工程光学第十三章 光的衍射.解析

问题：不能给出强度分布特点
2、惠更斯—菲涅耳原理
某一时刻波阵面上的任一点都可以视为发出球面次波 的新波源，这些次波来源于同一光源，因而彼此相干， 空间某一点的光振动取决于波阵面上所有次波在该点 叠加的结果。
惠更斯—菲涅耳原理简单归为：次波+次 波 干涉光的衍射现象
3、惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式
(1)平面波正入射孔径（衍射）屏
cosn r cos 1
(2)在振幅项中 r z1
K 1 1 cos 1
2
y1
x1
r Q
C z1
y x
P
P0
E%
P
1
i z1
E% Q
exp
K
ikr
d
E
2.菲涅耳近似（对位相项的近似）
(a+b)n
=C n0an+C n1an-1b+C
n2an-2b2+…＋C nran-rbr+…+C
sin
P点的强度为
I
E%2
I
0
sin
2
sin
2
2、强度分布特点
I＝I
0
s
in
2
s
in
2
,
I0
E0
2
Cab2
先讨论沿y轴方向的分布。
I/I0
在Y轴上， 0, sin 2 1
1.0 0.8
2
0.6
故：
I
y＝I 0
sin
0.4
0.2
（1）主极大值的位置：
0.0
-10
产生相干叠加，叠加后的合振动的复振幅为
E%
P
CA
exp R
ikR
exp
ikr
r
K
d
若用任意已知E% Q 的孔径面代替波面，则P点的衍射分布可表示为
C
E%Q
exp
ikr
r
K
d
原则上可计算任意形状的孔径屏障的衍射问题。
二、 基尔霍夫衍射公式 1、惠更斯—菲涅尔原理的缺陷
人为假设了K ，未给出 K( )、C 的具体形式。
10
b
Y
（3）次极大值的位置：
对于其它的极大值点，有 1.0
2
d d
sin
0，即tg
0.8
0.6
可用作图求解。
注意：次极大值位置 不在两暗纹的中间。
（4）暗条纹的间隔
e f
b
0.4
-1.43
xp
ik
x1
x z1
y1
y z1
dx1dy1
在无透镜时，观察点为P’；有透镜时，在透镜焦平面上为P
在傍轴近似下，公式中 Z1 由 f ' 代替。计算公式变为：
Ex, y C
E~
x1
,
y1
e
xp
ik
x1
x f
y1
y f
dx1dy1
当平面波垂直照射孔径时， E% x1, y1 为常数，设为A'
x P P0
K
E
3.夫琅和费近似
对菲涅耳近似r表达式，若 很大，同时
，则
继续展开
r
z1
x
x1 2 y
2z1
y1
2
z1＋
x1x z1
y1 y
x2 y2 2z1
x12 y12 2z1
当满足
取上式前三项
r
z1＋
x1x z1
y1 y
x2 y2 2z1
E~x,
y
e xp[ik ( z1
x2 y2 2z1
当P靠近P0时，在旁轴近似下，CI的方向余弦（与OP的方向余弦相同）为
l
sinx
x r
x f
,
sin y
y r
y f
式中：x和Cy分H别是CqIg与CuuxQu1r轴和yl1x轴1 夹 角 （y1方向角fx）x的1 余角fy，y称1 为二维衍射角
相应的相位差为
k k( x f
x1
y f
y1 )
n n
bn
r
z12 (x x1)2 y y1 2 z1
1
x
x1
2
z12
y
y1
2
z1
x
x12 y
2z1
y1 2
[x
x1 2 y
8z13
y1 2 ]2
....
