§ 13古典概型与几何概型13.1 古典概型
1.定义
⑴试验的样本空间只包含有限个元素；
(2)试验中每个基本事件发主的可能性相同具有以上两个特点的邂称为等可能概型或古典概型.
2.古典概型中事件概率的计算公式
设试验£的样本空间由《个样本点构成，A 为E 的任意一个事件，且包含&个样本点，则事件M发生的概率为：
厶4所包含样本点的个数
'■ n■样本空间中样本点总数•
称此为概率的古典定义.
例1将一枚硬币抛掷三次(1)设事件合为“恰有一次出现正面”，求P(4J・(2)设事件％为“至少有一次出
P(A,). Q
现正
解(1)设H为出现正面M为出现反面电多则S = [HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
而A 严{HTT,THT,TTH}・得PG4J = 3 8・
(2) A 2 = {HHH, HHr, HTH, THH, HTT, THT‘TTH }・因此P(/4 2)= 7 8. 见尸11例7
说明:
对于比较简单的试验,可以直接写出样本空间和审件,然后数出各自所含样本点的个数即可.
对于较复杂的试验,-般不再将样本空间中的元素——列出,而只需利用排列.组合及乘法原理、加法原理的知识分别求出样本空间中与与事件中包含的基本事件的个数,再由公式即可求出的概率.
[#列.fe令基机公式
排列.姐合基本公式
乘法公式：设完成一件事需分两步，
第一步有心种方法，第二步有兀2种方法,
则完成这件事共有心心种方法
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有心种方法，第二种途径有宛2种方 法,则完成这件事共有勺+Z/2种方法•
共有汹种排列方式.
有重复排列：
抽取次, 后放回, 从含有畀个元素的集合中随机 每次取一个，记录其结果 将记录结果排成一列，
无重复排列：从含有死个元素的集合中随机抽取Jt 次, 取后不放回，将所取元素排成一列，
n-Ar+1
共有…(mR+1)种排列方式•
组合：从含有W 个元素的集合中随机抽取A:个, 共有 ni
一 kl ~ kl(n-k)l
种取法.
每次取一个, n zi-1 w ・2
例2设有5件产品，其中3件是正品，2件是次品•今 从中抽取两次，每次丄件，取出后不再放回•试求：
(1) 设4 =｛两件都是正品｝,〃 = ｛一件是正品一件 是次品｝£ = ｛至少有一件是正品｝, 贝U ：基本事件总I 数 死=巧=5x4 = 20;
而A 所包含的基本事件数 匕=号=6;
B 所包含的基本事件数kH=P ；P ；+P ；P ；=l 匕
C 所包含的基本事件数 忍.=尺卅+胃尺+笃2=12+6 = 1& F(4)=^ = —=—; « 20 10
P (C) = d
』丄.
n 20 10
— 尸2 O />(C) = 1-P(C) = !-』= —• 20 10 说明：本例中(3)有更简单的求法. 两件都是正品的概率；
一件是正品一件是次品的概率;
至少有一件是正品的概率.
(2) (3) 所以，由公式可求得: k 12 3
咖今=影
本例中样本空间可以作不同的设计(见P12) 思考:改为放回抽样,绍求又如FFl Pe
1.随机抽球问题
例3设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率.
解：设A = ｛取到一红一白｝
解法一：n = C^ 亿
答：取到一红一白的概率为3/5・
解法二：
n = P； =5x4,=尺覺+ E尺=3x2 + 2x3.
5x4 5
可见：随机抽球问题可以用组合法解,也可以用排列法解.关键是:计算事件概率时保证分子，分母在同一个样本空间下讨论.
类似问题：产品检验.抽签问题.福彩摸奖等.
在实际中,产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题.我们选择抽型的目的在于便问题的数学意义更加突出,而不必过多地交代实际背景•
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽“个球，则这个球中恰有R个白球的概率是-C爲gw
例4设有N件产品,其中有M件次品•今从中任取n 件,问其中恰有k仏＜M｝件次品的概率是多少？解在N件产品中抽取死件的所有可能取法共有种，
在W件产品中抽取《件，其中恰有件次品的取法共有g],种，
于是所求的概率为P= “ N"
2、随机分球(分房)问题
例5将3个球随机的放入3个盒子中去，问:
(1)每盒恰有一球的概率是多少？
(2)空一盒的概率是多少？
解：设A=｛每盒恰有一球｝, B=｛空一盒｝
(1) n=3\ =3!, P(A) = #. •
(2)解法一：(用对立事件)
P(B) = 1 - P｛空两盒｝ -卩｛全＜
^｝
=]— ---- ——=—
33 9 36
超几何分布的概率公式
(2)解法二:(空一盒相当于两球一起放在一个盒子中, 另一球单独放在另一个盒子中)
— 2=2 • • •
3' 3
(2)解法三:(空一盒包括1号盒空,2号合
空，三号盒空且其余两盒全满这三种情
况)
3x(2"-2) 2
__ =-
3' 3
答:每盒恰有一球的概率为2/9;空一盒的概率是2/3・
一般地，把死个球随机地分配到N个盒子中去(n M N),则每盒至多有一球的概率是：卩=生
N"
类似问题:分房问题、生日问题等.
') 某班级有W个人(zrV365),
问至少有两个人的生日在同一天
的概率有多大？
