(完整版)隐函数的求导方法总结

隐函数求导的基本步骤与方法有哪些什么是隐函数说到函数的解题方式，其实也是有很多种的，数学并没有我们想象中的这么枯燥。

店铺这带你们去了解一下隐函数求导的基本步骤与方法有哪些，感兴趣的朋友快过来围观哦。

隐函数求导的基本步骤与方法有哪些1、隐函数求导的基本原则对于隐函数求导一般不赞成通过记忆公式的方式来求需要计算的导数，一般建议借助于求导的四则运算法则与复合函数求导的运算法则，采取对等式两边同时关于同一变量的求导数的方式来求解。

即用隐函数求导公式推导的方式求隐函数的导数。

这样的方式不管对于具体的函数表达式还是抽象函数描述形式都适用。

具体过程可以参见下面列出的课件!2、多元复合函数求导数的基本步骤(1)确定最终函数与最终变量。

(2)通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。

(3)关键：绘制变量关系图。

(4)链式法则：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导。

从最终函数到最终变量有几条路径就有几项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数;依据这个法则，就可以直接非常准确地写出计算式。

(5)完成计算。

【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构一样。

【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，一般先进行四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使用复合函数求导法则进行计算，将计算得到的结果代入原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。

什么是隐函数隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。

设F(x,y)是某个定义域上的函数。

如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。

记为y=y(x)。

显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。

隐函数求导法一、隐函数求导法1、原理及注意事项。

隐函数的导数在隐函数为连续型或可微型的情况下才能进行讨论。

隐函数在有限区间[0， +infty)上连续或可微时可采用“隐函数求导”的方法来推断其导数，即由隐函数的表达式通过隐函数求导公式，求出其导数值。

注意：隐函数为分段函数时不能采用此方法。

2、例题7。

已知f(x)在[-infty， 0]上连续， f(x)=-f(x+3/2)， x∈[0， -infty)。

f(x)=-1，求导数f'(x)=-2*3/2-1*3/2=3/2。

f'(x)=-6*3/2=18/24、解题方法：①如果对方程求导，得到f(x)与f'(x)，那么，我们可以直接求出f'(x)，再利用“一般的导数求导公式”就能求出f(x)。

②如果对方程求导，得到f'(x)与f''(x)，那么，我们也可以先求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”求出f'(x)。

3、注意事项：隐函数求导不仅适用于连续和可微两种情形，而且可以在处处不等价的情形中运用。

对于处处不等价的情形要注意“极限的思想”。

二、分段函数的导数1、原理及注意事项。

在研究分段函数时，有些函数(如正弦、余弦函数)的导数也可用“隐函数求导”的方法来求，这是因为有些分段函数虽然各段不等，但导数仍满足一定的条件。

在此介绍几个典型的例子。

这种做法是直接利用一般的导数求导公式求出隐函数，同时求出一般的导数。

隐函数的导数也称为隐函数的“因式分解”。

2、例题3、解题方法：①如果对方程求导，得到f'(x)与f''(x)，那么，我们可以直接求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”就能求出f'(x)。

②如果对方程求导，得到f''(x)与f''(x)，那么，我们也可以先求出f''(x)，再利用“一般的导数求导公式”求出f'(x)。

河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日摘要 (3)一．隐函数的概念 (3)二．隐函数求偏导 (3)1.隐函数存在定理1 (3)2.隐函数存在定理2 (3)3.隐函数存在定理3 (3)三. 隐函数求偏导的方法 (3)1.公式法 (3)2.直接法 (3)3.全微分法 (3)参考文献 (3)摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法一．隐函数的概念一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。

例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与其对应。

如等时时321,10=-===y x y x 。

二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。

，y 。

）在某一领域内具有连续偏导数，且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。

，y 。

）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有yxy F F d d x -=。

例1:验证方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dxdy在x=1处的值。

解 令),(y x F =2x -2y ,则x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有dx dy =y x F F -=y x 22=yx故1=x dxdy =)1,(!yx=1 2.隐函数存在定理 2 设函数()z y x F ,,在点）（ z y x P ,,的某一邻域内具有连续偏导数，且）（ z y x F ,,=0，0,,≠）（ z y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点() z y x ,,的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件() y x f z ,=并有zy z x F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂,。

