第三章 导数与微分 习题及答案

第3章 微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性. 解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.2. 证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4) 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim; (3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)2120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ; (7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅.(4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1 因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==- limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8) 因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+= 2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.(2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.(2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为f '(x )=e x +x e x ,f ''(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x , f '''(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间:(1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=; 解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是 x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.13.一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.。

习题3-11．设某产品的总成本C 是产量q 的函数:2+1C q =，求 (1) 从100q =到102q =时，自变量的改变量q ∆； (2) 从100q =到102q =时，函数的改变量C ∆； (3) 从100q =到102q =时，函数的平均变化率； (4) 总成本在100q =处的变化率. 解：(1) q ∆=102-100=2,(2) (102)(100)C C C ∆=-=22102+1)-(100+1)=404((3) 函数的平均变化率为00()()4042022C q q C q C q q +∆-∆===∆∆. (4) 总成本在100q =处的变化率为100()(100)lim 100q C q C q →--22100100100lim lim (100)200100q q q q q →→-==+=- 2．设()f x =(4)f '.解44()(4)(4)lim4x x f x f f x →→-'==-412x →==3．根据函数导数定义，证明(cos )sin x x '=-.证 根据函数导数定义及“和差化积”公式，得0cos()cos (cos )limh x h x x h →+-'=0sin2limsin()22h hhx h →=-+⋅sin x =-.4．已知()f a k '=，求下列极限：(1) 0()()lim;x f a x f a x→-- (2) 0()()lim x f a x f a x x→+--解 (1) 00()()()()limlim ();x x f a x f a f a x f a f a k x x →→----'=-=-=-- (2) 0()()lim x f a x f a x x →+--=0()()()()lim x f a x f a f a f a x x →+-+--00()()()()lim lim x x f a x f a f a x f a x x→→+---=+-()()2f a f a k ''=+= 5．已知.0)0(=f (0)1f '=，计算极限0(2)lim.x f x x→ 解 00(2)(2)(0)lim=2lim 2(0)22x x f x f x f f x x →→-'== 6．求下列函数的导数： (1) 5y x =；(2) y =(3) x y e -=； (4) 2x x y e =; (5) lg y x =；(6) sin 4y π=解(1) ()545x x '=；(2) 31443()4x x -''==；(3) 1()ln x x x e e e e ----'==-；(4) (2)[(2)](2)ln(2)2(ln 21)x x x x x x e e e e e ''===+;(5) 1(lg )ln10x x '=； (6)(sin )04π'=7．问函数⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x 在0=x 处是否可导？如可导，求其导数.解 考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h -→+-0sin lim 1,h hh-→==(0)f +'=0(0)(0)lim h f h f h+→+-0lim 1h h h +→==, 所以，函数在0=x 处的可导，且(0)1f '=.8．讨论函数2,0()2,011,1x x f x x x x x ⎧-≤⎪=<<⎨⎪+≥⎩在点0=x 和1x =处的连续性与可导性.解 (1)考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h-→+-0lim 1,h hh -→-==-(0)f +'=0(0)(0)limh f h f h+→+-02lim 2h hh +→==, 所以，函数在0=x 处不可导；又0lim ()lim ()0(0)x x f x f x f -+→→===,所以，函数在0=x 处连续. (2) 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--122lim 2,1x x x -→-==-(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--21(1)2lim 2,1x x x +→+-==- 所以，函数在1x =处的可导，且(1)2f '=.9．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解 由导数的几何意义，得切线斜率为31/21x x k y x =='⎛⎫'== ⎪⎝⎭1/2214x x ==-=-.所求切线方程为,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2142x y 即.044=-+y x法线方程为,⎪⎭⎫⎝⎛-=-21412x y 即.01582=+-y x10．求曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点. 解 曲线ln y x =在点(),1e 处的切线斜率为111x x ek y x e==⎛⎫'=== ⎪⎝⎭故切线方程为11()y x e e-=-.上式中，令0x =，得0y =.所以，曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点为()0,0.习题3-21．求下列函数的导数：(1) 23sin y x x x =+-；(2) y =；(3) ln 2s t +； (4) cos ln y x x x =⋅(5) 11x y x +=-； (6) 21x e y x =+解 (1) y '=23cos x x +-;(2) 57332422()2()()353y x x x x x x ----''''=+-=+-;(3) sin )0s t t '''=+=t ; (4) cos ln (cos )cos (ln )y x x x x x x x ''''=⋅+⋅cos ln sin ln cos x x x x x x =⋅-⋅+ (5) 22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x ''+--+--'==--； (6) 22222()(1)(1)1(1)x x xe e x x e y x x ''+-+'==++ 222222(1)2(1)(1)(1)x x xe x xe x e x x +--==++ . 2．求下列函数在给定点处的导数： (1) arccos ,y x x =求12x y ='；(2) tan sec ρθθθ=+，求4;d d πθρθ=(3) ()f x =(0)f '. 解 (1) y '=arccos +(arccos )x x x x ''=arccos x12x y ='=11arccos2-3π(2)2d tan sec sec tan d ρθθθθθθ=++4d 121d 4πθρπθ==+⋅+=2π(3) 331()ln(1)22x f x x e =-+，333()22(1)x f x e '=-+ 故(0)f '333(0)22(11)4f '=-=+3．