(整理)多元函数的极限与连续习题.

二元函数的极限二元极限存在常用夹逼准则证明例1 14)23(lim 212=+→→y x y x 例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x yx y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限)(lim 00y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：累次极限定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ϕ也存在极限，设B y x f y ax b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，ϕ， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即C y x f by a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则)(lim lim (lim 0000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=.二元函数的连续性定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，)()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续定理 若二元函数)(y x u ，ϕ=，)(y x v ，ψ=在点)(000y x P ，连续，并且二元函数)(v u f ，在点[])()()(000000y x y x v u ，，，，，ψϕ=连续，则复合函数[])()(0000y x y x f ，，，，ψϕ 在点)(000y x P ，连续.1. 用极限定义证明下列极限：1)19)34(lim 212=+→→y x y x ； 2）01sin 1sin )(lim 00=+→→yx y x y x ； 3）0lim 22200=+→→y x y x y x . (提示：应用.1222≤+y x xy ） 2. 证明：若)0()(≠++-=y x yx y x y x f ，，，则 1)(lim lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→y x f y x ， 与 []1)(lim lim 00-=→→y x f x y ，. 3. 设函数32444)()(y x y x y x f +=，，证明：当点)(y x ，沿通过原点的任意直线 )(mx y =趋于（0,0）时，函数)(y x f ，存在极限，且极限相等. 但是，此函数在原点不存在极限. （提示：在抛物线2x y =上讨论.) 4. 若将函数2222)(y x y x y x f +-=，限制在区域{}2)(x y y x D <=，，则函数)(y x f ，在原点（0，0）存在极限（关于D).5. 求下列极限：1）2221lim y xy x y x y x +-+→→； 2）x xy y x sin lim 40→→； 3）)()(lim 2200y x In y x y x ++→→； （提示：设ϕϕsin cos r y r x ==，）4）222200321)61)(41(lim y x y x y x +-++→→.。

第十六章 多元函数的极限与连续一、证明题1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{p n }⊂E,p ≠p 0. ∞→n lim P n =P 0时P 0是E 的聚点. 2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真.3. 证明:点列{p n (x n ,y n )}收敛于p 0(x 0,y 0)的充要条件是∞→n lim x n =x 0和∞→n lim y n =y 0. 4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E 为开集,则E c 为闭集;若E 为闭集,则E c 为开集.5. 证明:(1) 若F 1,F 2为闭集,则F 1∪f 2与F 1∩F 2都为闭集;(2) 若E 1,E 2为开集,则E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集;(3) 若F 为闭集,E 为开集,则F\F 为闭集,E\F 为开集.6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之.7. 证明定理16.4(有限覆盖定理):8. 证明: 若1°y)f(x,lim (0,0)y)(x,→存在且等于A;2°当y 在b 的某邻域内时,存在有(y)y)f(x,lim a x ϕ=→,则A y)f(x,lim lim a x b y =→→.9. 试应用ε-δ定义证明: 0y x y x lim 222(0,0)y)(x,=+→. 10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.12.设f(x,y)=()()⎪⎩⎪⎨⎧=+>≠++0y x 0,0p 0y x ,y x x 2222p 22试讨论它在(0,0)点的连续性.13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f 对y 在[c,d]上处处连续.对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f 在S 上处处连续.14. 证明:若D ⊂R 2是有界闭域,f 为D 上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间.15. 若一元函数ϕ(x)在[a,b]上连续,令f(x,y)=ϕ(x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f 在D 上是否连续?是否一致连续?16. 设(x,y)=x y11-,(x,y)∈D=[)[)1,01,0⨯,证明f 在D 上不一致连续.17. 设f 在R 2上分别对每一自变量x 和y 是连续的,并且每当固定x 时f 对y 是单调的,证明f 是R 2上的二元连续函数.二、计算题1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点。

数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。

E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。

高等数学c类第二册教材答案一、导论高等数学C类第二册是大学高等数学的进阶教材，主要涵盖了多元函数微分学、多元函数积分学和无穷级数三个部分。

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二、多元函数微分学答案1. 多元函数的极限与连续1.1 多元函数极限概念及性质(1) 定义和性质练习题1. 将以下多元函数的极限求出：(1) lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y)(2) lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2)解答：(1) 这是一个两个变量的极限问题，我们可以使用直接代入法：lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y) = 0/0 (无法直接代入)为了解决这个问题，我们可以进行坐标轴变换：令x = rcosθ，y = rsinθ，其中 r>0，0≤θ<2π。

