中考数学分式方程及应用

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题05分式方程及应用【考点1】解分式方程【例1】（2020·湖南郴州·中考真题）解方程：24111x x x =+-- 【答案】x=3． 【解析】 【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 【详解】 解：24111x x x =+-- 去分母得，2(1)41x x x +=+- 解得，x=3，经检验，x=3是原方程的根， 所以，原方程的根为：x=3． 【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．【变式1-1】（2020·内蒙古通辽·中考真题）解方程：232x x=-. 【答案】6x =. 【解析】 【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】去分母，得()232x x =-， 去括号，得236x x =-， 移项，合并同类项，得6x -=-， 化x 的系数为1，得6x =， 经检验，6x =是原方程的根， ∴原方程的解为6x =． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键．【变式1-2】（2020·山东莘县·初三学业考试）解方程：214111x x x++=--． 【答案】原方程无解． 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x+1），得2(1)4(1)(1)x x x +-=+-，解得x=1．检验：把x=1代入（x ﹣1）（x+1）=0． 所以原方程的无解． 【点睛】本题考查解分式方程．【考点2】已知分式方程的解，求字母参数的值【例2】（2020·临潭县第二中学初三二模）若x=4是分式方程213a x x -=-的根，则a 的值为( ) A ．6 B ．－6C ．4D ．－4【答案】A 【解析】 【分析】把x =4代入方程进行求解即可. 【详解】 由题意得：24a -=143-， 解得：a =6， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程解的意义是解题的关键.【变式2-1】若关于x 的分式方程1的解为x ＝2，则m 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】∵关于x 的分式方程1的解为x ＝2，∴x ＝m ﹣2＝2， 解得：m ＝4． 故选：B ．点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键． 【考点3】分式方程的特殊解问题【例3】（2020·四川眉山·中考真题）关于x 的分式方程11222kx x-+=--的解为正实数，则k 的取值范围是________．【答案】2k >-且2k ≠ 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】 解：11222k x x-+=-- 方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1， 解得22k x +=222k +≠，022k +> 2k ∴>-，且2k ≠故答案为：2k >-且2k ≠ 【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．【变式3-1】（2020·四川广元·中考真题）关于x 的分式方程2021mx +=-的解为正数，则m 的取值范围是_____________． 【答案】m<2且m≠0 【解析】 【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m 的不等式，从而求得m 的范围． 【详解】解：去分母得：m+4x-2=0， 解得：x ＝24m-， ∵关于x 的分式方程2021mx +=-的解是正数， ∴24m-＞0， ∴m<2， ∵2x-1≠0， ∴22-104m-⨯≠， ∴m≠0，∴m 的取值范围是m<2且m≠0． 故答案为：m<2且m≠0． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．【变式3-2】（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定【答案】A 【解析】 【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k-，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解． 【详解】关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+ 得x=217k -， ∵41x -<<- ∴21471k --<<- 解得-7＜k ＜14∴整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又∵分式方程中x≠2且x≠-3 ∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∴k 值的乘积为正数, 故选A ． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． 【考点4】分式方程的无解（增根）问题【例4】（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，则m =_________．【答案】3． 【解析】 【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m 的值． 【详解】解：去分母得：()332x m x =++-，整理得：21x m =+， ∵关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，即20x -=， ∴2x =，把2x =代入到21x m =+中得：221m ⨯=+，解得：3m =， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．【变式4-1】（2020·四川遂宁·中考真题）关于x 的分式方程2mx -﹣32x-＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可． 【详解】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2， 把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0， 解得：m ＝﹣3， 故选：D ． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【考点5】分式方程的应用问题【例5】（2020·吉林长春·中考真题）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？ 【答案】2万斤 【解析】 【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x 万斤，则今年黑木耳的年销量为3x 万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x 万斤 依题意得80360203x x+= 解得：2x =经检验2x =是原方程的根，且符合题意． 答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式5-1】（2020·江苏泰州·中考真题）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6min ，求走路线B 的平均速度． 【答案】75km/h 【解析】 【分析】根据题意，设走线路A 的平均速度为/xkm h ，则线路B 的速度为1.5/xkm h ，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设走线路A 的平均速度为/xkm h ，则线路B 的速度为1.5/xkm h ，则2563060 1.5x x-=， 解得：50x =，检验：当50x =时，1.50x ≠， ∴50x =是原分式方程的解；∴走路线B 的平均速度为：50 1.575⨯=（km/h ）； 【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．【变式5-2】（2020·贵州黔西·中考真题）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A 型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知，A 型车和B 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A 型车20辆，B 型车40辆． 【解析】 【分析】（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可； （2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值． 【详解】解：（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由题意，得8000080000(110%)200x x -=-， 解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根． 答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由题意，得 y=a+（60﹣a ）， y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍， ∴60﹣a≤2a ， ∴a≥20．∵y=﹣300a+36000． ∴k=﹣300＜0， ∴y 随a 的增大而减小． ∴a=20时，y 最大=30000元． ∴B 型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大． 【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．1．（2020·四川广元·中考真题）按照如图所示的流程，若输出的=6M -，则输入的m 为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m 的值，从而可以解答本题． 【详解】解：当m 2-2m≥0时，661m =--，解得m=0，经检验，m=0是原方程的解，并且满足m 2-2m≥0， 当m 2-2m ＜0时，m-3=-6，解得m=-3，不满足m 2-2m ＜0，舍去． 故输入的m 为0． 故选：C ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 2．（2020·甘肃初三一模）关于x 的分式方程2x a1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1> B ．a 1<C ．a 1<且a 2≠-D ．a 1>且a 2≠【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围． 【详解】分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-， 因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-， 解得：a 1>且a 2≠， 故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．3．（2020·四川宜宾·中考真题）学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x 元，则列方程正确的是（ ）A ．15000120008x x =- B ．15000120008x x =+ C ．15000120008x x =- D ．15000120008x x=+ 【答案】B【解析】【分析】设文学类图书平均每本x 元，根据购买的书本数相等即可列出方程．【详解】设文学类图书平均每本x 元，依题意可得150********x x=+ 故选B ．【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．4．（2020·辽宁朝阳·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得（ ） A ．807250405x x ⨯=⨯+ B ．807240505x x ⨯=⨯+ C ．728040505x x ⨯=⨯- D ．728050405x x ⨯=⨯- 【答案】B【解析】【分析】 根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【详解】设班级共有x 名学生，依据题意列方程得，807240505x x ⨯=⨯+ 故选：B ．【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．5．（2020·辽宁鞍山·中考真题）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x 个零件，所列方程正确的是（ ）A ．2403006x x =-B ．2403006x x =+C ．2403006x x =-D ．2403006x x=+ 【答案】B【解析】【分析】根据“甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等”，列出方程即可．【详解】解：根据题意得：2403006x x =+， 故选B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．6．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定 【答案】A【解析】【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k -，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解． 