曲线32y x x =-+上哪一点的切线与直线210x y --=平行？解 231y x '=-,令2y '=，即231=2x -，得=1x 或=-1x ，代入原曲线方程都有：2y =，故所求点为：()1,2或()-1,2.4．求下列函数的导数： (1) x y sin ln =；(2) 310(1)y x =-；(3) 23(cos )y x x =+；(4) y =(5) 22sin sin y x x =⋅； (6) 2tan[ln(1)]y x =+ ；(7) 1sin 2x y = ;(8)ln x xy e=；(9)ln(y x =；(10))0(arcsin 22222>+-=a ax a x a x y 解(1) y '=()1sin sin x x '⋅cos cot sin x x x==； (2) 39323910(1)(1)30(1)y x x x x ''=--=-； (3) 2223(cos )(cos )y x x x x ''=++223(cos )(12cos (sin ))x x x x =++⋅-223(cos )(1sin 2)x x x =+-；(4) 211ln(2)ln(1)32y x x ==--+y '=221(1)3(2)21x x x '-+-+=213(2)1x x x --+; (5) 2222sin cos sin sin cos 2y x x x x x x '=⋅+⋅⋅222sin 2sin 2sin cos x x x x x =⋅+⋅；(6) 222sec [ln(1)][ln(1)]y x x ''=+⋅+=222222212sec [ln(1)](1)sec [ln(1)]11x x x x x x'+⋅+=+++ ； (7) 1sin 12ln 2(sin )xy x ''=⋅=1sin 112ln 2cos ()xx x'⋅1sin22ln 21cos xx x =-;(8)ln ()ln x x x y e x ''= ln 2ln (ln )ln x x x x x x e x ''-==ln 2ln 1ln xx x e x-；(9)y x ''=22'==+；(10)22y '=22=+5．已知)(u f(1) (csc )y f x =； (2) (tan )tan[()]y f x f x =+.解 (1) (csc )(csc )y f x x '''=⋅=(csc )csc cot f x x x '-⋅⋅ (2) 2(tan )(tan )sec [()]()y f x x f x f x ''''=⋅+⋅=22sec (tan )sec [()]()x f x f x f x ''⋅+⋅.习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x： (1) 4444x y xy -=-； (2)； sin cos()0y x x y +-=;(3) sin 0x y e e xy --=；(4) arctan y x=.解 (1)方程两边同时对自变量x 求导，得33d d 4444d d y y x y y x x x -=--, 整理得 33d ()d y y x x y x -=+,故33d d y x y x y x+=-； (2) d d cos sin sin()(1)0d d y yy x x x y x x+⋅--⋅-= 整理求得d d y x =sin()cos sin()sin x y y xx y x---+(3) d d cos ()0d d x y y y e exy y x x x--+= 求得 d d y x =cos cos x y e y xy e x xy-+(4)2222111.(22)21()xy y x yy y x x y x'-'=+++ 整理求得 2222xy y x yy x y x y ''-+=++ 故 d d y x =x yx y+-.2．求曲线3335x xy y ++=在点(1,1)处的切线方程和法线方程.解 方程两边同时对自变量x 求导，得2233330x y xy y y ''+++=解得 d d y x =22y x y x+-+，在点(1,1)处，(1,1)1y '=-，于是，在点(1,1)处的切线方程为 11(1)y x -=--，即20x y +-=, 法线方程为 11(1)y x -=-即y x =.3．用对数求导法求下列各函数的导数d d y x: (1) sin (0)x y x x =>； (2) a x x y x a x =++；(3) y =(4) (sin )(cos )y x x y =.解 (1)等式两边取对数ln sin ln y x x =⋅两边对x 求导得11cos ln sin ,y x x x y x'=⋅+⋅ 故 s i n d 1cos ln sin d x y x x x x x x ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭. (2) ()1ln a x x y ax a a x -''=++()1ln ln 1a x x axa a x x x -=++⋅+(3) []1ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2y x x x x =-+----- 11111121234y y x x x x ⎛⎫'=+-- ⎪----⎝⎭得11111234y x x x x ⎫'=+--⎪----⎭.(4) lnsin ln cos y x x y =lnsin cot ln cos tan y x y x y x y y ''+=-⋅ d d y x =ln cos cot tan ln sin y y x x y x-+ 4．求下列参数方程所确定的函数的导数d d yx：(1) 221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩； (2) 33cos sin x a y a θθ⎧=⎨=⎩. 解 (1) d ()d ()y y t x x t '='212t t -=- (2) 22d ()3sin cos d ()3cos (sin )y y a x x a θθθθθθ'⋅=='⋅-=tan θ- 5．求椭圆6cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=相应点处的切线方程.解 d ()d ()y y t x x t '='()()4sin 4cos 2cot 6sin 36cos t t t t t '===--'.4t π=时，切线斜率为4d 2d 3t yxπ==-，()4x π=()4y π=.故所求切线方程为2(3y x -=-- .习题3-41．求函数2x y =当x 由1改变到1.005的微分. 解 因为d d 2d ,y y x x x '== 由题设条件知 1x =，d 1.00510.005x x =∆=-= 故所求微分为 d 210.0050.0y =⨯⨯= 2．求函数sin 2y x =在0x =处的微分. 解 所求微分为00d (sin 2)d 2cos2d x x y x x x x =='===2d x 3．求下列各微分d y : (1) 3cos x y e x =； (2) 2sin 2xy x =； (3) 2ln(1)x y e-=+；(4) y = (5) 23xy e x y =+；(6) 221xy x y +=.解 (1) 33d cos d()d(cos )x x y x e e x =+=33cos 3d sin d xxx e x e x x ⋅-⋅=3(3cos sin )d x e x x x -；(2) 22244dsin 2sin 2d 2cos 2d 2sin 2d d x x x x x x x x xy x x x --== 32(cos 2sin 2)d x x x x x-=； (3) 222212d d(1)d 11x xx x xe y e xe ----=+=-++；(4) d y =2)x =+=(5)方程两边对求微分(d d )3d 2d xy e x y y x x y y +=+.整理得 (2)d (3)d xy xy xe y y ye x -=-解得 3d d 2xyxy ye y x xe y-=-；(6) 方程两边对求微分22d 2d 2d d =0y x xy y xy x x y +++.整理得 22(2)d (2)d xy x y y xy x +=-+解得 222d d 2xy y y x x xy+=-+4．计算下列各数的近似值:(1) 0.03e ；(2)解(1) 0.0310.03e ≈+=1.03；(2)==112(1)516=≈-⋅=1.975. 5．在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d()3d x =; (2) d()2d x x =;(3) d()sin d t t ω=； (4) 2d(cos )(x =.解(1) 3x c +;(2) 2x c +;(3) 1cos t ωω-；(4) 22d(cos )2sin d x x x x =-x = 即d x =，故22d(cos )4x x =-.习题3-51．求下列函数的二阶导数：(1) 38cos y x x x =+-； (2) 2(1)arctan y x x =+； (3) 2x y xe =；(4) x y x =.解(1) 238sin y x x '=++,6cos y x x ''=+； (2) y '=2arctan 1x x +,y ''=222arctan 1xx x ++； (3) y '=2222x x e x e +,y ''=2222244x x x xe xe x e ++=222(32)x xe x +；(4) ln ln y x x =,1ln 1y x y'=+,y '=(ln 1)x x x + y ''=21()(ln 1)(ln 1)(1ln )x x x x x x x x x x x -''+++=++2. 