九年级数学知识应用竞赛

第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷1．如图1的A 和B 是抗日战争时期敌人要塞阵地的两个“母子碉堡”，被称为“母碉堡”A 的半径是6米，“子碉堡”B 的半径是3米，两个碉堡中心的距离80AB =米．我侦察兵在安全地带P 的视线恰好与敌人的“母子碉堡”都相切，为了打击敌人，必须准确地计算出点P 到敌人两座碉堡中心的距离PA 和PB 的大小，请你利用圆的知识计算出____PA =，____PB =．2．小丽将一个边长为2a 的正方形纸片ABCD 折叠，顶点A 落到CD 边上的点M 的位置，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图2）．在折叠过程中，小丽发现当点M 在CD 边上的任意位置时，（点C D ，除外），CMG △的周长总是相等的，那么CMG △的周长为 ．3．国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织360名师生乘车参观．某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆40个座位，租金400元；乙种客车每辆50个座位，租金480元，则租用该公司客车最小需付租金 元． 4．光明路新华书店为了提倡人们“多读书，读好书”，每年都要开展分年级免费赠书活动，今年获得免费赠书的前提是：顺利通过书店前的A B C ，，三个房间（在每个房间内都有一道题，若能在规定的时间内顺利答对这三道题，就可免费得到赠书），同学们你们想参图1 A B CDEF GM图2 O 的半径AB AC ，的长分别为方程2(22x -+题目并不难哟，把答案写在下面吧！ A 房间答题卡： ； B 房间答题卡： ； C 房间答题卡： ．5．某校数学课外活动探究小组，在教师的引导下，对“函数(00)ky x x k x=+>>，的性质”作了如下探究：因为222(kk k y x x x x =+=-++=+ 所以当0x >，0k >时，函数kyx x=+有最小值=x =借助上述性质：我们可以解决下面的问题：某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为 元． 6．某公司员工分别住在A B C ，，三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一条直线上，位置如图3所示．公司的接送车打算在A 区，B 区，C 区中只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应在 ．二、选择题（每小题6分，共36分）7．如图是一个圆形的街心花园，AB C ，，是圆周上的三个娱乐点，且A B C ，，三等分圆周，街心花园内除了沿圆周的一条主要道路外还有经过圆心的沿AOB ，BOC ，AOC 三条道路，一天早晨，有甲、乙两位晨练者同时从A 点出发，其中甲沿着圆走回原处A ，乙沿着AOB ，BOC ，COA 也走回原处，假设他们行走的速度相同，则下列结论正确的是（ ） Ａ．甲先回到A Ｂ．乙先回到A Ｃ．同时回到A Ｄ．无法确定8．小明很喜欢打篮球，他是班里篮球队的主力队员，恰好这个星期他所在的九年级十个班要进行篮球比赛，比赛是每五个队进行单循环比赛，得分规则如下表，小组赛后总积分最高A 区 区区图3ABCOm图4现在小明若想直接进入半决赛，问小明所在的队至少要积（ ） Ａ．9分 Ｂ．10分 Ｃ．11分 Ｄ．12分 9．如图5，A B C ，，是固定在桌子上的三根立柱，其中A 柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现想将这三个圆片移动到B 柱上，要求每次只能移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A B C ，，三个柱之一，且较大的圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事至少要移动圆片的次数是（ ） Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8 Ｄ．910．有红、黄、绿三块面积均为220cm 的正方形纸片，放在一个底面是正方形的盒子内，它们之间互相叠合（如图6），已知露在外面的部分中，红色纸片面积是220cm ，黄色纸片面积是214cm ，绿色纸片面积是210cm ，那么正方形盒子的底面积是（ ） Ａ．2256cm 5Ｂ．254cmＣ．248cmＤ．2246cm 511．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中一次，小明套10次得61分，则小鸡被套中（ ） Ａ．2次 Ｂ．3次 Ｃ．4次 Ｄ．5次 12．如图7，在边长是20m 的正方形池塘周围是草地，池塘边A B C D ，，，处各有一棵树，且4AB BC CD ===m ，现用长5m 的绳子将一头牛拴在一棵树上，为了使牛在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ） Ａ．A 处或C 处 Ｂ．B 处Ｃ．B 处或D 处分）13．（本题12分）阳光中学全体学生都办理了一种“学生团体住院医疗保险”，保险公司按下表中的级距分段计算付给被保险人的“住院医疗险金”．A B图5图6图7（注：在被保险期间，被保险人按上述标准累计自付金额超过6 000元的部分，保险公司按100％的标准给付）现在，该中学的学生李明因病住院，除去保险公司给付的“住院医疗保险金”外，李明的家人又支付了医疗费用3 000元．请问保险公司为李明支付了多少保险金？14．（本题12分）轻纺城服装批发市场经营季节性服装，当季节即将来临时，服装价格呈上升趋势．设某种服装开始时预定价为每件10元，从第一周上市开始每周（7天）涨价2元，从第5周开始保持20元的价格平稳销售；在季节即将过去时，从第11周开始，服装批发市场开始削价，平均每周削价2元，直到16周周末后，该服装已不再销售．（1）试建立价格y与周次x之间的函数关系；（2）若此服装每件进价Q与周次x之间的关系为：2≤≤，，试问该服装第几周每件销售利润=--+且是整数0.125(8)12(016)Q x x xM最大？15．（本题14分）如图8，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近B ∠的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P 点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的BDE △的面积最小？为什么？四、开放题（本大题满分40分）16．（本题20分）在生活中不难发现这样的例子：三个量a b ，和c 之间存在着数量关系a bc =．例如：长方形面积＝长×宽，匀速运动的路程＝速度×时间． （1）如果三个量ab ，和c 之间有着数量关系a bc =，那么： ①当0a =时，必须且只须 ；②当b （或c ）为非零定值时，a 与c （或b ）之间成 函数关系；③当(0)a a ≠为定值时，b 与c 之间成 函数关系．（2）请你编一道有实际意义的应用性问题，解题所列的方程符合数量关系：a bx x c=-，（其中x 为未知数，a b c ，，为已知数，不必解方程）．C图817．（本题20分）金字塔是古代世界著名的奇迹之一，矗立在尼罗河西岸的70多座金字塔，每年都吸引着来自世界各地的游客，流连在金字塔下，抬眼望去，几十层楼高的塔像柄巨剑直刺云天，显得气势非凡．此刻，游人心里很自然地会想：金字塔究竟有多高呢？假设你是一位游人，如何测量金字塔的高度呢？写出你的测量方案，并说明理由（注意：至少提供两种测量方案，并且，你的方案一定要切实可行）．参考答案一、填空题（每小题6分，共36分）1．160米，80米 2．4a 3．3 520元 4．A ：105︒或15︒；B：C ：15︒或75︒ 5．297 600 6．A 区二、选择题（每小题6分，共36分） 7～12．ＣＢＢＡＤ Ｂ三、解答题（13题12分，14题12分，15题14分，满分38分） 13．解：当住院医疗费为7 000元时，被保险人应支付：1000(155)3000(160)3000(170)2550⨯-+⨯-+⨯-= ％ ％ ％ （元）． 由于李明家支付费用30002550>元元 ，所以李明住院的医疗费用在7 000元至10 000元之间（即第4级别）． ················ 5分 所以超过7 000元部分的医疗费为：(30002550)(180)2250-÷-= ％ 元． 所以保险公司为李明给付的保险费应为：7000225030006250+-= 元． ··· 11分答：保险公司要再为李明给付保险金6 250元（付给医院）． ···························· 12分 14．解：（1）根据价格的“上升”、“平稳”、“削价”，建立分段函数．102(05)120(510)3402(1016)5x x x y x x x x x +⎧⎪=⎨⎪-⎩且是整数且是整数且是整数分分分≤≤，…………≤≤，………≤≤，………（2）每件利润＝每件售价－每件进价，即M y Q =-，所以当05x ≤≤时，221020.125(8)120.1256M x x x ⎡⎤=+---+=+⎣⎦． 所以当5x =时，M 取最大值9.125元．······················································ 7分 当510x ≤≤时，20.125216M x x =-+．所以当5x =时，M 取最大值9.125元．······················································ 9分 当1016x ≤≤时，20.125436M x x =-+．所以当10x =时，M 取最大值8.5元． ······················································· 11分以上x 的取值均为整数，因此，该服装第5周每件销售利润M 最大． ················ 12分15．过P 作直线DE AB ∥，交BC 于D ，交AC 于E ，在BC 上取点F ，使DF BD =，延长FP 交AB 于点G ，则BFG △的面积最小． ·········································· 6分 证明：若过P 任作一直线，交BC 于M ，交AB 于N ， 过G 作GK BC ∥，交MN 于K ． ····························································· 8分 由DP AB ∥，BD DF =知：DP 是BFG △的中位线，得PG PF =． 进而可得MPF KPG △△≌． ··································································· 12分 NPG MPF S S >△△，所以BMN BFG S S >△△． ····················································· 14分四、开放题（每小题20分，共40分） 16．（1）①b 或c 中有一个为零；②正比例；③反比例．（每空2分，共6分） （2）答案不惟一． 评分标准：（满分共计14分） ①编写题目符合实际（5分）；②解题所列方程符合所要求的数量关系（7分）； ③题目新颖、有创新意义（2分）． 17．方案一：应用相似三角形知识如图1所示：在距离金字塔一定距离的D F ，两点，分别竖立两个竿CD 和EF （长度都为h ），当人分别站在M N ，两点时能保证A C A E ，，，分别在一条直线上测出M N F N M D ，，的距离，则塔高即可得到（其中人的高度忽略不计）． 理由如下： ····························································································· 6分从图中易知：MCD MAB △△Rt ∽Rt ，NEF NAB △△Rt ∽Rt ． ················· 7分 可得AB MBCD MD =，即AB MD MB CD =．① ··············································· 8分 AB NBEF FN=，即AB FN NB EF =．② ······················································· 9分 ②－①得()()AB FN MD NB MB CD -=-． 又知MN NB MB =-，可得MN CDAB FN MD=-．因为CD 已知，MN FN MD ，，均可测出，所以AB 的高度可以计算得出． ························································· 10分C方案二：应用解直角三角形知识如图2所示，在平面内取C D ，两点，使B C D ，，三点在同一条直线上，用测角器在C D ，两点分别测得塔顶A 的仰角为αβ，，再测量出CD 间的距离，则塔高可求得（测角器的高度忽略不计）． ························································································ 6分 理由如下：在ACB △Rt 和ADB △Rt 中，cot CB AB α=，cot DB AB β=． ·························································· 7分 因为CB DB CD -=，所以cot cot AB AB CD αβ-=． ····························································· 8分 所以cot cot CDAB αβ=-．因为CD ，αβ，都可以测出，所以塔高AB 可求得． ···································· 10分 （方案设计合理，正确可酌情给分）ABC D E图1ACD 图2αβ。

