数学建模及仿真_1

• 通过直观观察， 猜测人口随时 间的变化规律 （即某种类型 的函数），再 用函数拟合的 方法确定其中 的未知参数。
指数增长模型
马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
x(t t ) x(t ) rt x(t )
dx rx, x(0) x0 dt
数学建模的一般过程
6、模型的改进：
通过评价的结果，进一步改进模型
现实世界 形成问题 简化问题 归结模型
模型应用
模型评价
模型检验
模型求解
实际问题 抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值 地求解、确定参数 用实际问题的实测数据 等来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产 生经济、社会效益
x(t ) x0 e
rt
参数估计
根据最小二乘法,x0和r是以下函数的最小值:
E ( x0 , r ) ( x0e xi )
rti i 1
n
2
其中xi是ti时刻美国的人口数。 然后再代回函数计算新的时间t所对应的人口数：
x(t ) x0 e
rt
结果分析
人口将以指数规 律无限增长 1810-1870间的预 测人口数与实际 人口数吻合较好， 但1880年以后的 误差越来越大
数学 建模
Mathematical Modeling
主讲人：范瑾
Email: jinfan@dhu.edu.cn Office:信息学院（学院楼2号楼）216
考核方式
•平时成绩——作业，考勤10% •上机实践——实验报告30% • 考试 ——60%
<数学建模与数学实验>（第二版）赵
静 但琦, 高等教育出版社，2003年
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模 型的过程。
§1.2 数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 实体信 建模 求解 应用 假设 验证 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 息(数据) 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即 建立数学模型。 在难以得出解析解时，也
规则型的建模
建模实例-人口增长模型
• 给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一 个间隔），请估计出美国2010年的人口。
年份 人口(106) 年份 人口(106) 年份 人口(106)
1790 3.9 1860 31.4 1930 123.2
1800 5.3 1870 38.6 1940 131.7
没考虑饱和性
阻滞增长模型（Logistic模型）
随着人口的增加，人口增长率会降低，可假设为人口数 的减函数
r ( x) r sx
xm
人口数量最终会饱和，趋于某一个常数 当
x xm 时，增长率应为0，即 r sxm 0
dx x r 1 x xm dt x 0 x 0
= /2时， f(/2)=0 , g(/2)>0 (AC和BD互换). 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.


由 f, g的连续性知 h为连续函数 , 据连续函数的基本 巧妙的建模：用一元变量 θ 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
x r x r 1 x m
模型求解
解微分方程得到：
xt
xm xm rt 1 1 x e 0
增长速率曲线
60 50 40 30 20 10
100
200
300
400
500
r=0.5, xm=500百万（50亿） 取xm/2的时候，增长率最大
1810 7.2 1880 50.2 1950 150.7
1820 9.6 1890 62.9 1960 179.3
1830 12.9 1900 76.0 1970 204.0
1840 17.1 1910 92.0 1980 226.5
1850 23.2 1920 106.5 1990 251.4
模型分析
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
B´ B
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g() 椅脚与地面距离为零 •放稳
f()＝ g()＝0
A´
C
C´
O

D´
A
x
四个距离 (四只脚)
正方形 对称性
两个距离
D
正方形ABCD 绕O点旋转
例1 （续）
假设2：地面为连续曲面 假设3：椅子在任意位置 至少三只脚着地
数表示椅子四脚与地面的距离.
表示椅子的位置，用 θ的两个函 性质, 必存在0 , 使 h(0)=0, 即f( 0) = g(0) .

请思考一下，四脚呈长方形的情形 ？
例2 商人过河问题 （状态转移）
• 3 名商人各带 1 名随从乘船渡河，一只小 船只能容纳2人，由他们自己划行，随从 们密约，在河的任一岸，一旦随从人数 比商人多，就杀商人。此密约被商人知 道，如何乘船渡河的大权掌握在商人们 手中，商人们怎样安排每次乘船方案， 才能安全渡河呢？
数学建模的基本方法
3、类比分析法：根据两个模型某些属性或者关 系的相似性，去猜想两者的其他属性或者关系 也可能相似的一种方法。 4、数据分析法：对于结构性质不大清楚的模型， 无法从理论分析中得到模型的内在规律，但是 由若干能表征问题规律，描述系统状态的数据 可以利用，这是可通过描述系统功能的数据分 析了解系统的结构模型，在这种情形下，回归 分析法是最有效的工具。
1. 数学建模概论
§1.1 数学模型与数学建模
数学模型（Mathematical Model）
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对 实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它 或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展 规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意 义下的最优策略或较好策略。

