42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质
华东理工大学化学系 胡 英
42.1 引 言
当浓度、温度、或流体的运动速度在空间分布不均匀时，系统处于
非平衡态，将产生物质、热量或动量的传递。其他如电磁辐射的吸收、
光的弹性散射、准弹性散射和非弹性散射、中子散射、介电弛豫和分子
光谱等，都涉及非平衡态。实际过程的产生均起源于非平衡态。随时间
流逝由非平衡态趋向平衡态是所有实际过程的共同特征。在分子水平上
研究非平衡态的特点，将微观的分子性质与宏观的非平衡态的性质联系
起来，是非平衡态统计力学的任务。
非平衡态统计力学与平衡态统计力学的区别在于，前者引入了时
间。迄今已发展了两种基本的方法，一是含时分布函数的方法，二是时
间相关函数的方法。在本章中将主要介绍前者，并应用于稀薄流体的传
递现象。下一章将讨论布朗运动，一方面由于它本身的重要性，也为进
一步研究稠密流体打下基础。接着在44章中介绍时间相关函数，并联
系稠密流体的传递过程。最后在51章介绍动态光散射的理论，它是时
间相关函数的又一重要应用。
非平衡态统计力学在数学处理上比平衡态的要复杂得多。作为入
门，我们将推导大都略去，而将重点放在物理概念的阐述上。本章将从
定义含时分布函数开始，然后将通量与分布函数联系起来。接着是最核
心的内容，即建立Boltzmann 方程，并介绍Chapman-Enskog 理论，由
于引入分子混沌近似，因而可以根据分子的位能函数求得分布函数，进
而得到传递性质。最后简要介绍一些进一步的处理方法。
42.2含时分布函数
在《物理化学》13.7.2中曾为平衡态定义了N 重标明分布函数
),...,,(21)(N N P r r r ，它是确定了所有N 个标明了序号的分子的位置
N r r ,...,1时的概率密度。如果只确定了N 个分子中的h 个(例如h =2)的位
置，其它N ?h 个分子的位置随意，其概率密度称为h 重标明分布函数
42-2 42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质
),...,,(21)(h h P r r r 。如果粒子不可区分，相应有N 重分布函数和h 重分
布函数),...,,(21)(N N r r r ρ和),...,,(21)(h h r r r ρ，
它们与相应标明分布函数的关系为： ),...,,()!
(!),...,,(21)(21)(h h h h P h N N r r r r r r ?=ρ (42-1) 如果h =N ，可得),...,,(21)(N N r r r ρ=N !),...,,(21)(N N P r r r 。分布函数原则
上可由分子的性质（位能函数）通过求解积分方程得到，并进而由能量
方程、压力方程和压缩性方程得到所有的热力学性质包括状态方程。
在研究非平衡态时，也有相应的标明分布函数和分布函数，后者的
符号按惯例改用f 。与平衡态时的区别在于，在变量中要引入时间。为
更完整地确定粒子所处的状态，通常除位置i r 外，还要指明动量i p 。
相应于式(42-1)，对非平衡态有： ),,()!
(!),,()()(t P h N N t f h h h h h h p r p r ?= (42-2) 式中h r 和h p 分别是h r r r ,...,,21和h p p p ,...,,21的简写。为与平衡态的相
区别，)(h P 和)(h f 可分别称为h 重含时标明分布函数和h 重含时分布函
数，它们是在t 时刻确定了h 个标明序号或不可区分的分子的位置和动
量时的概率密度，其它N ?h 个分子的位置和动量则随意。
含时的标明分布函数和分布函数有如下重要性质：
1d d ),,()(=∫∫N N N N N t P p r p r L (42-3)
!d d ),,()(N t f N N N N N =∫∫p r p r L (42-4)
1d d ),,()(=∫∫h h h h h t P p r p r L (42-5)
)!/(!d d ),,()(h N N t f h h h h h ?=∫∫p r p r L (42-6)
N-h N-h N N N h h h t P t P p r p r p r d d ),,(),,()()(∫∫=L (42-7) N-h N-h N N N h h h t f h N t f p r p r p r d d ),,()!(1),,()()(∫∫?=L (42-8)
式中h r d 和h p d 分别是h r r d ...d 1和h p p d ...d 1的简写，N-h r d 和N-h p d 分别是
N N-h r r d ...d 和N N-h p p d ...d 的简写。式(42-3,4,5,6)是归一化要求，式(42-7,8)
则是由高重函数计算低重函数。
最常用的是一重和二重分布函数，按归一化要求有：
42.3 稀薄流体中通量与分布函数的关系 42–3
N t f =∫∫p r p r d d ),,()1( (42-9) ∫∫∫∫?=)1(d d d d ),,,(21212121)2(N N f p p r r p p r r
(42-10) 如果知道N 重分布函数，任意性质F 随时间变化的系综平均值可按下式
求得： N N N p r p r d d ),,(!
1)()(∫∫???=t f F N t F N N (42-11) 式中除以N !是归一化要求，见式(42-4)。但是)(N f 通常是不知道的，而
实际上，许多情况下，只要有)1(f 和)2(f 就足以求得可靠的系综平均值。
对于稀薄流体，由于分子间的相关性很小，只要考虑)1(f
已足够准确，另一方面，速度u 比动量p 更为常用，此时，可用位置-速度相空间(r ，u )，相应有),,()1(t f
u r 。对于任一性质F ，式(42-11)变为 u r u r d d ),,(1)()1(∫=t f F N
t F (42-12) 如果仅取速度平均值，则有 )(d ),,(d ),,(d ),,(),()1()1()1(t t f F t f t f F t F r,u u r u u r u u r r ρ∫∫
∫== (42-13) 式中)(t r,ρ＝u u r d ),,()1(∫t f ，为t 时刻在位置r 处的局部数密度。
42.3 稀薄流体中通量与分布函数的关系
平均速度 按式(42-13)，在t 时刻位置r 处的平均速度为
)(d ),,(),()1(t t f t r,u u r u r u ρ∫= (42-14) 如果是多组分系统，对某一组分j ，相应的j 类分子的平均速度为 )
t (d ),,(),()1(r,u u r u r u j j j j j j t f t ρ∫= (42-15) )1(j f 和j ρ是j 类分子的一重分布函数和局部数密度。j u 代表j 类分子
的宏观流动。整个系统的质量速度按下式计算： ∑∑=j j j j j j
j m m t ρρu r u ),(0
(42-16)
42-4 42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质
它又称为流速(flow velocity)，j m 是j
分子的质量。
特定速度(peculiar velocity)
符号用R u ，定义为
0def u u u ?==R (42-17)
式中0u 即),(0t r u 。特定速度是相对于
整体的质量速度的相对速度。
通量与分布函数 对于任意分子性质F ，例如分子的质量、动量或能量，它的通量即单位时间通过单位面积的
数量。设在空间某位置r 处有一微元面积d A ，见图42-1，其法线方向
的基矢为n ，它以流速0u 在运动着。当该处j 类分子的速度为j u ，特定
速度为u Rj ，它与n 的夹角为θ，θcos Rj Rj u u n =?（矢量点积得标量），
则在d t 时间内，在微元体积θcos d d A t Rj u 中，速度为j j j u u u d ~+的
j 类分子，可以通过运动着的d A ，j 分子数为 )(d d d ),,(cos d d d ),,(d d ),,()
1()1()1(Rj j j j Rj j j j j j j A t t f A t t f t f u n u u r u u u r r u u r ?==θ
(42-18)
将此式对所有可能的速度j u 进行积分，乘以j 分子的性质j F ，即为该
性质的总通过量，除以A t d d 即为j F 的通量，
j F 的通量=Rj j j j j j Rj j F t f F u n u u r u n ?=?∫
ρd ),,()1( (42-19) 式中第二步用到式(42-13)，积分即Rj j F u 的系综平均值乘以局部数密度
j ρ，注意F j 的通量和j ρ均为r 和t 的函数，前者还和d A 的取向有关。
通量矢量(flux vector) 性质F j 的通量矢量符号用F j ，定义为 Rj j j F u F j ρdef
== (42-20) 它仅决定于r 和t ，与流动微元面积d A 的取向无关，F j 在任何表面的分
量表达了性质F j 在该方向的通量。例如点乘n ，见式(42-19)，即表示在
法线方向为n 的平面上的通量。正是F j ，将通量与分布函数)1(f
联系起
来，分布函数隐藏于系统平均值之中。
图42-1 通量与特定速度
42.3 稀薄流体中通量与分布函数的关系 42–5
物质通量 令j j m F =，为j 分子的质量，物质通量和物质通量矢量
符号分别用j j 和j j ，可写出 Rj j j j m j u n ?=ρ ， Rj j j j m u j ρ= (42-21)
动量通量 令R m F u =，为分子的动量，动量通量和动量通量矢量
符号分别用P 和p ，这里略去了下标j ，表示只有一种分子。可写出 R R m u u n P ?=ρ ， R R m u u p ρ= (42-22)
由于R R u u 是矢量的直积，是张量，矢量与张量的点积得矢量①
，因此动量通量P 是矢量，动量通量矢量p 则是一个张量。按牛顿力学，单位面
积上动量随时间的变化即压力（注意这是动能的贡献，如果是稠密流体，
还要计及分子间力的贡献），因此p 又称为压力张量，它有九个元素或
分量，
??????????