【详解】关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+ 得x=217k -， ∵41x -<<-∴21471k --<<- 解得-7＜k ＜14∴整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∴k 值的乘积为正数,故选A ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．7．（2020·重庆市教科院巴蜀实验学校）关于x 的方程1242k x x x -=--的解为正数，则k 的取值范围是（ ）A ．4k >-B ．4k <C ．4k >-且4k ≠D ．4k <且4k ≠- 【答案】C【解析】【分析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.【详解】解：分式方程去分母得：(24)2k x x --=， 解得：44k x +=， 根据题意得：404k +>，且424k +≠， 解得：4k >-，且4k ≠．故选C ．【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.8．（2018·四川巴中·中考真题）若分式方程231222x a x x x x -+=--有增根，则实数a 的取值是（ ） A ．0或2B ．4C ．8D ．4或8【答案】D【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．【详解】解：方程两边同乘x （x ﹣2），得3x ﹣a+x=2（x ﹣2），由题意得，分式方程的增根为0或2，当x=0时，﹣a=﹣4，解得，a=4，当x=2时，6﹣a+2=0，解得，a=8，故选D ．【点睛】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．9．（2020·山东济南·中考真题）代数式31x -与代数式23x -的值相等，则x ＝_____． 【答案】7【解析】【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．【详解】 解：根据题意得：3213x x =--， 去分母得：3x ﹣9＝2x ﹣2，解得：x ＝7，经检验x ＝7是分式方程的解．故答案为：7．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．10．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x-的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________． 【答案】()2x x - x=-4【解析】【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【详解】解：∵()222x x x x -=-， ∴分式22x x -与282x x -的最简公分母是()2x x -， 方程228122-=--x x x x ， 去分母得：()2282x x x -=-， 去括号得：22282x x x -=-，移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．11．（2020·广东广州·中考真题）方程3122x x x =++的解是_______． 【答案】32【解析】【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可．【详解】 3122x x x =++ 左右同乘2(x +1)得: 2x =3解得x =32．经检验x =32是方程的跟． 故答案为: 32． 【点睛】本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤．12．（2020·黄冈市启黄中学初三二模）关于x 的分式方程21311x a x x --=--的解为非负数，则a 的取值范围为_______．【答案】4a ≤且3a ≠【解析】【分析】 根据解分式方程的方法和方程21311x a x x --=--的解为非负数，可以求得a 的取值范围． 【详解】 解：21311x a x x--=--， 方程两边同乘以1x -，得()2131x a x -+=-，去括号，得2133x a x -+=-，移项及合并同类项，得4x a =-，关于x 的分式方程21311x a x x--=--的解为非负数，10x -≠， ∴()40410a a -≥⎧⎨--≠⎩， 解得，4a ≤且3a ≠，故答案为：4a ≤且3a ≠．【点睛】本题主要考查根据分式方程的根求解参数，难度系数稍微有点大，但是是必考点.13．（2020·山东乐陵·初三二模）若关于x 的分式方程333x a x x+--=2a 无解，则a 的值为_____．【答案】1或12【解析】 分析：直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．详解：去分母得：x-3a=2a （x-3），整理得：（1-2a ）x=-3a ，当1-2a=0时，方程无解，故a=12； 当1-2a≠0时，x=312a a --=3时，分式方程无解， 则a=1，故关于x 的分式方程333x a x x +-+=2a 无解，则a 的值为：1或12． 故答案为1或12． 点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键． 14．（2020·四川内江·中考真题）若数a 使关于x 的分式方程2311x a x x ++=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，则符合条件的所有整数a 的积为_____________ 【答案】40【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ≤5且a≠3，根据不等式组的解集为0y ≤，即可得出a>0，找出0<a ≤5且a≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论．【详解】 解：分式方程2311x a x x ++=--的解为x=52a -且x≠1， ∵分式方程2311x a x x++=--的解为非负数， ∴502a -≥且52a -≠1. ∴a ≤5且a≠3.()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩①② 解不等式①，得0y ≤.解不等式②，得y<a.∵关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤， ∴a>0.∴0<a ≤5且a≠3.又a 为整数，则a 的值为1，2，4，5.符合条件的所有整数a 的积为124540⨯⨯⨯=.故答案为：40.【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为0y ≤，找出a 的取值范围是解题的关键．15．（2020·黑龙江大庆·中考真题）解方程：24111x x x -=-- 【答案】3【解析】【分析】去分母化成整式方程，求出x 后需要验证，才能得出结果；【详解】 24111x x x -=--， 去分母得：214x x -+=，解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ，∴3x =是分式方程的根．【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．16．（2020·陕西中考真题）解分式方程：2312xx x--=-．【答案】x＝45．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程2312xx x--=-，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，移项得：-5x=-4，系数化为1得：x＝45，经检验x＝45是分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．17．（2020·湖南中考真题）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【解析】【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G 下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：600x﹣60015x＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15x =15×4＝60，答：该地4G 的下载速度是每秒4兆，则该地5G 的下载速度是每秒60兆．【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G 与4G 下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键．18．（2020·辽宁丹东·中考真题）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？【答案】八年级捐书人数是450人．【解析】【分析】设七年级捐书人数为x ，则八年级捐书人数为（x+150），根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，列出方程求解并检验即可．【详解】设七年级捐书人数为x ，则八年级捐书人数为（x+150），根据题意得，180018001.5150x x=⨯+， 解得，300x =，经检验，300x =是原方程的解，∴ x+150=400+150=450，答：八年级捐书人数是450人．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程求解并检验．19．（2020·山东淄博·中考真题）如图，著名旅游景区B 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C 地，沿折线A→C→B 方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A 地到景区B的笔直公路．请结合∠A ＝45°，∠B ＝30°，BC ＝100≈1.4≈1.7等数据信息，解答下列问题： （1）公路修建后，从A 地到景区B 旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？【答案】（1）从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）施工队原计划每天修建0.14千米．【解析】【分析】【详解】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝CDBC，BC＝1000千米，∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），∴AB＝50+50（千米），∴AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，﹣＝50，解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.14千米．（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．20．（2020·湖北恩施·中考真题）某校足球队需购买A 、B 两种品牌的足球．已知A 品牌足球的单价比B 品牌足球的单价高20元，且用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等． （1）求A 、B 两种品牌足球的单价；（2）若足球队计划购买A 、B 两种品牌的足球共90个，且A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A 品牌足球m 个，总费用为W 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？【答案】（1）购买A 品牌足球的单价为100元，则购买B 品牌足球的单价为80元；（2）该队共有6种购买方案，购买60个A 品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．【解析】【分析】（1）设购买A 品牌足球的单价为x 元，则购买B 品牌足球的单价为（x-20）元，根据用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m 个A 品牌足球，则购买（90−m ）个B 品牌足球，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8500元，以及A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．【详解】解：（1）设购买A 品牌足球的单价为x 元，则购买B 品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得 90072020x x =- 解得：x=100经检验x=100是原方程的解x-20=80答：购买A 品牌足球的单价为100元，则购买B 品牌足球的单价为80元．（2）设购买m 个A 品牌足球，则购买（90−m ）个B 品牌足球，则W=100m+80(90-m)=20m+7200∵A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元． ∴()2072008500290m m m +≤⎧⎨≥-⎩解不等式组得：60≤m ≤65所以，m的值为：60,61,62,63,64,65即该队共有6种购买方案，当m=60时，W最小m=60时，W=20×60+7200=8400(元)答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．。