验证函数2312x xy C e C e -=+(其中12,C C 为任意常数)满足方程60y y y '''+-=.证：23122-3x x y C e C e -'=,231249x x y C e C e -''=+232323121212(49)(2-3)6()x x x x x x C e C e C e C e C e C e ---++-+0=. 3．设函数()y f x =二阶可导，求下列函数的二阶导数： (1) (sin )y f x =； (2) 2(ln )y x f x =.解 (1)求导数d (sin )(sin )cos (sin )d yf x x x f x x'''=⋅=⋅，于是22d (cos )(sin )cos (sin )(sin )d yx f x x f x x x'''''=⋅+⋅⋅ =2cos (sin )sin (sin )x f x x f x '''⋅-⋅ (2) d 2(ln )(ln )d y xf x xf x x '=+22d d yx =2(ln )2(ln )(ln )(ln )f x f x f x f x ''''+++=2(ln )3(ln )(ln )f x f x f x '''++. 4．对下列方程所确定的函数)(x y y =求22d d yx：(1) 2y e xy e +=；(2) arctan y x=.解 (1)方程两边对x 求导0y e y y xy ''++=得 yyy e x'=-+. 因此求得222d ()(1)d ()y y y y y e x y e y x e x ''+-⋅+=-+ =2()(1)()y y y y y y y e x y e e x e x e x --+-⋅+++-+=2322()y y y xy ye y e e x +-+；(2) 方程两边对x 求导2222211()1xy yx yy y x yx x'-'+=++得 x yy x y+'=-. 因此求得222d (1)()()(1)d ()y y x y x y y x x y ''+--+-=- = 2232()()x y x y +-5．对下列参数方程所确定的函数)(x y y =求22d d yx：(1) 2323x t t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(1)t ≠； (2) ⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x . 解(1) d ()d ()y y t x x t '='2333(1)222t t t -==+-. 故 22d d y x 3(1)222t t '+=-=34(1)t -； (2) d ()d ()y y t x x t '='()()1cos sin 1cos sin a t t ta t t '-==-'-. 故 22d d yxsin ()1cos (1cos )t t a t '-=- 2cos (1cos )sin sin (1cos )(1cos )t t t tt a t --⋅-=-21(1cos )a t --).,2(Z n n t ∈≠π 6．求下列函数的n 阶导数：(1) 2sin y x =； (2) ln(1)y x =+； (3) 112-=x y ； (4) (1)(2)()y x x x x n =+++ .解(1) 2()()1cos 2(sin )()2n n x x -=1cos 211()2(sin 2)2cos 2,2222x x x π-⎛⎫'=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭221cos 211()2sin 22cos 2,222222x x x πππ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=-⋅-+=-⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2()()1cos 2(sin )()2n n x x +==12cos(2)2n n x π--+；(2) []1ln(1)1x x '+=+[]21ln(1)(1)x x ''+=-+ ,[](3)32ln(1)(1)x x +=+ []()1(1)!ln(1)(1)(1)n n nn x x --+=-+； (3) 21111()1211y x x x ==---+, 故()11(1)!112(1)(1)n n n n n y x x ++⎡⎤-=-⎢⎥-+⎣⎦; (4) 1(1)(2)()(12)n n y x x x x n xn x +=+++=+++++()(1)(1)!!()(1)!22n n n ny n x n x n +=++=++ 复习题3（A ）1．已知0()f x k '=(k 为常数)，则(1) 000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-=∆;(2) 001lim [()()] n n f x f x n→∞+-=(3) 000()(2)lim h f x h f x h h→+--=.1.解 (1)2k ; (2) k ; (3) 3k .(1) 000000(2)()(2)()lim 2lim 2x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆=2k ;(2) 00001()()1lim [()()]lim 1n n f x f x n n f x f x nn→∞→∞+-+-==k ;(3) 000()(2)lim h f x h f x h h →+--=00000()()()(2)lim h f x h f x f x f x h h →+-+--000000()()(2)()lim +2lim 2h h f x h f x f x h f x h h→→+---=-=3k . 2．函数)(x f y =在点0x 处的左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在，是()f x 在0x 可导的( )A . 充分必要条件；B . 充分但非必要条件；C . 必要但非充分条件；D . 既非充分又非必要条件. 2 ．答C . ()f x 在0x 可导的充分必要条件是0()f x -'和0()f x +'都必须存在且相等；反之，0()f x -'和0()f x +'都存在，不能保证()f x 在0x 可导.3．函数()sin f x x =在0=x 处 ()A . 可导；B . 连续但不可导；C . 不连续；D . 极限不存在.3．答B . 函数()sin f x x =在0=x 连续；但(0)1(0)1f f -+''=-≠=，故()s i n f x x =在0=x 不可导.4．设()f x 对定义域中的任意x 均满足(1)()f x mf x +=，且(0)f n '=则必有 ( )A . (1)f '不存在；B . (1)f m '=；C . (1)f n '=；D . (1)f mn '=.4．答D . 0(1)(1)(1)limh f h f f h→+-'=00()(0)()(0)lim lim h h mf h mf f h f m h h →→--== (0)mf mn '==5．解答下列各题：(1)设ln 2y =，求y '；(2) 设a x x a y x a x a =+++(0,1)a a >≠，求d d y x； (3)设22()x y x f e =⋅，)(u f 可导，求d y ；(4) y =d d y x ；(5) 求曲线sin()0xy x y -+=在点(0)π，的切线与法线方程;(6) 已知函数)(x y y =由方程 ⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 确定，求d d y x ，22d d y x ; (7) 设(sin )cos 2csc f x x x '=+，求()f x '';(8) 设31x y x =+，求()n y (3)n ≥.5.解(1)y '=22=2cot x x ⋅(2) y '=1ln ()a x x ax a a x -'++由对数求导法，可求得()(1ln )x x x x x '=+故y '=1ln (1ln )a x x ax a a x x -+++； (3) 2222d 2d ()()d x x x y x x f e x f e e '=⋅+⋅=22222()d ()2d x x x xf e x x f e e x '+⋅⋅ =2222[()()]d x x x x f e xe f e x '+⋅；(4)取对数 1ln ln (ln ln )(ln ln )2b y x b a x a x b a ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦两边求导 1y y '=1ln 2b b a a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故y '=1ln 2b a b ax -⎛⎫+ ⎪⎝⎭(5) 两边求导cos()(1)0y xy x y y '+-++=得cos()cos()x y yy x x y +-'=-+，故(0)1+1y ππ-'=， 因此切线方程为 1()1y x ππ=--+,法线方程为(1)()y x ππ=+-; (6) d ()d ()y y t x x t '='223sin cos 3cos (sin )a t t a t t ⋅=⋅-=tan t - 22d d y x 2(tan )3cos (sin )t a t t '-=⋅-22sec 3cos (sin )t a t t -=⋅-=4sec 3sin t a t； (7) 由21(sin )cos 2csc 12sin sin f x x x x x'=+=-+知21()12f x x x '=-+故()f x ''=214x x--;(8) 3321111111x x y x x x x x -+===-+++++ ()n y =1(1)!