分式线性映射

装订线§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数az bwcz d+=+(,,,a b c d为复常数且0ad bc-≠) ……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。

注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：w z b=+，0iw zeθ=，(0)w rz r=>,1wz=因为：当0c=时,(6.4)式变为az b a bw zd d d+==+ ,可以看做(0)w rz r=>和w z b=+的复合.当0c≠时，(6.4)式变为()az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc adw+++-++--====+它可以看作w z b=+，(0)w rz r=>,1wz=参与的复合。

((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：w z b=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))装订线同样将曲线C进行旋转θ角度。

(3)相似映射：(0)w rz r=>(4)反演映射：1wz=当点z在单位圆外部时，此时||1z>，故||1w<,即w位于单位圆内部。

当点z在单位圆内部时，此时||1z<，故||1w>,即w位于单位圆外部。

所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。

规定：反演映射1wz=将0z=映射成w=∞,将z=∞映射成0w=。

2、分式线性映射的性质1）保形性装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。

也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。

2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。

定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。

第十五讲《§2分式线性映射》 §2分式线性映射 一、分式线性映射定义分式线性映射是共形映射中比较简单但很重要的一类映射，它的一般形式：w az b cz dad bc =++-≠()0其中a b c d ,,,均为常数。

ad bc -≠0是为了保证映射的保角性成立而限定的。

否则dw dz ad bccz d =-+()2将有dwdz=0，这时w ≡常数，它将整个z 平面映射成w 上的一个点。

将z 解出，即得逆映射：z dz bcw aa d bc =-+----≠,(()())0 分式线性映射的逆映射也是分式线性映射。

容易知道两个分式线性映射的复合仍是分式线性映射。

任何一个分式线性映射都能分解成一些简单分式线性的复合。

设w z =++-≠αξβγδαδβγ()0用除法可以把它化为w z =-++()βαδγγδαγ1令 ξγξδξξ1211=+=,，那么w A B A B =+ξ2,(,为常数）由此可见，一个一般的分式线性映射是由下列三种分式线性映射复合而成：), ); ).1111111w z b w az w z=+== 现在来讨论这三种映射。

为了方便，我们暂且将w 平面与z 平面重合。

)1w z b =+。

这是一个平移映射。

因为复数相加可以化成向量相加，所以在映射w z b =+之下，z 沿向量b （即复数b 所表示的方向）的方向平行移动一段距离b 后，就得到w 。

),110w az a =≠。

这是一个旋转与伸长（或缩短）映射。

事实上，设z re a e i i ==θαλ,，那么w r e i =+λθα()。

因此，把z 先旋转一个角度α，再将z 伸长（或缩短）到a=λ倍后得到w （图6.6）.)1111w z=，这个映射可以分解为 w zw w 111==,为了用几何方法从z 作出w ，首先给出关于一已知圆周的对称点的概念。

