向量的线性运算经典测试题及答案解析
一、选择题
1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ）
A ．a r 与r b 是相等向量
B ．a r 与r b 是平行向量
C ．a r 与r b 方向相同，长度不等
D ．a r 与r b 方向相反，长度相等
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2
c =-r r
，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．
【详解】
解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2
c =-r r ，
所以a r 与b r 方向相反，且|a r
|＝5|b r |．
观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．
2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④
方向相同 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则
方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但
的模不一定，③错误； 对于④，若
，则
能推出
的方向相同，但
的方向相同，得到
④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
3．如图，已知向量a r
，b r
，c r
,那么下列结论正确的是（ ）
A ．a b c +=r
r
r
B ．b c a +=r
r r
C ．a c b +=r
r r
D ．a c b +=-r r r
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r
， 即a c b +=-r r r 故选D ．
4．下列判断正确的是( )
A ．0a a -=r r
B ．如果a b =r r ，那么a b =r r
C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r
D ．对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】
A. -r r
a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；
B. 如果a b =r r
，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；
C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；
D. 对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r
，故D 正确.
故答案为D. 【点睛】
本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
5．已知
1,3a b ==r r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．3a b =r r B ．3a b =-r r C ．3b a =r r
D ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】
∵1,3a b ==v v ，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.
故选D ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
6．已知3a →
=，2b =r
，而且b r
和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →
→
= B ．23a b →→
=
C ．32a b →→
=-
D ．23a b →→
=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据
3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】
∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反 ∴32
a b =-v v
故选D. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
7．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r r
B ．00a ⋅=r
C ．()
a b b a -=--r
r r r
D ．km k m =r r
【答案】C 【解析】
根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】
解：A. 0a a -=r
r r
，故本选项错误； B. 00a ⋅=r
r
，故本选项错误；
C. ()
a b b a -=--r
r r r ，故本选项正确；
D. km k m =⋅r r
，故本选项错误.
故选：C. 【点睛】
考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．
8．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠r
r
时，ma r 与a r
的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r
r
时，ma r 与a r
是平行向量； ③0mn >，0a ≠r
r
时，ma r 与na r
的方向一定相同；
④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
是平行向量，故②正确；
③因为0mn >，0a ≠r
r
，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r
的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r
r
，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r
的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
9．已知向量，若与共线，则( )
A ．
B ．
C ．
D ．
或
【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=
，即可得知要么为0，要么
，即可完成解答.
