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线性空间与线性映射

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线性代数的基本概念与性质

线性代数的基本概念与性质

线性代数的基本概念与性质线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量空间和线性映射之间的关系。

它是许多其他数学分支和应用领域的基础，如计算机科学、物理学、经济学等。

本文将介绍线性代数的基本概念和一些重要性质，并探讨其在现实生活和学术研究中的应用。

一、向量空间向量是线性代数的基本概念之一，它可以简单地理解为具有大小和方向的量。

向量空间是一种包含向量的集合，它满足一定的性质。

一个向量空间必须包含零向量，且对于任意向量v和w，和v+w以及数乘kv仍然属于向量空间。

向量空间还需要满足加法的结合律、交换律和数乘的分配律。

二、矩阵与线性映射矩阵是由数值按照一定规则排列成的矩形的数组。

矩阵可以用于表示线性映射，线性映射是一种将向量从一个向量空间映射到另一个向量空间的运算。

矩阵乘法是线性代数中的重要操作，它可以用于将线性映射的复合表示为矩阵相乘的形式。

三、基和维数在向量空间中，基是一组线性无关的向量，任何一个向量都可以用基向量的线性组合表示。

维数是表示向量空间中的基向量的个数，它是一个向量空间的重要性质。

对于有限维向量空间，任意两个基的维数是相同的，这个维数被称为向量空间的维数。

四、线性相关性与线性无关性在向量空间中，如果存在一组非零向量的线性组合等于零向量，则这组向量是线性相关的。

相反，如果不存在这样的线性组合，则这组向量是线性无关的。

线性无关性是判断向量组和矩阵的重要性质，它决定了矩阵的秩和解的存在性。

五、特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的另一个重要概念。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，那么λ被称为A的特征值，v被称为对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和行为，它们在数值计算、物理仿真等领域有广泛应用。

六、应用领域线性代数作为一门基础学科，广泛应用于各个学术研究和实际应用领域。

在计算机科学中，线性代数用于图形学、机器学习等领域；在物理学中，线性代数用于描述物理系统的量子力学性质；在经济学中，线性代数用于解决经济模型和最优化问题。

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。

本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。

一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。

2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。

3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。

4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。

5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。

6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。

7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。

8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。

9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。

线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。

它们满足上述定义中的所有条件。

二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。

2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。

3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。

线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。

它们保持向量空间的线性结构和线性关系。

三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。

给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。

线性空间上的线性映射理论

线性空间上的线性映射理论

线性空间上的线性映射理论线性映射是线性空间中的重要概念，它在各种数学和应用领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍线性空间上的线性映射的定义、性质和相关定理，以及它在代数、几何和物理等领域中的应用。

1. 线性空间的定义线性空间是指一个集合，其中包含了一个数域（通常是实数域或复数域）的所有元素，同时满足一些特定的条件。

这些条件包括封闭性、加法运算的结合律和交换律、标量乘法的结合律和分配律等。

2. 线性映射的定义线性映射是指一个线性空间到另一个线性空间的映射，它保持向量的线性组合和标量乘法。

具体来说，设V和W是两个线性空间，f是从V到W的映射。

如果对于V中的任意两个向量u和v，以及任意的标量a，满足以下条件：- f(u + v) = f(u) + f(v) （保持向量的线性组合）- f(av) = af(v) （保持标量乘法）那么称f是一个线性映射。