关于隐函数的三种求导法
隐函数的三种求导方法如下：
一、隐函数求导法则
隐函数求导法则和复合函数求导相同。

由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y ²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法
方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;
方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;
方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。

在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。

本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。

一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。

对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。

但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。

假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。

隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。

2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。

3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。

这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。

1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。

2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。

3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。

4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。

隐函数的求导公式
在微积分中，隐函数是一种由x和y的关系表示的函数，其中y是x 的函数表示，但是y的显式表达式未给出。

在一些情况下，我们需要求解隐函数的导数，以找到关于x的斜率。

隐函数的求导公式是一种用于计算这个导数的公式。

在此文章中，我们将介绍具有一个独立变量和一个因变量的隐函数的求导公式。

假设我们有一个由x和y的关系表示的隐函数：
F(x,y)=0
我们将假设这个函数可以在一些区域上对x和y进行微分，因此我们可以得到以下的链式法则：
∂F/∂x+∂F/∂y*∂y/∂x=0
我们可以通过这个公式来求解y对x的导数
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
这个公式是隐函数的求导公式的基础。

它使用了偏导数的概念，表示了在一个多变量函数中相对于单个变量变化的速度。

偏导数通过将其他变量视为常数来计算，从而提供了函数对特定变量的变化率。

应用隐函数的求导公式的一个例子如下：
假设我们有一个由隐函数表示的圆的方程式：
x^2+y^2=r^2
该方程表示了半径为r的圆。

我们希望计算圆上点的斜率的导数。

因此，我们首先需要将方程转化为隐函数的形式。

我们可以得到：
F(x,y)=x^2+y^2-r^2=0
然后，我们计算偏导数：
∂F/∂x=2x
∂F/∂y=2y
接下来，我们将这些偏导数代入隐函数的求导公式：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y) = - (2x) / (2y) = - x / y 这个导数表示了圆上点的斜率，对于每一个特定的点。

总结:。

隐函数求导问题的方法总结在微积分中，斜率是重要的概念。

它表明一个函数在某个点发生变化时，函数另一个参数的变化量。

在微积分中，求斜率就是求导，这是微积分中最常见的问题，也是学习微积分的基础。

求导的方法有很多种，但是在某些情况下可能出现隐函数的情况，而求解隐函数求导就比较困难，尤其是函数中有多个隐函数，一般情况下，很难一次性求出所有隐函数的导数。

首先，在求导之前，需要将隐函数显式化，从而简化计算。

比如，若有f（x）= y2+2xy-1，其中y是一个隐函数，那么可以将f （x）= (y+1)2-2，将f（x）显式化后，求y的导数则变得简单，可以用隐函数法求得。

其次，如果隐函数有多个，这样的情况就比较复杂。

一般情况下，推荐使用局部导数的方法，也就是把所有函数限制在某一个点，然后分别求各个函数的局部导数，直到求出所有隐函数的导数，局部导数法特别适用于多变量、多个隐函数的情况。

另外，对于非线性的隐函数求导，可以使用链式法则来进行求导。

这种方法要求对每个变量都求得一个导数，然后根据链式法则将这些导数进行组合，得到总的导数，链式法则很容易并且计算量不大，适用于各种多变量的情况。

最后，可以使用函数的分部展开的方法来求解隐函数求导。

这种方法要求将隐函数先转化为一个级数，然后求出各项系数，最后根据分部展开法则求出导数。

这样求出来的导数比较准确，所以使用分部展开的方法来求解隐函数求导是一个不错的选择。

总之，求隐函数求导的方法有很多，以上是其中的几种，选择正确的求导方法可以加快计算速度，提高计算精度，使求导过程更加顺利。

另外，学习微积分时，要多加练习，熟练掌握各种求导方法，才能使得解决问题更加轻松。