数学九年级上册知识点竞赛在九年级的数学学习中，我们掌握了很多重要的知识点，包括代数、几何、概率和统计等。

这些知识点对于我们的学习和未来的发展都具有重要作用。

为了检验我们的掌握程度，学校决定举行一场数学竞赛，让我们能够在竞赛的过程中展示自己的能力。

以下是我对九年级上册数学知识点竞赛的一些探究和总结。

第一个知识点是代数。

在九年级的代数学习中，我们学习了因式分解、配方法、平方根等内容。

这些知识点的运用可以帮助我们解决实际问题，提高解决问题的能力。

在竞赛中，出题者可能会给出一道复杂的因式分解题目，要求我们在有限的时间内找出答案。

这需要我们对因式分解的方法有深刻的理解，并能迅速运用到具体题目中去。

第二个知识点是几何。

几何作为数学的一个重要分支，涉及到图形的性质、构造以及应用。

在九年级上册，我们学习了平行线与垂直线、三角形、平行四边形等知识点。

竞赛中，题目可能会要求我们根据给定的条件来证明两条线平行或是证明两个三角形全等。

这要求我们对几何知识的掌握非常熟练，具备一定的逻辑推理能力。

第三个知识点是概率和统计。

概率和统计是数学中应用最广泛的领域之一。

在九年级上册，我们学习了事件的概率、频率和统计图表等内容。

在竞赛中，出题者可能会给出一组数据，要求我们计算出概率或是绘制相关的统计图表。

这要求我们在有限的时间内熟练运用概率和统计知识，同时注意计算的准确性和逻辑性。

除了上述的几个知识点，九年级的数学竞赛中可能还会涉及到其他一些知识，例如集合论、立体几何等。

对于这些知识点，我们也要有一定的了解，并能够迅速应用到实际题目中去。

参加数学竞赛不仅仅是对我们所学知识的一次检验，更是锻炼我们解决问题的能力、思维的灵活性和合作的精神。

在竞赛中，我们需要保持冷静，准确地分析题目，运用所学的知识点，迅速找出解决问题的方法。

同时，我们也可以通过与同学们的合作、交流，互相学习和帮助，为解决问题提供更多的思路和方法。

在竞赛结束后，我们也要及时总结和反思自己的不足之处，查漏补缺，以便在下次的竞赛中能够做得更好。

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．一、选择题（每小题6分，共30分）1．校园内一个半径为10米的圆形草坪，如图1，一部分学生为走“捷径”，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些学生踩坏了花草，其实仅仅少走了（假设2步为1米，结果保留整数）（）A．4步B．5步C．6步D．7步2．小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图2所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（）A．两个矩形相似B．两个矩形不一定相似C．两个矩形一定不相似D．无法判断两个矩形是否相似3．如图3，方台村为了抽取水库的水来浇灌山上的果木树，准备在山坡上建一个抽水泵站．已知山坡上有A、P、Q三处可供选择，且测得A到水库C的距离为50m，P到C的距离为40m，Q到C的距离为35m，山坡的坡角∠ACB=15°．由于大气压的影响，此种水泵的实际吸水扬程AB不能超过10m，否则无法抽取水库的水，则水泵站应建在（sin15°=0.258 8，cos15°=0.965 9，tan15°=0.267 9）（）A．A处B．P处C．Q处D．A、P、Q均可4．宏光学校有一面积为100米2的正方形展厅，计划铺满统一大小的正方形地板砖，现市场上有大、小两种规格产品：大地板砖对角线长为50cm，每块0.8元；小地板砖对角线长为40cm，每块0.6元，甲公司的优惠办法是：凡购买大地板砖700块以上者给予9折优惠，凡购买小地板砖1 000块以上者给予7折优惠；乙公司的优惠办法是：凡购买700元以上者，不管购买大块还是小块均按8折优惠．在质量、服务条件相同的情况下，为使学校支付的费用最少，请你为该校选择最佳购买方案（）A．到甲公司购买大块地板砖B．到乙公司购买大块地板砖C．到甲公司购买小块地板砖D．到乙公司购买小块地板砖5．如图4，在某条公路上，从里程数8m开始到4 000m止，每隔8m将树与灯按图中的规则设立：在里程数8m处种一棵树，在16m处立一盏灯，在24m处种一棵树（相邻的树与树、树与灯之间的距离都是8米）……，且每两盏灯之间的距离相等．依此规则，下列里程数800m~824m之间树与灯的排列顺序中正确的是（）二、填空题（每小题6分，共30分）6．王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量（单位：千克）西瓜个数（单位：个） 1 2 3 2 1 1根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是千克．7．你是否用电脑进行过图案设计？图5（1）是小明在电脑上设计的小房子，然后他又进行变化，得到图5（2）；小亮也在电脑上设计了一个图案，如图5（3），如果小亮也按小明变化图形时的规律对图5（3）进行变化，得到的图案是（画出简图）．8．某希望小学刚刚建起，田径场还没建好，秋季运动会时，临时设置简易跑道如图6所示，两端由两个半圆组成，一周约250米，在一次400米跑比赛中，第一道从起点A要跑一圈半到终点C．第二道终点不变，且中途不准抢道（每道宽1米）．为公平起见，第二跑道起点B应比第一跑道向前移动．9．自行车轮胎安装在前轮上行驶6 000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶4 000千米．为了行驶尽可能远的路程，如果采用当自行车行驶一定路程后将前、后轮胎调换使用的方法，那么安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶千米．10．已知，如图7，斜坡PQ坡度为41:3i ，坡脚Q旁的点N处有一棵大树MN．近中午的某个时刻，太阳光线正好与斜坡PQ垂直，光线将树顶M的影子照射在斜坡PQ上的点A处．如果AQ=4米，NQ=1米，则大树MN的高度为．三、解答题（本大题共60分）11．（本题10分）判断决策：三个无线电厂家在广告中都声称，它们的半导体收音机产品在正常情况下，产品的平均寿命是8年，商品检验部门为了检查他们宣传的真实性，对三个厂家出售的半导体收音机寿命进行了抽样统计，结果如下(单位：年)：甲厂：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15；乙厂：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11；丙厂：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13；请你利用所学统计知识，对上述数据进行分析并回答以下问题：（1）这三个厂家的广告，分别利用了哪一种反映数据集中趋势的特征数？（2）如果你是顾客，应选购哪个厂家的产品？为什么？12．（本题15分）方案设计：东风汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆．现将这30辆汽车租赁给A、B两地的旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表：（1）设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y（元），求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值X围；（2）若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26 800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案．13．（本题15分）实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈．图8（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载此拱圈高AB为（含拱圈厚度和拉杆长度），横向分跨CD为．（1）试在示意图（图8（2））中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式；（2）在桥面M（BC的中点）处装有一盏路灯(P点)，为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN不得少于1.1m，试求路灯支柱PM的最低高度．（结果精确到0.1m）14．（本题20分）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：（1）如图9，已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（2）如图10，将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图11）？请说明理由．（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．四、开放题（本题30分）15．杨子晚报报道《你家用“峰谷电”合不合算？》：“峰谷电”的含义是这样的，每天8∶00到22∶00用电每千瓦时是0.56元（峰电）；22∶00至次日8∶00每千瓦时是0.28元（谷电）．注：平时居民用电每千瓦时是0.52元．（1）根据你家的平时用电情况，算一算，你家用这样的“峰谷电”合算吗？（2）请根据“峰谷电”的使用，编拟一道数学实际应用问题，并给出解题过程，注明用的什么数学知识．第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1．B 2．C 3．C 4．C 5．D二、填空题（每小题5分，共30分）6．3 1257．8．2π米9．4 80010．8米三、解答题（每小题15分，共60分）11．解：（1）因为甲厂的收音机寿命的平均数是8年，众数是5年，中位数是7年；乙厂的收音机寿命的平均数约是6.45年，众数是8年，中位数是6年；丙厂的收音机寿命的平均数约是7.36年，众数是4年，中位数是8年． ················ 6分 所以，甲厂选用平均数，乙厂选用众数，丙厂选用中位数； ··········· 8分（2）因为甲厂收音机的平均寿命比乙厂、丙厂的都高，因此，顾客应选购甲厂的产品．··········· 10分12．解：（1） 1 000(20)900800600(10)26 000100(010)y x x x x x x =-+++-=+≤≤；·········· 6分（2）依题意，得26 00010026 800x +≥，又因为010x ≤≤，∴810x ≤≤．因为x 是整数，∴x =8，9，10，方案有3种． ················ 9分 方案1：A 地派甲型车12辆，乙型车8辆；B 地派甲型车8辆，乙型车2辆；方案2：A 地派甲型车11辆，乙型车9辆；B 地派甲型车9辆，乙型车1辆；方案3：A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆． ········ 12分（3）∵26 000100y x =+是一次函数，且1000k =>，∴y 随x 的增大而增大． ∴当10x =时，这30辆车每天获得的租金最多．∴合理的分配方案是A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆． ··· 15分13．（1）如右图，以A 为坐标原点，BA 所在直线为y 轴建立直角坐标系xAy ，因拱圈外沿所在的抛物线过原点，且以y 轴为对称轴，故可设抛物线解析式为：2y ax =， ··············· 4分由题意抛物线过点(2010)D -，，代入得140a =-，故拱圈外沿抛物线的解析式为： 2140y x =-． ······························· 8分 （2）设(10)N k -，，则：21(10) 2.5(m)40k =-⨯-=-，∴107.5(m)MN k =+=， ························· 12分 ∴7.5 1.18.6PM MN PN =++=≥（m ），即路灯支柱PM 的最低高度为．（其余解法可类似给分）． ············ 15分14．解：（1）当正三角形ABC 向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是三条等弧，所以其中心O 经过的路程为：120π32π180R R ⨯=． ·················· 3分 （2）中心O 经过的路程为90π42π180R R ⨯=． ················· 6分 （3）当n 边形向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是n 条等弧，这些弧的半径为R ，所对的圆心角为360n ，所以中心O 经过的路程为360π2π180R n n R ⨯=． ······· 10分 （4）是定值2πR ，理由如下：在△ABC 中，设A B C αβγ∠=∠=∠=，，，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为R ，把△ABC 沿直线l 向右翻滚一周时，其外心O 经过的路线是三条弧，当AC 边与直线l 重合时，C 与C '重合，A 与A '重合，B 与B '重合，连接CO 、C O ''，则ACO A C O '''∠=∠，所以180OCO ACA γ''∠=∠=-，所以(180)π180R l γ-=，同理，另两条弧长分别为：(180)π180R α-，(180)π180R β-，所以外心O 所经过的路程为2πR ． ········ 16分 通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值． ······························· 20分四、开放题（本题30分）15．（1）答案不惟一，可选择自己家每月（或平均每天）的用电情况，计算说明．只要合理即可得分．（本小问10分）；（2）答案不惟一，本小问共20分，编写题目合理可得10分，再写出解题过程，并说明所用数学知识可得20分，以下题目可参考．题1：（用一元一次方程知识编拟）某户居民今年二月份起使用“峰谷电”，三月份经记录这两个月使用“谷电”150千瓦时，已知两月共付电费112元．问该居民使用“峰谷电”多少千瓦时？费用比原来节约了多少？（“峰谷电”中，“峰电”是8∶00到22∶00用电，“谷电”是22∶00到次日8∶00，下同）题2：（用二元一次方程知识编拟）某户居民今年三月份使用“峰谷电”，付电费112元，比原来节约了60.8元，问该户居民使用“峰电”，“谷电”各多少千瓦时？题3：（用不等式知识编拟）某户居民今年三月份使用电量300千瓦时，当“峰电”占总电量的多少时，使用“峰谷电”才合算？题4：（用函数知识编拟）某户居民今年三月份起使用“峰谷电”，平均每天使用“峰电”8千瓦时，写出三月份（31天）该户居民的电费（y元）与每天“谷电”的用电量x（千瓦时）之间的函数关系式．。