3. 线性映射的性质线性映射有许多重要性质，其中一些是：- 零映射是一个线性映射，它将线性空间V中所有向量映射成零向量。

- 线性映射保持零向量：f(0) = 0。

- 恒等映射是一个线性映射，它将线性空间V中的任何向量映射为其自身。

- 线性映射的像是一个线性空间，它包含在目标空间W中。

- 线性映射的核是一个线性空间，它包含在起始空间V中。

- 线性映射在向量加法和标量乘法下保持封闭性。

4. 线性映射的相关定理线性映射具有许多重要的定理，其中一些是：- 利用矩阵表示：对于线性映射f，可以通过一个矩阵A来表示，称为线性映射的矩阵表示。

这个矩阵可以用来计算线性映射的像和核，以及进行线性变换等操作。

- 像空间和核空间的维数定理：对于线性映射f，其像空间和核空间的维数之和等于起始空间V的维数。

- 一一映射和满射：若线性映射f是一一映射，则其核为空空间，如果f是满射，则其像为目标空间。

- Rn和Rm之间的线性映射：对于线性映射f从Rn到Rm，可以通过线性变换矩阵来表示，这个矩阵可以用来计算矩阵的秩和零空间等。

5.4第5章 线性空间与线性变换

5.4第5章 线性空间与线性变换
7
4. 线性变换T的象集T (V n )是一个线性空间V n ( 的子空间), 称为线性变换T的象空间. 证明 设 1 , 2 T (Vn ), 则有 1 , 2 Vn ,
使 T1 1 , T 2 2 , 从而
1 2 T1 T 2 T (1 2 ) T (Vn ), (因1 2 Vn ); k1 kT1 T (k1 ) T (Vn ), (因k1 Vn ),
所以， B X AX
1
18
例19 设V是一个二维线性空间， 1 , 2 是一组基，线性 变换 在 1 , 2 下的矩阵是 2 1 1 0
1 1 1 , 2 为V的另一组基，且 (1 ,2 ) (1 , 2 ) 1 2 求 在基 1 , 2 下的矩阵.
19
小结
R 给定了线性空间 R 的一组基以后， 中的线 性变换与 R nn 中的矩阵形成一一对应．因此，在 线阵．
n n
同一变换在不同基下的矩阵是相似的．
20
思考题
已知R 的两个线性变换
22
T ( X ) XN , S ( X ) MX , X R22
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维 线性空间V的线性变换到数域P上的 n n 矩阵的一个 13 映射.
定理3 设 1 , 2 ,, n 是数域P上n维线性空间V的一组基， 在这组基下，V的每个线性变换都唯一对应一个 n n 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于 逆矩阵.

线性变换定义

线性变换定义

线性变换定义
线性变换也叫线性映射（ linear mapping）是从一个向量空间v到另一个向量空间w 的映射且保持加法运算和数量乘法运算，而线性变换（linear transformation）是线性
空间v到其自身的线性映射。

关于线性变换和特征值的理解
线性变换数学定义在通常的高等代数学书中都可以找出。

a(a+b)=aa+ab,aka=kaa。

其
中a，b就是v中的线性空间。

这个定义就是说把空间中的元素（特定地想为三维空间的
向量）经过一个转换，而这种转换就是具备线性的特性的。

那么这种转换的从一个元素转
型至另外一个元素的对应关系，我们可以用前面的一个矩阵去则表示，称作线性变换矩阵。

在三维空间中，我们有一个球心在原点（xoyz和x’oy’z’的坐标系具有不为零的
三个欧拉角）的球面，球面上的每一个点当然都有一个空间矢量，我们让这个球开始沿着x’oy’z’的三个主轴方向变化，假设x’，z’方向膨胀，y’方向收缩，那么我们可以
想见，只有这三个方向的位置矢量是沿着原来的方向变化着的，其它的位置矢量在新的位
置都会和原来的位置矢量有一个夹角。

容易直观的理解，这样的变换是线性变换。

1-4线性映射与线性变换

1-4线性映射与线性变换

由于 T(V1n ) ⊂V2m , 由上述证明知它对 V中的线 n 线性运算封闭， 线性运算封闭， 故它是 Vn的子空间． 的子空间．
Department of Mathematics
( 5 ). 使 Tα = 0 的 α 的全体 N T = { α ∈ V1 n , T α = 0} α 是 V1 n 的子空间 , N T 称为线性变换 T 的核 .
说明： 说明：
那么, 就称 T为从 V1 n 到 V 2 m的线性映射
值域。 称T (V1n ) = R(T ) = { y y = T ( x ) , x ∈ V1n } 为 T 的值域。 线性变换。 若 V1n = V2 m = V ，则称线性映射 T 为线性变换。 满射. 若 T (V1n ) = R(T ) = V2 m , 则称 T 为满射
证明: 证明 若 α 1 , α 2 ∈ N T , ⇒ Tα 1 = 0, Tα 2 = 0, 则 T (α 1 + α 2 ) = Tα 1 + Tα 2 = 0 ⇒ α 1 + α 2 ∈ N T ;
若 α 1 ∈ N T , k ∈ R, 则
T (kα 1 ) = kTα 1 = k 0 = 0 ⇒ kα 1 ∈ N T .
Department of Mathematics
3. 线性映射与变换的举例 单位变换(恒等变换 ： 单位变换 恒等变换)： E : V → V , α a α , ∀α ∈ V 恒等变换 零变换： 零变换： 0 : V → V , α a 0, ∀α ∈ V 由数k决定的数乘变换 由数 决定的数乘变换： 决定的数乘变换：
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(2)设 x ∈ V1 , 设