根据坐标轴变换的性质，当(x,y)→(0,0) 时，可得r→0。

将坐标变换后的表达式代入原函数：(x^2+y^2)/(x+y) = [(rcosθ)^2+(rsinθ)^2]/(rcosθ+rsinθ) =(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)/(rcosθ+rsinθ)= [r^2(cos^2θ+sin^2θ)]/(rcosθ+rsinθ) =r([r(cos^2θ+sin^2θ)]/[rcosθ+rsinθ])= r，当r → 0 时，此极限为lim(r)→0 r = 0。

所以，该极限的解为 0。

(2) 类似地，根据直接代入法：lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2) = (3(2)^2+4(3)^2)/((2)^2-(3)^2) = 33/7。

所以，该极限的解为 33/7。

1.2 多元函数连续概念及性质(1) 定义和性质练习题2. 判断函数 f(x,y) = (3x^2+y^2)/(x^2-y^2) 在点 (2,3) 处是否连续。

第十六章 多元函数的极限与连续总练习题1、设E ⊂R 2是有界闭集，d(E)为E 的直径. 证明：存在P 1,P 2∈E ， 使得ρ(P 1,P 2)=d(E).证：由d(E)=EQ ,P sup ∈ρ(P ,Q)知，对εn =n 1, ∃ P n ,Q n ∈E ，使d(E)<ρ(P n ,Q n )+n1.{P n },{Q n }均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列{Pn k },{Qn k }， 记Pn k →P 1, Qn k →P 2，k →∞. ∵ρ(Pn k ,Qn k )≤d(E)<ρ(Pn k ,Qn k )+kn 1， 令k →∞得ρ(P 1,P 2)≤d(E)≤ρ(P 1,P 2)，即d(E)=ρ(P 1,P 2). 又∵E 为闭集，∴P 1,P 2∈E ，得证!2、设f(x,y)=x y 1,r=22y x +,k>1，D 1={(x,y)|kx ≤y ≤kx}, D 2={(x,y)|x>0,y>0}. 分别讨论i=1,2时极限iD )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)是否存在，为什么？解：1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)存在；2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在. 理由如下：(1)当(x,y)∈D 1时，kk 12+|x|≤r=22y x +≤2k 1+|x|，∴由r →+∞可得x →∞，又|f(x,y)|=|x y 1|≤2xk→0, x →∞， ∴1D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)=1D )y ,x (x lim ∈∞→f(x,y)=0存在. (2)对y=x k, 当x>0时，y>0，∴(x,xk )∈D 2，且 当x →∞时，r=22y x +=22x k x +→+∞，但f(x,y)=x y 1=k1，即极限2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)与k 的取值有关，∴2D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)不存在.3、设0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, 0xx lim →ψ(x)= ψ(x 0)=0, 且在(x 0,y 0)附近有 |f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x). 证明)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.证：∵0y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, ∴∀ε>0，∃δ1>0，使得当|y-y 0|<δ1时，就有 |φ(y)-A|<2ε；∵0x x lim →ψ(x)=ψ(x 0)=0, ∴对上述ε>0，∃δ2>0，使当|x-x 0|<δ2时，就有|ψ(x)|<2ε；又在(x 0,y 0)附近有|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)， ∴∃δ=min{δ1,δ2}，使|y-y 0|<δ, |x-x 0|<δ时，|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)<2ε， 从而有|f(x,y)- A|≤|f(x,y)-φ(y)|+|φ(y)-A|<2ε+2ε=ε. ∴)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A.4、设f 在R 2上连续，α是任一实数，E={(x,y)|f(x,y)>α,(x,y)∈R 2}; F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y)∈R 2}，证明E 是开集，F 是闭集.证：(1)对任一点(x 0,y 0)∈E ，f(x 0,y 0)-α>0. ∵f 在R 2上连续，由保号性知， 存在P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)，使当(x,y)∈U(P 0)时，f(x,y)-α>0，即 (x,y)∈E, 从而U(P 0)⊂E, ∴E 为开集.(2)设P 0(x 0,y 0)是F 的任一聚点，则存在F 的互异点列{P n }，使 P n →P 0, n →∞，由f(P n )=f(x n ,y n )≥α, n=1,2,…，且f(x,y)在P 0连续知， f(P 0)=∞→n lim f(P n )≥α，即P 0∈F ，∴F 为闭集.5、设f 在有界开集E 上一致连续；证明： (1)可将f 连续延拓到E 的边界；(2)f 在E 上有界. 证：记∂E 为E 的边界，Ē=E ∪∂E ，若P ∈∂E ，则对任一n ，U(P;n 1)∩E ≠Ø. 任取P n ∈U(P;n1)∩E ，则 P n →P , n →∞，且P n ∈E(n=1,2,…). 由f 在E 上一致连续可知， ∀ε>0, ∃δ>0，当A,B ∈E 且ρ(A,B)< δ时，|f(A)-f(B)|< ε. 于是对上述的δ>0，存在N, 当m,n>N 时，ρ(P m ,P n )<δ，从而|f(P m )-f(P n )|<ε. ∴{f(P n )}收敛，即∞→n lim f(P n )存在.若P n ,Q n ∈E (n=1,2,…)且∞→n lim P n )=∞→n lim Q n =P ，则存在N,使当n>N 时，ρ(P n ,P)<2δ且ρ(Q n ,P)<2δ，从而当n>N 时，ρ(P n ,Q n )≤ρ(P n ,P)+ρ(Q n ,P)<δ， ∴|f(P n )-f(Q n )|<ε，∴∞→n lim f(P n )=∞→n lim f(Q n ).∴对每个P ∈∂E ，存在唯一的实数∞→n lim f(P n )与之对应. 定义：F(P)=⎩⎨⎧∈→∈∂∈∞→E P )P (f P)P ，E E(P P )P (f lim n n n n ，，则F 为定义在Ē上的函数. 显然F 是f 到∂E 的一个延拓.(1)设P 0∈Ē，则P 0∈E 或P 0∈∂E. 当P 0∈E 时，由E 为开集知， 存在U(P 0)⊂E ，于是当P ∈U(P 0)时，F(P)=f(P). ∵f 在P 0连续， 从而0P P lim →F(P)=0P P lim →f(P)=f(P 0)=F(P 0)，∴F 在P 0连续.当P 0∈∂E 时，F(P 0)=∞→n lim f(P n )，其中{P n }为E 中趋于P 0的点列，对E 中任一趋于P 0的点列{Q n }，有0P P lim →F(Q n )=0P P lim →f(Q n )=0P P lim →f(P n )=F(P 0)，由归结原则知存在0P P lim →F(P)=F(P 0). ∴F 在P 0连续. ∴F 在Ē上连续.(2)∵Ē是有界闭集，且F 在Ē上连续，从而F 在Ē上有界， ∴F 在E 上有界，又在E 上有F=f ，∴f 在E 上有界.6、设u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续； φ与ψ把点集E 映射为uv 平面中的点集D ，f(u,v)在D 上一致连续,证明：复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.证：设P(u 1,v 1), Q(u 2,v 2)为D 上任意两点，由f(u,v)在D 上一致连续知， ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|u 1-u 2|<δ, |v 1-v 2|<δ, 就有|f(u 1,v 1)-f(u 2,v 2)|< ε. 又u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续；∴上述δ>0, ∃η>0, 使得当(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈E 且|x 1-x 2|<η, |y 1-y 2|<η时， 就有 |φ(x 1,y 1)-φ(x 2,y 2)|<δ, |ψ(x 1,y 1)-ψ(x 2,y 2)|<δ, 从而有 |f(φ(x 1,y 1),ψ(x 1,y 1))-f(φ(x 2,y 2), ψ(x 2,y 2))|<ε， 即复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在E 上一致连续.7、设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数F(x,y)=y-x f(y)-f(x )(x ≠y), F(x,x)=f ’(x)，定义在区域D=(a,b)×(a,b)内，证明：对任何c ∈(a,b)有)c ,c ()y ,x (lim→F(x,y)=f ’(c).证：∵f(t)在区间(a,b)内连续可导，∴当(x,y)∈D 且x ≠y 时， 在[x,y]或[y,x]上应用格拉朗日定理知：存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得 F(x,y)=y-x f(y)-f(x )=f ’(ξ). 又F(x,x)=f ’(x)，可见对任意(x,y)∈D ， 总存在ξ∈[x,y]或[y,x]，使得F(x,y)=f ’(ξ).∵(x,y)→(c,c)时，ξ→c ，且f ’(t)在c 处连续，∴)c ,c ()y ,x (lim →F(x,y)=f ’(c).。