??=2
22Rz Ry Rz Rx Rz Rz Ry Ry Rx Ry Rz Rx Ry Rx Rx u m u u m u u m u u m u m u u m u u m u u m u m ρρρρρρρρρp =????
??????zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p
(42-23)
其中各元素ij p 的意义即动量Rj mu 在i 方向的通量，例如： xx p ：动量Rx mu 在x 方向的通量
yx p ：动量Rx mu 在y 方向的通量
在这九个压力元素中，xx p 、yy p 、zz p 分别垂直作用于yz 、zx 和xy 平
面上，称为法向压力(normal stress)；其他六个分别平行地作用于相应下
标的平面上，称为切向压力(shear stress)，它们起源于物质的粘滞性，是
相邻流体层有速度梯度时的剪切力。当没有速度梯度时，切向压力为零，
如达平衡，xx p ＝yy p ＝zz p ＝p ，这个p 就是通常的压力。(参阅第46
章46.1.2)
热(动能)通量 令2/2/22R R
mu m F ==u ，即动能，热通量和热通量矢量符号分别用q 和q ，略去下标j 表示只有一种分子。 22R R u m q u n ?=ρ ， 22R R u m u q ρ= (42-24)
现在我们已得物质通量、动量通量和热通量与分布函数的关系式。
① 矢量A 与张量B 的点积得矢量C ，∑=i ij i j B A C ，i=x,y,z
42-6 42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质
另一方面，《物理化学》6.2已介绍过费克定律、牛顿定律和傅里叶定
律，它们分别表示了三种通量与浓度梯度、流速梯度和温度梯度间的正
比关系，比例系数分别是扩散系数D 、粘度η与热导率λ，它们是物质的
基本性质。两者相结合，我们可以得到这些基本传递性质与分布函数的
关系。如果能够根据分子的性质主要是位能函数来得到分布函数，就能
实现从微观的分子性质预测宏观的传递性质。
42.4 Boltzmann 方程
本节要讨论的Boltzmann 方程，是一个关于分布函数的封闭的积分
方程，可以解得分布函数。
1．分子碰撞的轨迹
当分子间存在分子间力时，碰撞并不是直线运动。图42-2画出当
一个分子处于原点O 时，另一分子的相对运动轨迹。在两分子距离较远
时，分子以相对速度w 进行直线运动，它与通过O 点所画平行线AO 间
的距离为b 。当两分子逐步接
近时，由于吸引力，轨迹逐步
偏离直线，分子间距离r 快速
减小，以后由于排斥力，分子
间距的缩小趋势减慢，至最小
距离m r 后，分子间距逐渐增
大，至分子间距较大，分子间
力影响基本消失后，又恢复直
线运动，这时相对速度为
w w ,w =′′。显然，散射角 χ 既与b 和w 有关，也与分子间相互作用位能)(p r ε有关。设分子质量为
m ，利用能量守恒和角动量守恒，可以导得 χ 与这些变量的关系式如下：
r r b m r r b b r d )(212π),(2/1222p 2p m ?∞?∫???
????????=w w,εεχ (42-25) 由0d /d =t r ，还可导得最小距离m r ， 2m p 2m 2)(21w m r r b ε?=
(42-26)
图42-2分子碰撞的轨迹。右面是由A 看的投影，ψ是相对于某固定轴z 的极坐标角
42.5 Chapman-Enskog 方法 42–7
2．Boltzmann 方程
这里仅简要地说明推导步骤，详细可参阅参考材料。
（1）由相空间的连续性方程Liouville 方程出发。
（2）导得联系h +1重分布函数与h 重分布函数的积分微分方程。
以h =1为例，有 221
)
2(211)1(1)1(d d u u F r u r f f t f ∫∫????=??+?? (42-27) 式中f (1)、f (2)分别是一重和二重分布函数，F 21是1-2分子间力。由此式
原则上可由f (2)计算f (1)，而f (2)又可由f (3)得到，最后需要知道f (N )，而
这又是不知道的。因此这个积分微分方程是非封闭的。
（3）引入分子混沌近似(molecular chaos)。两个即将碰撞的分子，
当它们的距离足够大以致分子间相互作用可以忽略时，f (2)与f (1)满足下
列关系：
),,(),,(),,,(22)1(11)1(2121)2(t f t f t f u r u r u ,u r r = (42-28)
这一近似实质上是假设两个分子的运动彼此独立，互不相关。对于稀薄
流体，这确实是一个很好的近似。将式(42-28)代入式(42-27)，就得到封
闭的方程，可以解得f (1)。
（4）进一步假设在碰撞的那段时间内，f (1)随时间的变化可略，在
分子间相互作用不可忽视的那段距离内，密度与温度的变化很小可以略
去，并且假设只有两分子碰撞，没有三分子以上的碰撞。在这些假定下，
可导得Boltzmann 方程如下： 2)1(2)1(1)1(2)1(11
)1(11)1(1d d )''(π2u w r u b b f f f f f t f ?=??+??∫∫ (42-29) 下标1、2指第1个和第2个分子，12u u w ?=是相对速度，')1(f 是碰
撞后的分布函数，与碰撞后的速度'u 有关，
后者依赖于碰撞前的速度u ，并通过求解包含分子间相互作用的运动方程得到。
Boltzmann 方程虽然已经封闭，但求解仍十分不易，下节将介绍一
种近似解法。
42.5 Chapman-Enskog 方法
Chapman 和Enskog 将一重分布函数f (1) 对平衡态作微扰展开，并
仅取一阶微扰项，
42-8 42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质
]1)[1(]0)[1()1(f f f
+= (42-30) ]0)[1(f 是平衡态的一重分布函数，即Maxwell 速度分布函数，见《物理
化学》式(14-12)， ???
??????????????=kT m kT m f 2exp π2),(22
/3]0)[1(u r u ρ (42-31) 此式与《物理化学》的式(14-12)有些小差别，主要是使用矢量u 因而少
了2π4u ，又因变量中有r ，因此式右出现局部数密度ρ。一阶微扰项解得为
??