第八届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛（B ）卷试题一、选择题（每小题6分，共30分）1．2008年8月1日，北京至天津最高时速高达350公里的城际高速铁路正式投入运行，大大缩短了北京至天津之间的交通出行时间，承载铁路运行的“和谐号”动车组装配工作的部分作业由机器人自动完成，这表明我国的机器人制作已经进入一个新的时代．现假设一工作流水线l 上，依次有a 、b 、c 、d 、e 五个性能相同的机器人在工作，如图1，机器人要从零件箱内取零件，若使机器人取零件时最省时间，零件箱需放在（ ） （A ）a 处 （B ）b 、c 间 （C ）c 处 （D ）c 、d 间2．2008年我国南方发生重大雪灾，某村地处海拔1 020米，村里的电线断杆以及电杆倾斜多达23处，如图2所示就是一处电杆严重倾斜的情况，由于电线上缀满了冰，致使两个电杆都倾斜了26°，电线正好触及一棵高29.5米的大树，已知此树底部离右侧的电杆（电杆高40米，两杆之间距离为50米）20米远，那么此时，电线的最低处离地面约（ ） （A ）28.8米 （B ）26.3米 （C ）25.2米 （D ）24.3米3．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级大地震，地震发生后，全国人民积极投入抗震救灾工作之中，图3为某军区空投物资用的某种降落伞及其轴截面示意图，△ABG 是等边三角形，C 、D 是以AB 为直径的半圆O 的两个三等分点，CG 、DG 分别交AB 于点E 、F ，现测得EO 的长为1.04m ，那么降落伞的直径AB 为（ ） （A ）6m （B ）6.24m （C）6.30m （D ）7.0m4．在一场赈灾演出中，根据需要必须用灯光照亮舞台中一个半径为2米的圆形区域，但由于当地条件简陋，当时没有这样的灯，舞台监督要求用另一种可照半径为1米的灯代替，那么至少需这样的代用灯（ ） （A ）5盏 （B ）6盏 （C ）7盏 （D ）8盏5．2008年8月8日晚上8时，第29届奥运会开幕式在北京“鸟巢”举行，开幕式宏伟壮观，大气磅礴，给世人留下了深刻的印象，据悉，这部盛典的幕后工作者是中国航天人，他们使用了大量载人航天技术和火箭技术，给奥运场馆装上了“大脑”，实现“不同地域、不同场馆”的信息集成，以保证零失误，可想而知，其中的程序设计多么复杂．现在请同学们体会一个小小的程序设计．学校___________ 班级_____________ 姓名___________ 学号___________………………………………密…………封…………线…………内…………不…………得…………答…………题……………………如图4，若开始输入的x值为96，我们发现得到的结果为48，第2次得到的结果为24…，通过探索可知，第2 008次得到的结果为（）（A）8 （B）6 （C）3 （D）1二、填空题（每小题6分，共30分）6．数学家高斯在读小学二年级时，老师给出了这样一道题：1+2+3+…+100=？高斯很快做出了答案，他的计算方法是：1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=50×101=5 050．根据此方法，试探究：有一堆堆放整齐的钢管其主（正）视图如图5所示，已知最下面一层有钢管50根，最上面一层有4根，则共有钢管根．7．《数书九章》中有一题目为：望故远近．内容如下：问敌军处北山下原，不知相去远近．乃于平地立一表（标杆），高四尺，人退表九百步（一步为五尺），遥望山原，适与表端参合（人目、标杆端和山脚三点共线）．人目高四尺八寸，欲知敌军相去几何（敌我之间的距离）．通过计算可知答案为：步．8．为了防止水土流失，合理利用和保护耕地，陈庄村在村里沙河两边植树造林，陈大叔栽植方式如图6（1），A、B、C、D组成菱形的形式，李伯伯的栽植方式如图6（2），A'、B'、C'、D'组成正方形的形式，你认为他们两位谁的栽植方式更好？．理由是：．9．图7（1）是某种台灯的示意图，AB可弯曲，根据测量，灯罩的截面△APQ是等腰直角三角形，此时很大一部分光照向远方而没有射在桌面上，若使AB绕转轴B顺时针转动θ，可使台灯的光更多地落在桌面上，如图7（2），现测得AC=30cm，且BC=2AB，灯心到桌面的距离A′M=25cm，则此时θ= ．若继续转动使AB与灯柱BC垂直，则此时台灯照在桌面上的最大面积为．10．某风景区山高AB为871.5米，为了游客的方便，景区设置了索道，如图8，索道路线为C→D→A，其中C是山脚，D是中转站．已知中转站D到山底的垂直高度为390.7米，∠ADE=37°，∠DCB=23°，缆车的速度为3.5米/秒，那么如果坐缆车上山，从山底到山顶大约需分钟．（精确到0.1分钟）三、解答题（第11、12、13题各15分，第14题20分，第15题25分，共90分）11．实践应用：2008年8月19日男子单杠决赛，第三个出场的是中国选手邹凯，他的一个直体360°抓杠非常的漂亮，最终得分是16.200分．第六个出场的是美国选手霍顿，霍顿的整套动作也非常漂亮，最终得分16.175分．以下是本次比赛前三名的成绩，请你根据下表分析选手最后得分是如何计算得出的？并举一例进行说明．12．动手操作：如图9，有一块矩形镀锌铁皮，长80cm ，宽30cm ．王师傅想把这块铁皮分割成6个矩形，把这6块铁皮作为6个面，焊接成一个长方体，如果不许添加材料，也不许浪费一点材料，该怎样分割呢？请你帮王师傅画出分割图形，并求出焊接成的长方体的体积．（至少提供两种方法）13．方案设计：某公司正在建厂房（平房），已知房檐离地面高4米，窗台高180厘米（窗高暂不考虑）．如果冬天太阳最低时，正午是31°，夏天太阳最高时，正午是78°，若你是一名建筑师，请你考虑房檐设计为多宽，才能正好在夏天使阳光进不了房子，而在冬天使阳光最大可能地照进屋里．写出你的方案并说明理由．14．实验探究：要把两直角边分别是30米和40米的Rt △ABC 菜地分成面积相等的两块，分给两菜农，且使分割线段尽量短．如图10，甲想到直角三角形斜边上中线可平分△ABC 的面积，于是作AB 边上的中线CD ，则ADC BDC S S =△△，此时1252CD AB ==（米）． 乙认为CD 虽然平分△ABC 的面积，但不一定最短．问：（1）是否还有较短的分割线段满足题中的要求？写出你的方法与道理．（2）若将此Rt△ABC的菜地平均分给三户，使三户都能在河边AB上取水灌溉，又要使分割线段尽量的短，写出你的方法与道理．15．开放创新：一只乌鸦想喝到瓶子里的水，可是瓶子很高，口又小，里面的水也不多，怎么办？它把旁边的小石子一个又一个地衔起来，放到瓶子里，水面慢慢升高了，乌鸦喝到了水．这个故事同学们一定都知道，但对我们解数学题的有益启示却未必知道．如果题目所提供的信息少，难以入手，或按常规方法来解比较繁难，这时我们不妨向乌鸦学习，借些“石子”来帮我们解题．请看下面的例题：解析：此题对我们来说难度很大，好象无能为力，其实化简此式，可借方程为“石子”，设=．①x0，将①两边平方，得2222x=，即22x=．所以原式=在平时的学习中你是否用到过此方法来解决数学中的问题呢？请举一例．。