第十六章 多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出他们的聚点与界点。

(1)[,)[,);a b c d ´ (2){(,)0};x y xy ¹(3){(,)|0};x y xy = (4)2{(,)|}x y y x > (5){(,)|2,2,2}x y x y x y <<+> (6)22{(,)|10,01}x y x y y x +==＃或； (7)22{(,)|10,12};x y x y yx +?＃或(8){}N +Î（x,y）|x,y ; (9)1{(,)|sin };x y y x=解：（1）有界集、区域，其聚点为{(,)|,}.E x y a x b c y d =＃＃(2)开集，聚点为2,E R =界点为{(,)|0};x y xy = (3)闭集，{(,)|0},E x y xy ==界点为{(,)|0}.EE x y xy ?==（4）区域，开集，其聚点为2{(,)|},E x y x y = 界点为2{(,)|}.x y y x = （5）有界集，区域，开集，其聚点为{(,)|2,2,2},E x y x yxy =＃?界点为{(,)2,02{(,)|2,02}{(,)|2,02}x y x yx y y xx y x y x=＃=＃+=＃（6）有界集，闭集，其聚点为22{(,)10,01},E x y x y y x =+==＃或界点为EE ?。

（7）有界集、闭集，其聚点为22{(,)|10,12};E x y x y yx =+?＃或界点为22{(,)|10,12}.Ex y x y y x ?+==＃或（8）闭集，其聚点是空集，界点为{(,)|,}.x y x y z Î （9）闭集1{(,)|sin ,0}{(0,)1}E x y y x y y x==> ，界点为.EE ?2.试问集合{(,)|0,0}x y x a y b d d <-<<-<与集合{(,)|,},(,)(,)x y x a y b x y a b d d -<-< 是否相同？ 解：不相同，第一个点集为第二个点集的子集。