中考数学复习专题综合过关检测—分式方程及应用（含解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1．（2023•天涯区一模）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（）A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2【答案】D【解答】解：方程变形得：+＝1，去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，故选：D．2．（宝应县二模）初三（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（）A．9B．10C．12D．14【答案】B【解答】解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：，解得：x＝10．检验得x＝10是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树10棵．故选：B．3．（2023•邵阳县一模）分式方程＝的解是（）A．x＝3B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝﹣3【答案】D【解答】解：去分母得，3（x+1）＝2x，去括号得，3x+3＝2x，移项得，x＝﹣3，检验：把x＝﹣3代入x（x+1）＝﹣3（﹣3+1）＝6≠0，∴x＝﹣3是原方程的解，故选：D．4．（2023•武威三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得，＝2，故选：A．5．（2023•龙江县校级三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1【答案】D【解答】解：，方程两边同时乘以x﹣2，得1﹣a＝2ax﹣4a，移项、合并同类项，得2ax ＝3a +1，∵方程无解，∴2a ＝0或＝2，解得a ＝0或a ＝1．故选：D ．6．（2023•环翠区一模）若关于x 的分式方程﹣1＝有增根，则a 的值为（）A ．﹣3B ．3C ．2D ．﹣【答案】A【解答】解：方程两边都乘以（x ﹣2）得：6﹣（x ﹣2）＝﹣ax ，解得：x ＝，∵方程有增根，∴x ﹣2＝0，∴x ＝2，∴＝2，解得：a ＝﹣3．故选：A ．7．（2023•东港区校级三模）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a 元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x 包，则依题意列方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解答】解：设原计划购买口罩x 包，则实际购买口罩（x +5）包，依题意得：＝+2．故选：B．8．（2023•吴桥县校级模拟）“若关于x 的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：尖尖：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项得：ax﹣3x＝12﹣9，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，∵原方程无解，∴a﹣3＝0，∴a＝3．丹丹：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，解得：x＝，∵原方程无解，∴x为增根，∴3x﹣9＝0，解得x＝3，∴＝3，解得a＝4．下列说法正确的是（）A．尖尖对，丹丹错B．尖尖错，丹丹对C．两人都错D．两人的答案合起来才对【答案】D【解答】解：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，∵原方程无解，∴x为增根或a﹣3＝0，当3x﹣9＝0，解得x＝3，此时＝3，解得a＝4；当a﹣3＝0，解得a＝3；综上所述：a的值为3或4，故选：D．9．（2023•义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（）A．5B．4C．3D．1【答案】A【解答】解：根据题意得：＝1，去分母得：x﹣2＝3，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝5．故选：A．10．（2023•黄埔区校级二模）在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b＝，如2※4＝，根据这个规则，则方程3※（x+1）＝1的解为（）A．B．1C．﹣1D．﹣【答案】A【解答】解：由题意得：3※（x+1）＝．∵3※（x+1）＝1，∴．∴x+1+3＝3（x+1）．∴x+4＝3x+3．∴﹣2x＝﹣1．∴x＝．当x＝时，3（x+1）≠0．∴这个方程的解为x＝．故选：A．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）11．（2023•柳州三模）分式方程的解是x＝﹣2．【答案】x＝﹣2．【解答】解：，方程两边都乘x（x﹣3），得2（x﹣3）＝5x，解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，x（x﹣3）≠0，所以x＝﹣2是分式方程的解．故答案为：x＝﹣2．12．（2023•梁山县模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为．【答案】．【解答】解：设学生步行的速度为每小时x里，则牛车的速度是每小时1.5x里，∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，∴，故答案为：．13．（2023•建湖县一模）关于x的分式方程＝2的解为正数，则a的取值范围是a＜4且a≠2．【答案】a＜4且a≠2．【解答】解：去分母得：1﹣（a﹣1）＝2（x﹣1），解得：x＝2﹣a，由分式方程的解为正数，得到2﹣a＞0，且2﹣a≠1，解得：a＜4且a≠2，故答案为a＜4且a≠2．14．（2023•盐田区二模）当x＝﹣8时，分式的值为2．【答案】﹣8．【解答】解：根据题意得：＝2，去分母得：x﹣2＝2（x+3），解得：x＝﹣8，检验：把x＝﹣8代入得：x+3≠0，∴分式方程的解为x＝﹣8，则当x＝﹣8时，分式的值为2．故答案为：﹣8．15．（2023•市北区三模）甲、乙两人同时从学校出发，去距离学校15千米的农场参加劳动．甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10分钟，求甲和乙的速度各是多少？设乙的速度为x千米/小时，则根据题意可列方程为．【答案】．【解答】解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为1.2x千米/小时，根据题意得：．故答案为：．16．（2023•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程+＝1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是﹣10．【答案】﹣10，【解答】解：关于x的不等式组整理得，∵关于x的不等式组有且仅有四个整数解，∴1≤＜2，∴﹣8＜a≤﹣3，解分式方程得y＝且≠2，∵关于y的分式方程有整数解，且a为整数，∴符合条件的所有整数a为﹣7，﹣3，∴符合条件的所有整数a的和为：﹣7﹣3＝﹣10．故答案为：﹣10．三、解答题（本题共7题，共58分）。

