图形找规律班级___________ 姓名___________ 成绩______________
同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。
例1 求99边形的内角和。
分析与解：三角形的内角和等于180°，可是99边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形、六边形……的内角和，找一找其中的规律。
如上图所示，将四边形ABCD分成两个三角形，每个三角形的内角和等于180°，所以四边形的内角和等于180°×2= 360°；同理，将五边形ABCDE分成三个三角形，得到五边形的内角和等于180°×3＝540°；将六边形ABCDEF分成四个三角形，得到六边形的内角和等于180°×4＝720°。
通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减2。由此得到多边形的内角和公式：
n边形的内角和=180°×（n-2）（n≥3）。
有了这个公式，再求99边形的内角和就太容易了。
99边形的内角和=180°×（99-2）＝17460°。
例2四边形内有10个点，以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？
分析与解：在10个点中任取一点A，连结A与四边形的四个顶点，构成4个三角形。再在剩下的9个点中任取一点B。如果B在某个三角形中，那么连结B与B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加2个（见左下图）。如果B在某两个三角形的公共边上，那么连结B与B所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加2个（见右下图）。
类似地，每增加一个点增加2个三角形。
所以，共可剪出三角形 4＋ 2× 9= 22（个）。
如果将例2的“10个点”改为n个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形4＋2×（n-1）=2n＋2=2×（n＋1）（个）。
同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。
如果底面是正三角形、正四边形、正五边形……那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱……
例3 n棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，那么n棱柱共有多少对不相交的棱？
分析与解：n棱柱的底面和顶面都是n边形，每个n边形有n个顶点，所以n棱柱共有2n个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连，而每条棱连接 2个顶点，所以n棱柱共有棱 2n×3÷2=3n（条）。
进一步观察可以发现，n棱柱中每条棱都与4条棱相交，与其余的3n－4-1 =（3n－5）条棱不相交。共有3n条棱，所以不相交的棱有 3n×（3n- 5）（条），因为不相交的棱是成对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有 3n×（3n-5）÷2（对）。
例4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用100条直线呢？
分析与解：4条直线时，我们可以试着画，100条直线就不可能再画了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个圆是1块；1条直线将圆分为2块，即增加了1块；2条直线时，当2条直线不相交时，增加了1块，当2条直线相交时，增加了2块。由此看出，要想分成的块尽量多，应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。
再画第3条直线时，应当与前面2条直线都相交，这样又增加了3块（见左下图）；画第4条直线时，应当与前面3条直线都相交，这样又增加了4块（见右下图）。所以4条直线最多将一个圆分成1＋1＋2＋3＋4=11（块）。
由上面的分析可以看出，画第n条直线时应当与前面已画的（n—1）条直线都相交，此时将增加n块。因为一开始的圆算1块，所以n条直线最多将圆分成
1＋（1＋2＋3＋…＋n）
=1＋n（n+1）÷2（块）。
当n=100时，可分成
1＋100×（100＋1）÷2=5051（块）。
例5 用3个三角形最多可以把平面分成几部分？10个三角形呢？
分析与解：平面本身是1部分。一个三角形将平面分成三角形内、外2部分，即增加了1部分。两个三角形不相交时将平面分成3部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下图）。
由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。所以，再画第3个三角形时，应使每条边的交点尽量多。对于每个三角形，因为1条直线最多与三角形的两条边相交，所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共可产生3×（2×2）= 12（个）交点，即增加12部分。因此， 3个三角形最多可以把平面分成
1＋1＋6＋12= 20（部分）。
由上面的分析，当画第n（n≥2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n—1）个三角形的各两条边相交，共可产生交点
3×［（n—l）×2］=6（n—1）（个），能新增加6（n－1）部分。因为1个三角形时有2部分，所以n个三角形最多将平面分成的部分数是
2＋6×［1＋2＋…＋（n—1）］
当n=10时，可分成2＋3×10×（10—1）=272（部分）。
练习16
1.求12边形的内角和。
2.五边形内有8个点。以五边形的5个顶点和这8个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？
3.已知n棱柱有14个顶点，那么，它有多少条棱？
4.n条直线最多有多少个交点？
5.6条直线与2个圆最多形成多少个交点？
6.两个四边形最多把平面分成几部分？
答案与提示练习16
1.1800°。
2.19个。
提示：与例2类似可得5+2×（8-1）=19（个）。
3.21条棱。提示：n棱柱有2n个顶点，3n条棱。
4.n（n-1）÷2。
解：1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）÷2。
5.41个。
解：6条直线有交点6×（6-1）÷2=15（个），每条直线与两个圆各有2个交点，两个圆之间有2个交点，共有交点15+6×4+2=41（个）。
6.10部分。
提示：见右图。与例5类似，当画第n（n≥2）个四边形时，每条边应与已画的（n-1）个四边形的各2条边相交，共可产生交点
4×[（n-1）×2]=8（n-1）（个），新增加8（n-1）部分。因为1个四边形有2部分，所以n个四边形最多将平面分成2+8×[1+2+…+（n-1）]=2+4n（n-1）（部分）。
