习题课(2)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为，则a ·b 等于( )
32A ．3 B.9
2C ．2
D.12
解析：设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝，
3
2∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×＝.
329
2答案：B
2．已知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－3，则|a ＋b |＝( )
A ．23
B ．35C.
D.2335
解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝23.答案：C
3．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b ，
π4则向量b 的坐标为( )
A ．(－，－)
B ．(，)
223222
232
2C ．(－，)
D ．(，－)
32
22
232
22
2解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件，知
|a |＝|b |，a ·b ＝|a ||b |cos45°.∴Error!
解得Error!或Error!
∵向量a 按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限，π
4∴x >0，y >0，
∴b ＝(，)，故选B.2232
2答案：B
4．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥，则点OA → OB → AC → OB → BC → AB
→ C 的坐标是( )
A ．(－3，－)
B ．(－3，)
29
429
4C ．(3，)
D ．(3，－)
29
429
4解析：设点C 的坐标为(x ，y )，则
＝(x ＋3，y －1)，＝(3,4)，
AC → AB
→ ＝(x ，y －5)．
BC
→ ∵∥，⊥，
AC → OB → BC → AB → ∴Error!
解得Error!∴C (－3，)．29
4答案：B
5．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使·OA → OB → AP
→ 有最小值，则点P 的坐标是( )
BP
→ A ．(－3,0) B ．(2,0)C ．(3,0)
D ．(4,0)
解析：设点P 的坐标为(x,0)，则＝(x －2，－2)，＝(x －4，－1)．AP → BP
→ ·＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)AP → BP
→ ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，·有最小值1，
AP → BP
→ 此时点P 的坐标为(3,0)，故选C.答案：C
6．设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且||＝，||＝1，则·(－)的值是( )
AB → 3AC → AD → AB → AC
→ A ．1 B ．2C.
D.23
解析：由题意知，D 为BC 的中点，＝(＋)，
AD → 12AB → AC
→ 所以·(－)＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝1，
AD → AB → AC → 12AB → AC → AB → AC → 12AB → AC
→ 故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝，则|·n |的最大值为2AB
→ ________．
解析：＝(2,2)，||＝2，|·n |≤
AB → AB → 2AB
→ |||n |＝4，当且仅当与n 共线且同向时取等号．
AB → AB
→ 答案：4
8．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.
解析：由已知，得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，所以向量a 与b 同
向．
又因为向量c 与它们反向，所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a
＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°
＝3－4－12＝－13.
答案：－13
9．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 为对角线AC 上一点，
则(＋)·(＋)的最大值为________．
AP → BD → PB → PD
→ 解析：设＝λ(0≤λ≤2)，则
AP → AC
→ 2＋＝λ＋－AP → BD → AC → AD → AB → ＝λ(＋)＋－AD → AB → AD → AB → ＝(λ＋1)＋(λ－1)，
AD → AB
→
＋＝(＋)＋(＋)PB → PD → PA → AB → PA → AD → ＝2＋＋PA → AB → AD → ＝＋－2λAB → AD → AC → ＝(1－2λ)(＋)，AB → AD
→
∴(＋)·(＋)
AP → BD → PB → PD → ＝[(λ＋1)＋(λ－1)][(1－2λ)·＋(1－2λ)]
AD → AB → AB → AD
→ ＝(λ＋1)(1－2λ)2＋(λ－1)(1－2λ)·2
AD → AB
→ ＝－16λ2＋8λ(0≤λ≤2)．
2∴(＋)·(＋)的最大值为＝1.
AP → BD → PB → PD
→
－824×(－16)答案：1
三、解答题(共45分)
10．(本小题15分)已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．(1)若a ⊥b ，求k 的值；
(2)若|a ＋b |不超过5，求k 的取值范围．
解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，
即(－2,2)·(5，k )＝0，
(－2)×5＋2k ＝0⇒k ＝5.(2)a ＋b ＝(3,2＋k )，∵|a ＋b |≤5，
∴|a ＋b |2＝32＋(2＋k )2≤25，