考点05 分式、分式方程及其应用分式在中考中的考察难度不大，考点多在于分式有意义的条件，以及分式的化简求值。

浙江中考中，分式这个考点的占比并不太大，其中分式的化简求值问题为主要出题类型，出题多以简答题为主；个别城市会同步考察分式方程的简单应用，多以选择填空题为主，有些城市甚至不会出分式的单独考题；而分式方程的应用也和分式方程一样，较少出题，出题也基本是以选择题或者填空题的形式考察，整体难度较小。

但是，分式的化简方法以及分式方程的解法的全面复习对后期辅助几何综合问题中的计算非常重要！考向一、分式有意义的条件考向二、分式的运算法则考向三、分式方程的解法考向四、分式方程的应用考向一：分式有意义的条件1.分式：一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有分母，那么式子叫做分式，分式中A叫做分子，B 叫做分母。

最简分式：分子分母中不含有公因式的分式2.分式有意义的条件3.分式值=0需满足的条件【易错警示】1．下列四个式子：，x 2+x ，m ，，其中分式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据分式的定义可得．【解答】解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有，两个分母中都含有字母，所以这两个是分式，故选：B ．2．若分式无意义，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据分式无意义的条件可得2x ﹣1＝0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x ﹣1＝0，解得：x ＝，若 ＜故选：C ．3．若分式的值为零，则x 的值为（ ）A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．1【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得x 2﹣4＝0，且x +2≠0，解得，x ＝2．故选：B ．4．已知＝，则的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【分析】先化简，代入数值计算即可．【解答】解：∵，＝＝＝．故选：C ．考向二：分式的运算法则1.分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

2023年中考数学----《分式方程之分式方程的应用》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1. 列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。

②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。

③列方程：根据等量关系与未知数列出分式方程。

④解方程——按照解分式方程的步骤解方程。

④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。

练习题1、（2022•内蒙古）某班学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为x km /h ，下列方程正确的是（ ）A ．2021010=−x x B ．2010210=−x x C ．3110210=−x xD ．3121010=−x x【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为2xkm /h ，利用时间＝路程÷速度，结合汽车比骑车学生少用20min ，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解答】解：∵骑车学生的速度为xkm /h ，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍， ∴汽车的速度为2xkm /h ． 依题意得：﹣＝，即﹣＝．2、（2022•淄博）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x 元，则下列方程中正确的是（ ）A ．()10%1512000020000−−⨯=x x B ．()x x %151200*********−⨯=− C ．()10%1512000020000+−⨯=x x D ．()xx %151200*********−⨯=+ 【分析】根据题目中的数据和两次购买的数量相同，可以列出相应的分式方程． 【解答】解：由题意可得，，故选：D ．3、（2022•阜新）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x 万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．202.13030=−x xB ．2.1203030=−−x x C ．20302.130=−xxD ．2.1302030=−−xx【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x 万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x 万人， ∴实际每天接种1.2x 万人，又∵结果提前20天完成了这项工作， ∴﹣＝20．4、（2022•襄阳）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为（ ）A ．190023900+⨯=+x x B ．190023900+⨯=−x xC ．390021900+⨯=−x x D ．390021900−⨯=+x x 【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为（x +1）天，快马送到所需时间为（x ﹣3）天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵规定时间为x 天，∴慢马送到所需时间为（x +1）天，快马送到所需时间为（x ﹣3）天， 又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里， ∴＝2×．故选：B ．5、（2022•朝阳）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min 后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．60305.16060=−x x B ．6030605.160=−x x C ．305.16060=−xx D ．30605.160=−xx 【分析】设慢车每小时行驶xkm ，则快车每小时行驶1.5xkm ，根据基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min 后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达，列方程即可．【解答】解：设慢车每小时行驶xkm ，则快车每小时行驶1.5xkm ， 根据题意可得：﹣＝．故选：A ．6、（2022•黔西南州）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x 亩，则可以得到的方程为（ ）A ．x x 302436⨯=− B ．x x 302436⨯=+ C ．430236−⨯=x x D ．430236+⨯=x x 【分析】根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半列出方程即可． 【解答】解：根据题意得：＝2×．故选：D ．7、（2022•济宁）一辆汽车开往距出发地420km 的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km ，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm /h ，根据题意所列方程是（ ）A ．110420420+−=x x B ．10420420+=+x x C ．110420420++=x xD ．10420420−=+x x 【分析】根据提速后及原计划车速间的关系，可得出这辆汽车提速后的速度是（x +10）km /h ，利用时间＝路程÷速度，结合提速后可提前1小时到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵这辆汽车比原计划每小时多行10km ，且这辆汽车原计划的速度是xkm /h ， ∴这辆汽车提速后的速度是（x +10）km /h ． 依题意得：＝+1，故选：C ．8、（2022•辽宁）小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km 所用时间与小明骑行24km 所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km ，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm ，所列方程正确的是（ ） A ．22428+=x x B ．xx 24228=+ C ．xx 24228=− D ．22428−=x x 【分析】根据小强与小明骑行速度间的关系可得出小明每小时骑行（x ﹣2）km ，利用时间＝路程÷速度，结合小强骑行28km 所用时间与小明骑行24km 所用时间相等，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解答】解：∵小强每小时比小明多骑行2km ，小强每小时骑行xkm ， ∴小明每小时骑行（x ﹣2）km ． 依题意得：＝．故选：D ．9、（2022•恩施州）一艘轮船在静水中的速度为30km /h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km /h ，则符合题意的方程是（ ）A ．v v −=+309630144 B ．v v 9630144=− C ．vv +=−309630144 D ．vv +=3096144 【分析】根据“顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等”列分式方程即可． 【解答】解：根据题意，可得，故选：A ．10、（2022•绥化）有一个容积为24m 3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm 3，由题意列方程，正确的是（ ）A ．3041212=+x x B ．2441515=+x x C ．2423030=+xxD ．3021212=+xx【分析】设细油管的注油速度为每分钟xm 3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm 3，利用注油所需时间＝注油总量÷注油速度，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解答】解：24÷2＝12（m 3）．设细油管的注油速度为每分钟xm 3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm 3， 依题意得：+＝30．故选：A ．11、（2022•荆州）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km 和10km 的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min 到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm /h ，则依题意可列方程为（ ）A ．x x 4103136=+ B ．x x 4102036=+ C ．3141036=−x xD ．2041036=−xx【分析】根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20min 到达基地，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可知，甲的速度为3xkm /h ，则乙的速度为4xkm /h ，+＝，即+＝，故选：A．12、（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为．【分析】根据两车间工作效率间的关系，可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，∴乙车间每天加工1.5x件产品，又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，∴﹣＝3．故答案为：﹣＝3．13、（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为．【分析】根据等量关系：原来参加3000米比赛时间﹣经过一段时间训练后参加3000米比赛时间＝3分钟，依此列出方程即可求解．【解答】解：依题意有：﹣＝3．故答案为：﹣＝3．14、（2022•黑龙江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x个，可列方程为．【分析】根据甲车间生产500个玩具所用的时间＝乙车间生产400个玩具所用的时间，列出方程即可解答．【解答】解：设乙车间每天生产x个，则甲车间每天生产（x+10）个，由题意得：＝，故答案为：＝．15、（2022•江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．【解答】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：＝．故答案为：＝．。

