因式分解法、直接开平方法(2)

二元一次方程解法大全　1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

一般的一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法）知识讲解1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：类型二、因式分解法解一元二次方程【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一 直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x 1=a ,x 2=a -.（2）直接开平方法适用于解形如x 2 = p 或(mx+a)2 = p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x 2 -1＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1，x 2＝-1C ．x 1＝x 2＝-1D ．x 1＝1，x 2＝02．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义 ac ad bc b d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若210493x x=，求x 的值．(2)若11611x x x x +-=-+，求x 的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法因式分解法、直接开平方法、公式法和配方法都是解题方法，用于解决一元二次方程的题目。

下面将对这四种方法进行详细的解释。

因式分解法是一种将一元二次方程进行因式分解，从而得到方程的解的方法。

一般来说，对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，若a、b、c都是整数及其系数，且方程的解为有理数，那么可以用因式分解法来求解。

首先，将方程的左边进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式，然后根据乘法公式，可以得到ax^2 + (m + n)x + mn = 0，与原方程进行比较，可以得到 a = 1，b = m + n，c = mn的关系。

接下来，便可以根据这些关系，将方程进行求解。

直接开平方法是另一种求解一元二次方程的方法。

对于形如ax^2 +bx + c = 0的方程，可以通过将方程的左边进行完全平方的形式，即(a^2x^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。

接下来，可以将其化为(x + a)^2 = b的形式，然后对其两边进行开平方，可以得到方程的解。

公式法是解一元二次方程的一种常用方法。

对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过求解方程的根的公式来得到方程的解。

一般来说，方程的根的公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程的系数。

根据方程的根的公式，可以得到方程的两个根，从而求解方程。

配方法也是解一元二次方程的常用方法之一、对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过一系列变形，将方程转化为一个可以进行因式分解的形式，从而求解方程。

一般来说，配方法的步骤包括将方程的左边进行变形，得到(a^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0的形式，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。

一元二次方程基本解法，“降次”化为两个一元一次0有4种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n. 0例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 0分析：一、此方程显然用直接开平方法好做，0二、左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7 ∵(3x+1)2=7 ∴3x+1=±√7 (注意不要丢解)∴x=(﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=(﹣√7-1﹚/3（2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=(4±√11)/3∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3 , x2=(4﹣√11﹚/3 02．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+b/ax+( b/2a)2=- c/a+( b/2a)2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当△=b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x={﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a (这就是求根公式) 0例2．用配方法解方程3x²-4x-2=0 0解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= 2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 2/3)²=2/3 +(2/3 )²配方：(x-2/3)²= 2/3 +(2/3 )²直接开平方得：x-2/3=±√[2/3+(2/3 )² ] =±√10 /3 ∴x= 2/3±√10 /3∴原方程的解：x1=2/3﹢√10 /3 , x2=2/3﹣√10 /3 . 0 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (△=b²-4ac≥0)就可得到方程的根。