(1)n nn x +-⋅+(3)n ≥. 6．设函数2,(),ax b f x x +⎧=⎨⎩ 11x x <≥在1x =处可导，求,a b 的值.6．解：因可导必连续，所以211lim ()lim 1x x ax b x -+→→+==,得1a b += 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--111lim lim 11x x ax b ax a a x x --→→+--===--(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--211lim 2,1x x x +→-==- 所以，得到2,1a b ==-.7. 设函数()g x 在x a =点连续, 且()()()f x x a g x =-, 证明()f x 在x a =的可导，并求出()f a '.7.证:因()g x 在x a =点连续,故lim ()()x ag x g a →=，又()()limx a f x f a x a →-- ()()0limlim ()()x a x a x a g x g x g a x a →→--===- 故()f x 在x a =的可导，()f a '=()g a8．验证函数12y C C e =+其中12,C C 为任意常数)满足方程420xy y y '''+-=.8．证：因12y C C e '=-,12121(4y C C e C C e x''=-++故12121424(4xy y y x C C e C C e x ⎡⎤'''+-=-++⎢⎥⎣⎦(121220C C e C C e ⎤+--+=⎥⎦232323121212(49)(2-3)6()x x x x x x C e C e C e C e C e C e ---++-+0=.（B ）1. 设函数()f x 在0x =连续，下列命题错误的是( )A . 若0()lim x f x x→存在，则(0)0f =；B . 若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在；C . 若0(2)()lim x f x f x x→+存在，则(0)0f =；D . 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在.1.答：D .A .正确，因为0()limx f x x→存在，则0l i m ()=0x f x →，又()f x 在0x =连续，所以0(0)l i m ()=0x f f x →=； B .正确，因为若0()limx f x x →存在，则0()(0)(0)lim x f x f f x →-'==0()lim x f x x →存在；C .正确，因若0(2)()lim x f x f x x→+存在，则0lim (2)()=lim (2)lim ()=2(0)0x x x f x f x f x f x f →→→++=［］,故(0)0f =；D .错，如()f x x =, 0()()lim0x f x f x x→--=，但(0)f '不存在.2. 若21()lim (1)tx x f t t x→∞=+，则()f t '= .2. 2(12)t t e +，221()lim (1)txt x f t t te x→∞=+=,所以()f t '=2()t te '=2(12)t t e +.3．设周期函数()f x 在()-∞∞,周期为3，且0(1)(1)li m 13x f f xx→--=，则曲线)(x f y =在点(4(4))f ,的切线斜率为 .3． -3，00(4)(4)(1)(1)(4)limlim x x f x f f x f f x x →→+-+-'==0(1)(1)limx f f x x →-+=-=0(1)(1)lim x f f t t →--=-0(1)(1)3lim 33x f f x x→--=-=-, 4. 已知(1)(2)(10)()(1)(2)(10)x x x f x x x x ---=+++ ，求(1)f '.4. 解：(1)f '1()(1)lim 1x f x f x →-=-1(1)(2)(10)(1)(2)(10) lim 1x x x x x x x x →---+++=- 1(2)(10)1(2)(9)lim (1)(2)(10) 2391011x x x x x x →---⋅--==+++⋅⋅⋅ =1110 - 5.设()f a '存在，求()()lim x a xf a af x x a→--.5. 解：()()()()()()lim lim x a x a xf a af x xf a af a af a af x x a x a→→--+-=--()()()lim x a f x f a f a a x a→-=--=()()f a af a '-6.设()max{f x x =，在区间(02)，内求()f x '.6.解：()max{,f x x x ==⎪⎩0112x x <≤<<,考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--1111lim lim ,12x x x --→→===-(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--11lim 1,1x x x +→-==- 所以，函数在1x =处不可导.故所求导数为：1()1,f x ⎧⎪'=⎨⎪⎩0112x x <<<< 7. 设函数()g x 在0x x =点连续, 且()()f x x a g x =-, 讨论()f x 在0x x =的可导性.7. 解：0000000()()()()limlimx x x x x x g x f x f x f x x x x x →→--'==-- (1)若0()0g x ≠，则0000()lim x x x x g x x x →--不存在，此时()f x 在0x x =不可导(2)若0()0g x =，则0000()()lim 0x x x x g x f x x x →-'==-，此时()f x 在0x x =可导.8. 验证下列命题：(1) 若定义在()-∞∞,内以周期为T 的周期函数()f x 可微，则()f x '也是以周期为T 的周期函数.(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇(偶)函数，则()f x '()a a -,内必为偶(奇)函数. 8. 证: (1)因()()f x T f x +=,又0()()()lim h f x h f x f x h→+-'=,因此00()()()()()lim lim h h f x T h f x T f x h f x f x T h h→→++-++-'+===()f x '(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则有0()()()lim h f x h f x f x h →-+--'-=0()()lim h f x h f x h →--+=0()()lim h f x h f x h→--=-=()f x ', 即证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则()f x '()a a -,内必为偶函数. 同理可证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微偶函数，则()f x '()a a -,内必为奇函数.9. 设函数()f x 可微，且()()()2f x y f x f y xy +=+-，(0)3f '=，求()f x . 9. 解：由()()()2f x y f x f y xy +=+-，令0x y ==,则(0)(0)(0)f f f =+，得(0)0f =()()()limy f x y f x f x y →+-'=0()()2()limy f x f y xy f x y→+--= 0()lim2y f y x y→=-(0)232f x x '=-=-因此()f x 23x x C =-+(C 为任意常数)，又(0)0f =则C =0，故()f x 23x x =- 10. 设在()-∞∞,内函数()f x 有定义, 且(0)0f =，(0)f C '=(0C ≠)，又2()s i n c o s xg x e x x =+, 对任意,x y 有关系式()()()()()f x y f x g y f y g x +=+成立，证明()()f x C g x '=⋅10. 证：0()()()lim y f x y f x f x y →+-'=0()()()()()lim y f x g y f y g x f x y→+-=00()1()()lim()limy y g y f y f x g x y y →→-=+00()(0)()(0)()lim ()limy y g y g f y f f x g x y y→→--=+ =()(0)()(0)f x g g x f ''+又 2()sin sin 2sin x x g x e x e x x '=+-，得(0)0g '= 故 ()()f x C g x '=⋅.。