??????+????=r u W B r ,W,A 0]0)[1(]1)[1(:),(ln )(T ,ρT T f f ρ (42-32) 式中2/1)2/(kT m R u W =，0u u u ?=R 是特定速度，0u 是整体的质量
速度，见式(42-17,16)。由于0u 和r 是矢量，r u ??/0是张量。式中A
是一个与W 有关的矢量函数，B 则是一个与WW 直积有关的张量函数，
:是两个张量点积的符号，点积后得标量。A 和B 可展开为一种称为
Sonine 多项式的正交多项式级数。
由于略去了详细的推导过程，对于式(42-30,31,32)，我们可以只注
意两点：第一，它给出了一重分布函数f (1)的解析解，分子间相互作用
位能函数的影响包含于A 和B 之中，因此，根据式(42-21,22,24)，可以
得到物质通量、动量通量和热通量。第二，式(42-32)中自然出现了各种
梯度，r ??/T 是温度梯度，r u ??/0是速度梯度，如果是多组分系统，
还将出现密度梯度r ??/j ρ，它可化为浓度梯度。这样一来，如果再运
用《物理化学》6.2介绍过的费克定律、牛顿定律和傅里叶定律，就能
得到传递性质中的扩散系数D 、粘度η和热导率λ与位能函数以及温度、
密度的关系。这就实现了从微观的分子性质预测宏观的传递性质。
42.6 稀薄流体的传递性质
本节将列出最后的结果。为计算方便，通常是将传递性质表达为碰
撞积分(collision integral)),(s l Ω的函数，后者由散射角 χ 以及其他一些碰
撞参数定义，其数值与Sonine 展开的系数相关，l ,s 的取值决定于计算
何种传递性质以及在Sonine 展开中引入近似的程度。
42.7 结 语 42–9
各传递性质与碰撞积分的关系分别为：
?=)2,2(23/22/11π)(165Ωηd mkT (42-33)
???????=)2,2(m ,2/123/2π13225ΩλV C m kT Ld (42-34) ???????=)1,1(2/123/21π183Ωρm kT d D (42-35)
上面三式在导出时，Sonine 展开中仅取第一项，如取高阶项还可略有改
善。式中d 为位能函数中的尺寸参数，近似即为硬球直径，
),(hs ),(),(/s l s l s l ΩΩΩ=?，hs 指硬球。将这三个式子与《物理化学》中相
应的式(14-42,48,52)相比较，后者是对硬球气体利用Maxwell 速度分布
导出的，比较可见，引入分子间相互作用后，式中多了碰撞积分，它反
映了位能函数对分布函数的影响，另一方面，还引入了系数5/16、25/32
和3/8。
表42-1是Lennard-Jones 位能函数的各种碰撞积分在不同温度下的
数值。图42-3是利用LJ 位能函数和Kihara 位能函数对N 2和C 6H 6的粘
度的预测，可见对N 2取得很好的效果，对C 6H 6则以Kihara 函数较佳。
42.7 结 语
非平衡态统计力学对稀薄流体传递性质的应用，取得了满意效果。
上面的介绍虽然略去了详细的推导，但可清楚地看到解决问题的思路。
表42-1 Lennard-Jones 6-12位能函数的碰撞积分 ?T ?)1,1(Ω ?)2,2(Ω?)2,1(Ω ?)3,1(Ω ?)3,2(Ω?)3,3(Ω
0.10 4.0127 4.1039 3.6538 3.2422 3.7626 3.7519
0.20 3.1328 3.2686 2.7334 2.4413 3.0018 2.8788
0.50 2.0662 2.2867 1.7074 1.4701 2.0072 1.8511
1.00 1.4394 1.5933 1.2042 1.0762 1.3890 1.3084
2.00 1.0760 1.1753 0.9515 0.8882 1.0718 1.0165
5.00 0.8427 0.9266 0.7849 0.7507 0.8822 0.8337
10.00 0.7422 0.8242 0.7007 0.6732 0.7925 0.7471
20.00 0.6640 0.7433 0.6293 0.6051 0.7161 0.6740
50.00 0.5759 0.6496 0.5461 0.5247 0.6255 0.5878
100.00 0.5167 0.5851 0.4896 0.4702 0.5627 0.5282
200.00 0.4630 0.5256 0.4383 0.4207 0.5050 0.4740
ε/kT T =?，ε是位能函数中的能量参数
42-10 42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质
一方面将通量与分布函数联系起来；另一方面则是建立积分微分方程由分子间相互作用位能求得分布函数，在求取结果的过程中将自然出现各种梯度。将这两方面结合起来，就得到位能函数与传递性质的关系，实现由微观的分子性质预测宏观的传递性质。显然，难度在于这个另一方面。由于积分微分方程是非
封闭的，这就需要引入额外
的h 重分布函数与h +1重分
布函数的关系，这时需要引
进近似，上述著名的封闭的
Boltzmann 方程就是引进分
子混沌近似的结果。当方程
封闭后，求解仍很困难，
Chapman 和Enskog 引入了微
扰的方法，并近似地只取一
阶项，解决了这个困难，得
到了解析结果。
上面的推导严格说来只
适用于单原子气体，碰撞时只有平动能的交换即弹性碰撞，位能函数与分子取向无
关。对于多原子气体，需要考虑振动能和转动能以及分子的取向。对于极性气体，还要考虑偶极相互作用。虽然增加了复杂性，但理论仍取得了成功。对于稠密流体，分子混沌近似不再适用，要考虑两个分子间的相关，Enskog 引入了分子速度的混沌近似，即两个分子的速度不相关，位置却是相关的，由此发展了一个稠密流体的传递性质理论。以后还有其他学者的各种改进，但效果仍不很理想，稠密流体的理论主要是时间相关函数理论，将在第43、44两章中介绍。
参考材料
1. 胡英, 刘国杰, 徐英年, 谭子明. 应用统计力学——流体物性的研究基础. 第十二章. 北京: 化学工业出版社, 1990
2. Reed T M, Gubbins K E. Applied Statistical Mechanics. Chap12. New York: McGraw-Hill, 1973
3.