第3讲(1)线性空间与线性映射

如果上述定义的两种运算满足以下八条运
算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空间
（或线性空间）． 5
设 α、β、γ ∈V，λ、μ ∈ R (1) α + β = β + α (2) (α + β) + γ = α + ( β + γ) (3) ∃0 ∈V，对∀α ∈V，都有α + 0 = α (4) ∀α ∈V，∃β ∈V，都有α + β = 0 (5) 1α = α (6) λ(μα) = (λμ)α (7) (λ + μ)α = λα + μα (8) λ(α + β) = λα + λ β
11
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例4. 正弦函数的集合 S [ x] = {s = Asin( x + B) A, B ∈ R}
对于通常的函数及 数乘函数的乘构成线性空间。 s1 + s2 = A1 sin( x + B1) + A2 sin( x + B2 ) = (a1 sin x + b1 cos x) + (a2 sin x + b2 cos x) = (a1 + a2 )sin x + (b1 + b2 )cos x = Asin( x + B) ∈ S[ x] λ s 1 = λ A1 sin( x + B1)= (λ A1)sin(x + B1) ∈ S [ x] ∴ S [ x]是一线性空间。
= [λ + (−λ )]α = 0α = 0
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4. 如果λ α = 0，则λ = 0 或 α = 0.
证明：假设λ ≠ 0 ⇒ 1 (λ α) = 1 0 = 0

线性空间与线性映射的基本理论

线性空间与线性映射的基本理论线性空间是数学中一种重要的结构，广泛应用于线性代数、函数分析等领域。

线性映射作为线性空间之间的一种变换方式，对于研究线性空间的性质及其应用有着重要的作用。

本文将介绍线性空间与线性映射的基本理论，包括定义、性质以及相关定理的证明。

一、线性空间的定义与性质线性空间是指一个具有加法运算和数乘运算的集合，且满足一定的公理。

设V为一个集合，如果满足以下条件：1. 加法运算：对于任意的u、v∈V，存在一个元素u+v∈V，使得加法对于V中元素的操作满足交换律、结合律和存在零元素的性质。

2. 数乘运算：对于任意的α∈F（其中F为一个数域）和u∈V，存在一个元素αu∈V，使得数乘对于V中元素的操作满足结合律、分配律和单位元素的性质。

3. 加法单位元：存在一个元素0∈V，使得对于任意的u∈V，有u+0=u。

4. 相反元素存在：对于任意的u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0。

5. 数乘单位元：对于任意的u∈V，有1u=u。

若V满足上述条件，则称V为线性空间，V中的元素称为向量。

线性空间的定义体现了加法和数乘运算的基本性质。

二、线性映射的定义与性质线性映射是指将一个线性空间的向量映射到另一个线性空间的映射。

设V和W为两个线性空间，f: V→W是一个映射。

如果满足以下条件：1. 直线性：对于任意的u、v∈V和任意的α、β∈F，有f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)。

2. 零元映射：f(0_V)=0_W，即零向量在V中的映射值为0_W。

则称f为从V到W的线性映射。

线性映射的定义保持了线性空间的运算性质，即通过映射后仍然保持加法和数乘的运算性质。

三、线性映射的性质与定理1. 线性映射的零核与满射性质：设f: V→W是一个线性映射，则f是满射（surjective）当且仅当它的像空间W即为整个目标空间W；f是单射（injective）当且仅当它的核空间（即所有映射为零向量的V中的向量构成的集合）为零空间{0_V}。

矩阵论_第一章_线性空间和线性映射


（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对 于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得
0
1
则称 是 的 负元素. （ 5） 数 1
（ 6）
（ 7）
k (l ) (kl ) (k l ) k l

[a1 , a2 , a3 , ] [b1, b2 , b3 , ] [a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , ] k[a1, a2 , a3 , ] [ka1, ka2 , ka3 , ]
则
R

为实数域
R上的一个线性空间。
二 线性空间的基本概念及其性质
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1 1 1 1 1 x3 x4 0 1 1 0
解得
7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3
称 n 阶方阵
a1n a22 a2 n an 2 ann a12
a11 a12 a a22 21 P a n1 a n 2
a1n a2 n ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1
x1 1 x 1 2 x3 1 x4 4
第三节 线性空间的子空间
定义 设
V 为数域 F 上的一个 n 维线性空间，
W 为 V 的一个非空子集合，如果对于任意的 , W 以及任意的 k , l F 都有
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1