第十六章 多元函数的极限与连续习题课一 概念叙述题1.叙述0lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ．lim ()0,0,P P f P A εδ→=⇔∀>∃>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-<（方形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<（圆形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=∞的定义．000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有0,0,0(,)G f x y Gδδ⇔∀>∃><<>当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞⇔∀>∃>-<-<≠<-当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有．3.叙述0(,)(,)lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=⇔∀>∃>∃>>-<-<当时，有4.叙述0(,)(,)lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞⇔∀>∃>∃>-<<->当时，有5. 叙述(,)(,)lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义．(,)(,)lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞⇔∀>∃><-><-当时，有．注：类似写出(,)(,)lim(,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，∆取0,,,x ∞+∞-∞，W 取0,,,y ∞+∞-∞．6.叙述f 在点0P 连续的定义．f 在点0P 连续⇔ε∀， 0δ∃>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-<⇔ε∀， 0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<⇔ε∀，0δ∃>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．7.叙述f 在D 上一致连续的定义．f 在D 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<8.叙述f 在D 上不一致连续的定义．f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥二 疑难问题与注意事项1. 00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<表示空心邻域吗？答：不是．0000{(,)|,,(,)(,)}x y x x y y x y x y δδ-<-<≠只是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉一点00(,)x y ，而00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉了两条线段，000{(,)|,}x y x x y y y δδ=-<<+，000{(,)|,}x y y y x x x δδ=-<<+．2. E 的界点是E 的聚点吗？答：不一定，E 的界点还可能是E 的孤立点．3. E 的聚点一定属于E 吗？答：不一定，例如，22{(,)|14}D x y x y =≤+<，满足224x y +=的一切点也是D 的聚点，但它们都不属于D ．注 E 的内点，孤立点一定属于E ，E 的聚点，界点可能属于E ，也可能不属于E ，E 的外点一定不属于E ．4.区域上每一点都是聚点吗？答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每一点的邻域有无穷多个点．5. 12x x -1212x x y y -+-之间有什么关系？答：()12121212x x y y x x y y --≤≤-+-或．6.用方形邻域证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=的思路是什么？答：证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=怎么证呢？------关键也是找δ.（用方形邻域的思路0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.）当00(,)(,)x y x y →，有00(,)(,)x y x y ≠，把(,)f x y A -化简为下述形式:()()00(,),,f x y A x y x x x y y y ϕψ-=-+-（注意一定要出现0x x -，0y y -）.然后将()(),,,x y x y ϕψ适当放大，有时先要限定01x x δ-<，01y y δ-<,估算得()(),,,x y M x y N ϕψ≤≤,则（最综化简到00(,)f x y A M x x N y y -≤-+-这个形式）；0>∀ε，要使(,)f x y A -<ε，只要()00M x x N y y M N -+-<+δ<ε，即要M N εδ<+，取1min(,)M Nεδ=δ+，于是0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.7. 证明判断二元函数(),f x y 在(,)(0,0)x y →时二重极限不存在？ 答：1）当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0)lim (,)x y y mxf x y →=值与m有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．2）令cos x r θ=，sin y r θ=，0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．注意 若0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ无关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在．3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同． 4）证明两个累次极限存在但不相等．8. 当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0) lim (,)x y y mxf x y →=值与m 无关，能说明二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在吗？答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指(,)x y 以任何方式趋于(0,0)时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数，动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)这只是一种方式，还有其它方式．9.计算二元函数极限有哪些方法？1) 利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；例 求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y x y→++． 解 因为(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，而221sin1x y≤+，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y→+=+． 2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例 2222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++． 解 利用变量替换．令22ux y =+，当(,)(0,0)x y →时，有0u →，因此2222(,)(0,0)0sin()sin lim lim 1x y u x y ux y u→→+==+． 3）利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，如果(cos ,sin )f r r θθ沿径向路径关于[]0,2θπ∈一致成立，则(,)(0,0)lim (,)lim (cos ,sin )x y r f x y f r r θθ→→=；例 求222(,)(0,0)lim x y x yx y →+．解 利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，当(,)(0,0)x y →时，有0r →，因此2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0x y r r x y r r x y rθθθθ→→→===+． 4）利用不等式，使用夹逼准则．例 2244(,)(,)limx y x y x y →+∞+∞++ 解 因为2222442222110222x y x y x y x y y x ++≤≤≤++，而22(,)(,)11lim 022x y yx →+∞+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因此2244(,)(,)lim 0x y x y x y →+∞+∞+=+．5）初等变形求极限，如1∞极限，凑()1e +→WW 1，0→W． 例2(,)(,0)1lim1x x yx y x +→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 2(,)(,0)lim(,)(,0)(,)(,0)11lim 1lim 1x y x x xxx yx yx yx y x y ee x x →+∞+++→+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=+==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭．10．重极限与累次极限有什么关系？ 答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等； （3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在．（4）两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．11.二元函数(),f x y 在()00,x y 连续，与一元函数()0,f x y 在0x 连续，一元函数()0,f x y 在0y 连续有什么关系？ 