材料学院研究生会
学术部
2011年12月
2007-2008学年第一学期期末试卷
一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令
)x x T -=
，
试证明T 服从t -分布t （2）
二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明
111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。 三、（8分）设总体X 的密度函数为
其中1α>-，是位置参数。x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。 四、（12分）设总体X 的密度函数为
1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫
-≥⎨⎬⎪
=⎭⎨⎩⎪⎩
，其它，
其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。
（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧
； （2）σ∧
是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题
22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α
的UMPT 。
七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？ 八、（6分）设方差分析模型为 总离差平方和
试求A E(S )，并根据直观分析给出检验假设012:...0P H ααα====的拒绝域形式。
九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A 、B 、C 、D 外，还需考察A B ⨯，B C ⨯。今选用表78(2)L ，表头设计及试验数据如表所示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x 1，体重x 2，胸围x 3，坐高x 4。现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标1234(x ,x ,x ,x )T X =的协方差阵V 的极大似然估计为 且其特征根为1
23450.4616.65 3.38 1.00λλλλ∧
∧∧∧
====，，，。
（1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分？ （2）试求第一主成分。
2006级硕士研究生《应用数理统计》试题
一、 选择题（每小题3分，共12分）
1. 统计量T~t （n ）分布，则统计量T2的α（0<α<1）分位点x α （P{T2≤x α}=α）是（ ）
A. 2
12()t n α-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦ B. 12()t n α+ C.12()t n α- D
2
12()t n α+⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
2.设随机变量X ～N(0，1)，Y ～N(0，1)，则（ ）
A.
t-分布 B.X2+Y2服从2
χ-分布
C. X2和Y2都服从2χ-分布
D. X2/Y2服从F-分布
3.某四因素二水平实验，选择正交表L8(27)，已填好A ，B ，C 三个因子，分别在第一，第四，第七列，若要避免“混杂”，应安排因子D 在第（ ）列.A.5 B.2 C.3 D.6
（1）
3 （2）
2 1 （3）
5 6 7 （4）
4 7 6 1 （5）
7 4 5 2 3 （6）
6 5 4 3 2 1
（7）
4.假设总体X 服从两点分布，分布率为P{X=x}=p x(1-p)1-x ，其中x=0或1，p 为未知参数，X1,X2,…，Xn 是来自总体的简单样本，则下面统计量中不是充分统计量的是（ ）
A. 1i n
i X =∑ B. 11i n i X n =∑ C. 111i n i X n =-∑ D. 11i n
i X p n =-∑
二.填空题(每小题3分,共12分)
1. 设X1,X2,…，Xn 是来自总体N(0，2
σ)的简单样本,则常数
c=_________
m
i
c X ∑服从t-分布（1m n ≤<），其自由度为
____________
2. 设X1,X2,…，Xn 是来自总体N(μ，2σ)的简单样本,其中2
σ已知。
则在满足P{X a X b μ-≤≤+}=1-a 的均值μ的置信度为1-α的置信区间类{[,X a X b -+]:a ,b 常数}中区间长度最短的置信区间为（ ）
3. 设X1,X2,…，Xn 是来自总体N(μ，2σ)的简单样本, μ已知，则2
σ
的无偏估计2
21
1
1()1n k k S X X n ==--∑，2
2211()n k k S X n μ==-∑中较优的是
（ ）
4．在双因素实验的方差分析中，总方差T S 的分解中包含误差平方和
2
.111()p
q
r
E ijk i j i j k S x x ====-∑∑∑，则E S 的自由度为（ ）
三，（12分）设X1,X2,…，Xn 来自指数分布
10()00
x
e x
f x x θθ
-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 的简
单样本，试求参数θ的极大似然估计θ∧
，它是否是无偏估计？（2）求样本的Fisher 信息量；（3）求θ的一致最小方差无偏估计;(4)问θ∧
是否是θ的有效估计？
四．（6分，A 班不做）在多元线性回归Y X βε=+中，参数β的最小
二乘估计为1
(')'X X X Y β∧
-=，残差向量为
1
((')')e Y Y I X X X X Y ∧
-=-=-。令11(')'(')'X X X Y Z I X X X X Y e β∧--⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,当2~(0,)N I εσ时，Z 服从多元正态分布。