分式方程及其应用【命题趋势】在中考中.解分式方程常以选择题、填空题和计算题考查；分式方程的实际应用再选择题考查列方程.解答题多与不等式、函数的实际应用结合考查。

【中考考查重点】一、能解可化一元一次方程的分式方程二、能根据具体问题的实际意义.检验方程的解是合理考点一：解分式方程1．（2021•广州）方程＝的解为（）A．x＝﹣6B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝6 2．（2021•贵池区模拟）分式方程+2＝的解是（）A．1B．0C．﹣1D．无解3．（2021•饶平县校级模拟）在下列方程中.（）是分式方程．A ．＝1B ．C ．D ．4．（2020•郴州）解方程：＝+1．考点二：分式方程的实际应用行程问题时间速度路程= 工程问题 工作完成时间工作效率工作总量= （当题干中没有给出具体工作总量时.默认工作总量为1）购买问题总量单价总价= 航行问题顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度【提分要点】双检验：1.检验是否为分式方程的解； 2.检验是否符号实际问题5．（2021•黔西南州）高铁为居民出行提供了便利.从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地.乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍.设普通列车的平均速度为xkm/h.依题意.下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．＝36．（2021•黔东南州模拟）2020年在抗击“新型冠状病毒”期间.甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资.甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后.乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完工.则根据题意列得方程（）A．B．C．D．7．（2021•市中区三模）开学在即.由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同.且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍.则第二次购买口罩的单价是元．8．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场.就用4000元购进一批衬衫.面市后果然供不应求.该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫.所购数量是第一批购进数量的2倍.但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是元．1．（2021秋•遵化市期中）下列哪个是分式方程（）A．﹣﹣3x＝6B．﹣1＝0C．﹣3x＝5D．2x2+3x＝﹣2 2．（2021秋•江油市期末）一艘轮船在两个码头之间航行.顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h.则轮船在静水中航行的速度是（）A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h3．（2021•张湾区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书.现用A、B两种不同的包装箱进行包装.单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本.则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．4．（2021•安阳二模）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车.达到世界先进水平.安全、舒适、快速是它的显著优点．从安阳东站到北京西站的距离是516千米.乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟.已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时.设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时.根据题意可列方程（）A．﹣＝2.6B．﹣＝2C．﹣＝D．﹣＝25．（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．1．（2021•阿坝州）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3.则m的值为（）A．3B．﹣3C．﹣1D．1 2．（2021•百色）方程＝的解是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝33．（2021•巴中）关于x的分式方程﹣3＝0有解.则实数m应满足的条件是（）A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2 4．（2021•兴安盟）若关于x的分式方程+＝2无解.则a的值为（）A．﹣1B．0C．3D．0或3 5．（2021•鄂尔多斯）2020年疫情防控期间.鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要.花1万元购买了一批口罩.随着2021年疫情的缓解.以及各种抗疫物资充足的供应.每包口罩下降10元.电信公司又花6000元购买了一批口罩.购买的数量比2020年购买的数量还多100包.设2020年每包口罩为x元.可列方程为（）A．B．C．D．6．（2021•株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十.粝米三十…”（粟指带壳的谷子.粝米指糙米）.其意为：“50单位的粟.可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）.若按照此“粟米之法”.则可以换得的粝米为（）A．1.8升B．16升C．18升D．50升7．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中.需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响.实际施工时每天的工效比原计划增加25%.结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道.根据题意.所列方程正确的是（）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝30D．﹣＝308．（2021•大庆）解方程：+＝4．1．（2014•日照校级模拟）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程＝0的根为2；③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021•安徽模拟）若x＝6是分式方程的根.则a的值为（）A．6B．﹣6C．4D．﹣4 3．（2021•郯城县模拟）分式方程＝0的解是（）A．1B．﹣1C．±1D．无解4．（2021•西湖区校级三模）某生产厂家更新技术后.平均每天比更新技术前多生产3万件产品.现在生产50万件产品与更新技术前生产40万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产产品x万件.则可以列方程为（）A．B．C．D．5．中国高铁目前是世界高铁的领跑者.无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km.乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h.已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．设特快列车的平均行驶速度为xkm/h.则下面所列方程中正确（）A．﹣＝3.6B．﹣＝3.6C．﹣＝3.6D．＝3.6﹣6．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌.现有A、B两个商家.A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数.则A商家每张餐桌的售价为（）A．197元B．198元C．199元D．200元7．（2021•碑林区校级模拟）解方程：＝1﹣．。

