§4.2同角三角函数基本关系及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.
(2)商数关系：sin α
cos α＝tan α.
2．下列各角的终边与角α的终边的关系
角2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α－α
图示
与角α
终边的
关系
相同关于原点对称关于x轴对称
角π－απ
2－α
π
2＋α
图示
与角α终边的关系关于y轴
对称
关于直线y＝x
对称
3.
组数一二三四五六
角2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α－απ－α
π
2－α
π
2＋α
正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α
正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α
口诀 函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．
( × )
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．
( × )
(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1
3
.
( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π
2，π]，则m <－5或m ≥3.
( × )
(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－3
3
.
( × )
(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α
的值是－1
3.
( √ )
2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π
2，0)，则tan(2π－α)的值为
( ) A ．－25
5
B.255
C ．±25
5
D.
52
答案 B
解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－2
3，
又α∈(－π
2，0)，
得cos α＝1－sin 2α＝
53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝25
5.
3． 若tan α＝2，则2sin α－cos α
sin α＋2cos α
的值为________．
答案 34
解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝3
4
.
4． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝
⎛⎭⎫α－2π
3＝________. 答案 －2
3
解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦
⎤－π2－⎝
⎛⎭⎫π
6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23
. 5． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2cos π3x ，x ≤2 000，
x －15，x >2 000，
则f [f (2 015)]＝________.
答案 －1
解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 2
3
π＝－1.
题型一 同角三角函数关系式的应用
例1 (1)已知cos(π＋x )＝3
5
，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.
(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于
( ) A ．－43
B.54
C ．－34
D.45
思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ，可得tan x ； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求． 答案 (1)4
3
(2)D
解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－3
5.
又x ∈(π，2π)，
∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－1－(－35)2＝－45
，
∴tan x ＝
sin x cos x ＝4
3
. (2)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝
sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ
sin 2θ＋cos 2θ
＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θ
cos 2θ－2sin 2θcos 2θ
＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.
思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α
cos α＝tan α
可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.
(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x
sin x －1
的值是
( )
A.1
2
B ．－12
C ．2
D ．－2
(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案 (1)A (2)2
5
解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1
cos 2x ＝－1，
故
cos x sin x －1＝12
.
(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θ
sin 2θ＋cos 2θ
＝
tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝2
5
.
题型二 诱导公式的应用
例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝3
3，求cos ⎝⎛⎭
⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－3
5，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π
6－α的关系．
(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π
6－α＝π， ∴5π
6
－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π
6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33
，
