命题的四种形式

1.3.2 命题的四种形式
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解析 ①否命题是“如果x＋y≠0，则x，y不是相反数”， 是真命题. ②否命题是“如果x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－ x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故 是假命题. ③逆命题是“相等的角是同位角”，是假命题. 答案 1
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3.四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
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(2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有 关系 .
y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等
的四边形不是正方形”，是真命题；
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③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也
是真命题；
④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“如果a>b，则ac2>bc2”，
是假命题.所以真命题是①②③.
答案 ①②③
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规律方法 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命 题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他 知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.
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变式训练2 有下列四个命题： ①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题； ②“如果x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题； ③“同位角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是________.
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探究一 四种命题的概念 例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并 判断它们的真假： (1)实数的平方是非负数；
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解 原命题是真命题. 逆命题：如果一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真 命题. 否命题：如果一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真 命题. 逆否命题：如果一个数的平方不是非负数，则这个数不是 实数.真命题.
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逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不 垂直于平面内的两条相交直线.
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(2)如果x>10，那么x>0； 解 逆命题：如果x>0，那么x>10. 否命题：如果x≤10，那么x≤0. 逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
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(3)条件和结论“ 换质 ”(分别否定)：如果非p，则非q，这 称为原命题的 否命题 ； (4)条件和结论“ 换位 ”又“换质 ”：如果非q，则非p，这 称为原命题的 . 逆否命题
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2.四种命题的相互关系
如果q,则p
如果非p，则非q
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如果非q，则非p
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(2)如果x、y都是奇数，则x＋y是偶数. 解 原命题是真命题. 逆命题：如果x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题. 否命题：如果x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题. 逆否命题：如果x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命 题.
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判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7， 若a<1，则4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点. 所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真.
1.3.2 命题的四种形式
[学习目标] 1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和 逆否命题. 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系. 3.会利用命题的等价性解决问题.
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[知识链接] 下列四个命题： (1)如果f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2)如果f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； (3)如果f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； (4)如果f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
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探究三 等价命题的应用
例3 判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋
(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题
的真假. 解 方法一 原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x
＋a2＋2≤0的解集为空集.真假判断如下：
∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
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[预习导引]
1.四种命题的定义
命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，
q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的
命题.
(1)原命题：如果p，则q；
(2)条件和结论“ 换位 ”：如果q，则p，这称为原命题的
逆命题 ；
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探究二 四种命题间的关系 例2 下列命题： ①“如果xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题. 其中真命题是________.
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解析 ①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“如果x，
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规律方法 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条 件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再 根据四种命题的结构写出所求命题. (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些 词语，但不能改变条件和结论.
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变式训练1 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条 直线垂直于这个平面； 解 逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂 直于平面内的两条相交直线. 否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线， 那么这条直线不垂直于平面.