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛（B）卷试题一、选择题（每小题6分，共30分）1．刚刚喜迁新居的赵伟为估计今年4月份（30天）的家庭用电量，在4月上旬连续8天同一时刻观察电表显示的千瓦时数并记录如下：(A)1297.5千瓦时(B)1482.9千瓦时(C)131.25千瓦时(D)150千瓦时2．电视台《周末大放送》节目中，有这样一个翻牌游戏：三个牌的正面写有1、2、3三个数字，三个数字的背面其中两个写有“谢谢参与”，只有一个写有“手机一个”．假若现在你已选择一个牌还未翻开，主持人翻开了另外一个牌的背面，上面写有“谢谢参与”，主持人问你，为了更大机会获得手机一个，你是否重新选择一个牌？（）(A)重新选择，未选择的牌获得手机的机会大(B)不重新选择，已选择的牌获得手机的机会大(C)都一样，重新选择与不再选择机会相同(D)无法确定3．裕丰“文明新村”按分期付款的方式福利分房，村委会给予一定的贴息．小聪家分得一套价值为120 000元的房子．按要求，需首期（第一年）付房款30 000元，从第二年起，以后每年应付房款5 000元与上一年剩余欠款利息的和．假设剩余欠款年利率为0.4%．请你算一算小聪家第8年应付房款（）(A)5 220元(B)5 240元(C)5 360元(D)5 560元4．来自信息产业部的统计数字显示，2006年一至四月份我国手机产量为4 000万台，相当于2005年全年手机产量的80%，预计到2007年年底手机产量将达到9 800万台，则我国手机产量这两年中平均每年的增长率为（）(A)24% (B)40% (C)44% (D)52%5．小学生雷雷要用一块等边三角形的硬纸片（如图1（1）所示）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图1（2）），他在△ABC内先画了一个△DEF，然后打算剪掉三个角（如四边形AMDN），可是比划了半天，还是不知如何下手，用你学过的知识判断，若想正好剪下三个角，∠MDN的度数应为（）(A)100°(B)110°(C)120°(D)130°二、填空题（每小题6分，共30分）6．如图2，是一个边长相等的正五边形与一个正方形拼在一起的图形，并且正好拼成“福娃欢欢”．如果正方形顺时针旋转，五边形逆时针旋转，始终保持两条边邻接．那么各要转_________圈，可以恢复成“福娃欢欢”的图形．7．小明的奶奶每天都去早市上买菜，原因是早市上的菜便宜，但是买得多了，有时感觉斤两不足，为什么呢？因为有些不法商贩在卖菜时用的是杆秤，他们往往会将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使秤砣减轻，从而欺骗顾客．如图3，对于同一物体，用的是标准秤砣的是_________，所用的数学原理是___________．8．小敏家有两把扇子，一把折扇和一把团扇，如图4所示，已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°．小敏用这两把扇子扇来扇去，也判断不出哪把扇子风量大．请用你学过的知识帮小敏判断：_________，理由是___________．9．如图5是小明设计的一种动画程序，屏幕上正方形区域ABCD表示黑色物体甲，其中，A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=2x+b发射信号，当信号遇到物体甲时，甲由黑变白，则b的取值范围为_________时，甲能由黑变白．10．王峰刚装修了新房，地板的图案非常漂亮，如图6（1）所示，是一种边长为60cm的正方形地砖图案，据说图案是这样设计的：①三等分AD（AB=BC=CD）；②以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交AD于B、交AG于E；③再分别以B、E为圆心，AB长为半径画弧，交AD于C、交AG于F，两弧交于H；④用同样的方法作出右上角的三段弧，如图6（1），用图6（1）拼成的图案就是图6（2）的效果，那么在图6（2）中灰色区域的面积为_________cm2(结果保留π)．三、解答题（第11、12、13题各15分，第14题20分，第15题25分，共90分）11．同学们，你们的家在南方还是北方？你们见过雪吗？不管是实际见到还是从电视中看到，你们是否注意到平地的雪最厚，山坡越陡雪越薄，你们能用自己学过的知识解释其中的道理吗？请试一试．12．某隧道横截面由抛物线及矩形的三边组成，如图7所示，某卡车空车时，能通过此隧道，现装一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，此时车能否通过此隧道？为什么？13．如图8(1)，是一面矩形彩旗完全展开时的尺寸图（单位：cm）．其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸锻旗面．（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤做旗杆，求旗杆的最大直径．（精确到1cm）（2）在一个无风的天气里，如图8（2）那样将旗杆斜插在操场上，旗杆与地面成60°角，如果彩旗下角E恰好垂直地面，求旗杆露在地面以上部分的长度DG的近似值．（此时旗杆的直径忽略不计，精确到1cm）14．实验推理：数学来源于生活．因此，数学中的许多定理都可以用生活中的常识来解释，请你利用一个生活常识来解释：若a c e m bdfn====…，则a c e ab d fb+++=+++……．15．操作探究：小明用长方形的彩纸ABCD ，按照如下的方法折了一个纸飞机： （1）使AB 边与DC 边重合折叠，然后展开，得出折痕EF （见图9）；（2）使ED 、EA 落在EF 上，折成如图10的样子，并得折线EP ，EQ （见图10）； （3）将P 、Q 向背面折叠，使EP 、EQ 都落在EF 上（见图11）；（4）折后展成图12的样子，便得到了一个我们非常熟悉的纸飞机．为了便于看清飞机的形状，我们给出它的三种视图（图13），图中的虚线表示被遮挡的纸的边缘线．小明想把这个纸飞机寄给一位国外的小朋友做圣诞礼物，这就需要再做一个长方体的硬纸盒子，像图14那样摆放，把它装进盒子（飞机不折叠）．如果长方形彩纸ABCD 的长为26cm ，宽为16cm ，那么刚好把飞机装入的纸盒的长（XY ）、宽（YZ ）、高（XX 1）各是多少？（做纸盒的硬纸板的厚度忽略不计，结果保留到0.1cm 1.41=，sin 22.50.38= ，cos 22.50.92= ）第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛（B ）卷试题参考答案一、1．D 2．C 3．B 4．B 5．C 二、6．57．（2），反比例知识，即符合()0k y k x=>，当0k >时，随着x 值的减小y 值增大8．折扇和团扇的风量一样大；折扇扇面的面积与团扇扇面的面积一样大 9．30b -≤≤ 10．1600+400π 三、11．解：如图1，设山坡的坡角为α，则图中∠1=∠α． 又设平地上的雪厚为l ，山坡上的雪厚为h ，则cos cos 1h lα==∠．即cos h l α=．因为α是锐角，所以0＜cos α＜1，得h ＜l ． 即山坡上的雪比平地上薄，坡角α越大，山坡上的雪越薄．（因为锐角α越大时，cos α越小） 12．解：建立直角坐标系．如图2，则A 点坐标为()33-，，设抛物线方程为2y ax =-，代入解得213y x =-．假设车与集装箱处于隧道对称位置时能通过隧道，则有 将 1.5x =代入213y x =-，得34y =-．此时集装箱上顶角P 离隧道底部为35 4.254-=米，小于车与箱的高4.5米，故此车不能通过该隧道．13．解：（1）设旗杆的直径为d cm ，则πd =2×6=12，12 3.83.14d =≈cm ．因为旗杆的直径为整数（即精确到1cm ），所以求出的d ≈3.8必须作出取舍．因为旗杆直径不能大于旗裤直径，所以不能采取四舍五入的办法取4cm 作为旗杆直径，而应将0.8舍去，所以旗杆的最大直径为3cm ．(2)根据勾股定理，150DE ===．又sin 60D E D G=，100 1.732173cm sin 602D E D G ===⨯≈．所以旗杆露出地面部分的长度DG 约为173cm ．14．此题答案不惟一，现举一例：把一杯糖水分成几小杯糖水，然后再倒在一起，我们便会发现糖水的甜度没有改变．假设n 克糖水中含m 克糖（n ＞m ＞0），则可用m n表示糖水的甜度，把甜度为m n的糖水分成若干小杯，各杯的甜度依次记为a b，c d，…，e f，显然a c e m bdfn====…，再把分开的若干杯糖水倒在一起，此时，甜度为a c eb d f++++++……，因为甜度不变，所以得出a c e ab d fb+++=+++……．15．解：（1）根据题意，YZ 的长即为图3中PQ 的长，如图3为飞机的俯视图．将飞机打开展平如图4．此时欲求的PQ =2QQ ′，而18022.58QEQ '==∠，45D EQ D QE ==∠∠．所以DE =DQ =8．所以Q E =sin 22.50.38 4.29Q Q Q E '==≈．所以PQ =2QQ ′≈8.6cm ．（2）如图5，根据主视图，作FG ⊥EM ，交EM 的延长线于G ，则1sin 26sin 22.59.9cm XX FG EF G EF ===⨯∠≈．（3）如图5，过点B 作BH ⊥EM ，交EM 的延长线于H ．22cos 20.9220.8cm EM EP EP PEP ''===⨯ ∠≈．268 6.7cm MB AB AM AB AP PM AB AE EP =-=--=--=--．cos 6.70.92 6.2cm M H M B B M H ==⨯ ∠≈．所以纸盒的长20.8 6.227.0cm X Y E H E M M H ==+=+≈． 综上所述，纸盒的长、宽、高分别为27.0cm ，8.6cm ，9.9cm ．。