McQuarrie D A. Statistical Mechanics. Chap18, 19. New York: Harper&Row, 1973 图42-3 对N 2和C 6H 6粘度的预测
第2章 系统学基础 一、 基本概念 1. 系统与环境 系统是具有某种功能或属性的若干元素和元素间关系的集合。 系统之外的所有其他事物就称为该系统的环境。 2. 孤立系统、封闭系统和开放系统 按系统与环境的关系可将系统划分为孤立系统、封闭系统和开放系统。 所谓孤立系统，是指系统与外界环境既不可能进行物质交换，也不可能进行能量交换。 所谓封闭系统，是指系统与外界环境可以进行能量交换，但不能进行物质交换。 所谓开放系统，是指系统与外界环境既可进行物质交换，也可以进行能量交换。 3. 动力学状态、热力学状态与涨落 动力学状态是描述系统所需的最小一组变量，只要知道t =t 0时刻的这组变量和t ≥t 0时的输入，那么就完全能确定系统在任何时间t ≥t 0的行为，这组变量就称为状态变量。 热力学状态就是无穷多个力学状态总体的平均统计量。 系统在任一时刻的实际物理量并不能精确地处在统计平均值上，而是或多或少有些偏离，这些偏离就称为“涨落”。 涨落是杂乱无章的、随机的。 涨落导致有序。 4. 平衡态与非平衡态 若系统的热力学状态变量不随时间而变化，这时系统达到定态。若在定态系统内部，不存在物理量的宏观流动（如热流、粒子流等），则称该热力系统处于平衡态。凡是不具备上述任何一个条件的系统，则称其处于非平衡态。 5. 序与熵 所谓“序”，是指系统元素间关系所具有的次序。当系统是对称（宏观上有一定的结构构造）的，即系统各向同性时，系统是无序的；反之，系统一旦出现对称破缺，则就是有序的。 熵的概念是1865年物理学家克劳修斯（R. J. E. Clausius ）在研究热力学时提出的。从宏观上说，熵S 的数学意义是热量Q 被温度T 除得的商。其一般数学表达式为 T Q dS ?= 这样定义的熵又称为热力学熵。 1872年玻尔兹曼从统计力学的分子运动论角度，对熵作出了微观解释。他把热力学定义的熵看成是能量在空间分布均匀性的度量。他提出，熵反映了分子运动的混乱程度，即无序度的度量。其次，他还揭示了在不可逆过程中熵增加的本质是，系统总是自发地朝着无序的方向发展。基于上述观点，他把熵（玻尔兹曼熵）S 定义成 W k S ln = 其中，k 为玻尔兹曼常数；W 为配容数，它实质上是各种分配可能性的一种度量。 1948年香农（C. E. Shannon ）把玻尔兹曼熵的概念引入到信息论中，把熵作为随机事件的不确定性或
42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质 华东理工大学化学系 胡 英 42.1 引 言 当浓度、温度、或流体的运动速度在空间分布不均匀时，系统处于 非平衡态，将产生物质、热量或动量的传递。其他如电磁辐射的吸收、 光的弹性散射、准弹性散射和非弹性散射、中子散射、介电弛豫和分子 光谱等，都涉及非平衡态。实际过程的产生均起源于非平衡态。随时间 流逝由非平衡态趋向平衡态是所有实际过程的共同特征。在分子水平上 研究非平衡态的特点，将微观的分子性质与宏观的非平衡态的性质联系 起来，是非平衡态统计力学的任务。 非平衡态统计力学与平衡态统计力学的区别在于，前者引入了时 间。迄今已发展了两种基本的方法，一是含时分布函数的方法，二是时 间相关函数的方法。在本章中将主要介绍前者，并应用于稀薄流体的传 递现象。下一章将讨论布朗运动，一方面由于它本身的重要性，也为进 一步研究稠密流体打下基础。接着在44章中介绍时间相关函数，并联 系稠密流体的传递过程。最后在51章介绍动态光散射的理论，它是时 间相关函数的又一重要应用。 非平衡态统计力学在数学处理上比平衡态的要复杂得多。作为入 门，我们将推导大都略去，而将重点放在物理概念的阐述上。本章将从 定义含时分布函数开始，然后将通量与分布函数联系起来。接着是最核 心的内容，即建立Boltzmann 方程，并介绍Chapman-Enskog 理论，由 于引入分子混沌近似，因而可以根据分子的位能函数求得分布函数，进 而得到传递性质。最后简要介绍一些进一步的处理方法。 42.2含时分布函数 在《物理化学》13.7.2中曾为平衡态定义了N 重标明分布函数 ),...,,(21)(N N P r r r ，它是确定了所有N 个标明了序号的分子的位置 N r r ,...,1时的概率密度。如果只确定了N 个分子中的h 个(例如h =2)的位 置，其它N ?h 个分子的位置随意，其概率密度称为h 重标明分布函数
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 量子力学与经典力学的联系的实例分析 摘要：量子力学与经典力学研究的对象不同,范围不同,二者之间是不是不可逾越的？当然不是,在一定条件下,二者可以过渡.本文首先对量子力学和经典力学的关系进行了分析,其次通过具体的实例来说明量子力学过渡到经典力学的条件,最后分析出从运动学角度,经典力学向量子力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡.
关键词：量子力学；经典力学；过渡 从高中到大学低年级,我们所涉及的物理学内容均为经典物理学范畴,经典物理学理论在宏观低速范围内已是相当完善,正如十九世纪末一些物理学家所描述的那样,做机械运动的物体,当运动速度小于真空中的光速时准确地遵从牛顿力学规律；分子热运动的规律有完备的热力学和统计力学理论；电磁运动有麦克斯韦方程加以描述；光的现象有光的波动理论,整个物理世界的重要规律都已发现,以后的工作只要重复前人的实验,提高实验精度,在测量数据后面多添加几个有效数字而已.正因如此为何在学完经典物理学以后还要继续学习近代物理学,如何引入近代物理学就显得格外重要. 毫无疑问近代物理学的产生是物理学上号称在物理学晴朗的天空上“两朵小小的乌云”造成的[1],正是这引发了物理学的一场大革命.这“两朵小小的乌云”即黑体辐射实验和迈克尔逊-莫雷实验.1900年为了解释黑体辐射实验,普朗克能量子的假设,导致了量子理论思想的萌芽,接着光电效应、康普顿效应以及原子结构等一系列问题上,经典物理都碰到了无法克服的困难,通过引入量子化思想,这些问题都迎刃而解,这就导致了描述微观世界的理论-量子力学的建立. 在经典物理十分成熟、完备的情况下引入静近代物理学,毫无疑问必须强调以下问题：（1）经典物理学的适用范围是宏观低速运动；（2）19世纪末20世纪初,物理学已经研究到微观现象和高速运动的新阶段；（3）新的研究范畴必须引入新的理论,这样,近代物理学的出现也就顺理成章了. 尽管强调经典物理学的适用范围是宏观低速运动,但碰到微观高速问题,人们依旧习惯于首先用已知非常熟悉的经典物理来解决物理学家如此,我们也不例外.无疑用经典物理学去解决高速微观问题最终必将以失败而告终.然而在近代物理学课程的研究中有意识地首先让经典物理学去碰壁,去得出结论,但结论是矛盾的和错误的,然后,引出近代物理学的有关理论,问题最后迎刃而解[2]. 经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系,其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.近代物理学则是在微观和高速领域物理实验的基础上建立起来的概念和理论体系,其基础是相对论和量子力学,必须指出,在相对论和量子力学建立以后的当代物理学研究中.虽然大量的是近代物理学问题,但也有不少属于经典物理学问题.因此不能说有了近代物理学就可抛弃经典物理学. 量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果.因此,量子力学的建立必然是以经典力学为基础,它们之间存在必然的联系,量子力学修改了物理学中关于物理世界的描述以及物理规律陈述的基本概念.量子力学关于微观世界的各种规律的研究给
