因式分解法、直接开平方法(2)

二元一次方程解法大全　1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

一般的一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法）知识讲解1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：类型二、因式分解法解一元二次方程【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一 直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x 1=a ,x 2=a -.（2）直接开平方法适用于解形如x 2 = p 或(mx+a)2 = p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x 2 -1＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1，x 2＝-1C ．x 1＝x 2＝-1D ．x 1＝1，x 2＝02．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义 ac ad bc b d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若210493x x=，求x 的值．(2)若11611x x x x +-=-+，求x 的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法因式分解法、直接开平方法、公式法和配方法都是解题方法，用于解决一元二次方程的题目。

下面将对这四种方法进行详细的解释。

因式分解法是一种将一元二次方程进行因式分解，从而得到方程的解的方法。

一般来说，对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，若a、b、c都是整数及其系数，且方程的解为有理数，那么可以用因式分解法来求解。

首先，将方程的左边进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式，然后根据乘法公式，可以得到ax^2 + (m + n)x + mn = 0，与原方程进行比较，可以得到 a = 1，b = m + n，c = mn的关系。

接下来，便可以根据这些关系，将方程进行求解。

直接开平方法是另一种求解一元二次方程的方法。

对于形如ax^2 +bx + c = 0的方程，可以通过将方程的左边进行完全平方的形式，即(a^2x^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。

接下来，可以将其化为(x + a)^2 = b的形式，然后对其两边进行开平方，可以得到方程的解。

公式法是解一元二次方程的一种常用方法。

对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过求解方程的根的公式来得到方程的解。

一般来说，方程的根的公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程的系数。

根据方程的根的公式，可以得到方程的两个根，从而求解方程。

配方法也是解一元二次方程的常用方法之一、对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，可以通过一系列变形，将方程转化为一个可以进行因式分解的形式，从而求解方程。

一般来说，配方法的步骤包括将方程的左边进行变形，得到(a^2 + 2abx + b^2) - b^2 + c = 0的形式，然后将其化为一个二次幂减去一个常数的形式。

一元二次方程基本解法，“降次”化为两个一元一次0有4种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n. 0例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 0分析：一、此方程显然用直接开平方法好做，0二、左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7 ∵(3x+1)2=7 ∴3x+1=±√7 (注意不要丢解)∴x=(﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=(﹣√7-1﹚/3（2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=(4±√11)/3∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3 , x2=(4﹣√11﹚/3 02．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+b/ax+( b/2a)2=- c/a+( b/2a)2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当△=b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x={﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a (这就是求根公式) 0例2．用配方法解方程3x²-4x-2=0 0解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= 2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 2/3)²=2/3 +(2/3 )²配方：(x-2/3)²= 2/3 +(2/3 )²直接开平方得：x-2/3=±√[2/3+(2/3 )² ] =±√10 /3 ∴x= 2/3±√10 /3∴原方程的解：x1=2/3﹢√10 /3 , x2=2/3﹣√10 /3 . 0 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (△=b²-4ac≥0)就可得到方程的根。

一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。

本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。

二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。

在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。

通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。

四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。

这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。

2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。

这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。

3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。

这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。

4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。

五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。

六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。

一元二次方程的解法[知识要点表解]一元二次方程的解法是本章的重点内容，课本中实际上介绍了四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

学法建议本节篇幅大，本节内容是本章的重要内容，也是中学的主要内容，在初中代数中占有重要地位。

公式法是本节重点。

难点是配方法，学好本节的关键是掌握一元二次方程各种解法适合的类型。

公式法是通法，一定要熟练掌握。

释疑解难 1、“配方法”中，为什么方程的两边要加上一次项系数的一半的平方？答：目的是使方程左边变成一个完全平方式.x 2±mx 可以写成x 2±2x •2m .对照完全平方公式，a 2+2ab+b 2=(a±b)2可知，x 2相当于a 2，2x •2m 相当于2ab,b 相当于2m ,b 2相当于（2m ）2.既然a 2+2ab 再配上b 2可以配成完平方式，x 2±mx 再配上（2m）2就可以配成完全平方式，这就是方程的两边要加上一次项系数的一半的平方的原因。

值得一提一是，方程两边都加一次项系数的绝对值的一半的平方更好，这样写成完全平方就不会在符号上出现错误。

如课本由x 2-27x=-23配方得： x 2-27x+（-47）2=-23+（47）2 .例6 用配方法证明：无论x 为何实数，代数式x 2-4x+4.5的值恒大于零。

