1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如
右图所示，则相应的俯视图可以为
2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23
==,则棱锥
AB BC
-的体积为。
O ABCD
3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
2.83
3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =
从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则
()1,0,0A ，()03,0B ，，()
1,3,0C -，()0,0,1P 。
(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,
0,{
n AB n PB ⋅=⋅=
即 3030
x y y z -+=-=
因此可取n=(3,1,3)
设平面PBC 的法向量为m ，则
m 0,
m 0,
{
PB BC ⋅=⋅=
可取m=（0，-1，3-） 27
cos ,727
m n =
=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27
7
-
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为
A
23 B 33 C 2
3
D 63
2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为
(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+
3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为
(A)
23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
1. D
2. D
3. B
4. 解法一：
(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ，连接BG,
由此知 1,DG GC BG ===即ABC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,
所以，BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .
作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足，因平面平面，
故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面，与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直 DE ⊥平面SBC ，DE ⊥EC,DE ⊥SB
226SB SD DB =+=
3
SD DB DE SB =
= 22626
-,-33
EB DB DE SE SB EB ==
== 所以，SE=2EB (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =
+===⊥知
2
2
121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
又.
故ADE ∆为等腰三角形.
取ED 中点F,连接AF ,则226
,AF DE AF AD DF ⊥=-=
. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.
所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263
FG DG DF =
-=
, 2221
cos 22
AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,
所以，二面角A DE C --的大小为120°. 解法二：
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) （Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==
设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c)
由,n SC n BC ⊥⊥，得0,0n SC n BC == 故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1) 又设SE EB λ= (0)λ>，则
2(,,)111E λλλλλ
+++ 2
(,,),(0,2,0)111DE DC λλλλλ
==+++
设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) 由,m DE m DC ⊥⊥,得
0m DE ⊥=，0m DC ⊥= 故
20,20111x y z
y λλλλλ
++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.
由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-== 故SE=2EB
（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211(,,),(,,)333333
F FA =--，
故0FA DE =，由此得FA DE ⊥
又242(,,)333
EC =--，故0EC DE =，由此得EC DE ⊥， 向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角 于是 1
cos(,)2||||
FA EC FA EC FA EC =
=-
所以，二面角A DE C --的大小为120