第九章非平衡系统的自组织理论：耗散结构 一、耗散结构理论的产生及发展 （一）耗散结构的概念 在开放和远离平衡的条件下，在与外界环境交换物质和能量的过程中，通过能量的耗散和内部的非线性动力学机制及涨落的触发和推动下形成并保持下来的宏观时空有序结构称为耗散结构。 耗散结构理论指出，一个远离平衡的开放系统（力学的、物理的、化学的、生物的、社会的、经济的系统），通过不断地与外界交换物质和能量，在外界条件的变化达到一定的阈值时，可能从原有的混沌无序的混乱状态，转变为一种在时间上、空间上或功能上的有序状态。 耗散结构理论就是研究耗散结构的性质以及它的形成、稳定和演变规律的科学。它的研究领域是物质系统的复杂性，即物质系统各层次或层次之间的非线性复杂关系。其研究对象是开放的非平衡自组织系统。着重考查在一定外界条件影响下的非平衡开放系统是如何通过自身的非线性相干反馈和协同作用，自发地形成宏观有序的自组织结构的。 它的建立和发展，使人们对自然界的发展有了一个比较完整的认识：在平衡态附近系统的发展行为倾向主要是趋向平衡态，并伴随着无序的增加和结构的破坏。在远离平衡态的条件下，系统的发展过程则可能出现突变，导致新结构的形成和有序度的增加。 （二）耗散结构理论的产生 耗散结构（ＤｉｓｓｉｐａｔｉｖｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅ）是比利时物理学家普瑞高津（Ｉ．Ｐｒｉｇｏｇｉｎｅ）于1969年在一次“理论物理与生物学”的国际会议上首先提出的一个概念。1971年普瑞高津与格兰道夫（Ｐ．Ｇｌａｎｓｄｏｒｆｆ）合著的《结构、稳定与涨落的热力学理论》较为详细地阐述了耗散结构的概念及其热力学理论，并将之应用到流体力学、化学和生物学等方面，引起了人们的广泛重视。1977年普瑞高津和尼科里斯（Ｇ．Ｎｉｃｏｌｉｓ）在《非平衡系统的自组织》一书中对其研究成果进行了系统的总结，推动了耗散结构理论与非线性热力学的进一步发展。耗散结构的理论形式是以普瑞高津为首的布鲁塞尔学派二十多年来从事非平衡热力学统计物理研究结出的成果。这一理
热力学与统计物理学基础 Classical Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：课程属性：学科基础课课时/学分：50/2.5 预修课程：高等数学 教学目的和要求： 本课程为力学学科博士研究生的学科基础课，也可为物理学以及其它应用科学研究生的选修课。 通过本课程的学习，学生不仅能掌握热力学和统计物理学的一般知识并熟练运用，而且还能系统地学习到从宏观上和微观上描述热力学系统热现象和热性质的方法。这些有助于学习和掌握其它课程，并大大开拓学生的研究思路。 内容提要： 引言 第一章热力学的基本规律 热力学系统的平衡状态及其描述，热平衡定律和温度，物态方程，热力学第一定律，热容量、焓、内能，卡诺循环，热力学第二定律，热力学第三定律。 第二章热力学基本微分方程 熵，自由能、吉布斯函数，基本热力学函数的确定，特性函数 第三章单元系的相变 热动平衡判据，开系的热力学基本方程，复相平衡条件，单元复相系的平衡性质，临界点和气液两相的转变。 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 多元系的热力学函数和热力学方程，多元系的复相平衡条件，吉布斯相律，化学平衡条件，混合理想气体的性质，理想气体的化学平衡。 第五章统计物理学基本理论 统计规律性，概率分布，统计平均值，等概率原理，近独立粒子系统的经典统计理论。 第六章平衡态统计物理学 系统微观状态的描述，统计系综，刘维尔定律，微正则系综，正则系综，巨正则系综，正则分布对近独立粒子系统的应用，能量均分定律和理想气体比热容，实际气体的物态方程。 第七章涨落理论 涨落的准热力学方法，涨落的空间关联与时间关联，布朗运动，仪器的灵敏度，电路中的热噪声。 第八章非平衡态热力学与统计物理简介 不可逆过程与偏离平衡态的物质，昂萨格关系，波尔兹曼积分微分方程，H定理与细致平衡原理，气体的黏滞性，输运过程的动理论。 主要参考书： 1. Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics(热力学与统计物
热力学与统计物理学(Thermodynamics and Statistical Physics)
课程内容第0章导论 热力学 第一章热力学的基本规律 第二章均匀物质的热力学性质 *第三章单元系的相变 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 *第五章不可逆过程热力学简介 统计物理学 第六章统计规律性与概率统计分布 第七章近独立粒子系统的最概然分布 第八章玻耳兹曼统计理论 第九章费米统计和玻色统计理论 *第十章系综理论 *第十一章涨落理论 *第十二章非平衡态统计理论初步
教材与参考书 教材： 1. 汪志诚，《热力学·统计物理》(第三版)，高等教育出版社，2003年（兰州大学） 参考书： 1. 汪志诚，《热力学·统计物理（第3版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004年 2. 马本堃，《热力学与统计物理学》(第二版)，高等教育出版社，1995年（北京师范大学） 3. 钟云霄，《热力学与统计物理学》，科学出版社，1988年（北京大学） 4. 苏汝铿，《统计物理学》(第二版)，高等教育出版社，2004年（复旦大学） 5. 龚昌德，热力学与统计物理学，（南京大学） 6. 王诚泰，统计物理学，（清华大学） 7. [美]L.E.雷克，《统计物理现代教程(上)》，北京大学出版社，1983年 8. L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics (2nd Edition), 1998，University of Texas 9. R. K. Pathria, Statistical Mechanics (2nd Edition), 2003, University of Waterloo, Canada 10. 中国科技大学物理班，《美国物理试题与解答第五卷热力学与统计物理学》，中国科技大学出版社，1986年 11. 李湘如、彭匡鼎，《热力学与统计物理学例题和习题(热力学分册)》，高等教育出版社，1988年 12. 彭匡鼎、李湘如，《热力学与统计物理学例题和习题(统计物理学分册)》，高等教育出版社，1988年
量子力学和经典力学的区别与联系 量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 三、目录 摘要............................................................ ............ ... ... ...... (1) 关键字.................................................................. ...... ... ... ...... (1) 正文..................................................................... ...... ... ... ...... (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论...... ............ ... ............ ...... ... (3) 经典力学基本内容及理论........................... ...... ......... ...... (3) 量子力学的基本内容及相关理论.................................... ...... (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系.................. ...... ... ...... (4)
第五章 非平衡态的统计理论 前面我们学习的是平衡态理论，它是物质的一种特殊状态。 实际问题中，我们常常遇到的是处于非平衡态的物质系统，其中可能发生各种不可逆过程。 处于非平衡态的系统非常复杂，但最基本的思路仍是要描述或求非平衡态的宏观热力学物理量，并且仍是微观量对所有微观态的统计平均值或微观量对系综的平均值! 因此，首先要把分布函数),,(f p q ρ或s ρ表示出来，在非平 衡态统计理论中，用),,(t v r f 表示ρ，它随时间t 在变化，满足 某个方程。为了简单，只介绍稀薄气体（理想气体）在非平衡 态时分布函数),,(t v r f 满足的方程。 x ，y ，z ，v x ，v y ，v z 可构成一个6维空间 体积元 z y x dv dv dxdydzdv v d r d =
可证明，在dt 时间内，v d r d 内分子数的增加为： v d r dfd t f ?? 分布函数随时间变化有两个原因：①速度使分子的位置随时间而改变，当存在外场（电磁场，重力场）时，加速度使分子的速度随时间而改变，这两者引起ωτd d 内分子数的变化是连续的，称为漂移变化；②分子间的碰撞引起ωτd d 内的分子数发生变化，称为碰撞变化。 经证明，分布函数的漂移变化： )()(z y x z y x d v f z v f y v f x z f v y f v x f v t f ??+??+??+??+??+??-=?? ?=x v x ，?=y v y ，? =z v z 分布函数的碰撞变化 τ)()(f f t f c --=?? )( f 表示分布函数处于局部平衡时分布函数。
