初中数学《反比例函数》练习题
50．如图，点P在曲线上，P A⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，P A＝PB，OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．
（1）填空：OA＝6；OB＝2；k＝﹣60；
（2）设点Q是⊙M上一动点，若圆心M在y轴上且点P、Q之间的距离达到最大值，则点Q的坐标是（，﹣8﹣3）；
（3）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．
解：（1）t2﹣8t+12＝0，
解得：t＝2或6，
∵OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，
即OA＝6，OB＝2，即点A、B的坐标为（﹣6，0）、（0，2），
设点P（﹣6，），
由P A＝PB得：36+（2+）2＝（）2，
解得：k＝﹣60，
故点P（﹣6，10），
故答案为：6，2，﹣60；
（2）当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，
tan∠ACO＝，
线段AB中点的坐标为（﹣3，1），
则过AB的中点与直线AB垂直的直线PQ的表达式为：y＝mx+n＝﹣3x+n，将点（﹣3，1）的坐标代入上式并解得：n＝﹣8，
即点M的坐标为（0，﹣8），
则圆的半径r＝MB＝2+8＝10＝MQ，
过点Q作QG⊥y轴于点G，
tan∠QMG＝tan∠HMP＝＝＝，则sin∠QMG＝
故GQ＝MQ sin∠QMG＝，MG＝3，
故点Q（，﹣8﹣3）；
故答案为：（，﹣8﹣3）．
（3）是定值，理由：
延长P A交圆M于E，过点E作EH⊥BD于H，连接CE，DE，
∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，
∵四边形ABCE是圆的内接四边形，
∴∠P AB＝∠PCE，∠PBA＝∠PEC，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴PE＝PC，
∴AE＝BC，
∵AO⊥BD，EH⊥BD，P A⊥OA，
∴四边形AOHE是矩形，
∴AO＝EH，AE＝OH＝BC，
∵P A∥BD，
∴＝，∴，
∴∠ABD＝∠BDE，且∠AOB＝∠EHD＝90°，AO＝EH，∴△AOB≌△EHD（AAS）
∴OB＝DH＝2，
∴BD﹣BC＝BD﹣OH＝OB+DH＝4．