r
z1
x
x1
2 y
2z1
y1 2
近似条件：
k[ x x1 2 y y1 2 ]2
8z13
y1
Q C
K
x1 r
z1
y x
if
2f
其中 r CP
f 2 x2 y2
f
x2 y2 2f
结论：若孔径很靠近透镜，r 是孔径原点O处发出的子
波到P点的光程，而 kr 则是O点到P点的位相延迟。
（2）位相因子
exp ik x1
x f
y1
y
f
孔径上其它点发出的光波与O 点的光程差：
CH (CIP) (QJP)
发明、天文仪器的设计、弹性体碰撞和光的波动理论等 方面都有
突出成就。1663年他被聘为英国皇家学会第一 个外国会员， 1666年刚成立的法国皇家科学院选 他为院士。惠更斯体弱多病 ，一心致力于科学事业，终生未婚。 1695年7月8日在海牙逝世 。他还推翻了牛顿的微粒说。
一、惠更斯—菲涅尔原理 1、惠更斯原理
三、矩孔衍射 １．强度分布计算
设矩形孔的长和宽 分别为 a和 b，用单 位平面波照射，即
b
y1
x1 L2
CQ
O
a
y x
y
Px
P0
E~( x1,y1
)
1 0
在矩孔以内 在矩孔以外
设 l x , y ，则衍射公式
f f
ab
E%(x, y) C
2 a
2 b
exp
ik
lx1
y1
dx1dy1
22
E~(x, y) C
产生衍射现象的条件：主要取决于障碍物或空隙的线度与
波长大小的对比。
光孔线度
: 103以上，衍射效应不明显
: 103 10，衍射效应明显
: ，
向散射过渡
导致衍射发生的障碍物称作“衍射屏”
衍射屏特性用复振幅透射系数t(x1, y1)表示,有 t(x1, y1) A(x1, y1)e j(x1,y1)
P
P0 E
r
z1
x
x1 2 y
2z1
y1
2
称为菲涅耳近似。
相应的衍射为菲涅耳衍射，满足近似条件，能观察到衍射的区间为菲涅耳衍射
区得到菲涅耳衍射：
E~x, y eikz1 iz1
E~x1 ,
y1
exp
i
k 2 z1
y1
x x1 2
y y1 2
y
dx1dy1
x1
r Q
C z1
夫琅和费衍射公式的意义（总结）
Ex, y C
E~x1
,
y1
e
xp
ik
x1
x f
y1
y f
dx1dy1
C 1 exp[ ik( f x2 y2 )]
if
2f
O点到P点的位相延迟
孔径上其它点发出的光 波与O 点的位相差。
积分式表示孔径上各点子波的相干叠加。叠加结果取决于 各点发出的子波与中心点发出子波的位相差。
t(x1, y1)是一复值函数，A(x1, y1)表示振幅，(x1, y1）表示相位，
(x1, y1）表示衍射屏上的空间坐标。
S
圆孔衍射*
H
P
G
S
单缝衍射*
设E%0 (x1, y1）为照明光场透过衍射屏前的复振幅分布， 而E%(x1, y1）是刚刚透过衍射屏后的复振幅分布，并且有 E%(x1, y1） E%0 (x1, y1）t(x1, y1)
惠更斯自幼聪慧，13岁时曾自制一台车床，表现出很强的动 手能力。1645～1647年在莱顿大学学习法律与数学;1647～1649 年转入布雷达学院深造。 在阿基米德等人著作及笛卡儿等人直接
影响下，致力于:力学、光波学、天文学及数学的研究。他善于把 科学实践和理论研究结合起来，透彻地解决问题，因此在摆钟的
)]
iz1
E~x1,
y1
exp
i
k z1
xx1
yy1
dx1dy1
§2 典型孔径的夫琅和费衍射
一、夫琅和费衍射
1、透镜的作用：无穷远处的衍射图样成象在焦平面上。
夫琅和费衍射对z的要求 =600nm, x12 y12 max 2cm2
k (x12 y12 )max
2 z1
2 (x12 y12 )max
Z
R
Qr
S
P
Z`
研究方法：单色点光源S发出的球面波波面为，波面半径为R， 光波传播空间内任意一点P的振动应是波面上发出的所有子波 在该点振动的相干叠加。
Z
R Qr
S
P
Z`
设距点光源S单位距离处的振幅为A，波面上任意一点Q的复振幅为
E%Q
A R
exp ikR
Q点处面元 d 发出的子波在P点的复振幅表示为
调制元件等。
d sin m
2、波导光栅
3、全息光栅 4、波带片 5、微光学透镜
§1 光波的标量衍射理论
克里斯蒂安·惠更斯，荷兰人，世界知名物理学家、天文学家、数 学家，和发明家，机械钟(他发明的摆钟属于机械钟)的发明者。 他于1629年4月14 日出生于海牙。父母是大臣和诗人，与R.笛卡 儿等学界名流交往甚密。
Q
exp
ikr
r
K
d
C 1
i
E%Q Aexpikl
l
K cosnv, rv cos nv,lv 2
公式表明：
a）P点的复振幅是Σ波面上无穷多个次波面 在该点的复振幅的叠加
E%(P) ~ E%(Q), K( ), 1