中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。

3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】 数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。

分式、分式方程及其应用一、选择题1. （ 安徽，5，4分）方程3112=-+x x 的解是（ ） A.-54 B.54C.-4D.4 【答案】D.【逐步提示】先把方程两边同乘以x-1，化分式方程为整式方程，然后解这个整式，检验整式方程的解后直接选择.【详细解答】解：方程两边同乘以x-1,得2x+1=3(x-1),解得x=4,经检验m=4是原方程的解，故选择D.【解后反思】解分式方程的一般方法是把分式方程化成整式方程来解，并且一定要检验方程的根，把增根舍去.本题也可以把各选项的值代入方程找出正确的选项. 【关键词】 分式方程、分式方程的解法2. （ 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，8，3分）某工厂现在平均每天比原计划每天多生产50台机 器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．90060050x x =+ B ．90060050x x =- C ．90060050x x =+ D ．90060050x x =-【答案】A【逐步提示】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是将题中的相等关系用含有未知数的 代数式表示，用含有x 的代数式表示现在平均每天生产的机器数量，再根据题中关于时间 的相等关系列方程即可．【详细解答】解：设原计划平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产（x +50）台机器， 现在生产800台机器所需时间可表示为90050x +，原计划生产600台机器所需时间可表示为 600x ，根据这两者时间相等，得方程90060050x x=+，故选择A ． 【解后反思】列分式方程与列整式方程一样，先分析题意，准确找出应用题中包含的等量关 系，恰当地设出未知数，列出方程． 【关键词】分式方程的应用；3. （ 甘肃省天水市，7，4分）已知分式2(1)(2)1x x x -+-的值为0．那么x 的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．1或－2【答案】B 【逐步提示】本题考查了分式的值为0的条件，求解关键是根据这个条件列出方程和不等式．本题涉及到的知识：分式有意义的条件是分母不为0；分式的值为0的条件是分子为0，且分母不为0．【详细解答】解：根据题意，得()()212010x x x ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解之得x ＝－2，故选择B ．【解后反思】实际求解中，学生易忽视分母不等于0的条件而错误地选择D ．【关键词】分式；一元二次方程的解法——因式分解法；一元二次方程的解法——直接开平方法． 4. （广东省广州市，14，3分）方程x 21=32-x 的解是 ． 【答案】x =－1【逐步提示】利用解分式方程的一般步骤直接解分式方程即得其解．【详细解答】解：去分母，得x －3=4x ．移项合并同类项，得－3x =3．∴x =－1．检验：当x =－1时，2x (x －3)=8≠0．∴x =－1是原分式方程的解．故答案为x =－1． 【解后反思】（1）解分式方程的基本思想是转化思想，即通过去分母把分式方程转化成整式方程来解．（2）解分式方程去分母时，首先要找准最简公分母，注意最简公分母要包含各分式所有分母的因式，分母是多项式的，应先分解因式，再从系数、相同字母、不同字母三个方面考虑，其中系数取最小公倍数，相同字母或因式取最高次幂，互为相反数的因式，注意通过符号变化取其中一个作为最简公分母的因式即可；其次，依据等式的基本性质，分式方程的每一项都要乘以最简公分母，特别不要漏乘没有分母的项，还要注意不要去掉括号以及避免符号变形错误．（3）解分式方程必须验根，一般方法为把所解得的未知数的值代入最简公分母，若为零则为増根，不为零则为原分式方程的解． 【关键词】解分式方程5. （贵州省毕节市，13，3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x 棵，则列出的方程为（ ）A.30300400-=x x B.x x 30030400=- C.x x 30030400=+ D.30300400+=x x 【答案】A【逐步提示】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中的等量关系．①题中的等量关系是：现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同；②现在植树400棵所需时间为：400现在每天植树棵数；原计划植树300棵所需时间为：300原计划每天植树棵数；③现在平均每天植树x 棵，原计划每天植树(x －30)棵．【详细解答】解：由题意，得方程组30300400-=x x ，故选择A. 【解后反思】本题的易错点是容易误认为x 是原计划每天植树棵数，从而误选C ．通常我们假设未知数时，一般设较小的一个量为x ，用和或倍数表示另一个量，但这并非原则和规定，设较大的量为x 也可以． 【关键词】 分式方程的应用；6.（ 河北省，4，3分）下列运算结果为x -1的是（ ）A ．11x -B ．211x x x x -⋅+C ．111x x x +÷- D ．2211x x x +++ 【答案】B【逐步提示】分别计算（或化简）每个式子，看其结果是否为x-1.【详细解答】解：1111x x x x x x--=-=，()()2111111x x x xx x x x x x +--⋅=⋅=-++，2+11+11111x x x x x x x x --÷=⋅=-，()22+1+2+11+1+1x x x x x x ==+，故运算结果为x －1的是选项B .【解后反思】分式的运算法则如下：运算法则数学表达式加减法同分母相加减：分母不变，分子相加减． a c ±b c ＝a b c±． 异分母相加减：先通分，同乘以各分母的最小公倍数，再按同分母相加减法则运算．a cb d ±=ad bcbd+． 乘法 两分式相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘．a c acb d bd⨯=． 除法分式A÷B 则A·1B，然后用分式乘法进行运算．a c a d adb d bc bc÷=⋅=．【关键词】 分式的乘除；分式的加减；分式的约分7. （ 河北省，12，2分）在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是（ ） A ．11538x x =- B ．11538x x =+ C ．1853x x =- D ．1853x x =+【答案】C【逐步提示】本题考查了倒数的表示及列分式方程，找到题目中的等量关系是解题的关键. 【详细解答】解：3x 、8x 的倒数分别为13x ，18x ，根据“她求得的值比正确答案小5” 可知“18x 比13x小5”，故可列方程为18x =13x－5，答案为选项C. 【解后反思】1.a （a ≠0）的倒数的1a，注意不要将其与相反数，绝对值等相混淆；2.列方程的关键是找对等量关系，如本题要弄清两个倒数的大小关系. 【关键词】 倒数；列分式方程8. （ 湖北省十堰市，7，3分）用换元法解方程31241222=---x x x x 时，设y xx =-122，则原方程可化为（ ） A. 031=--y y B.y-y 4-3=0 C.y-031=+y D.y-y4+3=0. 【答案】B【逐步提示】本题主要考查分式方程的换元方法，解题的关键是理解x x 122-和122-x x是一对互为倒数的关系；解题的思路：设y x x =-122，那么yx x 141242⨯=-. 【详细解答】解：因为y x x =-122 ，所以y x x 141242⨯=-，原方程可以变形为y-y4-3=0故选择B .【解后反思】分式方程求解的方法主要有两个，一是直接在方程的两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程来解；另一个是换元后，再转化为整式方程求解.思维拓展：换元法不仅可以解部分分式方程，也可以解部分一元高次方程或无理方程，有时因式分解也需要用到换元法. 【关键词】分式方程和无理方程; 分式方程的解法9.（湖南省衡阳市，2，3分）如果分式13-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 全体实数 B. 1≠x C. 1=x D. 1>x【答案】B【逐步提示】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是理解分式有意义的条件．第一步：根据分式有意义的条件是分母的值不等于0，列出不等式；第二步：解不等式，即可求得答案。