量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系
目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6)
二○一七年度全国统计专业技术中级资格考试 统计基础理论及相关知识试卷 1．在你拿到试卷的同时将得到一份专用答题卡，所有试题均须在专用答题卡上作答，在试卷或草稿纸上作答不得分。 2．答题时请认真阅读试题，对准题号作答。 一、单项选择题（以下每小题各有四项备选答案，其中只有一项是正确的。本题共 40分，每小题1分。） 1．有关于学生的身高，性别，年龄，成绩的数据，其中属于定性数据的是（）。 A.身高 B.性别 C.年龄 D.成绩 2．如果想得到研究对象的因果关系，应该采取的统计研究方法是（）。 A.概率抽样法 B.非概率抽样法 C.询问法 D.随机实验法 3．下面有关调查方法正确的是（）。 A.普查是专门组织的一次性全面调查 B.抽样调查的样本对总体有代表性 统计基础理论及相关知识试卷第1 页（共18页）
统计基础理论及相关知识试卷 第 2 页 （共18页） C .统计报表是全面调查 D .非概率抽样调查中没有抽样误差 4．利用线段的升降来描述现象变动与时间上变化相依关系的图形是（ ）。 A .直方图 B .条形图 C .环形图 D .折线图 5．众数是数据中出现次数或出现频率最多的值，在定性数列中（ ）。 A .肯定没有众数 B .一般不使用众数反映集中趋势 C .只能有一个众数 D .不一定有众数 6．某单位2010年职工收入分布是：>>e 0 x M M （平均数）（中位数）（众数），到2016年其职工的收入分布变化为：>>0e M M x （众数）（中位数）（平均数），说明该单位（ ）。 A .2010年时大多数人收入很高 B .2010年时有些人收入很低 C .2016年时有些人收入很高 D .2016年大多数人收入比较高 7．有甲乙两个班同学统计学的考试成绩，甲班40人平均成绩80分，每个人与平均成绩总差异（2 ()x x -∑）为3700分；乙班35人平均成绩81分，每个人与平均 成绩总差异为3500分。则这两个班统计学成绩的差异（ ）。 A .甲班比乙班小 B .甲班比乙班大 C .甲班等于乙班 D .不能确定 8．假定一个拥有五千万人口的地区和一个拥有五百万人口的地区，居民年龄差异程 度相同，用重复抽样方法各自抽取每个地区的1‰人口计算平均年龄，则样本平 均年龄的标准误差（ ）。 A .两者相等 B .前者比后者小 C .前者比后者大 D .不能确定 9．在其他条件不变的情况下，提高抽样估计的置信度，其精确度将（ ）。
附录非平衡态热力学的基础知识 一、平衡态、非平衡态与恒定状态 在非平衡态热力学的应用中，恒定状态或称稳态(状态变量不随时间而变化的状态)占有重要的地位。 第三章中3．1至3．4节的讨论都是建立在平衡态热力学的基础上的。在第三章中我们又指出，平衡塞下晶体是不会生长的。发生晶体生长过程时，系统必定是处于非平衡态。由于系统处于平衡态时状态变量保持均匀而且不随时间而变化，在第三章3．3节中我们曾经说平衡态这样一种状态是属于一种恒定的状态，或者说是属于一种稳态。 为了使得生长成的晶体的性能能够保持均匀一致，实际的晶体生长过程希望是一种连续生长的过程，这就要求生长条件保持基本上不随时间而变化。然而由于晶体生长的基本要求，生长系统中某些状态变量如温度、浓度等必须保持一定的空间分布。很显然，这种系统并不是处于平衡态。由于这种系统的基本特征之一是状态变量不随时间而变化，我们将这种一方面在本质上是属于非衡态的，但是另一方面状态变量又不随时间而变化的状态也称为恒定状态或稳态。所以恒定状态(稳态)可以是平衡态也可以是非平衡态。 经验告诉我们，如果给体系一个与时间无关的边界条件，在经过充分长的时间以后，体系一般会达到一个不随时间而变化的状态，即恒定状态或称稳态。如果给予体系的是一个与空间和时间都无关的边界条件，在经过充分长的时间以后，体系一般会达到一个均匀而不随时间而变化的状态，即平衡态。因此，平衡态是恒定状态(稳态)的一个特例。 二、局部平衡假设 1．局部平衡的概念 为了对于非平衡系统进行研究，以及能够将经典热力学的一些结论推广到非平衡系统中，首先要解决选择用什么热力学变量、函数来描述非平衡系统的状态的问题。 在经典热力学中所遇到的状态变量可以分为两类。其中一类状态变量可以同时描述平衡态和非平衡态，如体积、质量和总能量等；另一类状态变量例如压强、温度、熵在经典热力学中是在平衡态下定义的，对于非平衡态，体系可能在某些方面是不均匀的。为了能够在非平衡热力学中应用平衡热力学理论的成果，不希望定义新的状态变量。但是在非平衡态下要应用这些变量来描述体系的状态的状态必须重新对其进行定义。 为了继续保持这些状态变量的热力学意义，又要能够描述非平衡态体系，在非平衡态热力学中通常引入所谓的局部平衡的假设。 关于局部平衡假设有各种表述方式，其基本思想是： (I)所讨论的非平衡态体系可以被划分为许多体积元，每个体积元在宏观上足够小，以至它
I. 平衡态统计物理 第一章 相变与临界现象 第一节 平衡判据和平衡条件 对孤立系，判据为 00 2<=S S δδ 因为熵增加原理，平衡态的熵应当极大。 假设体系和大热源接触，体系的T 、V 不变 total R R S S S S =+为热源的熵 U 为体系的内能，Q δ 为体系吸收的热量 由于V 不变，0,0==R dW dW T U T Q S R δδδ- =- = ∴ ()()F T U S T T T U S S S R δδδδδ1 1-=-= - =+ ＝0 同理 ()0122<-=+F T S S R δδ ∴ 判据为 002>=F F δδ 由平衡判据可以导出平衡条件 习题： 导出T 、P 不变的平衡判据 （1）热平衡条件 将孤立系分为两部分 内能为 1U ，2U 温度为 1T ，2T 各部分体积不变 —— 即没有互相做功
∵ const U U U =+=21 ∴ 021=+=U U U δδδ ∵ 0021==W W δδ ∴ 2 2 21 1 1T U S T U S δδδδ= = )11( 2112 2 1 1 21=-=+ = +=?T T U T U T U S S S δδδδδδ ∴ 21T T = 为热平衡条件 —— 第0定律 如 21T T ≠ ， 将发生热传导 设 0112 12 1<->T T T T 即 ∵ ()熵增加原理0)1 1(2 11>-=T T U S δδ ∴ 01量子力学和经典力学的区别与联系
量子力学与经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学就是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革,一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识,另一方面使人们认识到物理理论不就是绝对的,而就是相对的,有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律,而量子力学则描述微观物质形态的运动规律,她们之间有质的区别,又有密切联系。本文试图通过解释、比较,找出它们之间的不同,进一步深入了解量子力学,更好的理解与掌握量子力学的概念与原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现,量子世界真正的基本特性:如果系统真的从状态A跳跃到B的话,那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候,我们所获得的结果就是有限的,而当我们没有观察的时候系统正在做什么,我们都不知道。量子理论可以说就是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就就是:在经典物理中,运动状态描述的特点为状态量都就是一些实验可以测量得的,即在理论上这些量就是描述运动状态的工具,实际上它们又就是实验直接可测量的量,并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中,微观粒子的运动状态由波函数描述,一切都就是不确定的。但就是当微观粒子积累到一定量就是,它们又显现出经典力学的规律。 关键字:量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 1、1 经典力学基本内容及理论 (3) 1、2 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 2、1 微观粒子与宏观粒子的运动状态的描述 (4) 2、2 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论:量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6) 量子力学与经典力学在的区别与联系 一、量子力学及经典力学基本内容及理论 1、1经典力学基本内容及理论 经典力学就是在宏观与低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念与理论体