矩阵论课后习题答案

第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

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λa1 + µa1 ②．由 (λ +µ ) ⋅ a = ，λa +µa = λa2 + µa2 即见 (λ +µ ) ⋅ a = λa +µa
λa1 + λb1 λ a + λ b 2 2
λa1 + µa1 λa + µa 2 2
第十一章 线性空间与线性映射
a1 + b1 + c1 ②．由 a + (b + c ) = ,(a + b ) + c = a2 + b2 + c2
a1 + b1 + c1 a + b + c 2 2 2
即见 a + (b + c ) = (a + b ) + c
第十一章 线性空间与线性映射
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
⇐：设存在不全为0的数k1,…, kn ，使得 k1a1 + … + kn an = 0 不妨设k1 ≠ 0(k1,…, kn都一样)，于是
kn k2 k3 a1 = − ⋅ a2 − ⋅ a3 - … − ⋅ an k1 k1 k1
即，a1 可由其余线性表示。 由定理11.2.1，线性相关也可如下定义：
11.2.2 线性相关 给定一组向量a1,…, an ，若其中有一个可由其余线性表示,则称 向量组a1,…, an 线性相关。 你也许试图寻求这一概念的直观解释，建议你不要再找了，因 为没有比这更直白的说法了。你就记住： “线性相关，就是有一个向量可由其余线性表示”。 这个说法易懂，但不便于检验。我们再换个说法。
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
1 例11.2.1．检验e1 = ，e2 = ． 0 e1，e2总是表示这两个向量。
0 2 1 的线性相关性。注意,在R 中,
解：设k1e1 + k2 e2 = 0 (右边为向量0) 即，
1 0 0 k1 + k 2 = 0 1 0
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
VS2： ①．λ ( f + g ) = λf + λg ③． 1 ⋅ f = f
②． ( λ + µ ) f =λ f + µ f ④． 0 ⋅ f = 0
可见，闭区间[a, b]上全体函数的集合，也是一个线性空间。你 可能会说，此处只是把那八条性质罗列了一遍，而没有给什么 “证明”。这是因为这八条性质的成立太显然了，以至于我们不 需要再给出什么证明。 类似地，你可以检验所有n次多项式的集合是一个线性空间。 所有m×n矩阵的集合,按矩阵的加法与数乘,成为一线性空间。 应该指出,R2,R3,一般地Rn,这些空间是线性代数中的常用空间。 向量空间是一个“具有两种运算、八条性质的集合”。在向量 空间中，我们可以作这两种运算，并且只要遵循八条运算规律， 运算就不会出错。
0 1 ， 0
2 3 则向量a = 可由e1，e2线性表示； 0 2 b = 3 不能由e1，e2线性表示。 因为e1，e2的线性组合， 1
其第三分量总是0，不可能是1。
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
数乘满足下列运算律： VS2： λ (a + b) = λa + λb (λ +µ) a = λa + µa 1⋅ a = a 0⋅a=0 (左边为数0，右边为向量0) VS 是Vector Space 的缩写，VS1可分别读作：向量空间的第一 组性质。类似的可说VS2。 在整个数学中，这种具有线性运算并且满足VS1、VS2八条运 算规律的集合太多了。例如，闭区间[a, b]上的多项式集合，闭区 间[a, b]上所有连续函数构成的集合。 还有后面遇到的R2，R3，Rn，人们把这样的集合叫向量空间,或 线性空间。
第十一章 线性空间与线性映射
通常，人们认为这章内容比较抽象，其实还是很直观的，因为 在二维和三维的情况下，本章的内容都能具体“画出来”。建议 读者在学习这章的时候，用二维和三维空间中的具体例子，想象 概念的几何形象。 11.1 线性空间 11.2 线性空间的基与维数 11.3 线性映射的矩阵表示 11.4 线性映射的零空间与值域
R =
2
x1 x1 , x 2 ∈ R x 2
按照如下定义的加法和数乘： 两向量相加，就是对应分量相加
a1 b1 a1 + b1 a + b = a + b 2 2 2 2
第十一章 线性空间与线性映射
r
O
图11.1-1
b O
a+b
k
a
a
图11线性空间与线性映射
§ 11. 1
因而在向量空间中，形如 ka + lb 的式子是有意义的，这个式子称为向量a与b的线性组合。人们把 加法与数乘叫线性运算。于是人们也把向量空间叫线性空间。 线性运算具有下述性质： VS1： a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) a + (- a) = 0 a+0=a