习 题 三1．根据导数的定义求下列函数的导数：（1）221x y -= （2）21x y = （3）32x y =2．给定函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 为常量，求：)(x f '，)0(f '，)21(f '，)2(a b f -' 3．一物体的运动方程为s ＝t 3＋10，求该物体在t ＝3时的瞬时速度。

4．求在抛物线y ＝x 2上点x ＝3处的切线方程。

5．自变量x 取哪些值时，抛物线y ＝x 2与y ＝x 3的切线平行？6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 113101)(2在点x ＝1处是否可导？为什么？7．讨论函数y ＝x|x|在点x ＝0处的可导性。

8．用导数定义求⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(1)(x s x xx f 在点x ＝0处的导数。

9．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x xx x x x f 讨论f （x ）在x ＝0处的连续性与可导性。

10．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0)1ln(1sin )(12x s x x x f x 在点x ＝0处是否继续？是否可导？11．讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤<+≤=x xx x x x x x f 2212101201)(2在x ＝0，x ＝1，x ＝2处的连续性与可导性。

12．求下列各函数的导数（其中a ，b 为常量）：（1）532+-=x x y （2）b a x y +=（3）3412+-=xx y （4）2222x x y += （5）x x y 31-= （6）)12(2-=x x y（7）)11)(1(-+=x x y （8）x x y 2)1(+=（9）ba b ax y ++= （10）))((b x a x y --=（10）)1)(1(a b bx ax y ++=13．求下列各函数的导数（其中a ，b ，c ，d ，n 为常量）：（1）)3)(2)(1(+++=x x x y（2）x x y ln =（3）x x y n ln = （4）x y alog = （5）11-+=x x y （6）215xx y += （7）x x x y --=223 （8）n cx b a y += （9）x x y ln 1ln 1+-= （10）2211xx x x y +--+= 14．求下列各函数的导数：（1）x x x y cos sin += （2）xx y cos 1-=（3）x x x y tan tan -= （4）xx y cos 1sin 5+= （5）x x x x y sin sin += （6）x x x y ln sin ⋅= 15．求曲线x y sin =在点x ＝π处的切线方程。

第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。

导数与微分真题答案及解析一、基础概念在微积分中，导数与微分是非常重要的概念。

导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数在某一点附近的局部变化情况。

了解导数与微分的概念对于解决数学问题至关重要，下面就是一些导数与微分的真题及其答案解析。

二、导数计算真题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。

解析：根据导数的定义，可以使用求导法则来计算导数。

对于多项式函数f(x) = ax^n + bx^m + cx^l + ...，其导数可以通过对每一项求导后再相加的方式得到。

根据此法则，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求导后得到f'(x) = 6x - 2。

2. 求函数f(x) = sin(2x)的导数。

解析：根据导数的链式法则，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过对外层函数求导后再乘以内层函数的导数得到。

对于f(x) = sin(2x)，将外层函数设为f(u) = sin(u)，内层函数设为g(x) = 2x，则f'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)。

三、微分计算真题1. 求函数f(x) = e^x的微分。

解析：对于指数函数f(x) = e^x，其微分可以通过导数乘以微小变化量dx的方式得到。

由于f'(x) = e^x，所以微分df = f'(x) * dx = e^x * dx。

2. 求函数f(x) = ln(x)的微分。

解析：对于对数函数f(x) = ln(x)，其微分可以通过导数除以x的方式得到。

由于f'(x) = 1/x，所以微分df = f'(x) / x = 1 / (x * dx)。

四、综合计算真题1. 求函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)在点x = 2处的导数和微分。

解析：首先，求导数。

利用求导法则，对于f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)，可以通过分子分母求导再计算商的导数的方式来求得导数。

第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根． 6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明. 8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bb a b a a b a -<<-ln ． §3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1 ２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3． 求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim． （２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ． （３）30tan sin lim x xx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim00=+=-→→x e x x e x x x x ． （５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ．解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xxe x x e e x x x xx x x （７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xxx x x xx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解： 因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式 １．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2． 求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ， 所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ． 3． 求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-，故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 20==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ．证明： 因为 0)(lim 20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1． 填空题（１） 函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 增加 ．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2． 单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f xC. )(x f -单调增D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ， 当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3． 证明下列不等式（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根． 解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ， 由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１） 当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２） 当0242arccos 2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y , 令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=． 当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πx x >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1． 填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零 （２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C.))(,00x f x （为拐点 D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点 （３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ ) A ． 取得极大值 B ． 取得极小值 C ． 无极值 D ． 不一定有极值 3． 求下列函数的极值 （１） ()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x'==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大． 解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大． 6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？ 解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数． 由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=， 故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。