《量子力学与统计力学》各章习题 习题一 1.1、一颗质量为20克的子弹以仰角30o初速率500米/秒从60米的高度处射出。求在重力 作用下该子弹着地前的轨道以及射出50秒后对射出点的位矢、速度、动量、角动量、动 能和机械能。（不考虑空气阻力，重力加速度取10米/秒2 ，地面为零重力势能面）。 1.2、在极坐标平面中任取两点P 1和P 2，但它们和极点三者不共线。试分别画出在P 1和P 2处 的极坐标单位矢。 1.3、在球坐标系中任取一点P ，试画出P 点的球坐标单位矢。 1.4、对于做斜上抛运动的子弹，以抛出点为坐标系原点建立直角坐标系。试分别选取两组不 同的广义坐标，并用之表示子弹在任一时刻的直角坐标。 1.5、氢原子由一个质子和一个电子组成。试说明一个孤立氢原子体系是基本形式的Lagrange 方程适用的体系。 1.6、证明: Lagrange 方程的基本形式（1.59）式可写为如下的Nielsen 形式： αα αQ q T q T =??-??2 ,s ,,2,1 =α 1.7、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α。试证明存在一个任意可微函 数),,,,(21t q q q F s ，由它与该体系的Lagrange 函数构成的如下函数 dt t q q q dF s ) ,,,,(L L 21 + =' 满足Langrange 方程（1.67）式。 1.8、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α，满足Langrange 方程（1.67） 式的Lagrange 函数为),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 。设存在另一组广义坐标αξ，),,2,1(s =α，且有变换方程 ),,,,(21t q q s ξξξαα =，s ,,2,1 =α 此变换叫做点变换。证明： 若通过上述点变换将),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 变 换为),,,,,,,,(L L 2121t s s ξξξ ξξξ =，则有 s dt d , ,2 ,1 ,0L )L ( ==??-??αξξα α 这就是说，Lagrange 方程的形式与所选用的广义坐标无关。 1.9、一个质量为m 的物体在地球(质量为M )引力场中做周期运动。以地心为极点在轨道平面 上建立极坐标系),(?r ，并选极坐标为广义坐标。 1）、写出该物体的Lagrange 函数，广义动量，所受的广义力，并由Lagrange 方程导出 该物体的径向和横向运动方程； 2）、写出该物体的Hamilton 函数， 并由Hamilton 正则方程导出该物体的径向和横向运动方程。
量子统计力学 一、课程编码： 课内学时：48 学分：3 二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理、光学 三、先修课程：量子力学、热力学与统计力学 四、教学目标 通过本课程的学习，掌握量子统计力学的基本概念，包括系综、配分函数、近独立粒子体系统计分布规律以及相变的分类及其基本规律；提升运用量子统计力学基本方法来分析解决和体系的热力学性质有关的问题的能力。 五、教学方式 课堂教学 六、主要内容及学时分配 1 量子统计物理学基础8学时 1.1 引言 1.2 存粹系综与混合系综 1.3 统计算符 1.4 刘维尔定理 1.5 统计物理的基本假设微正则系综 1.6 正则系综巨正则系综 1.7 计算密度矩阵举例 1.8 从统计物理出发推导三种独立粒子系统的统计分布 1.9 熵增加定律微观可逆性与宏观不可逆性 2 系综的配分函数3学时 2.1 配分函数与统计热力学 2.2 配分函数的经典极限 2.3 由巨正则系综出发推导理想气体的统计分布及物态方程 3 玻色系统8学时 3.1 理想玻色气体性质与BEC 3.2 非理想玻色气体中的BEC 3.3 多普勒致冷和磁--光陷阱 3.4 简谐势阱中理想玻色气体的BEC 4 超流性5学时 4.1 液氦He4中的超流相变 4.2液氦He4 II相的特征 4.3 超流体的涡旋运动 4.4 朗道超流理论 4.5 简并性近理想玻色气体 5 费米系统12学时 5.1 理想费米气体 5.2 朗道抗磁性 5.3 量子霍尔效应 5.4 泡利顺磁性 5.5 正常费米液体I：元激发 5.6 正常费米液体II：准粒子相互作用
6 相变与临界现象基本概念12学时 6.1 相变及其分类 6.2 序参量 6.3 热力学函数的临界指数 6.4 关联函数标度率 6.5 响应函数及其与关联函数的联系 6.6 涨落—耗散 6.7 平均场 6.8 平均场的失效 6.9 标度假设 6.10 普适性 6.11 自发对称破缺 6.12 Goldstone定理 6.13 空间维数与涨落 七、考核与成绩评定 平时成绩（作业）：30分 期终考试卷面分：70分 八、参考书及学生必读参考资料 1 必读书（教材）。作者：杨展如。书名：《量子统计物理学》。 出版地：北京。出版社：高等教育出版社。出版年：2010年 2 参考书。作者：张先蔚。书名：《量子统计力学》[第二版]。 出版地：北京。出版社：科学出版社。出版年：2008年。 九、大纲撰写人：杨帆
附件2 论文中英文摘要 作者姓名：葛颢 论文题目：随机过程在非平衡态统计物理和系统生物学建模中的应用 作者简介：葛颢，男，1981年10月出生，2000年9月至2004年7月在北京大学数学科学学院读本科，2004年9月继续在北京大学数学科学学院读研究生，一年后转博，师从钱敏教授攻读博士学位，于2008年7月获博士学位。 中文摘要 数学，自从诞生的那一刻开始，就和其它学科紧密结合，共同发展，硕果累累。特别是近些年来，随机过程，作为一种在二十世纪发展起来的数学理论，越来越深入的渗透到了诸如物理、化学、生物甚至经济学的领域，具有越来越重要的应用前景。当然，通过这种应用，随机过程理论本身也可以找到新的增长点，出现新的有意义的问题和崭新的思维。 本文一方面是把随机过程模型应用到近代非平衡态统计物理中，从定义到性质给出了一套相对完整的数学理论；另一方面是把随机过程模型应用到系统生物学中，详细总结了生物化学系统的随机建模方法，并深入探讨了酵母细胞环布尔网络模型、单分子酶动力学模型以及磷酸化去磷酸化生物开关模型的性质。 随机过程理论与统计物理理论的结合可以追述到1905年爱因斯坦基于平衡态热力学理论推导出布朗运动数学模型的时候，但是，有关随机过程的非平衡态热力学统计物理性质的研究却是近三十年左右才真正开始的事情。非平衡态统计物理中的熵产生概念是用来描述该非平衡定态距离平衡态远近的物理量，这和非平衡态统计物理中另一个宏观可逆性的概念相联系。一个宏观不可逆的定态系统必须具有正的熵产生，且非平衡。Nicolis和Prigogine把非平衡系统看作是一个具有正熵产生率的平稳开系统，它和周围的环境交换着物质和能量。Prigogine因为此项著名的工作获得了1977年诺贝尔化学奖。我们可以利用时齐马氏链和扩散过程为基础对非平衡定态和环流建立一个严格的数学模型。非平衡定态的数学理论已经被钱敏等研究了将近三十年。 与此同时，物理中的布朗马达现象(也被称作棘轮系统)也得到了物理学家和生物化学家的广泛关注。该现象描述的是在一个具有适当非对称性的系统中，噪声可以引起定向的净粒子流。物理学家习惯于应用非时齐的随机过程来描述这一现象，同样的这一类模型也出现在随机共振的模型中，即描述在一个非线性系统中很弱的周期信号可以被噪声放大的现象。在布朗马达和随机共振的现象中，噪声起到了建设性的作用，但是其模型的非时齐性会在其解的严格数学分析中引起很多困难。 以非时齐随机过程为模型来刻画定态附近的涨落以及两个定态之间的转移过程是近些年才开始的事情，对于它的研究还处于初级阶段，有着大量的工作需要做，特别是平衡态热力学及统计物理中有关热力学第一、二定律的表述应该如何推广过来仍然处于一个很朦胧的阶段。在这方面我们做了一系列的研究。 我们把前人关于时齐随机过程的非平衡态统计物理工作中的概念和结论推广到非时齐马氏链的情形，并引入了瞬时可逆性和瞬时熵产生率的概念，而且讨论了这二者之间的关系。同时，生灭链或扩散过程的旋转数对应于布朗马达模型中的平均粒子流，我们发现当该生灭马氏链瞬时可逆或周期可逆时，它的旋转数都等于零。因此，在我们的马氏链模型下，布朗
