1、 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。其中X （0-）为系统的初始状态。
（1）()()2f t y t e = （2）()()cos2y t f t t = （3）()()2y t f t = 解：（1）()()2f t y t e = ① 线性： 设 ()()()()1122,
f t y t f t y t →→，则 ()()()()122212,
f t f t y t e y t e ==
那么 ()()()()()()()112211222221122a f t a f t a f t a f t a f t a f t y t e
e e +⎡⎤⎣⎦
+→==，显然，
()()()1122y t a y t a y t ≠+，所以是非线性的。 ② 时不变性
设()()11,f t y t →则 ()()()()
10122110,
f t t f t y t e y t t e
-=-=
设()()102,f t t y t -→则()()()102210f t t y t e y t t -==-，所以是时不变的。 ③ 因果性
因为对任意时刻 t 1，()()121f t y t e =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。
（2）()()cos2y t f t t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()1122cos2,cos2y t f t t y t f t t ==
那么
()()()()()()()112211221122cos 2cos 2cos 2a f t a f t y t a f t a f t t a f t t a f t t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,
显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。 ② 时不变性
设()()11,f t y t →则 ()()()()()1110100cos2,
cos2y t f t t y t t f t t t t =-=--
设()()102,f t t y t -→则()()()21010cos2y t f t t t y t t =-≠-，所以是时变的。 ③ 因果性
因为对任意时刻 t 1，()()111cos2y t f t t =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。
（3）()()2y t f t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()11222,2y t f t y t f t ==
那么
()()()()()()()1122112211222222a f t a f t y t a f t a f t a f t a f t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,
显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。 ② 时不变性
设()()11,f t y t →则 ()()()()1110102,
2y t f t y t t f t t =∴-=-⎡⎤⎣⎦
设()()102,f t t y t -→则()()()210102y t f t t y t t =-≠-，所以系统是时变的。 ③ 因果性
因为对任意时刻 t 1，()()112y t f t =，当 10t >时，112t t <，即输出由未来时刻的输入决定，所以系统是非因果的。
2 利用冲激信号及其各阶导数的性质，计算下列各式：
（1）()()3t
d f t
e t dt δ-⎡⎤=⎣⎦ （2）()()()3241
f t t t dt δ∞-∞=+-⎰ （3）()()()t f t e t t dt δδ∞
--∞
'=+⎡⎤⎣⎦⎰ （4）()()1
232
t
n f t e
t n dt δ∞
--=-∞
=-∑⎰
解：（1）()()()0
d f t
e t t dt
δδ'⎡⎤=
=⎣⎦ （2）因为 ()()11t t δδ-=-，
所以 ()()()()()()
3331
2412412410t f t t t dt t t dt t δδ∞∞
-∞-∞==+-=+-=+=⎰⎰
（3）()()()()0
2t t
t t t f t e t t dt e e δδ∞
---=-∞
='
'=+=-=⎡⎤⎣⎦⎰
（4）冲激串
()n t n δ∞
=-∞
-∑ 中只有 两个：δ（t ）和δ（t+1）落在积分区间
[-3/2 1/2]之中，因此
()()()()11
1
22332
2
11t
t n f t e t n dt e t t dt e δδδ∞
-----=-∞
=-=++=+⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰
3 已知激励为零时刻加入，求下列系统的零输入响应。 （1）()()()()(),02,00y t y t f t y y --''''+=== （2）()()()()()()32,01,00y t y t y t f t y y --''''++===
解：（1）特征方程为：210λ+=，特征根为 12,i i λλ==-，因此，y x （t ）为：
()120it it x y t C e C e t -=+≥，代入初始条件并求解，有： 1212122
10
C C C C iC iC +=⎧⇒==⎨
-=⎩，所以()2cos 0it it x y t e e t t -=+=≥ （2）特征方程为：2320λλ++=，特征根为：121,2λλ=-=-，
因此，y x （t ）为 ：()2120t t x y t C e C e t --=+≥ ；代入初始条件并求解，有：
12112212201
C C C C C C ⎧+==⎧⎪
⇒⎨⎨
--==-⎪⎩⎩，所以()220t t x y t e e t --=-≥
4 已知LTI 系统的框图如图2-72所示，三个子系统的冲激响应分别为
()()()()()()()1231,,h t U t U t h t U t h t t δ=--==，求总系统的冲激响应h(t)。
解：由图可知，总的冲激响应为
()()()()()()()()()
()()()()()
()()()()()()()()23110
**1111111t t h t h t h t h t U t t U t U t d U t d U t U t U t tU t t U t U t U t t U t U t U t δττ-=+=+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=
-
-+--=---+--=--+⎡⎤⎣⎦⎰⎰