分式方程及应用【考点1】解分式方程【例1】（2019•上海）解方程： 1【变式1-1】（2019•宁夏）解方程：1．【变式1-2】（2019•广安）解分式方程：1．【考点2】已知分式方程的解，求字母参数的值【例2】（2019•株洲）关于x的分式方程解为x＝4，则常数a的值为（）A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10【变式2-1】（2019•张家界）若关于x的分式方程1的解为x＝2，则m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点3】分式方程的特殊解问题【例3】（2019•鸡西）已知关于x的分式方程1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3【变式3-1】（2019•荆州）已知关于x的分式方程2的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【变式3-2】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程3的解为非负数，则a的取值范围为．【考点4】分式方程的无解（增根）问题【例4】（2019•烟台）若关于x的分式方程1有增根，则m的值为．【变式4-1】（2019•巴中）若关于x的分式方程2m有增根，则m的值为．【考点5】分式方程的应用问题【例5】（2019•丹东）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．【变式5-1】（2019•铁岭）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？【变式5-2】（2019•南通）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．1．（2019•海南）分式方程1的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣22．（2019•益阳）解分式方程3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3 B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3（2x﹣1）D．x+2＝3（2x﹣1）3．（2019•遂宁）关于x的方程1的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4 D．k＜4且k≠﹣4 4．（2019•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．0 B．1 C．4 D．6．5．（2018•阿坝州）若x＝4是分式方程的根，则a的值为（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣46．（2018•巴中）若分式方程有增根，则实数a的取值是（）A．0或2 B．4 C．8 D．4或87．（2019•鞍山）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为．8．（2019•永州）方程的解为x＝．9．（2019•锦州）甲、乙两地相距1000km，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用3h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为xkm/h，根据题意可列方程为．10．（2019•铜仁市）分式方程的解为y＝．11．（2019•襄阳）定义：a*b，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．12．（2019•宿迁）关于x的分式方程1的解为正数，则a的取值范围是．13．（2018•齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为．14．（2019•随州）解关于x的分式方程：．15．（2019•朝阳）佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%．已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个．请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？16.（2019•西藏）列方程（组）解应用题绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树600棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树多少棵？17．（2019•沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．（1）求甲种树苗每棵多少元？（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？18．（2019•云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．19．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？20．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？分式方程及应用【考点1】解分式方程【例1】（2019•上海）解方程： 1【答案】x＝﹣4【解析】去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式1-1】（2019•宁夏）解方程：1．【答案】x＝4【解析】1，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2），∴x＝4，经检验x＝4是方程的解；∴方程的解为x＝4；点睛：本题考查分式方程的解；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．【变式1-2】（2019•广安）解分式方程：1．【答案】x＝4【解析】1，方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，解得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．所以原方程的解为x＝4．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【考点2】已知分式方程的解，求字母参数的值【例2】（2019•株洲）关于x的分式方程解为x＝4，则常数a的值为（）A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10【答案】D【解析】把x＝4代入方程，得0，解得a＝10．故选：D．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．【变式2-1】（2019•张家界）若关于x的分式方程1的解为x＝2，则m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】∵关于x的分式方程1的解为x＝2，∴x＝m﹣2＝2，解得：m＝4．故选：B．点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．【考点3】分式方程的特殊解问题【例3】（2019•鸡西）已知关于x的分式方程1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3【答案】A【解析】1，方程两边同乘以x﹣3，得2x﹣m＝x﹣3，移项及合并同类项，得x＝m﹣3，∵分式方程1的解是非正数，x﹣3≠0，∴，解得，m≤3，故选：A．点睛：本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．【变式3-1】（2019•荆州）已知关于x的分式方程2的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【答案】B【解析】∵2，∴2，∴x＝2+k，∵该分式方程有解，∴2+k≠1，∴k≠﹣1，∵x＞0，∴2+k＞0，∴k＞﹣2，∴k＞﹣2且k≠﹣1，故选：B．点睛：本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．【变式3-2】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程3的解为非负数，则a的取值范围为．【答案】a≤4且a≠3【解析】3，方程两边同乘以x﹣1，得2x﹣a+1＝3（x﹣1），2x﹣a+1＝3x﹣3，移项及合并同类项，得x＝4﹣a，∵关于x的分式方程3的解为非负数，x﹣1≠0，∴，解得，a≤4且a≠3，故答案为：a≤4且a≠3．点睛：本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．【考点4】分式方程的无解（增根）问题【例4】（2019•烟台）若关于x的分式方程1有增根，则m的值为．【解析】.方程两边都乘（x﹣2），得3x﹣x+2＝m+3∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝3．故答案为3．点睛：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式4-1】（2019•巴中）若关于x的分式方程2m有增根，则m的值为．【答案】1【解析】方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是1，点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【考点5】分式方程的应用问题【例5】（2019•丹东）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．【答案】乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m【解析】（1）设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x米/分钟，根据题意得 2.5，解得x＝80．经检验，x＝80是原分式方程的解．所以2.5×8×80＝1600（m）答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m．点睛：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【变式5-1】（2019•铁岭）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？【解析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，根据题意得：，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，∴x﹣1＝5．答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，根据题意得：6y+5（2y+60）≤2100，解得：y≤112，∵y为整数，∴y最大值＝112答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式5-2】（2019•南通）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．【答案】每套《三国演义》的价格为80元【解析】设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元，依题意，得：2，解得：x＝80，经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意．