九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。

（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。

解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。

在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。

展开公式得公式，即公式，解得公式。

（2）由公式可得公式。

根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。

对于方程公式，公式，公式。

当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。

当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。

2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。

解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。

二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。

设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。

将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。

由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。

所以公式，则公式，解得公式。

二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。

（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。

解析：（1）连接公式、公式。

因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。

在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。

又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。

在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。

（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。

在公式中，公式，公式，公式，则公式。

同理，在公式中，公式。

因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。

全国数学知识应用竞赛九年级决赛（校拟）试题一、（本题20分）判断与决赛利群商店积压了100件某种商品，为使这批商品尽快脱手，该商店采用了如下的销售方案：先将价格提高到原来售价的2.5倍，再作三次降价处理，第一次降价30％，标出“亏本价”；第二次又降价30％，标出“破产价”；第三次再降价30％，标出“跳楼价”．三次降价销售结果如下表所示：（1）如果一名消费者以促销的三种价格各买了一件该商品，请你通过计算说明相对于原售价，该消费者在促销活动中是否得到了实惠？（2）按新销售方案全部售完该商品，与按原价全部售完该商品相比，哪一种方案商场更赢利？（3）请结合（1），（2）的计算结果谈谈你对本销售方式的看法． 二、（本题20分）操作与探究九年级（1）班为即将到来的“五·一”国际劳动节排练节目时需要3个底面圆半径为10厘米，母线长为20厘米的圆锥形小红帽（不计接缝损失）．（1）试确定这种圆锥形小红帽侧面展开图（扇形）的圆心角的度数； （2）现有宽为40厘米的矩形布料可供选用，按照题目要求在图1中画出使布料能充分利用（最省料）的示意图，并求出矩形布料的长至少为多少厘米． 三、（本题20分）图象与信息在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款还没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计利息）．从企业甲提供的相关资料中可知这种消费品的进价是每件14元；月销售量Q （百件）与销售单价P （元）的关系如图2所示；维持企业的正常运转每月需最低生活费外的各种开支2000元． （1）试确定月销售量Q （百件）与销售单价P （元）之间的函数关系式．（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除职工最低生活费后的月利润余额最大？ （3）企业乙依靠该店，最早可望在几年内脱贫？四、（本题20分）综合实践应用图3是王老师休假钓鱼时的一张照片，鱼杆前部分近似呈抛物线的形状，后部分呈直线形．已知抛物线上关于对称轴对称的两点B C ，之间的距离为2米，顶点O 离水面的高度为图1)图2223米，人握的鱼杆底端D 离水面113米，离拐点C 的水平距离1米，且仰角为45︒，建立如图4所示的平面直角坐标系．（1）试根据上述信息确定抛物线BOC 和CD 所在直线的函数表达式；（2）当继续向上拉鱼使其刚好露出水面时，钓杆的倾斜角增大了15︒，直线部分的长度变成了1米（即ED 长为1米），顶点向上增高23米，且右移12米（即顶点变为F ），假设钓鱼线与人手（点D ）的水平距离为124米，那么钓鱼线的长度为多少米？五、（本题30分）材料作文材料一：亲爱的同学们，你一定见过娱乐明星漫画吧！你能看出右边的歌星是谁吗？张学友！不错！尽管画得很夸张，但我们仍然一眼就能看出．这是因为虽然画像是夸张的、变形的，但画中人物的“特征不变量”在漫画中明显地表现出来了．我们在解决某些数学问题时，也应学会抓不变量，利用不变量解决问题．比如：将9个数字1，2，3，4，5，6，7，8，9任意排列，组成的所有九位数中，质数的个数是多少？显然我们不可能将所有九位数一一列举，再一一验证．如果注意到这九个数字的和是45，能被3整除，因而所有的九位数都是3的倍数，问题就迎刃而解了：所有这些九位数中，质数个数为0．材料一：一年一度的春节联欢晚会不仅仅是老百姓不可缺少的“年夜饭”，也成了企业展示自己的大舞台———前仆后继，只为争得在“春晚”上露个脸．据了解，直接在春节联欢晚会前后播出的套装广告时间为10分钟，加上晚会上两次报时广告，时长各十秒．这样算来“春晚”广告时长总共为620秒．620秒的广告费价值多少呢？请看下面提供的资料：春晚广告四种主要形式报时广告：966万央视春晚在20时和零时分别有时段报时．20点与零点两个报时广告的起价分别为539万元与966万元．贺电广告：1000万 在春晚进行当中，主持人会以刚刚收到贺电的形式告诉观众××单位给观众拜年，祝愿新年快乐．贺电是央视赠送给投放额度在1000万元以上的企业的． 字幕广告：500万图3图4春晚结束之际，电视上会出现一些央视的鸣谢单位，而这些单位就是投放央视广告额超过500万元或购得晚会片尾鸣谢字幕的企业． 冠名广告：4508万“2006年我最喜爱的春节晚会节目评选”独家冠名，被杭州民生药业以4508万元夺取． 阅读以上材料，你有什么体会？是否觉得生活与数学有很强的互融性？请结合你的学习、生活实际，写一篇数学小短文，字数控制在600字以内． 六、（本题40分）数学作文从下列题目中任选其一，联系相关知识及现实生活，写一篇数学作文，字数控制在1000字左右．1．一堂有趣的数学活动课 2．我说统计 3．游戏与数学4．我在生活中用数学 5．我与学用杯竞赛6．数字0是数学中的一个极为重要的角色，它活泼、机灵、神通广大，但又“调皮”、“桀骜不训”．如果能充分理解、把握它的脾气和秉性，它能帮你排忧解难，否则，它也会使你误入歧途，吃尽苦头，甚至碰得“头破血流”．我国著名数学家、数学教育家傅种孙先生说过，要想学好数学，就要“问道于零”．请自拟题目，谈谈你对这段话的理解．九年级决赛试题参考答案一、解：（1）设原价为x 元，则在促销活动中该消费者各买一件商品共花费32.50.7 2.50.70.7 2.50.7 3.8325x x x x ⨯+⨯⨯+⨯=（元）． ············································ 3分而按原价购买三件该商品需3x 元． ······················································································ 6分 所以该消费者在此次促销活动中没有得到实惠． ································································· 8分 （2）按原价出售时，销售金额为100x ． ·········································································· 10分 按促销价出售时，销售金额为：32.50.710 2.50.70.740 2.50.750109.375x x x x ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=． ··························· 13分因为109.375100x x >，所以新销售方案商场更赢利． ···················································· 15分 （3）视解答情况给0~5分．二、解：（1）设圆心角的度数为n，则20210180n π⨯=π⨯． ··············································································································· 3分 所以180n =．所以此圆锥形小红帽侧面展开图的圆心角度数为180． ··························· 5分（2）因为扇形的圆心角为180，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形的半径为20厘米的半圆．如图1所示，当三个半圆所在圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使布料得以充分利用． ············································································································· 10分如图2，连接12O O ，23O O ，31O O ．因为1O ，2O ，3O 两两外切，12320AO BO CO ===， 所以1223311340OO O O O O O A CO ===+=． 过点3O 作312O E O O ⊥，垂足为E ． 因为2313O O O O =， 所以12121202O E O E O O ===． 在13O EO △中，1390O EO = ∠，根据勾股定理3EO === ········································ 15分因为四边形ABCD 是矩形，所以AD BC ∥，AD BC =，90A D ==∠∠． 因为12AO BO =，12AO BO ∥， 所以四边形21ABO O 是矩形．所以1290AOO =∠．所以13O E DO ∥． 又因为13O E DO =，所以四边形13O EO D 是平行四边形． 所以31EO O D =．所以1120AD AO O D =+=+ ··············································································· 20分图1图223因此矩形布料的长至少应为(20+厘米．三、（1）由图象可知，月销售量Q （百件）与销售单价P （元）是一次函数关系， 设Q Px b =+， ······················································································································ 2分 则有1020P b =+，530P b =+． ······················································································ 4分解得1202P b =-=．所以1202Q x =-+． ······································································· 6分 （2）设月利润为W ，则有100(14)(20003600)W Q x =--+ ··················································································· 10分110020(14)(20003600)2x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭250270033600x x =-+-250(54729)2850x x =--++ 250(27)2850x =--+．所以当销售单价为27元时，月利润最大为2850元． ······················································· 12分 （3）设x 年内可脱贫，由（2）知最大月利润为2850元．·············································· 14分 2850125000058000x ⨯+≥． ························································································· 16分 3.2x ≥年． ························································································································· 18分 所以，企业乙最早在4年内脱贫． ······················································································ 20分 四、解：（1）由已知，得113C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 设抛物线BOC 的函数表达式为2y ax =． 则13a =-，所以213y x =-． 设直线CD 的函数表达式为y kx b =+，由C D ，点的坐标分别为113⎛⎫- ⎪⎝⎭，，1213⎛⎫- ⎪⎝⎭，得1342.3k b k b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1k =-，23b =． 所以23y x =-+． ················································································································ 10分（2）由已知，得3423E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1223F ⎛⎫⎪⎝⎭，． ······························································· 14分 设这时抛物线的函数表达式为21223y m x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．则2312422323m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭．所以2m =-．所以212223y x ⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ····················································································· 18分又由已知A 点的横坐标为14-，得14A ⎛- ⎝⎭．所以钓鱼线的最小长度为21296米．。

初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2.5B. πC. 0.33333...D. -12. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是4. 某工厂生产的产品数量y与时间x（小时）成正比，已知2小时生产了40个产品，那么4小时生产的产品数量是：A. 80B. 100B. 120D. 1605. 一个圆的半径是5，那么这个圆的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 下列哪个是二次根式的化简结果？A. \(\sqrt{48}\)B. \(\sqrt{64}\)C. \(\sqrt{81}\)D. \(\sqrt{144}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的立方根是2，这个数是________。

2. 若一个等差数列的第3项是10，第5项是14，那么这个等差数列的公差是________。

3. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么这个长方体的体积是________cm³。

4. 一个多项式\(ax^2 + bx + c\)的系数a、b、c满足\(a + b + c = 6\)，且\(a - b + c = 0\)，那么\(2a - 2b + 2c\)的值是________。

5. 若一个二次方程\(x^2 - 4x + 4 = 0\)，那么这个方程的判别式Δ是________。

三、解答题（每题15分，共50分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求这个直角三角形的斜边长。

2. 一个水池的底部有一个排水口，水池的容积是100立方米。

如果打开排水口，水池的水在2小时内可以排完。

现在同时打开排水口和进水口，进水口每小时可以注入20立方米的水。

2019-2020温州市创新与知识运用竞赛选拔赛九年级数学试题时间：120分钟满分：120分卷Ⅰ一、选择题（每小题5分，共40分，请把答案填在卷Ⅱ相应的位置上）1、若ab ＜0，则代数式2a b 可化简为（▲）（A）a b （B）a b -（C）a b -（D）a b--2、若整数x 满足519452x +≤≤+，则x 的值是（▲）（A）8（B）9（C）10（D）113、自然数4、5、5、x 、y 从小到大排列后，其中位数．．．为4，如果这组数据唯一．．的众数是5,那么，所有满足条件的x 、y 中，y x +的最大值是（▲）(A)3(B)4(C)5(D)64、如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m，那么塔高AB 为(▲)(A)24m (B)22m (C)20m(D)18m 5、已知函数5y x =-，令x ＝21、1、23、2、25、3、27、4、29、5，可得函数图象上的十个点．在这十个点中随机取两个点()()1122,,,P x y Q x y ，则P、Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是（▲）（A）91（B）454（C）457（D）526、如图，在ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，经过点C且与边AB 相切的动圆与CA CB ，分别相交于点P Q ，，则线段PQ 长度的最小值是（▲）（A）4.75（B）4.8（C）5（D）427、某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当k≥2时，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0，按此方案，第2009棵树种植点的坐标为(▲)(A)（5，2009）(B)（6，2010）(C)（3，401）(D)（4，402）8、如图， DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么 DEFG 的面积为（▲）（A）32(B）2（C）3(D）4二、填空题（每小题5分，共30分，请把答案填在卷Ⅱ相应的位置上）9、关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是▲．10、已知点P 是反比例函数k y x=图象上一点，点P 到原点O 的距离OP＝2，且OP 与x 轴正方向的夹角为120°，则k =▲．11、如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是▲．12、如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过ΔABC 的内切圆圆心O，且点E 在半圆弧上。

九年级数学知识竞赛策划随着教育改革的不断深入，数学知识竞赛在学校教育中扮演着越来越重要的角色。

为了激发学生学习数学的兴趣，提高他们的数学解题能力，我校决定举办一场九年级数学知识竞赛。

本次竞赛旨在通过激烈的比拼，促进学生之间的数学交流，拓展数学知识面，培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。

一、竞赛时间与地点竞赛时间定于本学期周六上午，比赛地点设在学校大礼堂。

为了确保比赛的顺利进行，我们将提前对比赛场地进行布置和调试。

二、竞赛形式设置本次竞赛设置两个环节，分别为个人赛和团体赛。

个人赛分为笔试和口头答辩两个部分，题目涵盖九年级学习内容的各个方面；团体赛则要求参赛队伍进行合作，共同完成一系列数学难题。

三、奖励设置为激励学生积极参与竞赛，我们将设置一、二、三等奖，并颁发奖状和奖金；同时还将颁发最佳团队奖、最佳口头答辩奖等特别奖项。

希望通过奖励机制的设置，鼓励更多学生参与到数学知识竞赛中来，从中体会到数学的魅力和乐趣。

四、竞赛组织安排我们将成立数学竞赛策划组织小组，由数学教师和学校管理人员共同组成。

策划组将负责竞赛规则的拟定、试题的编写、裁判的选拔及比赛过程的监督管理等工作。

同时，我们还将招募志愿者，协助策划组织小组做好比赛前的准备工作，确保竞赛的顺利进行。

五、竞赛宣传推广为了让更多的学生了解并参与到数学知识竞赛中，我们将通过校园广播、海报、班主任通知等形式进行宣传推广，鼓励更多学生积极报名参赛。

同时，我们还将利用校园网站和社交媒体平台进行线上宣传，扩大竞赛的影响力。

通过本次九年级数学知识竞赛的策划与组织，我们希望能够激发学生对数学学习的热情，提高他们的数学解题能力和团队合作意识，为学生成长和发展搭建一个展示才华和交流学习的平台。