答反例 二元函数1, 0,(,)0, 0xy f x y xy ≠⎧=⎨=⎩在原点处显然不连续．但由(0,)(,0)0,f y f x ==因此在原点处f 对x 和对y 分别都连续． 三 典型例题1．求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合．（1）()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+<⎨⎬⎩⎭； （2）()[]{},,0,1E x y x y =都是中的有理数； （3）(){},,E x y x y =都是整数；（4）()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭． 解：（1）E 的内点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=<+<⎨⎬⎩⎭，边界点集合是()2222,1444y y E x y x x ⎧⎫=+=+=⎨⎬⎩⎭或，聚点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭．没有孤立点．（2）E 没有内点，（因为E 中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）； 边界点集合是[][]0,10,1⨯．聚点集合是[][]0,10,1⨯，没有孤立点．（3）E 没有内点，（因为E 中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点） 边界点集合是E ，没有聚点，孤立点集合是E ． （4）E 没有内点，聚点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤，没有孤立点，界点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U (){},0,11x y x y =-≤≤．2． 证明0000(,)(,)(),()n n n n x y x y n x x y y n →→∞⇔→→→∞．证：（⇒）由于00(,)(,)()n n x y x y n →→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时ε<，因此有0||n x x ε-<，0||n y y ε-<，即00,()n n x x y y n →→→∞．（⇐）由于00,()n n x x y y n →→→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时有0||2n x x ε-<，0||2n y y ε-<，从而有00n n x x y y ε≤-+-<，即 00(,)(,)()n n x y x y n →→∞．3．（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子． （2）举出两个累次极限存在，且相等的例子． （3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子． （4）举出两个累次极限都不存在的例子． 解：（1）例如(,)x yf x y x y-=+在(0,0)点的两个累次极限存在，但不相等． 000lim limlim11x y x x y x y →→→-==+，()000lim lim lim 11y x y x yx y →→→-=-=-+． （2）例如22(,)xyf x y x y =+在(0,0)点的两个累次极限存在，且相等．22000limlimlim00x y x xy x y →→→==+，2200lim lim 0y x xyx y→→=+． （3）例如1(,)sinf x y x y=在(0,0)点只有一个累次极限存在． 001limlim sin x y x y →→⎛⎫ ⎪⎝⎭不存在，001limlim sin 0y x x y →→⎛⎫= ⎪⎝⎭． （4）例如11(,)sinsin f x y x y y x=+在(0,0)点两个累次极限都不存在． 注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．4．试作函数(),f x y ，使当0x →，0y →时(1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在． 解（1）22(,)xyf x y x y=+，两个累次极限存在（见上题），但()()2222222,0,00 lim lim 1x y x y kxxy kx kx y x k x k →→===+++， 因为与k 有关系，因此重极限不存在． （2）11(,)sinsin f x y x y y x=+，在(0,0)点两个累次极限都不存在，但重极限存在 ()(),0,011lim sin sin =0x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （3）2211(,)f x y x y =+，在(0,0)点的两个累次极限，重极限都不存在． （4）1(,)sinf x y x y =或1(,)sin f x y y x=． 变形：当x →∞，y →∞时，有10x→，10y →，（1）222211(,)11xyx y f x y x yx y ==++； （2）11(,)sin sin f x y y x x y=+； （3）22(,)f x y x y =+； （4）1(,)sin f x y y x=． 5. 讨论二元函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0),x x y f x y x y x y α⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在(0,0)点的连续性．解 令cos x r θ=，sin y r θ=，222(,)(0,0)0cos lim lim x y r x r x y rαααθ→→=+ 当2α>，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知()22(,)(0,0)lim00,0x y x f x y α→==+，因此(,)f x y 在(0,0)点连续；当2α=，由极限值与θ有关，二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续；当2α<，由20cos lim r r r ααθ→不存在，则二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续．6．设(,)f x y 定义在闭矩形域[,][,].S a b c d =⨯若f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续.证明f 在S 上处处连续.分析：要证f 在S 上处处连续，只要证()00,x y S ∀∈，f 在()00,x y 连续，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<，因为条件中有一元函数连续，因此要出现偏增量，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε-+-<（因为条件是f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，因此插入0(,)f x y .证明：因为f 对y 在[,]c d 上处处连续，则()0,f x y 在0y 连续，于是ε∀，0δ∃>， 当0y y δ-<，就有000(,)(,)2f x y f x y ε-<.因为对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，则有ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<（对任意y 就有0(,)(,)2f x y f x y ε-<.因此ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ε-+-<-+-<.7. 设00lim ()()y y y y A ϕϕ→==，00lim ()()0x x x x ψψ→==，且在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，证明()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.分析：要证()()00,,lim(,)x y x y f x y A →=，只要证0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.而(),f x y 与()y ϕ有关系，因此就要插入()y ϕ，即证(,)()()f x y y y A ϕϕε-+-<.证 由00lim ()()y y y y A ϕϕ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0y y δ-<，有()2y A εϕ-<.由00lim ()()0x x x x ψψ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，有()2x εψ<.因为在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，于是当0x x δ-<，0y y δ-<有(),()2f x y y εϕ-<.因此0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<有(,)()()(,)()()f x y y y A f x y y y A ϕϕϕϕε-+-≤-+-<，因此()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.8. f 在E 上一致连续的充要条件是：对E 中的每一对点列{}{},k k P Q 如果()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，便有()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 证 必要性 f 在E 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<()lim ,0k k k P Q ρ→∞=⇒对上述δ，(),,,k k N k N P Q ρδ∃∀><有，因此()().k k f P f Q ε-< 即()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 充分性 反证法，设f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥则取1,1,2,,k k δ==L 总有相应的k k P Q D ∈、，虽然1(,)k k P Q kρ<，但是 0()().k k f P f Q ε-≥即()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，()()lim 0k k k f P f Q →∞-≠⎡⎤⎣⎦，矛盾.因此f 在E 上一致连续.。

