高考专题突破三 高考中的数列问题
等差数列、等比数列基本量的运算
命题点1 数列与数学文化
例1 (1)(2019·乐山模拟)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？( )
A.1631
B.1629
C.12
D.815
答案 B
解析 由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项a 1＝5，一月按30天计
可得S 30＝390，从第2天起每天比前一天多织的即为公差d .又S 30＝30×5＋30×292
×d ＝390，解得d ＝1629
.故选B. (2)(2020·北京市房山区模拟)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据： lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A ．2.2天
B ．2.4天
C ．2.6天
D ．2.8天
答案 C
解析 设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ，则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12
＝6⎝⎛⎭
⎫1－12n . 莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n .则B n ＝2n －12－1
＝2n －1， 由题意可得，6⎝⎛⎭
⎫1－12n ＝2n －1， 整理得，2n ＋62n ＝7，解得2n ＝6或2n ＝1(舍去)． ∴n ＝log 26＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2
≈2.6.
∴蒲、莞长度相等大约需要2.6天．
故选C.
思维升华 对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验．
跟踪训练1 (1)(2019·湖南省长沙市第一中学模拟)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )
A ．1.5尺
B ．2.5尺
C ．3.5尺
D ．4.5尺
答案 B
解析 设这十二个节气日影长依次成等差数列{a n }，
S n 是其前n 项和，
则S 9＝9(a 1＋a 9)2
＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5， 由题意知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，
所以公差d ＝a 5－a 4＝－1，所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5，故选B.
(2)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟( ) A.253升 B.503升 C.507升 D.1007
升 答案 D
解析 因为5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a 1，a 2，a 3，
由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S 3＝50，
则a 1(23－1)2－1
＝50，解得a 1＝507， 所以马主人要偿还的量为a 2＝2a 1＝1007
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