同时，也希望通过竞赛的举办，为学生成长提供更多的学习机会和挑战，让他们在比赛中不断成长、提高。

愿此次数学知识竞赛取得圆满成功！。

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信，沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考、细心演算，交一份满意的答卷．（注：可使用计算器．）一、选择题（每小题6分，共30分）1．如图1，在圆环路上均匀分布着四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存，现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1∶2∶3∶5．若运费与路程、运的产品数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（）（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁2．王村和元村之间有一座小山，县里计划修建一条通过此小山的公路，以方便两村村民的来往，如图2，经测量，从坡底B到坡顶A的坡角为30°，斜坡AB长为100米，根据地形，要求修好后的公路路面BD的坡度是1∶5（假设A，D两点处于同一铅垂线上）．为减少工程量，若AD≤20米，则直接开挖，若AD＞20米，就要重新设计，根据你所学过的知识，你认为（）（A）不用重新设计，因为AD＜20米（B）不用重新设计，因为AD=20米（C）需要重新设计，因为AD＞20米（D）应用所给数据无法计算AD的长，因此，不能判断是否需要重新设计3．由于矩形和菱形特殊的对称美和矩形的四个角都是直角，从而为密铺提供了方便，因此墙砖一般设计为矩形，而且图案以菱形居多，如图3所示，是长为30cm，宽为20cm的一块矩形瓷砖，E、F、G、H分别是矩形四边的中点，阴影部分为黄色，其它部分为淡蓝色，现有一面长为6m，高为3m的墙面准备贴这种瓷砖，那么：这面墙要贴的瓷砖数及全部贴满后这面墙上最多出现的与图3中面积相等的菱形个数分别为（）(A)288、561 (B)300、561(C)288、566 (D)300、5664．一位警察奉命追击一名正在向南偏西30°方向逃蹿的罪犯，如图4，警察的位置在点()B--，，图中的阴影部分表示一条A，，罪犯的位置在点(18012030东西走向宽20米的河道，如果警察追击的速度是8米/秒，罪犯逃跑的速度是7.5米/秒，且警察经过河道时正好有一座垂直于河道两岸的桥，要想在最短的时间内追上罪犯，警察至少要追击的时间为（）(A)19分钟(B)20分钟(C)21分钟(D)22分钟5．如果我们把地球赤道看成一个圆，并且在地球赤道上空同样高度的位置有等距离的三颗地球同步通讯卫星，使卫星发射的信号能够覆盖全部赤道，那么卫星高度至少为（）(地球半径为R≈6370km)(A)6370km(B)9555km(C)955.5km(D)9007km二、填空题（每小题6分，共30分）6．育英中学举行秋季运动会，王建同学参加铅球比赛，铅球出手时距地面1.6m，当铅球达到最大高度1.96m时水平方向距王建3m，若前一位选手成绩为9.9m，那么王建________（“能”或“不能”）超过他，成绩为________m．（设铅球在空中飞行路线呈抛物线）7．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过25米/秒，如图5，一辆汽车在一条城市街路上沿东西方向行驶，某一时刻刚好行驶到距车速检测仪A点距离为40米的C（位于A点北偏东30°处）处，过了3秒钟，到达B点，（位于A点北偏西45°）此时小汽车距车速检测仪间的距离为60米，那么这辆汽车是否超速？________．（“超速”或“不超速”）8．新学期开学，光明中学开展了一项名为“提倡节约，回收利用，从我做起”的活动．九年级（2）班李琼同学利用废旧的易拉罐制作了一个笔筒（罐与罐之间已用双面胶封紧），如图6所示．为了美观，现欲将笔筒的侧面包上礼品纸，已知易拉罐的半径为r，高为h，则需礼品纸的面积为________．9．如图7，有位农场主有一大片田地，其形状恰好是一个平行四边形，并且在对角线BD上有一口水井E．农场主临死前留下遗嘱，把两块三角形的田地（即图7中阴影部分）给小儿子，剩下的全部给大儿子，至于水井E，正好两儿子共用，由于平行四边形两边长不同，所以遗嘱公布之后，亲友们七嘴八舌，议论纷纷，认为这个分配不公平，那么你认为________．(填“公平”或“不公平”)理由是______________．10．某种消费品每件60元，不收附加税时，每年大约销售80万件，若政府收附加税时，每销售100元要征税x元（叫做税率x%），则每年销售量将减少203x万件，要使每年在此项经营中收取的税金不少于128万元，问税率x%的范围是________，当税率x%=________时，所收取的税金最多，为________万元．三、解答题（本大题共90分）11．（本题16分）实践应用：如图8，某居民住宅阳台的宽AB向有一玻璃窗CD与地面垂直，该玻璃窗的下端C与地面距离AC=1.5米，上端D与地面距离AD=3.5米，紧靠墙壁的花架上有一盆花（花盆及花的大小忽略不计），记为点P，与地面距离PB=0.5米．如果太阳光线的角度合适，就可以照射到花盆上．（1）求清晨第一缕照射到花上的太阳光线CP与地面的夹角α的度数；（2）已知太阳光线与地面的夹角在正午前大约每小时增大15°，在正午后大约每小时减小15°，而这盆花每天需阳光照射3小时才能正常生长．问：如果不移动这盆花的位置，它能否正常生长，请说明理由．12．（本题18分）猜想归纳：如图9，已知正方形ABCD的边长为2k (k是正整数)，半径为1的⊙O分别与AD，AB相切．沿AB→BC→CD→DA的方向使⊙O在正方形ABCD 的边上滚动．当⊙O第一次回到起始位置时停止运动．(1)当k=1时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了________圈；当k=2时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了________；当k=n时，⊙O从开始滚动到停止，共滚动了________．(2)当k=n时，⊙O从开始滚动到停止，滚过的面积是多少？13．（本题18分）实验探究：为发挥广大读者艺术特长，我报《数学专页》于2006年1月份举办了一次栏标设计大赛，截至4月份大赛已圆满结束．本次比赛收到了近千幅设计作品，其中一幅参赛作品如图10．同学们，你注意到栏标中的三个圆了吗？现依据三个圆的大小，剪了三张圆形纸片，它们的面积分别记为123S S S ，，，借助课桌，不给你任何工具，你能比较出12S S 与3S 的大小关系吗？写出你的方法步骤，并说明理由．14．（本题18分）信息处理：假日里，小红和爸爸、妈妈想到风景如画的天波山去游玩，他们经过了解得到如下信息：如果他们从本市汽车站出发到天波山去，那么只有一条道路可走．但顺着这条路，他们既可以乘坐公共汽车，也可以骑自行车，也可以将两者结合进行．综合起来，有以下四种不同的方案可以采用．方案1：他们可以全程乘坐汽车．但汽车要在中途荷花湖站停留30分钟．方案2：他们也可以全程骑自行车．如果他们在汽车驶离汽车站的同时开始骑自行车也从汽车站出发，那么当汽车到达天波山的时候，他们还有1km 的路程．方案3：他们可以先骑自行车到达荷花湖站，然后再乘坐汽车．如果他与汽车同时离开汽车站，那么当他们骑自行车行驶4km 的路程时，汽车已经到达荷花湖站．但是因为汽车要停留30分钟，所以当汽车正要离开荷花湖站时他刚好赶上，于是他就可以坐上汽车，前往天波山．方案4：他们可以先乘坐汽车，到达荷花湖站之后，其余的路程再骑自行车．这是最快的方案，他们可以比汽车提前一刻钟到达天波山．根据以上信息，请你求出汽车站到天波山的距离是多少千米？15．（本题20分）方案设计：儿童公园有一块半圆形空地，如图11所示，根据需要欲在此半圆内划出一个三角形区域作为健身场地，其中内接于此三角形的矩形区域为儿童游乐场，已知半圆的直径AB=100米，若使三角形的顶点C在半圆上，且AC=80米．那么请你帮设计人员计算一下：△ABC中，C到AB的距离是多少米？如果使矩形游乐场DEFN面积最大，此矩形的高DN应为何值？在实际施工时，发现在AB上距B点18.5米处有一棵古树，那么这棵树是否位于最大游乐场的边上？若在，为保护古树，请你设计出另外的方案以避开古树．参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．D 2．C 3．D 4．C 5．A二、填空题（每小题6分，共30分）6．能，10 7．不超速 8．()26rh π+9．公平，△AED 和△CEB 的面积之和等于ABCD 的面积的一半；10．4%≤x %≤8%，6%，144三、解答题（本大题共90分）11．（本题16分）解：不能． ············································································ 2分 理由：过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PB =0.5米，∴CE =CA －EA =CA －PB =1.5－0.5=1(米)． ···························································· 3分又AB =PE =． ············································································ 4分在Rt △CEP 中，CE =1，PE =，∴2PC =，30α∴=∠． ···································································· 7分如右图，假设PD 为能照到花盆上的最后一缕阳光，则DE =AD －AE =3.5－0.5=3（米）， ··········································· 8分又PE =，∴PD = ···························································································· 9分 ∴∠DPE =60°，∠DPC =30°． ······································································ 13分 由题意知，不移动这盆花能照射2小时，所以不能正常生长． ······························· 16分12．（本题18分）略解：（1）3，5，21n +；······················································· 9分（2）如图，ABCD A B C D S S ''''-四边形四边形()()222n n =π+-π-2()()()()n n n n =π+2+π-2π+2-π-2⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 24n =π⨯8n =π． ····································································································· 14分 88S n n π⎛⎫=π-41-=π+π-4 ⎪4⎝⎭阴影部分． ························································ 17分 ∴⊙O 滚过的面积为8n π+π-4． ·································································· 18分13．（本题18分）能．第一步：先将三张圆形纸片对折，得三张半圆纸片如图1，折痕为三个圆的直径，第二步：把两张小的半圆形纸片分别放在课桌的一个角的两边上，如图2，直径的端点分别落在A ，C ，B 三处．第三步：把大的半圆形纸片的直径的一个端点与A 重合，看另一端点能否与B 重合，如图3．如重合，则123S S S +=；如不重合，则123S S S +≠． 下面说明当大半圆纸片的直径的另一端点与B 重合时，123S S S +=．如图3，因为桌角是直角，所以∠ACB =90°．在Rt △ACB 中，根据勾股定理222AC BC AB +=． 所以222AC BC AB πππ+=444． 所以222222AC BC AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫π+π=π ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即123S S S +=．(本题说明方法可得10分，说明相等或不相等的理由可得满分，其他情况可酌情给分)14．（本题18分）解：设汽车站到荷花湖站的距离为xkm ，则当汽车在中途停留30分钟时，他们走了（x -4）km ，从而可知他们骑自行车每小时走（2x -8）km ，因为汽车走了xkm ，他们走了4km ，所以汽车每小时走()42x x -km ． ············································································· 2分 设荷花湖站到天波山的距离为ykm ，那么依据题意可得：()()116428221110428422x y x y x x x y y x x x +-+⎧=+⎪--⎪⎪⎨⎪+=+⎪--⎪⎩ ①…………分 ②…………分 由①化简得：4xy x y -= ③ ····································································· 12分 由②化简得：2284xy y x x =+- ④ ··························································· 14分 ③×2与④相减，整理得260x x -=，解之得：10x =，26x =．············································································· 17分 所以，汽车站到荷花湖站的距离为6km ，荷花湖站到天波山的距离为3km ，所以汽车站到天波山的距离是9km ． ······················································································ 18分15．（本题20分）解：（1）如图4，∵AB 是直径，且AB =100，AC =80，∴60BC ==， ············································································ 2分∴1122ABC S AC BC AB h ==△， ····································································· 4分 即60×80=100h ，∴h =48．∴C 到AB 距离为48米． ················································································ 6分(2)设DN 为x 米，则∵△CNF ∽△CAB ，∴h DN NF h AB-=． ∴()1004848x NF -=，··················································································· 9分 ∴()210048*********DEFNx S x x x -==-+矩形， ················································ 11分 当x =24时，游乐场面积最大． ········································································ 12分(3)当游乐场面积最大时，DN =EF =24米，84tan 63EF AC ABC BE BC =∠===， 63tan 84DN BC BAC AD AC =∠===． 易得BE =18米，AD =32米． ··········································································· 15分 则BD =68米，又BM =18.5米，∴BE ＜BM ＜BD ，∴大树位于欲修建的游乐场边上，应重新设计方案． ··········································· 17分 由圆的对称性，可把△ABC 划分到半圆的左边． ················································· 20分。