微积分练习题一、极限与连续(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x(1) f(x) = |x| 1，在x = 0处(2) f(x) = (x^2 1) / (x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(x + 2) 2，在x = 1处二、导数与微分(1) f(x) = x^3 3x + 2(2) f(x) = e^x sin x(3) f(x) = ln(sqrt(1 + x^2))(1) f(x) = x^2 + 3x 5(2) f(x) = cos(2x)(3) f(x) = 1 / (1 x)三、高阶导数与微分方程(1) f(x) = x^4 2x^2 + 1(2) f(x) = e^x cos x(3) f(x) = ln(x^2 + 1)(1) y' = 2x + y(2) y'' 2y' + y = e^x(3) (1 + x^2) y'' + 2x y' = 0四、不定积分与定积分(1) ∫(x^2 + 1) dx(2) ∫(e^x x) dx(3) ∫(1 / (x^2 + 1)) dx(1) ∫_{0}^{1} (3x^2 2x + 1) dx(2) ∫_{π}^{π} (sin x) dx(3) ∫_{1}^{e} (1 / x) dx五、多元函数微分学(1) f(x, y) = x^2 + y^2(2) f(x, y) = e^(x + y) sin(x y)(3) f(x, y) = ln(x^2 + y^2)(1) f(x, y) = x^3 + y^3(2) f(x, y) = sin(x + y)(3) f(x, y) = sqrt(x^2 + y^2)六、重积分(1) ∬_D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为圆心在原点，半径为1的圆(2) ∬_D (x y) dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2(3) ∬_D (e^(x + y)) dxdy，其中D为三角形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ x(1) ∭_E (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz，其中E为立方体区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1(2) ∭_E (xyz) dxdydz，其中E为长方体区域0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 3，0 ≤ z ≤ 4七、级数(1) Σ (1/n^2)，n从1到∞(2) Σ (n/(n+1)^2)，n从1到∞(3) Σ ( (1)^n / n )，n从1到∞(1) Σ (x^n / n)，n从1到∞(2) Σ (n! x^n)，n从0到∞(3) Σ ( (n^2 + 1)^n x^n )，n从0到∞八、微分方程的应用(1) 物体在空气中自由下落，其速度v与时间t的关系，已知阻力与速度成正比。