数学建模（Mathematical Modeling）
建模过程示意图
如何学习数学建模
• 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想像力 洞察力 判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 • 亲自动手，参加课题实践。
需要掌握的数学知识
• 微分方程 • 规划（优化）：静态规划（线性、整数、 非线性），动态规划 • 概率统计（回归）、随机模拟 • 图论（最短路问题，匹配，网络流） • 组合数学 • 层次分析（简单、自学） • 变分法
数学建模的一般过程
3、建立模型： 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 4、求解模型：
各种数学方法、软件、计算机技术 能用简单的方法解决的问题就不要用复杂的方法解决
数学建模的一般过程
5、模型的检验与评价：
如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
• • • • • • • • •
数学建模简介 MATLAB入门 线性（整数）规划 整数线性规划 无约束最优化 非线性规划 动态规划 微分方程 差分方程



组合数学 最短路问题 匹配与覆盖问题 图论 行遍性问题 网络流问题 数据的统计分析与描述 回归分析 计算机模拟 插值与拟合数学
O D D´
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
例1 （续）
连续函数的性质 • h(x)在闭区间[a, b]上连续，且h c [ a, b] (a)h(b)<0，则存在一点 使得h(c)=0。
例1 （续）
A
B
模型求解

O
C

D
x
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 初始 =0时，g(0)=0， f(0) > 0 ，
参数估计与结果分析
300
同样用最小二 乘法可估计参 数得到：r=0.2 083, xm=457.6 x(2010)=297.9 结果如右图， 对数据拟合得 很好。
250
200
150
100
50
0 1750
1800
1850
1900
1950
2000
2050
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评述与总结
• 给定数据预测趋势的问题 • 思路 • 描点作图，找趋势，找到基函数 • 用最小二乘法估计参数 • 与实际相比较 • 评价改进 • 如果找不到基函数，可用多项式函数拟 合，但有时效果不好
4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
§1.3 数学模型的分类
分类标准
对某个实际问题了解 的深入程度
具体类别
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
模型中变量的特征
建模中所用的数学方 法 研究课题的实际范畴
连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机
型模型等 初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优 化模型等 人口模型、生 态系统模型 、交通 流模型、经 济模型、 基因模型等
• 设第k次渡河前此岸的商人数为xk, 随从数为yk, k=1, 2,…, xk , yk =0,1,2,3，称二维向量 为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态 集合，记为S，则允许状态集合为：
模型建立：
从图中可以发现经过下面 的11步状态变化，可以使 得所有人员安全过河： （3,3）→（3,1）→（3,2） →（3,0）→（3,1）→ （1,1）→（2,2）→（0,2） →（0,3）→（0,1）→ （0,2）→（0,0）。
学习数学建模的意义
• 培养学以致用的能力 • 灵活应用知识 • 动手实践 • 利用计算机来学习和应用数学 • 二者的结合是发展趋势 • 越来越多的研究用计算机模拟取代传统的实 验。
数学建模竞赛
• 东华大学生数模竞赛 • 全国大学生数模竞赛 • 美国数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛
时间：每年9月中下旬。 内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问 题简化而成，没有标准答案。 对象：全国本专科学生，专业不限，分甲乙组 形式：3人一组，三天三夜，自由完成 目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数 学和计算机的能力，团结合作精神和进行协调 的组织能力等。
数学建模的基本方法
1、理论分析方法（机理分析法）：应用自然科学中 已经被证明的正确理论、原理和定律，对被研究的有 关因素进行分析、演绎和归纳，从而建立数学模型。 2、模拟方法：对于一些模型，了解了其结构和性质， 但是无法对模型求解或者无法进行定量描述，此时可 以使用模拟的方法（实战中用的最多的模拟方法有图 论模拟、物理模拟和随机模拟的方法），创造出一个 结构和性质完全相同的模型，将新的模型看成是原来 模型的模拟，对后一个模型进行试验。
§1.4 建模实例
•例1 椅子能在不平的地面上放稳吗？
模型假设
1.四条腿一样长，四脚的连线呈正方形；
2.地面高度是连续变化的,地面可视为数学上的连续 曲面.
3.地面是相对平坦的,椅子在任何位置至少有三只脚 B 同时着地. 4.放稳就是椅脚与地面零距离 C A O
x
例1 （续）
模型建立
• 椅子位置
B´ C C´ B
f() , g()是连续函数 对任意, f(), g()至少 一个为0，即 f()*g() =0。
设初始状态 g(0)=0
A´
A
数学问题：
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; x 且 g(0)=0， f(0) > 0.
数学建模的一般过程
1、需要解决什么问题
了解实际背景 搜集有关信息 明确建模目的 掌握对象特征 形成一个比较 清晰的‘问题’
针对问题特点和建模目的 2、假设与简化： 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
对假设的说明
• 对实际问题建立数学模型时，将涉及众 多的因素，所以需要分清主要因素和次 要因素，恰当地抛弃次要因素，并且将 主要因素用公式、变量、图表的形式描 述出来。 • 同时考虑假设对模型的可解性的影响。 • 模型成败的前提 • 艺术性、技巧性——有规律可循但是有 时需要很高的技巧。
全国高校规模最大的课外科技活动
奖项设置：首先各省分别评奖，占三分之一左右
年份
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998