九年级数学竞赛考试卷考号姓名一、选择题（每题3分, 共24分）每题只有一种答案是对旳旳, 请在答题卡上对应题目旳答题区域内作答, 答对旳得4分, 答错、不答或答案超过一种旳一律得0分.1. 下列计算对旳旳是（）A. B. C. D.2．用配措施解一元二次方程, 下列配方对旳旳是（）A. B. C. D.3.如图，用放大镜将图形放大，应当属于.. ）A. 相似变换B. 平移变换C. 对称变换D. 旋转变换4.在抛掷一枚均匀硬币旳试验中，假如没有硬币，则下列可作试验替代物旳是....）A.一颗骰子B.一种啤酒瓶盖.C.两张扑克牌（一张黑桃, 一张红桃.. D.一颗图钉5．如图, 在平面直角坐标系中, 已知点, 点,则=cos（）∠OABA. B. C. D.6．如图, 在□中, , , 是对角线上旳任意一点, 过点作∥ , 与□旳两条边分别交于点, ．设, , 则下面能大体反应与之间关系旳图像为（）B. C. D.A. B. C. D.7.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D.已知AC= , BC=2, 那么sin∠ACD＝（）A. B. C. D.8.已知函数y=x2-2x-2旳图象如图所示，根据其中提供旳信息，可求得使y≥1成立旳x旳取值范围是...）A. -1≤x≤3B. -3≤x≤1C. x≥-3D. x≤-1或x≥3二、填空题（每题3分, 共36分）在答题卡上对应题目旳答题区域内作答。

9. 化简: ；10. 一元二次方程旳二次项系数、一次项系数、常数项旳和为；11. 要使式子故意义, 旳取值范围是；12．某一种“爱心小组”有3名女生和2名男生, 现从中任选1人去参与学校组织旳“献爱心”志愿者活动, 则选中女生旳概率为____________；13. 顺次连结等腰梯形各边旳中点所得旳四边形是____________；14. 如图, 在坡度为1:2旳山坡上种树, 规定株距（相邻两树间旳水平距离）是米, 斜坡上相邻两树间旳坡面距离是米；15. 设是方程旳两个实数根, 则旳值为___________；16. 已知: 如图, 旳面积为, 中位线, 则边上旳高为；17. 在一次初三学生数学交流会上, 每两名学生握手一次, 记录共握手253次。

第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级决赛试题及答案第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级决赛试题一、判断决策（本题20分）光华中学要选派一名学生去参加区级电脑知识竞赛，王峰和朱倩两位同学平时电脑都学的不错，为了确定谁去参赛，老师对他们的电脑知识进行了10次模拟测验，测验成绩情况如下面的折线统计图（图1）：利用此图表信息，根据你学过的统计知识，分析王峰和朱倩的成绩．你认为谁去参赛更好些？二、实践应用（本题20分）某生活小区为了改善居民的居住环境，把一部分平房拆除后准备建几栋楼房，由于某种原因，最北边的一排平房暂时没拆．如图2，建筑工人准备在距离平房55米的地方（平房的南边）打地基建甲楼，已知甲楼预计34米高，平房的窗台高1.2米，该地区冬天中午12时阳光从正南方照射时，光线与水平线的最小夹角为30 ．（1）甲楼是否会挡住平房的采光？为什么？（2）假设在甲楼南边再建一栋同样高度的楼房乙楼，那么甲、乙两楼之间的距离最少为多少米才不影响甲楼采光？（已知甲楼1楼的窗台高1.6米，结果精确到0.01米）三、方案设计（本题20分）亲爱的同学，你准备好了吗？让我们一起进行一次研究性学习：研究用一条直线等分几何图形的面积．我们很容易发现这样一个事实：，两点画一条直线，即可把如图3①，对于三角形ABC，取BC边的中点D，过A D△分为面积相等的两部分．ABC（1）如图3②，对于平行四边形ABCD，如何画一条直线把平行四边形ABCD分为面积相等的两部分．答：__________________（写出一种方案即可）．理由是：_________________．（2）受上面的启发，请你研究以下两个问题：①如图3③，一块平行四边形的稻田里有一个圆形的蓄水池，现要从蓄水池引一条笔直的水渠，并使蓄水池两侧的稻田面积相等，请你画出你的设计方案，保留作图痕迹，不必说明理由．②某农业研究所有一块梯形形状的实验田如图3④，准备把这块实验田种上面积相同的西红柿和青椒（都是新品种），应该如何分割，请你分别在图3④、图3⑤中设计两种不同的分割方案，并说明理由．四、综合应用（本题20分）某旅游开发公司为了方便旅客，购置50套卧具（供旅客上山休息使用），当每套卧具每晚租金为30元时，卧具就会全部租完；如果每套卧具租金每晚增加1元，就会有一套卧具租不出去．综合考虑各种因素，每租出一套卧具需交付管理部门及其它费用4元．设每套卧具每晚租金为x（元），旅游开发公司每晚的收益为y（元）．（1）当每套卧具每晚租金为35元、49元时，计算此时的收益．（2）求出y与x的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）（3）旅游开发公司要获得每晚的最大的收益，每套卧具每晚的租金应定为多少元？每晚的最大收益是多少元？五、（本题30分）材料作文据说美国著名的数学家波利亚曾对学生作过这样一次测试：他先在黑板上挂了一幅“画”———一张上面仅有一个黑色圆点的白纸，然后问学生：“同学们，你们看到了什么？”“一个黑点．”全体同学一起回答．然后，学生们便沉静下来，等待老师的讲解．波利亚摇了摇头，语重心长地说：“很遗憾，你们只说对了极少的一部分，画中更大的部分是空白．只见小，不见大；只见微观，不见宏观，就会束缚自己的思考力和想象力．”同学们，读了这篇耐人寻味的故事，你作何感想？请结合你平时的数学学习写一篇500字左右的短文（题目自拟）．六、（本题40分）数学作文从下列题目中任选一个，联系相关知识及现实生活，写一篇数学短文，字数控制在1 000字以内．1．至善至美的圆2．特殊四边形的魅力3．几何变换与美4．从概率我想到了…… 5．数学中的和谐6．我的“学用杯”情怀第六届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级决赛试题参考答案一、解：王峰和朱倩成绩的平均数都约是85（分别是84.6和84.9），中位数分别是85和85.5．王峰成绩的众数是85，朱倩成绩的众数是90，从85分以上的频率看，王峰的成绩要好些，从众数来看，朱倩的成绩要好些；而从方差来看，王峰成绩的方差是21.84，朱倩成绩的方差是37.49．因此建议王峰参加竞赛（本题满分20分，注：由于读图有误差，只要通过求平均数、中位数、众数、方差等数据后，分析合理，即可酌情给分）．二、解：如图：（1）过C 作CE ⊥BD 于E ，CE ＝AB ＝55米．∵阳光入射角为30°，∴∠DCE ＝30°．··········································································································· 3分在Rt △DCE 中，tan DEDCE CE=∠．∴DE ＝CE ·tan ∠DCE ＝55·tan30°≈31.75（米）．··················································· 8分∵34>31.75+1.2=32.95，∴甲楼挡住了平房的采光．·························································································· 10分（2）作FQ ⊥HG 于Q ，∵阳光入射角为30°，∴∠HFQ ＝30°．········································································································· 13分在Rt △HFQ 中，tan HQHFQ FQ=∠，∴34 1.656.12tan tan 30HQ FQ HFQ -==≈∠（米）························································ 18分∴甲、乙两楼之间的楼距至少应为56.12米．···························································· 20分三、（1）连接两对角线AC 、BD 交于点O ，过O 点任作一直线MN 即可（如图）．（不妨设该直线与AD 、BC 分别交于点M 、N ）·························································· 2分理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，∴∠MAO ＝∠NCO ，又∵∠AOM ＝∠CON ，∴△AOM ≌△CON ．∴S △AMO ＝S △CNO ．··········································································································· 4分同理得S △MOD ＝S △NOB ．又易得S △AOB ＝S △COD ，所以S 四边形MNCD ＝S 四边形ABNM ．（2）①如图····························································· 8分②方案一：分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ，线段EF 就是所求作的分割线．理由：∵AE ＝ED ，BF ＝FC ，∴11()()22ABFE EFCD S AE BF h ED FC h S =+=+= 四边形四边形方案二：连接BD ，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ，折线AOC 可以把梯形分割为两个面积相等的图形．理由：∵BO ＝OD ，∴S △AOB ＝S △AOD ，S △BOC ＝S △DOC ，∴S △AOB ＋S △BOC ＝S △AOD ＋S △DOC ．同理，连接AC ，取中点O ，连接BO 、OD ，折线BOD 可以把梯形分割为两个面积相等的图形（图略）．方案三：取CD 的中点G ，过G 作FH ∥AB ，与BC 交于F ，与AD 的延长线交于点H ．可证：S △DHG ＝S △CFG ，则过AF 中点O 且不穿越△DHG 或△GFC 或G 点的直线均可把梯形面积等分（如下图中的MN ）．理由略．（只要写出两种即可，每个方案正确时加6分，其中作图2分，理由4分．）四、（1）每晚租金为35元时，收益为1 395元；每晚租金为49元时，收益为 1 395元．·········································································· 8分（2）284320y x x =-+-．······················································································· 12分（3）∵284320y x x =-+- 2(42)1444x=--+ ∴每套卧具每晚的租金应定为42元，此时有最大收益为1 444元．······················ 20分五、说明：本题旨在让学生根据材料归纳出全面看问题的思路，由此展开议论或说明，若得出其他结论，只要说的有道理，可酌情给分．六、略．。

第三届“学用杯”全国数学知识应用竞赛初三年级初赛试题（B 卷）一、填空题（每小题5分，共40分）1．随着国民经济持续稳定发展，电脑越来越多地进入寻常百姓家，现急需某型号家用电脑，生产此型号电脑的某车间，增加了设备改进了技术，每小时装配的电脑比改进技术前增加了2台，后来装配40台电脑所用的时间比改进技术前装配30台所用的时间还少2小时，此车间在改进技术后每小时装配电脑的台数是 .2．飞行员在空中寻找成功返回地面的载入飞船“神州五号”，观察范围是一个圆，如图1，设飞机的高度h =480米，观测角45α=，他看到的地面面积是 平方米。