多元函数极限与连续性例题和知识点总结在高等数学的学习中，多元函数的极限与连续性是一个重要的知识点。

理解和掌握这部分内容对于进一步学习多元函数的微分、积分等概念具有基础性的作用。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨多元函数极限与连续性的相关知识。

一、多元函数极限的定义设函数＄z ＝ f(x, y)＄的定义域为＄D$，＄P_0(x_0, y_0)＄是＄D$ 的聚点。

如果对于任意给定的正数＄＼varepsilon$，总存在正数＄＼delta$，使得当点＄P(x, y) ＼in D ＼cap ＼left\｛（x, y) ｜＼sqrt{（x x_0)＾2 ＋（y y_0)＾2} ＜＼delta ＼right\｝＄时，都有＄｜f(x, y) A| ＜＼varepsilon$ 成立，那么就称常数＄A$ 为函数＄f(x, y)＄当＄（x, y) ＼to （x_0, y_0)＄时的极限，记作＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x, y) ＝ A$二、多元函数连续性的定义如果函数＄z ＝ f(x, y)＄在点＄（x_0, y_0)＄的某邻域内有定义，且＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x, y) ＝ f(x_0, y_0)＄则称函数＄f(x, y)＄在点＄（x_0, y_0)＄处连续。

三、例题解析例 1：求＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2}＄解：当＄（x, y)＄沿着直线＄y ＝ kx$ 趋近于＄（0, 0)＄时，＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{kx^2}｛x^2 ＋ k^2x^2} ＝＼frac{k}｛1 ＋ k^2}＄由于＄k$ 的取值不同，极限值不同，所以该极限不存在。

例 2：讨论函数＄f(x, y) ＝＼begin{cases} ＼frac{x^2y}｛x^4 ＋y^2}，＆（x, y) ＼neq （0, 0) ＼＼ 0, ＆（x, y) ＝（0, 0) ＼end{cases}＄在点＄（0, 0)＄处的连续性。