b）次波源的相位超前于入射波π/2 c）给出 E(Q) 表达式，表明次波的振幅与 K ( )
2、菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 主要思想： （1）波动微分方程+格林定理+电磁场的边值条件——给惠更
斯-菲涅尔原理找到了较完善的数学表达式
（2）确定了倾斜因子 K( )、C 的具体形式。
E%
P
A
i
exp
ikl
l
exp
ikr
r
cos
nv,
rv
2
cos
nv,
v l
d
菲涅耳积分式E%
P
C
E%
当 =0时，I有主极大值 Imax＝I0，
-2-5
-
0
25
10
I
y＝I 0
sin
2
（2）极小值的位置：
I/I0
1.0
当=n, n=+1,+2,…时，即 0.8
yb n , y n f
0.6
f
b
0.4
I=0,有极小值。
主极大值的宽度：
0.2
＝
0.0
Y＝2 f
-10
-2-5 - 0 25
物理光学
第十三章 光的衍射
光源 单缝K
屏
幕
E
a
光源 单缝K
a
屏 幕
E
S
b
S
(a)
(b) b
观察结果：光波偏离直线传播进入几何影区,影区边缘出现
光强度的强弱分布
衍射现象主要特征
当光以任何形式改变光波波面的振 幅和相位分布，即对光波波面复振
幅的分布进行调制或分割时
产生衍射现象
不同宽度的单缝衍射图样
单缝衍射
日常生活中为什么我们很容易观察到声波、无线电波的衍射，
而难以观察到光波的衍射呢？这是由于声波和无线电波的波长较 长（约几百米），自然界中存在这样尺度的障碍物或空隙（如墙、 山秋和建筑物等），容易表现出衍射现象；而光波的波长很短 （380-780nm)，自然界中通常不存在如此小的障碍物或空隙，光 主要表现出直线传播的特性。
惠更斯假设： 任一时刻波上的每一点都可以看作是产生球面次波的波源， 下一时刻的波阵面是这些次波的包络面。
惠更斯原理
—
次波的概念，波面法线方向即光线方向 （各向同性介质）
（波的传播原理）
（用于确定下一时刻光线方向）
于是，如图，t1时刻屏D上波阵面Σ1
得：t2时刻，波阵面Σ2
表明：有光线偏离直线 传播，进入几何引区
即衍射方向有关
M
K1
K2
K3
K4
几何投影区
菲涅耳衍射区
夫朗和费衍 射区
y1 Q
C K
x1 r
z1
y Px P0
E
当光源置于无穷远时，有
K( ) 1 cos
2
三、基尔霍夫近似下衍射分类
E%
P
1
i
A
exp
ikl
exp
ikr
cos
nv,
rv
cos
l
r
2
nv,
v l
d
1、傍轴近似（初步近似） 当孔径范围及观察范围远小于两者之间距的实际情况
dE% P CK Aexp ikR exp ikr d
R
r
衍射角 —球面法线n与次波传播方向r之夹角
球面次波
C —常数;
K —倾斜因子，表明次波振幅与衍射角有关。
K ( ) 0时, 90o；K ( ) 1时, 0o。随 ，K ( ) 。
r QP。
因K 的限制，波面上只有ZZ`范围内波面上发出的子波在P点
E x, y CA' exp[ik( f ' x2 y2 )]
f'
2f '
x y
exp
ik
x1
f
y1
f
dx1dy1
(x, y)
p' (x', y')
x'
p
x
f'
z
二、夫琅和费衍射公式的意义
加有透镜之后，有两个因子与透镜有关：
（1）复数因子 C 1 exp[ ik( f x2 y2 )]
a 2 a
b
2 b
exp
iklx1
my1
dx1dy1
22
a
b
C
2 a
exp
i
klx1
Baidu Nhomakorabea
dx1
2 b
exp
i
kmy1
dy1
2
2
Cab
sin
kla 2
sin
kmb 2
kla 2
kmb 2
令 kla x a kmb y b
2 f
2 f
E~0 abC
则
E~x,
y
E~0
sin
2 z1
z1
(x12 y12 )max
330m
L1 (x1, y1) L2 P
S
P0
f
2、夫琅和费衍射公式变化
Ex, y C
E~
x1
,
y1
e
xp
i
k z1
xx1
yy1
dx1dy1
其中
C
1 iz1
e xp[ik ( z1
x2 y2 2z1
)]
可以写成
Ex, y C
E~x1,
y1
e
衍射研究的问题
照明光场、衍射屏特性→衍射光场分布；
衍射屏、观察屏衍射分布→照明光场特性； 照明光场、要求的衍射场分布→设计、制 造衍射屏
从一个面上的光场分 布求取传播到另一面 上时的分布
衍射的应用
1、 光谱分析，如衍射光栅光谱仪 (1)光栅最重要的应用是作为分光元件，即把复色光 分成单色光。
(2)此外，它还可以用于长度和角度的精密、自动化测量，以及作为