最经典的数学模型
怎样得到最好的女孩子的数学模型
【关键词】怎样得到最好女孩子数学模型
由于老天爷在你的生命中安排的异性并不是同时出现任你挑选，因此无论你在何时选择结婚都是有机会成本的。
人们常常希望能够获得一个最可爱的人作为自己的伴侣。但是，由于老天爷在你的生命中安排的异性并不是同时出现任你挑选，因此无论你在何时选择结婚都是有机会成本的。也许你很早就结婚了，但是结婚之后却又不断发现还有不少更好更适合结婚的异性，这就是结婚太早的机会成本。那么，是不是晚一点结婚就可以避免这个问题呢？不是的！当结婚太晚，你错过最好的异性的可能性也就更大。那么，一个人究竟应采取什么样的策略才能最大可能地遇到最适合的异性，从而使结为伴侣的机会成本最低呢？我们不妨建立一个模型来考察。
假设你是一个男孩子，而老天爷在你20岁到30最之间安排了20位适合你的女孩子。这些女孩子都愿意作为你的伴侣，但是你只能选择其中的一位。对于你来说，这20位女孩子的质量是可以排序的，也就是说事后你可以对她们的质量排名，质量排第一的对你来说就是最好的，排第20的对你来说就是最差的。可惜的是，由于20位女孩不是同时出现在你的生命中，而是按时间先后出现，每出现一个你都要决定是否留下她或拒绝她。如果留下她则她成为你的伴侣，你将再没有权利选择后面的女孩子；如果拒绝她，则你还可以选择后面的女孩子，但是对前面已经拒绝的女孩子将没有机会从头再来。
20个女孩子的排名虽然可以在事后决定，但是在观察完20个女孩子之前，你并不知道全部女孩子的排名，你只知道已经观察过的女孩子谁比谁会更好。而且，上帝是完全随机地安排每个时间段出现的女孩子的，也就是说出现时间的先后与女孩子的质量是完全没有关系的。那么，你应该在什么时候决定接受一个女孩子，并且使得被接受那个女孩子属于最好女孩的概率最大呢？
当然，你完全可以在碰到第一个女孩子时就接受她。她确有可能刚好就是最好的，但也有可能是最差的。当你接触到第二个女孩子，你可以知道她和第一个女孩子谁更好，但却不知道她们与剩下的18个女孩比又如何——前两个分别是最差的、次差的概率当然有，但前两个刚好是最好的、次好的可能性也是存在的，其他的概率情况也是有的。看来，你要尽可能挑到最好的女孩做伴侣还真是费神哦。
现在让我们来设计几种挑选策略，以便在不确定性中尽可能找到最好的女孩子。
策略1：事先抽签，抽到第几个就第几个。比如，抽到第10位，那么第10个在你生命中出现的女孩就事前被确定为你的伴侣。而她刚好是最好的女孩之概率是多少呢？答案是1/20=0.05。这种策略使你有5%的可能性获得最好的女孩。这样的概率显然太小，很难发生。
策略2：把全部女孩分成前后两段，最先出现的10位均不接受，但了解了这10位女孩的质量，然后在后来出现的10位女孩当中，第一次碰到比以前都可爱的女孩子，就立马接受。这是一种等一等、看一看的策略。这样的策略中，你得到最好的女孩子的概率是
(10/20)*(10/19)=0.263。这个概率已经不算太小。
补充说明一下策略2中概率的算法：这样的规则下，确保得到最好的女孩子必然要求最好的女孩子在后10名女孩子中出现——否则你怎么也得不到最好的了——其概率是(10/20)，同时，还要求第二好的女孩子出现在前10名，其概率为(10/19)——为什么是(10/19)？因为除了最好的，剩下人数19个，第二好的女孩出现在前10名的概率就是(10/19)——这样就确保了你会得到最好的女孩子。
但是，策略2得到最好女孩子的概率真的是0.263吗？可能不是，因为这只是第二好的女孩刚好在前10个出现的情况；实际上，即使第二好女孩子没有出现在先前的10个，但只要在最好的女孩出现之前的所有女孩中质量最高的出现在前10个，那么策略2也可确保得到最好的女孩子（这一点要想通，否则就难以明白接下来的内容）。也就是说，策略2获得最好的女孩子的概率实际上是超过0.263的（实际上我们在后面会发现这个概率应是0.3594。哇！这的确已经是一个不小的概率了）。
但是，还有更好的方法吗？或者我们可以问，放弃先出现的10个女孩是否是最优的？如果不是，那么应该放弃几个先出现的女孩子呢？
事实上，我们确有更好的策略（你应该先把前面的内容看懂，如果前面没看懂，下面可能就更看不懂了）。既然20个质量不同的女孩子其质量在你生命里是随机出现的，没有任何规律，那么，第k个女孩刚好是最好女孩的概率是1/20，而刚好把这个最好的女孩子选择到的概率是多少？对此的考虑应该是：既然给定了第k个女孩子质量最好，而我们决定放弃前面n-1个女孩子，从第n个开始执行策略2的规则，那么必须要求在k之前的女孩子中质量排名最高的那个必须出现前n-1个女孩子中，这样才能确保k被选中，其概率就是(n-1)/(k-1)。从而第k个女孩子刚好是最好的女孩子而且又一定被选中的概率就是(1 /20)*[(n-1)/(k-1)]。这里，k的取值范围显然应该是[n,20]中的整数。所以，放弃n-1个女孩子而一定会得到最可爱的那个女孩子的概率实际上就是(1/20)*[(n-1)/(n-1)]+ (1/20)*[(n-1)/(n)]+ (1/20)*[(n-1)/(n+1)]+…+(1/20)*[(n-1)/(20-1)]。这个概率可以用Mathematica软件来计算，或者用Excel来计算也可以，读者会发现，当n*=8时，该概率有最大值0.3842。也就是说，如果我们放弃前7个女孩子，先看一看，心里有个谱，然后只要看到比前7个女孩子中最好的女孩还要好的女孩子，那么我们就立即选择接受。而这个被接受的女孩子刚好属于最好女孩的概率是0.3842。这比我们放弃10 个女孩(n*=11)的策略2要好，按照策略2根据上述公式计算得到获得最好女孩的概率为0.3594。
我们用Mathematica软件绘出获得最好女孩子的概率图形（纵轴是概率，横轴表示从第几个开始认真考虑接受。最大概率出现在n*=8，即放弃前7个，从第8个开始认真考虑接受）。
根据这样的结果，我们可以这样结论：如果一个人确定结婚对象在20-30岁之间，而这20个女孩子以每年两个的平均分布出现，那么你应当在24岁才开始认真考虑终身大事。
这个例子也可任意改动数据后用同样的方法求解。比如，如果是30个女孩子，那么你应该从第11个女孩子开始认真考虑终身大事。