定义 设C 为以原点为心，r 为半径的圆周。

第二节 分式线性变换（映射）本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用．一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换形如：az bw cz d+=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =．注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则，0a b ad bc c d=-=，即a bk c d= ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换．20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下：（·）当0c ≠时，补充定义L()d c-=∞，L()a c∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞．则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换．30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面．事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az bw z cz d+==+具有单值的逆变换dw bz cw a-+=-．40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性．50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换．（二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式）分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =⋅ ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z= ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z dd=+， 记i a re dθ=，它又变为()i bw r e z dθ=+， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换i e z θξ=，r ηξ= 和 bw dη=+， 复合而成．当0c ≠时，分式线性变换可变形为21()1()1az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c++++--==⋅=⋅=+⋅++++， 记 2i bc adre cθ-=，它还可变形为211()i a bc ad a w r e d d c c c z z c cθ-=+⋅=+⋅++．显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换d z c ξ=+，1ηξ=，i e θςη=，r ζς=和aw cζ=+，复合而成．上面的四种变换中（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可合并成形如w kz h =+（0k ≠）的分式线性变换，称为整线性变换．为了弄清楚分式线性变换的几何性质，下面，我们分别考察上述四种简单变换的几何意义．对于变换（Ⅰ）：它是将平面上的点z 绕原点按逆时针或顺时针（视θ的正负而定）旋转θ角；对于变换（Ⅱ）：它是将平面上的点z 沿z 的方向扩大或缩小（视r 大于1还是小于1而定）r 倍；对于变换（Ⅲ）：它是将平面上的点z 平移一个向量h ；图7.7（线性变换的示意图）可见，上述三种变换的一个共同特点是保持平面上图形的形状不变，图形的方向也不变，因此，这三种变换都是保持平面图形方向不变的相似变换，另外，由于相似变换的复合仍是相似变换，所以整线性变换w kz h =+（0k ≠）也是保持平面图形方向不变的相似变换．对于变换（Ⅳ）：它可以分解成下面两个更简单的变换的复合，1ω= ------ 称为关于单位圆周的对称变换，其中z和ω称为关z于单位圆周的点；= ------ 称为关于实轴的对称变换，其中ω和w称为关于实wω轴的对称点．可见，反演变换（Ⅳ）是通过两个对称变换的复合而成，此时原象点z和象点w之间的关系可通过图7.8所示的几何方法来实现．图7.8（反演变换的示意图）关于单位圆周1z=的对称点的补注：10 补充关于单位圆周1z=对称点的定义：若点z和ω都在从圆心z=的两侧（即一点在圆周z=出发的同一条射线上，分属于圆周1z=的内部，另一点在圆周1z=的外部），并且它们到圆心的距离的1乘积等于1（即1z=对称，点zzω⋅=），则称点z和ω关于单位圆周1和ω也称为关于单位圆周1z=的对称点．20 设点z和ω关于单位圆周1z=对称，由于它们都在从圆心0z=出发的同一条射线上，且1zω⋅=，从而它们的幅角相等，记i=，z reθ于是1111i i i i e e e z r re z θθθθωω-=⋅=⋅=⋅==， 即1zω=--------对称点的计算公式． 30 规定：圆心0z =和∞是关于单位圆周1z =的对称点． 40 关于单位圆周1z =的对称点的几何作法：（如图7.8）先过点z 作射线oz 的垂线与圆周交于一点A ，再过点A 作圆周1z =的切线与射线oz 交于一点ω，则ω就是点z 关于单位圆周1z =的对称点． 例 1 证明：除恒等变换外，一切分式线性变换在扩充平面上恒有两个相异的或一个二重的不动点（即将自己变成自己的点称为不动点）． 证明 设分式线性变换为 az bw cz d+=+，其中0ad bc -≠．由不动点的含义，其不动点必满足方程 az bz cz d+=+，即2()0cz d a z b +--= ------------------(*) 如果方程（*）的系数全为零，则az bw z cz d+==+为恒等变换，与题设矛盾，故方程（*）的系数必不全为零．下面分两种情况证明：（1）若0c ≠，则方程（*）有两根 1,2z =2()4a d bc ∆=-+当0∆≠时，方程（*）有两个相异的根，即az bw cz d+=+有两个相异的不动点1z 和2z ；当0∆=时，方程（*）有两个相等的根，即az bw cz d+=+有一个二重的不动点2a dz c-=． （2）若0c ≠，则方程（*）变为 ()0d a z b --=，此时az bw cz d+=+变为a b w z dd=+．当0d a -≠时，方程（*）有一个根 b z d a =-，即az bw c z d+=+有一个不动点bz d a =-，显然z =∞也是不动点． 故az b w cz d +=+仍有两个不动点bz d a=-和z =∞．当0d a -=时，此时0b ≠，方程（*）的根形式上变为bz d a==∞-，即az b w cz d +=+的不动点也变为b z d a ==∞-，因此，z =∞成为az bw cz d+=+的二重不动点，即az bw cz d+=+有一个二重不动点z =∞．注：归纳例1结论，关于分式线性变换az bw cz d+=+（其中0ad bc -≠）的不动点，我们有如下结果：Ⅰ、当0c ≠时，它仅有有限不动点而无无穷不动点∞．进一步，当2()40a d bc ∆=-+≠时，它有两个相异的有限不动点； 当2()40a d bc ∆=-+=，它有一个二重有限不动点． Ⅱ、当0c =时，它必有无穷不动点∞．进一步，当a d ≠时，它还有一个有限不动点；当a d =，0b ≠时，它没有有限不动点，此时∞是二重不动点； 当a d =，0b =时，此时变换成为恒等变换w z =，扩充平面上的任何点都是不动点．例2 求下列分式线性变换的不动点： （1）11z w z +=-； （2）311z w z -=+； （3）1w z =+； （4）w kz =（0k ≠）． 解（1）设z 为此变换的不动点，则z 满足11z z z +=-，即2210z z --=．解得1z =-+1z =-．即为此变换的两个相异的不动点（没有无穷不动点）．（2）设z 为此变换的不动点，则z 满足311z z z -=+，即 2210z z --=．显然，此方程有两个相等的根1z =，即1z =为此变换的二重不动点（没有无穷不动点）．（3）根据例1的结论，由于0c =，1a d ==，10b =≠，所以，此变换仅以∞为不动点，且为二重不动点（只有无穷不动点，而没有有限不动点）．（4）显然，当1k ≠时，在此变换下0变成0，∞变成∞，则此变换有一个有限不动点0z =和一个无穷不动点z =∞（既有一个有限不动点，也有一个无穷不动点）．当1k =时，此变换为恒等变换。