二次函数系数a、b、c与图像的关系
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．
一．选择题（共9小题）
1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当
x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4 2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象
如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：
①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正
确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的
图象如图，有以下结论：
①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1
＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4 5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：
①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（）
A．①②B．②③C．②③④D．①②④
6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3 7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与
y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．
其中正确的是（）
A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）
A、a＞0
B、b＜0
C、c＜0
D、a+b+c＞0
11、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，
其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③
2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是
（）
A、①②③④
B、②④⑤
C、②③④
D、①④⑤
12、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图
象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；
③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
一．选择题（共9小题）
1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a ＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
考
点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：抛物线与y轴交于原点，
c=0，（故①正确）；
该抛物线的对称轴是：，
直线x=﹣1，（故②正确）；
当x=1时，y=a+b+c
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，
又∵c=0，
∴y=3a，（故③错误）；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，
又∵x=﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．
故选：C．
点
评：
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系
数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x
轴交点的个数确定．
2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给
出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有
正确结论的序号是（）
A．③④B．②③C．①④D．①②③
考
点：
二次函数图象与系数的关系．
专
题：
数形结合．
分
析：
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符
号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结
论进行判断．
解
答：
解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，
∴y=a﹣b+c＜0，
故②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，
