– B. 计算机运算精度限制

– C. 近似计算方法的局限性

– D. 数值计算方法的选择问题

3.在数值分析中，下面哪个方法适用于求解非线性方程的根？

– A. 二分法

– B. 直接法

– C. 迭代法

– D. 插值法

4.数值逼近的基本思想是：

– A. 将数值计算转化为代数运算

– B. 通过逼近函数来计算数值

– C. 求解数值问题的方法

– D. 对数值计算进行近似处理

5.下列哪个方法不属于数值微分的计算方法？

– A. 差商法

– B. 导数法

– C. 插值法

– D. 积分法

二、判断题

1.数值方法与符号计算方法是相互独立的。

–正确 / 错误

2.数值计算方法可以得到精确的数值解。

–正确 / 错误

3.数值分析只研究数值计算的精确性，不关注计算效率。

–正确 / 错误

4.数值积分是求解定积分近似值的方法。

–正确 / 错误

5.数值微分是求解函数导数的近似值的方法。

–正确 / 错误

三、简答题

1.解释数值分析的基本原理及其应用。

2.什么是舍入误差？其产生的原因有哪些？

3.简述求解非线性方程根的迭代法的基本思想。

4.数值逼近的方法有哪些？各自的优缺点是什么？

5.分析数值微分方法的优缺点，并举例说明其应用场景。

四、计算题

1.使用二分法求方程 f(x) = x^3 - x^2 - 1 的一个实根，给出计算过程和