如果观测角不变，要使看到的地面面积增加到原来的2倍，飞机要升高 米（π取3.14，结果精确到0.1）.3．国家推出的“教育储蓄”适用对象是在校中小学生，储蓄类型是“零存整取”但享受“整存整取”的利率，而且免征利息税，已知银行整存整取三年期年利率为2.7%，小红的父母为小红每月存入50元，则三年到期一次可支取本息和为 ，比同档次的零存整取多收益 （银行零存整取三年期年利率为2.16%）.4．在旧城改造的某一项目中，要将如图2所示的一棵没有观赏价值的树放倒，栽上其他花木，在操作过程中，甲要直接把树放倒，乙不同意，他担心这样会损害这棵树周围4.5米处的花草和动物雕塑，请你根据图中标注的测量数据，通过计算可知乙的担心 必要，原因是 1.7=，计算结果精确到0.1米）.5．为降低成本，某车间现有一种12cm ×9cm 的矩形铁皮，在这样的铁皮上剪去两个半径为3cm的圆，且需要在余下的残料上再剪一个圆，则这个圆的最大半径为 .6．“坡耕地退耕还林还草”是国家对解决西部地区水土流失生态问题，帮助广大农民脱贫致富提出的一项战略措施，某村村长带领全村群众自觉投入“坡耕地退耕还林还草”行动，率先示范，1999年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包20亩坡耕地的还林还草及管护任务，并按一定比例逐年增长，到2001年村长承包28.8亩的坡耕地的还林还草及管护任务，该村有30户人家，如果每户均以村长的行为为标准，则全村这三年可完成坡耕地的还林还草任务 亩，如果国家按每亩坡耕地230元给予补助，则仅2001年一年国家将对该村投入补助资金 万元.7．某公司派代表要从北京（东经120度，北纬40度）乘飞机去南非首都约翰内斯堡（东经30度，南纬30度）处理紧急事务，现有两种航线可供选择：甲航线，从北京沿纬度向西飞到希腊雅典（东经30度，北纬40度），然后向南飞到目的地；乙航线，从北京向南飞到澳大利亚的佩思（东经120度，南纬30度），然后向西飞到目的地，若两条航线的飞机航速均为1000千米/时，中途转航图2r h α 图1需要1小时，请想一想该公司选择 航线最短，所需时间是 （视地球为R =6370千米的球体，飞机飞行高度忽略不计，cos400.76604,sin 400.64279==，结果精确到0.01）.8．在一次兴趣小组探索活动中，如图3，如果O 的周长为20πcm ，有两个同样大小的小球A 、B ，其半径均为2，小球A 沿O 的内壁滚动，小球B 沿O 的外壁滚动，则小球A 自转 圈后回到原来的位置，小球B 要自转圈回到原来的位置二、选择题（每小题5分，共50分） 9．一个化学实验小组人员分别做测量锌跟盐酸反应生成氢气的实验：5人分别称取锌块 6.51克，6.52克，6.49克，6.50克，6.48克，生成的氢气用排水法收集，测得分别为：2.25升，2.26升，2.23升,2.24升， 2.22升，则由此实验得出的氢气的密度为 （ ）.（A ）8.9×10-5克/厘米3（B ）8.9×10-4克/厘米3 （C ）8.9×10-3克/厘米3（D ）8.9×10-2克/厘米310．一场为希望工程义演的文艺表演有6元和10元两种票价，某团体需购买140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的两倍，则购买这两种票最少需要 （ ）.（A ）1210元（B ）1212元（C ）1214元（D ）1216元11．篮球训练完后，篮球场上有8个篮球，王青要把它们收到红、黄、蓝三个篮球筐中，每个筐都至少要投入1个球，则不同的投法有 （ ）.（A ）20种（B ）21种（C ）22种（D ）23种12．如图4，挂着“欢度元旦”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4米，在地面A点测得气球中心O 的仰角∠OAD =60°，测得气球的视角∠BAC =2°（AB 、AC 为O 的切线，B 、C 为切点），则气球中心O 离地面的高度OD 为（精确到1米，参考数据：sin1 1.732==） （ ）.（A ）94米（B ）95米（C ）99米（D ）105米13．为了给一本书的各页标出页码，在计算机排版录入时，录入人员需击打数字键3645次，这本书的页数是 （ ）.（A ）1187 （B ）1188（C ）1189（D ）非上述答案14．某机械厂的总工程师张青家距厂部很远，每天都由厂部小客车接送，厂车到接送停靠站接到张青立即返程，根据厂车的出车时间和速度，张青总能算准时间，通常是他到停靠站时，厂车正好到达，这样，双方均不必等候.有一次，张青因挂念厂里的科研课题，提前一小时到停靠站后没有等汽车，而是迎着厂车来的方向走去，遇到厂车后，他乘车到达厂部，比平时早20分，则汽车的速度是张青步行速度的 （ ）.图4 图3（A ）5倍（B ）6倍（C ）7倍 （D ）8倍15如图5，在电视台一个娱乐节目现场，有两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左边轮子上的箭头指着的数字为a ，右边轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对（a ，b ）所有可能的个数为n ，其中a +b 恰好为偶数的不同数对的个数为m ，则m n等于）（A ）12（B ）16（C ）512（D ）34 16．海军军事演习中，有三艘船在同时刻向指挥所报告：A 船说B 船在它的正东方向，C 船在它的北偏东55°方向；B 船说C 船在它的北偏西35°方向；C 船说它在A 船的距离比它到B 船的距离远40海里，则AB 的距离为(sin350.5736,cos350.8192,tan35===0.7002,cot 35 1.428)= （ ）.（A ）182.8海里 （B ）162.8海里（C ）133.4海里 （D ）93.4海里17．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前少后多的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档外，那么，满足上述要求的排法的方案有 （ ）.（A ）1种（B ）2种（C ）4种（D ）5种18．如图6，小蓓要赶上参观革命圣地的汽车，她从点A 下发现汽车自点B 处沿x 轴向原点O方向均速驶来，她立即从A 处搭一辆摩托车，去截汽车.若点A 的坐标为，点B 的坐标为（10，0），汽车行驶速度为摩托车速度的2倍，则小蓓最快截住汽车的坐标为 （ ）.（A ）（3，0）（B ）（3.5，0） （C ）（4，0）（D ）（5，0）三、解答题（每小题20分，共40分）19．如图7，某居民小区，有矩形地ABCD 一块，为美化环境要在中央修建一矩形EFGH 花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的一条绳子，如何量出道路的宽度？图6 图520．如图8，在直径为AB 的半圆内，画出一个三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC 的矩形建筑物DEFN ，其中DE 在AB 上，设计方案是使AC =8，BC =6.（1）求△ABC 中AB 边上的高h ；（2）设DN =x ，当x 取何值时，建筑物DEFN 所占区域的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB 边上距B 点1.85的M 处有一处文物，问：这处文物是否位于最大建筑物的边上？如果在，为保护文物，请设计出你的方案，使满足条件的内接三角形中欲建的最大矩形建筑物能避开文物.四、开放题（本大题20分）21．A 、B 、C 三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法.A B C D FN M 图8。

九年级年级数学知识应用竞赛决赛考题（带答案）一、（本题20分）在一次象棋比赛中，由于不慎把一个棋子○车掉在地上．如图1，已知○马所在位置的坐标是，○炮所在位置的坐标是，○车所在位置的坐标是，请在图中标出○车所在位置．二、（本题20分）现代社会对保密要求越来越高，许多情况下都要采用密码，下面是一则密码：L dp d vwxghqw请联想英语字母表中字母的顺序，找到一把破译它的“钥匙”，叙述你找到的“钥匙”，并用这把“钥匙”将它解密成一句和同学们身份相关的英语句子．三、（本题20分）在一次趣味运动会上，小明发现：他用绳子捆紧的四根接力棒，用手按压其中的一根，四根接力棒还是可以松动，请你跟小明一起探究原因：首先，作四根接力棒的横截面，得到四个等圆（设每个圆的半径为）．然后分别计算下述三种情形下接力棒绳子的长．1．如图2，当其中三个圆两两相切，第四个圆和其中两个也相切时．2．如图3，当组成正方形时．3．如图4，当组成一般的菱形（不存在三个圆两两相切）时．比较上述三种计算结果，你会得出什么结论？并据此结论说明为什么捆紧的接力棒还是会松动的．四、（本题20分）在市政府实施容貌工程期间，启新中学在教学楼前铺设小广场地面．其图案设计如图5（1），正方形小广场地面的边长是40cm，中心建一直径为20m的圆形花坛，四角各留一个边长为10m的小正方形花坛，种植高大树木．图中其余部分铺设广场砖．1．请同学们帮助计算铺设广场砖部分的面积（取3）；2．某施工队承包铺设广场砖的任务，计划在一定时间内完成，按计划工作一天后，由于改进了铺设工艺，每天比原计划多铺结果提前3天完成了任务，原计划每天铺设多少？3．如图5（2）表示广场中心花坛的平面图，准备在圆形花坛内种植6种不同颜色的花卉，为了美观要使同色花卉集中在一起，并且各花卉的种植面积相等．请你帮助设计至少一种方案，作在图5（2）上．（不必说明方案，不写作法，保留作图痕迹）五、（本题30分）材料作文在建筑学上有一个“横梁极限”的原理，说的是对于一根横梁，假设它的长度为，宽度为，密度均匀．根据力学上的原理可以证明，这根横梁的负重会受到比值：（其中）的限制．如果比值超过这个限制值，横梁就要断裂．动物的躯体是由骨骼、肌肉和韧带等组成的一种复杂系统，与上面所讲的横梁是有许多相似之处的，比如我们看到最多的四足动物，它的身体的长度也是有一定限制的．因此，动物学家们通常借用“横梁极限”原理，来粗略地表示四足动物在长度上所受到的限制．瑞士苏黎世动物园曾经运用“横梁极限”原理对一组动物进行过测算，并从大量的数据得到一个结果：一般四足动物的这项比值小于，这样它们的躯体被重力压垮的危险就极小．说明：在计算时，规定使用的长度单位都是厘米．如果长度单位不同，比如取米所得的数据是不同的．横梁和四足动物似乎是风马牛不相及的，然而动物学家却发现了他们之中的某种相似的性质．聪明的同学们，通过上面的阅读你能得到什么启示吗？请写一篇500字左右的数学短文（题目自拟）．六、（本题40分）从下列题目中任选其一，联系相关知识及现实生活，写一篇数学作文，字数控制在1000字以内．1．生活中的“一元二次方程”；2．好一个美丽的抛物线；3．无处不在的“圆”；4．感受数学之美；5．“对称王国”游记；6．我与“学用杯”竞赛．九年级决赛试题参考答案一、解：根据马和炮的坐标建立直角坐标系，如下图，由此可确定○车的位置如图．二、钥匙：．若用文字叙述意思正确也可． 10分Ｉ am a student 20分三、1．． 5分2．． 10分3．设，则有．绳子的长度：． 15分三种情况下绳子的长度都相等．由于是四边形，而四边形具有不稳定性，所以，捆紧的接力棒还是会松动的． 20分四、解：（1）根据题意可知：5分（2）设原计划每天铺设广场砖，由题意可列方程：解此方程得：（舍去）经检验符合题意，所以原计划每天铺设． 15分（3）设计方案如下．（参考）注意：二四题必须给出必要的演算过程或推理过程，若给出其它答案，只要正确、合理，酌情给分．。