1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案

1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )

A ．S ＝⎠⎜⎛01(x2－x)dx

B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x2)dx

C ．S ＝⎠⎜⎛01(y2－y)dy

D ．S ＝⎠⎜⎛0

1(y －

y)dy

[答案] B

[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．

[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛0

1(x －x2)dx.

2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎜⎛02xdx ，b ＝⎠⎜⎛02exdx ，c ＝⎠⎜⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小

关系是( )

A ．a

B ．a

C ．c

D ．c

[答案] D

[解析] a ＝⎠⎜⎛02xdx ＝1

2x2|02＝2，b ＝⎠⎜⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎜⎛02sinxdx ＝－

cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，

∴c

3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.1

12

B.14

C.13

D.7

12 [答案] A

[解析] 由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x2

y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．

∴S ＝⎠⎜⎛0

1(x2－x3)dx ＝

⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝1

12.

[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：

(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，157

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫45，137 [答案] A

[解析] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎜⎛0t (tx －x2)dx ＝t3

6；S2＝⎠⎜⎛t

2

(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝4

3，∴P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，169.

4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.4

3

C.18

5

D ．6

[答案] A

[解析] S ＝⎠⎜⎛0

2x3dx ＝

⎪

⎪⎪

x4402＝4. 5．(2010·湖南省考试院调研)⎠

⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )

A ．0

B ．2

C ．2＋2cos1

D ．2－2cos1

[答案] B

[解析] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.

6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π

2

D ．π

[答案] A [解析] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.

[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎜⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )

A ．有最大值0，无最小值

B ．有最大值0和最小值－32

3

C ．有最小值－32

3，无最大值

D ．既无最大值也无最小值 [答案] B

[解析] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－25

3

.

∴最大值为0，最小值为－32

3

.

[点评] 一般地，F(x)＝⎠⎜⎛0

x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．

8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎜⎛1x 1

t dt ，若f(x)

的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e21) C ．(e －11，e)

D ．(0，e11)

[答案] D

[解析] f(x)＝⎠⎜⎛1x 1

t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，

0

9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )

A.1π

B.2π

C.3π

D.π4

[答案] A

[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎜⎛0π

sinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝

S S 矩形OABC

＝2

2π＝1

π

.