单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。

第三章导数与微分[单选题]1、设函数，则高阶导数=（）A、12!B、11!C、10!D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶导数计算.因为多项式的最高次幂为11，故=0.[单选题]2、f(x)=4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为( )A、y＝x－2B、y＝x＋2C、y＝－x＋2D、y＝－2x＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】f(x)＝4x－x3, f(－1)＝－4＋1＝－3,故(－1,－3)在所给的曲线上. 又f ' (x)＝4－3x2故f ' (－1)＝4－3＝1∴过(－1,－3)的切线方程为y＝(x＋1)－3＝x－2.[单选题]3、y＝cos3x－cos3x的导数为( )A、3(sin3x－sinxcos2x)B、3(sin3x＋sinxcos2x)C、3(sinx－sinxcos2x)D、3(sin3x－sin3xcos2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】 y’＝(cos3x)' －(cos3x) '＝3cos2x(－sinx)－(－sin3x)×3＝3(sin3x－sinxcos2x)[单选题]4、设y＝x n＋e－x，则y(n)(0)＝（）A、n!＋(－1)nB、n!C、n!＋(－1)n－1D、n!－1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y(n)(x)＝n！＋(－1)n e－x，从而y(n)(0)＝n!＋(－1)n[单选题]5、设函数f(x)＝arctanx,求=( )A、-2B、1C、3D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、设y＝lnx，则y(n)＝()A、(－1)n n!x－nB、(－1)n(n－1)!x－2nC、(－1)n－1(n－1)!x－nD、(－1)n－1n!x－n＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】y′＝x－1,y′′＝－1!x－2, y′′′＝2!x－3,…. y(n)＝ (－1)n－1(n－1)!x－n[单选题]7、已知函数，则f(x)在点x=0处()A、连续但导数不存在B、间断C、导数f ’(0)=－1D、导数f ’(0)=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】所以，f(x)在点x=0处间断，答案为B.[单选题]8、y＝(2x2－x＋1)2的导数为( )A、2(2x2－x＋1)(4x－1)B、(2x2－x＋1)(4x－1)C、(2x2－x＋1)(4x＋1)D、(2x2＋x＋1)(4x－1)【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y’＝2(2x2－x＋1)(2x2－x＋1)’＝2(2x2－x＋1)(4x－1)[单选题]9、设函数f（x）在x0点可微是f（x）在该点可导的( )A、充分必要条件B、充分条件C、必要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】设函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。

>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

导数与微分测试题总分：100分； 命题人：叶茂莹一、填空题（每题3分，共15分）1、已知曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(n ξ,0)，则f n ∞→lim (n ξ)=1e -。

解：1'()n f x nx -=，1'(1)1n k f n n -==⨯=，切线方程为()11y n x -=-，所以1y nx n =-+，当0y =时，10nx n -+=。

解得1n n nξ-=。

()1111lim lim lim 1nn n n n n n f e n n ξ---→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫==-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2、设函数y =y (x )由方程cos()x y e xy ++=0确定，则dxdy= ()()sin sin x yx y y xy e e x xy ++-- 。

解：对方程两边同时求导可得()()'sin()'0x y e x y xy xy ++-='sin()sin()'0x y x y e e y y xy xy xy +++--= 'sin()'sin()x y x y e y xy xy y xy e ++-=-sin()'sin()x yx y y xy e y e x xy ++-=-3、()00=f 且()10-='f ，则()=→xx f x 0lim 1- 解：()()()()000'0limlim 1x x f x f f x f x x→→+-===-4、已知1)1(='f ，则=∆-∆-→∆xf x f x )1()51(lim 05-解：()()()0(15)(1)lim5'1555x f x f f x∆→-∆-⨯-=⨯-=--∆5、函数()f x y e =，()f x 可导，则dydx=()()'f x e f x解：()()''f x dyy e f x dx==二、选择题（每题4分，共20分） 1、已知1cos ln 2+=x y ，dy ＝（ D ） （A ）dx x 1cos 12+（B）-（C） （D）解：1''2y ===所以dy =2、设)(0x f '存在，则=--+→hh x f h x f h )()2(lim000（ C ）.(A) 一定不存在； （B ）不一定存在； （C ）)(30x f '； （D ）)(30h x f -' 解：()0000000(2)()(2)()limlim 33'3h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--=⨯=3、若函数()y f x =满足01'()2f x =，则当△0→x 时，0x x dy =是（ B ）。

第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。

第三章 导数与微分（1）抛物线2x y =在点（ )1,1(- ）处的切线平行于直线0142=-+x y 。

（7）设函数)(x f y =在点x 可导，则函数)()(x kf x g =（k 是常数）在点x （ 可导 ）（可导、不可导）。

（8）设函数)(x f 在点0x 处可导且12)2()2(lim000=--+→xx x f x x f x , 则=')(0x f （21）。

（9）一物体的运动方程为1023+=t s ，此物体在2=t 时瞬时速度为（ 24 ）。

（10）设1)(lim0+=→k xx f x ，)(x f 在0=x 连续，则=')0(f （ 1+k ）。

（11）xx y cos =，则y '=（ x x x x xx cos )ln sin cos (- ）。

（12）()()x x f 21ln +=，()0f ''=（ 4- ）。

2、选择题（1）在抛物线2x y =上过⎪⎭⎫⎝⎛41,21点的切线是（ B ） A ．平行于ox 轴 B ．与ox 轴构成45C ．与ox 轴构成135； D ．平行于oy 轴。

（2）过点)3,1(，且切线斜率为x 2的曲线方程)(x y y =应满足的关系是（ C ） A ．x y 2=' B ．x y 2=''C ．31(2=='），y x y D ．3)1(,2==''y x y （3）设函数)(x f 定义在[a ，b]上，判断（ A ）正确。

