偏微分方程数值解试题
1、考虑一维的抛物型方程：
2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)()
x x u u
x t x
u x t u u x t u u x x ππνπϕ==∂∂=∈≤≤∂∂=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式；
（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式，
11
2n n n t t u u u t t
+-=∂-=
∂∆ 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？
2、考虑Poission 方程
2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD
u x y x y u
n
u x y -∇=∈Ω
∂=∂= 其中Ω是图1中的梯形。
使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，
图2 从物理空间到计算区域的几何变换
图1 梯形
为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域ˆΩ
，然后在ˆΩ上使用差分方法来离散该方程。在计算区域ˆΩ
上用N N ⨯个网格点，空间步长为1/(1)N ξη∆=∆=-。
（1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形ˆΩ（带有坐标,ξη）。
同时导出在新区域上的方程和边界条件。
（2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。
3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x
∂∂+=∂∂，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1ˆn j u +=ˆn
j u a t x
∆-∆（ˆn j u 1ˆn j u --）
（1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式；
（2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。
（3）使用0 u u
u t x
∂∂+=∂∂说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。
4、对一维Poission 方程
, (0,1)
(0)(1)0
x xx u xe x u u ⎧-=∈⎨
==⎩ 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？
（3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。
5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题
2
25, (0,1)
(0)(1)0
xx u x x x u u πππ⎧-=∈⎨
==⎩（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程
01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π∂∂⎧+=⎪∂∂⎪
⎪
=∈⎨⎪
=⎪⎪⎩
（1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；
（2）使用线方法，分析上述格式的稳定性。
7、考虑散热片的设计问题。二维散热片如图3所示，是由一个中心柱和4个水平的子片构成；散热片从底部root Γ的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。散热片可由一个5维参数向量来表示，125(,,,)μμμμ=，
其中,1,,4i i
k i μ==，和5
Bi μ=；μ
可取给定设计集5
D ⊂
中的任意值。i
k 是第i 个子片热传导系数（0
1k ≡是中柱的热传导
系数）；Bi 是Biot 数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的Bi 意味好的热传
导）。比如，假定我们选择散热片具有如下参数
12340.4,0.6,0.8, 1.2,0.1k k k k Bi =====，此时(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)μ=。中心柱的
宽度是1，高度是4；子片的厚度0.25t =，长度 2.5L =。我们将输出温度root T 看作是
125(,,,)μμμμ=的函数，其中输出温度root T 是散热片底部定常态温度的均值，输出温
度root T 越低，散热效果越好。
在散热片内定常态温度分布()u μ，由椭圆型方程控制
其中i u 是u 在i
Ω的限制，i Ω是热传导系数为,0,
,4i
k i =的散热片的区域：0Ω是中心柱，
,1,
,4i i Ω=对应4个子片。整个散热片区域记为Ω，Ω的边界记为Γ。为确保在传导系
数间断界面0int ,1,
,4i i
i Γ=∂Ω⋂∂Ω=上温度和热通量的连续性，我们有
这里ˆi
n
是i
∂Ω的外法线。在散热片的底部引入Neumann 边界条件
来刻画热源；一个Robin 边界条件
来刻画对流热损失，其中i
ext Γ是i
Ω暴露在流体流动中的边界部分，4
0\i
ext root i =Γ=ΓΓ。在底部的平均温度0
()(())
r o o t T l u μμ=，其中0
()root
l v v Γ=⎰
。在这个问题中，我们取
0()()l v l v =。
（1）证明1
()()u X H μ∈≡Ω满足弱形式