热力学与统计物理学基础 中国科学院力学研究所，2005。大纲： 一．引言 二．热力学概论 1．热力学系统的平衡态 2．热力学基本定律与基本热力学函数 （1）热平衡定律 （2）热力学第一定律 （3）热力学第二定律 （4）热力学第三定律 1．平衡态热力学基本微分方程 （1）基本方程与麦克斯韦关系 （2）特性函数 2．热动平衡判据 3．单元系复相平衡 （1）开系基本方程 （2）复相平衡条件 （3）平衡稳定性条件 4．平衡相变 （1）一级相变 （2）连续相变与临界现象 5．非平衡态热力学 （1）近平衡态不可逆过程热力学 （2）非平衡相变 三．关于基本概率理论的简单介绍 四．经典统计物理学概论 1．统计物理学基本原理 （1）宏观系统的基本描述 （2）统计系综、刘维方程与BBGKY系列 （3）平衡态系综 （4）统计热力学 （5）围绕平均值的涨落 2．近独立粒子组成系统的平衡态经典统计理论 （1）分布函数、配分函数、子相空间 （2）热力学量、能量均分定理 （3）玻耳兹曼关系 3．有相互作用系统的平衡性质 （1）非理想气体
（2） 相关函数 4． 非平衡态统计理论 （1） 气体分子的碰撞过程 （2） 玻耳兹曼积分微分方程 （3） H 定理 （4） 气体的粘滞系数 （5） 矩方程 5． 随机过程统计理论 （1） 布郎运动与朗之万方程 （2） 主方程 （3） 生灭过程 （4） 福克--普郎克方程 五． 量子力学及量子统计物理学初步 1． 量子力学初步 （1） 波粒二象性 （2） 波函数与薛定谔方程 （3） 多粒子系统的量子描述 2． 量子统计物理学初步 （1） 等概率原理 （2） 量子麦克斯韦-玻耳兹曼分布 （3） 玻色-爱因斯坦分布 （4） 费米-狄拉克分布 （5） 经典近似 六、考试 参考书： 王竹溪，热力学，高等教育出版社 王竹溪，统计物理学导论，高等教育出版社 汪志诚，热力学*统计物理，人民教育出版社 L ．E ．Reichl ，A Modern Course in Statistical Physics ， University of T exas Press ，Austin 。 （中译本：统计物理现代教程（上、下册），北京大学出版社） 曾谨言，量子力学导论，北京大学出版社 最低限度习题： 一． 热力学习题 1． 证明 p ακβ=
II ．非平衡态统计物理 第一章 气体运动方程 第一节 玻尔兹曼方程 全同粒子，近独立体系，粒子数不变μ空间。 单粒子微观状态用（p r ,）描述，（p r ,）张开的空间称。 平衡态 系统的微观状态可用分布函数描述 ()()εε,,f p r f = 为单粒子能量 ——处于（v r ,）处的粒子数的密度分布。 思考题：与正则系综理论的关系，例如，如何写出配分函数。 非平衡态 粒子数密度与时间t 有关 ()t p r f ,, 关键：如何求f ？ 显然，如果t 是微观时间，求解()t p r f ,, 的难度和解微观运 动方程差不多。所以，t 一般是某种介观时间或宏观时间。 ? 先试图写下f 的运动方程 ? 再讨论如何求解 如果粒子不受外力，没有粒子间的碰撞，我们有粒子流守恒方程 ()0=??+??f v t f 如何来的？对V ?积分
()0=??+??????V V dV f v dV t f ()????-=???V S S d f v dV f t 左边： V ?中单位时间粒子数的增加 右边： 单位时间流入V ?的粒子数。 注意：S d 的方向为向外的，至少在局部v 是常数，所以，v dS -?是从dS 流入V ?的粒子数，因为 d S dl ds v ds dt dV dt ?-?== v - V ? 另一方法： 没有外力，p 至少在局部是常数。 ()()()t r f dt t r f t r df ,,, -+= dt t +时刻处于r 处的粒子 ＝t 时刻处于dt v r -的粒子 因为在dt 内粒子移动 dt v r d = ()((,)(,))/((,)(,))/f f r t dt f r t dt f r vdt t f r t dt t f v v f r ?=+-=--??=-?=-??? 如果粒子受外力，但互相不碰撞 ()()(),,,,,,df r p t f r v dt p p dt t f r p t =---
中国科学: 物理学 力学 天文学 2010年 第40卷 第12期: 1441 ~ 1460 SCIENTIA SINICA Phys, Mech & Astron https://www.doczj.com/doc/1b17330007.html, https://www.doczj.com/doc/1b17330007.html, 引用格式: 邢修三. 论非平衡态统计物理基本方程——兼论非平衡熵演化方程和熵产生率公式. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2010, 40: 1441 ~ 1460 《中国科学》杂志社 SCIENCE CHINA PRESS 评 述 论非平衡态统计物理基本方程——兼论非平衡熵演化方程和熵产生率公式 邢修三* 北京理工大学物理系, 北京100081 *E-mail: xingxiusan@https://www.doczj.com/doc/1b17330007.html, 收稿日期: 2010-03-09; 接受日期: 2010-09-20 摘要 该文综述了作者的研究成果. 十多年前, 作者提出了一个新的非平衡态统计物理基本方程以取代现有的Liouville 方程. 这就是6N 维相空间的随机速度型Langevin 方程或其等价的Liouville 扩散方程. 这个方程是时间反演不对称的. 它表明, 统计热力学系统内的粒子运动形式同时具有漂移扩散二重性, 统计热力学运动规律是由动力学规律和随机性速度二者叠加而成的, 既有确定性又有随机性, 因而有别于动力学系统内的粒子运动规律. 粒子的随机扩散运动正是宏观不可逆性的微观起源. 由这个基本方程出发, 求得了BBGKY 扩散方程链、Boltzmann 碰撞扩散方程和流体力学方程, 如质量漂移扩散方程、Naiver-Stokes 方程和热导方程等. 更重要的, 首次建立了6N 维、6维和3维相空间的非平衡熵密度随时空变化的非线性演化方程, 预言了熵扩散的存在. 这个熵演化方程在非平衡熵理论中起着核心作用. 它指明, 非平衡熵密度随时间的变化率是由其在空间的漂移、扩散和产生三者引起的. 进而由这个演化方程, 求得了6N 维和6维相空间的熵产生率公式、即熵增加定律公式, 论证了非平衡系统内部吸引力能导致熵减少而排斥力则引起另一种熵增加, 导出了熵减少率或另一种熵增加率的共同表达式, 给出了统一热力学退化和自组织进化的理论表达式, 阐明了趋向平衡的熵扩散机理. 作为应用, 还将这些熵公式用于计算和讨论了一些实际非平衡态和定态物理课题. 所有这些结果都是严格统一从新的基本方程推导出的, 未增补任何其他新假设. 关键词 6N 维相空间随机速度型Langevin 方程, 漂移扩散二重性, 非平衡熵演化方程, 熵扩散, 熵产生率 公式, 内部引力引起熵减少, 趋向平衡, 流体力学方程 PACS: 05.10.Gg, 05.20.-y, 05.40.-a, 05.70.Ln 统计物理包含平衡态和非平衡态两部分. 平衡态统计物理, 经过一百多年的研究和完善, 迄今其概念和方法已臻成熟. 非平衡态统计物理, 其目的是想从大量微观粒子的运动规律出发研究和理解非平衡态宏观系统的运动性质和演化规律, 它作为一个独立活跃的学科广受重视, 仅是近四五十年之事, 目前 仍处于发展阶段. 自然界所有实际宏观热力学过程都是有方向性的或不可逆的, 而经典力学和量子力学所反映的物理规律都是可逆的, 因而在建立非平衡态统计物理时, 首先面临的难题就是不可逆性佯缪[1~3]: 为何微观动力学是可逆的而宏观统计热力学过程却是不可