A ．)(x f 可导，则)(x f 连续（4）设可微函数()x f 定义在[a ，b]上，点],[0b a x ∈的导数的几何意义是：（ C ）。

A ．0x 点的切向量 B ．0x 点的法向量 C ．0x 点的切线的斜率 D ．0x 点的法线的斜率（6）设函数)(x f 在点0x 不可导，则（ D ）。

第三章 函数的导数与微分习题 3－11. 根据定义求下列函数的导数: (1)x y 1= (2)x y cos =(3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y =解 (1) 因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆ =x x x x x ∆-∆+→∆11lim 0=01lim ()x x x x ∆→-+∆=21x -所以 21y x '=-.(2) 因为 00cos()cos 'limlim x x y x x x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆所以 sin y x '=-(3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ∆→∆→∆+∆+-+==∆∆ =x x a x ∆∆→∆0lim =a所以 y a '= (4) 因为00'limlim x x y y x ∆→∆→∆==∆ =)(lim 0x x x x x x +∆+∆∆→∆ 所以y '=. 2. 下列各题中假定)(0'x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0('f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0('f 存在) (4) A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000解（1）因为 x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000 =x x f x x f x ∆--∆--→∆)()(lim 000=)(0'x f -故 )(0'x f A -=.(2) 因为 x x f x )(lim 0→=0)0()(lim 0--→x f x f x =)0('f故 )0('f A =.(3) 因为 x f tx f x )0()(lim 0-→=tx f tx f t x )0()0(lim 0-+→=)0('tf故)0('tf A =. (4) 因为 000()()limh f x h f x h h →+-- =)()(0'0'x f x f +=)(20'x f 故)(20'x f A =. 3.已知2,,x y x ⎧=⎨⎩11≥<x x , 求d d y x 解 由已知易得当1<x 时, x y 2'=, 当1x >时, 1'=y又 1)1()(l i m )1(1'--=+→+x f x f f x =11lim 1--+→x x x =1 1)1()(lim )1(1'--=-→-x f x f f x =11lim 21---→x x x =2即)1('f 不存在.故'2,()1,x f x ⎧=⎨⎩ 11><x x . 4. 如果f (x )为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)0f '=.证 由于f (x )为偶函数，所以 f (-x ) = f (x )则 00()(0)()(0)(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x →-→---'==----故 (0)0f '=.5.讨论下列函数在0=x 处的连续性和可导性： (1) 21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00=≠x x (2) cos y x =(3)2,,x y x ⎧=⎨-⎩ 00<≥x x 解 (1) 因为 0()(0)'(0)lim 0x f x f f x →-=-所以函数 21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00=≠x x 在0=x 处可导，从而也连续.(2) 因为0()(0)'(0)l i m 0x f x f f x →-=- 所以函数cos y x =在x = 0处可导，从而也连续.(3)因为 200lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===所以函数)(x f 在0=x 处连续.又因为 2'00()(0)0(0)lim lim 000x x f x f x f x x +++→→--===--故'(0)f 不存在, 即函数)(x f 在0=x 不可导. 6. 设函数2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，为使函数f (x ) 在x = 1处连续且可导，a ,b 应取什么值？ 解 由题意， 有首先可得 a+b = 1 即 b = 1－a又因为 211(1)lim 21x x f x --→-'==-所以a = 2 ,于是b = －1.故当a = 2, b = －1时，函数f (x ) 在x = 1处连续且可导.7.求曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程.解 因 1'2,'2x y x y =-==-故 曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程为12(1)y x -=-+即 21y x =--.8*.设曲线f (x ) = x n 在点 (1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(a n ，0),求lim ()n n f a →∞. 解 因为 1(1)n x f nx n ='==所以曲线()n f x x =在点（1, 1）处的切线方程为y －1 = n ( x －1)切线与x 轴的交点为1(1,0)n -，即11n a n =- 从而1()(1)nn f a n =-习题 3－21 求下列函数的导数：（1）52423+-=x x y （2）x y x ln 2=(3 )x x y sin 23= (4) 4tan 3-=x y(5) )32)(23(x x y -+= (6) x x xy ln 1ln += (7) x x e y x 22+= (8) t t y cos 1sin 1++=解 （1）x x y 4122'-=. (2) x x y x x 2)2)(2(ln ln '+=.(3) x x x x y cos 2sin 632'+=.(4) x y 2'sec 3=.(5) )3)(23()32(2'-++-=x x y =x 125--. (6) x x x x x x y 22'ln 1ln 1-+-==x x x x 22ln 1ln 1--.(7) 2'4222x x e x e x y x x -=-=42222x x xe e x x x --. (8)2')cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos t t t t t y t +-+-+==2cos sin 1(1cos )t t t +++.2. 求下列函数在给定点的导数： （1）x xe y =, 求0'|=x y（2）θθθρcos 21sin +=, 求0'|=θρ（3）553)(2x x x f +-=, 求)0('f 和)2('f . 解 (1) 因为x x xe e y +=', 所以 10|000'=+==e e y x(2) 因为'11sin cos sin sin cos 22θρθθθθθθθ=+-=+ 所以 '211|sin cos 22222θπθπππρ==+=.(3) 因为 x x x x f 52)5()5(3)(2'+---==x x 5253+-所以 53)0('-=f , 51)2('-=f . 3. 求21123(1)n x x nx x -++++≠的和. 解 注意到 1()n n x nx -'=，有4. 求曲线2sin x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程和法线方程. 解 当0=x 时，0=y , 且有 x x y 2cos '+=则 00cos |0'+==x y =1 习题 3－31. 求下列函数的导数：（1）223x y -= （2）32x e y = （3）x y arcsin= (4))ln(22x a x y ++= （5）2cos ln x e y -= (6）x y 1arctan =解 (1))4(23212'x x y --==. (2) 33'2222(6)6x x y e x x e ==. (3)x x y 2111'-==)1(21x x -.