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
定义 11.1.1： 11.1.1： 给定集合V,在其上定义了加法和数乘两种运算,满足VS1、VS2 八条运算规律,称V为向量空间或线性空间,其中的元素叫向量。 注意，术语“向量空间”和“线性空间”表示一个概念。 例11.1.1．对二元有序数组的集合R2 ．
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
11.2 线性空间的基与维数 11.2.1 线性组合 给定向量组a1,…, an , b，若存在常数k1,…, kn , 使得 b = k1a1 + … + kn an 称b可由a1,…, an 线性表示，也说b是a1,…, an 的线性组合。
a1 0 1 例如，在R2中，e1 = ，e2 = ，则任一向量 a = ， a2 0 1
x1 x 2 M xn
x1 , x 2 L x n ∈ R
按照“两向量相加，就是对应分量相加”、“数乘向量，就是 数乘向量的各个分量”定义加法与数乘，构成一线性空间。
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
Rn是我们今后使用的基本空间，有必要再提醒你，回顾一下这 里的加法与数乘是怎么规定的。 例11.1.2．检验闭区间[a, b]上，所有连续函数的集合C [a, b]是 ． 一线性空间。 (其中，C是continuous 的第一个字母，符号C [a, b]读作：闭区 间[a, b]上所有连续函数的集合) 解：首先，集合C [a, b]上可定义加法和数乘，即 两个连续函数的和，还是连续函数 连续函数乘一数，还是连续函数 设f, g, h∈ C [a, b] (即函数f, g, h是集合C [a, b]的元素)，则 VS1： ①． f + g = g + f ③． 0 + f = f ②． ( f + g ) + h = f + (g + h) ④． f + (-f ) = 0
§ 11. 1
数乘向量，就是数乘向量的各个分量 a1 k a1 k⋅ = a 2 k a 2 检验R2按照如上定义的加法和数乘，构成一个向量空间 b1 0 a1 c1 解：记 a = ，b = ，c = ，0 = ，则 b2 0 a2 c2 VS1： ①．由 a + b = a1 + b1 ，b + a = b1 + a1 b + a a + b 2 2 2 2 即见 a + b = b + a
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
类似地，我们可检验：所有三元有序数组的集合
3 R = 是一线性空间。
x1 x x , x , x ∈ R 2 1 2 3 x3
一般地，所有n元有序数组的集合
n R =
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 1
11.1 线性空间 11.1.1 线性空间的概念 在我们的观念中，我们生活于其中的空间，是由点组成的。 在空间中取定一点O，见图11.1-1，则空间中的点与位置向量r， 建立一一对应关系，这样我们的生活空间可以看作是向量空间(本 章中用加粗的字母表示向量)。 空间中的向量,可以相加,也可以乘一数。见图11.1-2、图11.1-3。
第十一章 线性空间与线性映射
第十一章 线性空间与线性映射 线性代数有两个“线性”，一是线性空间，二是线性映射。线 性代数研究线性空间之间的线性映射的性质。 本章包括四节。前两节是关于线性空间的，重点是线性空间、 线性空间的基与维数三个概念；后两节是关于线性映射的。其中 第三节给出线性映射的概念及其矩阵表示，这使得在第十章中 “冒然闯入”的那个“矩形阵列”有了实在的目的。最后一节给 出描述线性映射性质的两个重要概念：线性映射的零空间和值域 空间。
可由e1，e2 线性表示，即
a1 1 0 a = a1 ⋅ 0 + a 2 ⋅ 2 2 a = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2
或
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
在R3中，给出向量组
1 e1 = 0 ，e2 = 0
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
定理 11.2.1： 11.2.1： 向量组a1,…, an 线性相关的充要条件是： 存在不全为0的数k1,…, kn ，使得 k1a1 + … + kn an = 0 证：⇒：设a1,…, an 线性相关，则有一个向量可由其余线性表 示。不妨设这个向量就是a1, 即存在k2,…, kn ，使得 a1 = k2a2 + … + kn an 于是 - a1 + k2a2 + … + kn an = 0 由于k1 = -1 ≠ 0，因而存在不全为0的数k1,…, kn ，使得 k1a1 + … + kn an = 0