[分析]本题不是用配方法解一元二次方程，所用的配方法与已学的配方法大同小异。

“大同”指思路一致，好都构造一个完全平方式。

“小异”指具体实施方法有区别，前者在等号两边同加一个相同的数，后者在等号一边加上一个数又减去这个数。

具体办法如下：[解答] x 2+4x+4.5=(x2+22)-22+4.5=(x-2)2+0.5 ,∵(x-2)2≥0,∴(z-2)2+0.5>, ∴x 不论为何实数，代数式x 2+4x+4.5的值恒大于零。

[能力层面训练]1、填空：（1）x 2+6x+________=(x+_______)2;（2）x 2-5x+_________=(x-_______)2;（3）x 2+2m+________=(x+_______)2;（4）x 2-3m+________=(x-_______)2.2、用直接开平方法解下列方程：（1）x 2=8; (2)3x 2=0; (3)3x 2-4x-7=0; (4)4(1-x)2-9=0.3、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x-1=0; (2).3x 2+21x-1=0; (3)3x 2-4x-7=0; (4)2x 2-2m 2=mx. 4、用公式法解下列方程：（1）6x 2-13x-5=0; (2)(x+2)2=2x+4; (3)mnx 2-(m 2+n 2)x+mn=0; (4)x 2-(1+23)x+3-3=0.5、用因式分解法解下列方程：（1）（x+1）2-2=0; (2)(x+2)2=2x+4; (3)x 2=5x; (4)x 2-5x+2=0.6、用适当方法解下列方程：（1）（x-1）(2+x)=4; (2)(x+3)2=3(4x+3); (3)(2x+1)2-3(2x+1)+2=0; (4)2x 2-mx=m 2.7、解方程：（精确到0.01）（1）x 2+x-1=0; (2)x 2+4x+1=0 (3)2x 2-8x=7;8、 x 为何值时，下列各组两个代数式的值相等？（1）x(3x-2)和4（2-3x ）; (2)32x-和232x +41-x ； （3）x 2和x; (4)2x 2-2m 2和mx.能力提高9、若6y 2-5xy+x 2=0,求证： x=2y 或者x=3y .10、若方程x 2+6x+5a=0的一个根是32-，求a 的值和方程的另一个根。

1．（ 2010?三明）（ 1）请从三个代数式 22222中，任选两个构造一个 4x ﹣ y ，2xy+y ，4x +4xy+y 分式，并化简该分式；（2）解方程：（ x ﹣ 1） 2+2x ﹣ 3=0．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；分式的混合运算；分式的化简求值。

分析：（ 1）根据所给代数式的特点， 三个代数式分解因式后都有公因式，因而可以任意进行组合．（ 2）对方程进行变形后，再应用直接开平方法解答．解答： 解：（ 1）本题答案不唯一．（ 2 分）= （6 分）= （8分）② = ；③ = ；④ ；⑤ ；⑥ ．（ 2） x 2﹣ 2x+1+2x ﹣ 3=0（ 3 分）x 2﹣2=0x 2=2 （ 6 分）∴x 1= ，x 2=﹣．（8 分）x 2=a （ a ≥0）； ax 2=b （ a ， b 同号且点评：（ 1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：22a ≠0）；（ x+a ） =b （ b ≥0）； a （ x+b ） =c （ a ， c 同号且 a ≠0）．法则：要把方程化为 “左平方， 右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”．（ 2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（ 3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2．（ 2010?鞍山）解方程：（ 1）（ 2x+3） 2﹣ 25=0（2） 3x 2﹣ 5x+5=7 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -因式分解法。

分析：（ 1）把常数项 25 移到方程的右边，运用直接开平方法解方程，注意把个整体；2x+3看作一（ 2）可以运用因式分解法解方程．解答： 解：（ 1）（ 2x+3） 2=25 ，2x+3= ±5， 2x=±5﹣ 3， x 1=1 ， x 2=﹣4．（ 2） 3x 2﹣ 5x ﹣ 2=0（ x ﹣ 2）（ 3x+1 ） =0，x 1=2 ， x 2=﹣ ．点评： 此题考查了运用直接开平方法解方程和运用因式分解法解方程的方法．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有： x 2=a （a ≥0）； ax 2=b （ a ，b 同号且 a ≠0）；（ x +a ） 2=b （b ≥0）； a （x+b ） 2=c （a ， c 同号且 a ≠0）． 法则：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（ 2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（ 3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．3．（ 2009?定西）在实数范围内定义运算 “⊕”，其法则为： a ⊕ b=a 2﹣ b 2，求方程（ 4⊕ 3）⊕x=24的解．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法。