(4)y '=+=. (5) 22222'1(sin )(2)2tan cos x x x x x y e e x xe e e -----=--=.(6) )1(11122'x x y -+==211x +-. 2. 求下列函数的导数： （1）x e y x2cos 2-= （2）)]ln[ln(ln x x y =（3）nx x y n cos sin = （4）x x y 22ln 2-= 解 （1）'221()cos 2(sin 2)22xx y e x e x --=-+-⋅ ()21cos 24sin 22xe x x -=-+.(2)[]1'ln[ln(ln )]ln(ln )ln y x x x -=+⋅. (3) nx x x n y n cos cos sin 1'-=n nx x n )sin (sin -+ sin cos(1)n n x n x =+. (4) xx y 2'ln 22-=)ln 221(22x x -+x x 1)ln 2(- =x x 2ln 22-x x x 2ln 2ln --.3. 设f 可导，求下列函数的导数d d yx ：（1）)(e x x e f y += （2）)(sin 2cos 2x f x y -= （3）n a x f y )]([2+= （4）)]ln ([x x f f y += （5）)arctan 1(x x f e y +=解 （1）()'1dy ()d x e x e f e x e ex x -=++.（2）'2d 2sin 2(sin )d y x f x x=--x x cos sin 2. =x x f x 2sin )(sin 2sin 22'--2sin 22(sin )x f x '⎡⎤=-+⎣⎦. (3) 212d [()]()2d n y n f x a f x a x x -'=+⋅+⋅1222()()n nx f x a f x a -'⎡⎤=+⋅+⎣⎦. (4) []d 1(1)(ln )(ln )dx y f f x x f x x x ''=+⋅+⋅+. (5) 1(arctan )d d f x x y e x +=)arctan 1('x x f +)111(22x x ++- 1(arctan )2211arctan (1)f x xf x e x x x +⎛⎫'=-+ ⎪+⎝⎭.4设2ln(1), >0()0, 0 , ().sin , 0x x f x x f x x x x ⎧⎪+⎪⎪'==⎨⎪⎪<⎪⎩求解 当x > 0时，[]1()ln(1)1f x x x ''=+=+ 当x < 0时，222sin sin 2sin ()x x x x f x x x '⎛⎫-'== ⎪⎝⎭当x = 0时，由00()(0)ln(1)(0)lim lim 0x x f x f x f x x +++→→-+'==-得(0)1f '=. 故 221, 01()1, 0sin 2sin , 0x x f x x x x x x x ⎧<⎪+⎪⎪'==⎨⎪-⎪<⎪⎩ .5. 设2()1 ()()ln f x y a f x f x a '==且，证明2y y '=. 证 由复合函数的求导法则，得将 1()()ln f x f x a '=代入上式, 可得即 2y y '=.6. 设函数f 可导，且y = f (a + t ) －f (a － t ), 求0d d t yt =.解 因为 d ()()()() d y f a t a t f a t a t t ''''=+⋅+--⋅-故 0d ()()2()d t y f a f a f a t ='''=+=.*7 设()lim x x x t f t t x t →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()f t '. 解 因为1lim lim 1x x x x t x t x t x t x →∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 所以 2()l i m l i m x x t x x x t x t f t t t t e x t x t →∞→∞++⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故22()()(12)t t f t t e e t ''=⋅=+. 习题 3－41. 求下列函数的二阶导数：（1）x xe y 2= （2）)1ln(2x y -=（3）x y arctan = （4）)21(sin 2x y +=（5）)1ln(2x x y ++= （6）2(1)arctan y x x =+ 解 (1)2222(12)x x x y e xe e x '=+=+2222(12)24(1)x x x y e x e e x ''=⋅++⋅=+.(2) 因为)1ln(2x y -==)1ln()1ln(x x ++- 所以 ='y x x --+1111=''y 22222112(1)(1)(1)(1)x x x x -+-=-+--. (3) ='y 211x +, =''y 22)1(2x x +-.(4) ()2sin(12)cos(12)22sin 212)y x x x '=++⋅=+()()2cos21248cos212y x x ''=+⋅=+.(5)='y =()3221x y x ''==-+.(6)='y 2211arctan 2x x x x +++=1arctan 2+x x 2. 已知)(''x f 存在，且0)(≠x f ，求22d d yx .（1）)(2a x f y += （2）)](ln[x f y = 解 (1) '22d ()22()d y f x a x xf x a x '=+⋅=+2222()4()f x a x f x a '''=+++. (2) 'd 1()d ()y f x x f x =2'''''''2222d ()()()()()()[()]d ()()y f x f x f x f x f x f x f x x f x f x --==.3. 设f (x ) 的n 阶导数存在，求 []()()n f ax b +. 解 因 []()()()f ax b f ax b a af ax b '''+=+⋅=+………………………………故 []()()()()n n n f ax b a f ax b +=+. 4. 验证函数x e y xsin =满足关系式022'''=+-y y y . 解 因 x e y x sin '=x e x cos +''sin x y e x =x e x c o s+x e x c o s +x e x s i n -=x e x cos 2 故 '''22y y y -+=x e x cos 2x e x sin (2-)cos x e x +x e x sin 2+=0. 5.求下列函数的n 阶导数的一般表达式：(1)ln y x x = (2) 3x y =解 (1) 因(4)23112ln 1,, , ,y x y y y x x x ''''''=+==-= 故 ()1(1)(2)! (2)n n n n y n x --⋅-=≥.（2）23ln 3,3ln 3, x x y y '''=⋅=⋅ 故 ()3(ln 3)n x n y =⋅.*6 设22411x y x -=-，求y (100). 解2224133114411211x y x x x x -⎛⎫==+=+- ⎪---+⎝⎭ 而 (100)(100)1011011100!1100!, 11(1)(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭习题 3－51. 求由下列方程确定的隐函数的导数'y ：（1）yx e xy += （2）)arctan(2xy xy x =+ （3）1=-y xe y （4）033=-+a y x （a 为常数）解 （1）方程两边同时对x 求导, 得解方程得 ='y y x y x e x ye ++--.(2) 方程两边同时对x 求导，得解方程得 3222222xy x y y x y ++'=-.(3) 方程两边同时对x 求导, 得解方程得 ='y y yxe e -1.(4) 方程两边同时对x 求导, 得解方程得='y 22y x -. 2. 求曲线2ln ()cot 02y y x x e π-+-=在点（e , 1）处的切线方程。

1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。

4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。

9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。