答：每套《三国演义》的价格为80元．点睛：.本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．1．（2019•海南）分式方程1的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2【答案】B【解析】1，两侧同时乘以（x+2），可得x+2＝1，解得x＝﹣1；经检验x＝﹣1是原方程的根；故选：B．点睛：本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键．2．（2019•益阳）解分式方程3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3 B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3（2x﹣1）D．x+2＝3（2x﹣1）【答案】C【解析】方程两边都乘以（2x﹣1），得x﹣2＝3（2x﹣1），故选：C．点睛：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．3．（2019•遂宁）关于x的方程1的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4 D．k＜4且k≠﹣4【答案】C【解析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，解得：x，根据题意得：0，且2，解得：k＞﹣4，且k≠4．故选：C．点睛：此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．4．（2019•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】B【解析】由不等式组得：∵解集是x≤a，∴a＜5；由关于y的分式方程1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1∴y，∵有非负整数解，∴0，∴5＞a≥﹣3，且a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3它们的和为1．故选：B．点睛：本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程得问题，需要考虑的因素较多，属于易错题．5．（2018•阿坝州）若x＝4是分式方程的根，则a的值为（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4【答案】A【解析】将x＝4代入分式方程可得：，化简得1，解得a＝6．故选：A．点睛：本题主要考查分式方程及其解法．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．6．（2018•巴中）若分式方程有增根，则实数a的取值是（）A．0或2 B．4 C．8 D．4或8【答案】D【解析】方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x＝2（x﹣2），由题意得，分式方程的增根为0或2，当x＝0时，﹣a＝﹣4，解得，a＝4，当x＝2时，6﹣a+2＝0，解得，a＝8，故选：D．点睛：本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．7．（2019•鞍山）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为．【答案】．【解析】设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用600元购买A种树苗的棵数是，用450元购买B种树苗的棵数是．由题意，得．故答案是：．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．8．（2019•永州）方程的解为x＝．【答案】﹣1【解析】去分母得：2x＝x﹣1，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解，故答案为：﹣1点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．9．（2019•锦州）甲、乙两地相距1000km，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用3h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为xkm/h，根据题意可列方程为．【答案】【解析】由题意可得，，故答案为：．点睛：本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．10．（2019•铜仁市）分式方程的解为y＝．【答案】-3【解析】去分母得：5y＝3y﹣6，解得：y＝﹣3，经检验y＝﹣3是分式方程的解，则分式方程的解为y＝﹣3．故答案为：﹣3点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．（2019•襄阳）定义：a*b，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．【答案】x＝1【解析】2*（x+3）＝1*（2x），，4x＝x+3，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解，故答案为：x＝1．点睛：本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．12．（2019•宿迁）关于x的分式方程1的解为正数，则a的取值范围是．【答案】a＜5且a≠3【解析】去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，解得：x＝5﹣a，5﹣a＞0，解得：a＜5，当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，故a＜5且a≠3．故答案为：a＜5且a≠3．点睛：此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．13．（2018•齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为．【答案】﹣1或5或．【解析】去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，可得：（m+1）x＝5m﹣1，当m+1＝0时，一元一次方程无解，此时m＝﹣1，当m+1≠0时，则x±4，解得：m＝5或，综上所述：m＝﹣1或5或，故答案为：﹣1或5或．点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．14．（2019•随州）解关于x的分式方程：．【答案】x是分式方程的解【解析】去分母得：27﹣9x＝18+6x，移项合并得：15x＝9，解得：x，经检验x是分式方程的解．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．15．（2019•朝阳）佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%．已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个．请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？【答案】文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个【解析】设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x+20）个，依题意，得：（1﹣10%），解得：x＝40，经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，∴x+20＝60．答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个．点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．16.（2019•西藏）列方程（组）解应用题绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树600棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树多少棵？【答案】原计划每天种树75棵【解析】设原计划每天种树x棵．由题意，得 4解得，x＝75经检验，x＝75是原方程的解．答：原计划每天种树75棵．点睛：此题主要考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程类问题主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．17．（2019•沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．（1）求甲种树苗每棵多少元？（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？【解析】（1）设甲种树苗每棵x元，根据题意得：，解得：x＝40，经检验：x＝40是原方程的解，答：甲种树苗每棵40元；（2）设购买乙中树苗y棵，根据题意得：40（100﹣y）+34y≤3800，解得：y≥33，∵y是正整数，∴y最小取34，答：至少要购买乙种树苗34棵．点睛：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．18．（2019•云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．【解析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x 千米/小时，由题意得：，解得：x＝60，经检验，x＝60是所列方程的解，则1.5x＝90，答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/小时、90千米/小时．点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．19．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？【解析】（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，依题意，得：，解得：x＝0.5，经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，∴x+0.3＝0.8．答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，解得：m．∵m为正整数，∴m的最大值为8．答：大本作业本最多能购买8本．点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？【解析】（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，依题意，得：，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝8．答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件．（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，依题意，得：，解得：6≤m≤8．∵m为正整数，∴m＝6，7，8．答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．。