分式的意义和性质
一、分式的概念
1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做
分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不
一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有
意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.〔1〕分式：，当B=0时，分式无意义。
〔2〕分式：，当B≠0时，分式有意义。
〔3〕分式：，当时，分式的值为零。
〔4〕分式：，当时，分式的值为1。
〔5〕分式：，当时，即或时，为正数。
〔6〕分式：，当时，即或时，为负数。
〔7〕分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的根本性质：
1、学习分式的根本性质应该与分数的根本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：〔M为不等于零的整式〕
3、学习根本性质应注意几点：
〔1〕分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；
〔2〕易犯错误是只乘〔或只除〕分母或只乘〔或只除〕分子；
〔3〕如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法那么的依据是分式的根本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如以下式子：
，。
四、约分：
1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的根本性质。
3、约分的方法：
〔1〕如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中一样因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出以下各式中哪些是整式，那些是分式？〔1〕〔2〕〔3〕
〔4〕
〔5〕a2-a〔6〕。
解：根据分式定义知〔1〕、〔2〕、〔3〕是分式，〔4〕、〔5〕、〔6〕是整式。
说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式，不能因为==a+b，而认为是整式，a+b是分式的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母中有π，但π不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。
例2，在分式〔1〕〔2〕〔3〕中，字母x的值有什么限制？
解：〔1〕在中，当x=2时，使得分母x-2=0，∴x≠2,
〔2〕在中，当x=-2时，使得分母x+2=0, ∴x≠-2,
〔3〕在中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0，
∴x≠-2且x≠3。
例3，x为何值时，分式，〔1〕无意义；〔2〕值为零；〔3〕值为1；〔4〕值为非负数。
解：〔1〕∵当分母2x+3=0时分式无意义，∴x=-时，分式无意义。
〔2〕∵当时，分式值为零。∴，∴x=1时分式值为零。
〔3〕∵当时，分式值为1，∴x=-4时分式值为1。
〔4〕∵当或时，分式值为非负数。
∴或∴x≥1或x<-时分式值为非负数。
例4，当x取何值时，分式〔1〕值为零；〔2〕无意义；〔3〕有意义。
解：〔1〕∵当(x+3)(x-1)≠0时，分式有意义，∴当x≠-3且x≠1时分式有意义。
又∵6-2|x|=0时分式值为零，那么3-|x|=0, ∴|x|=3, ∴x=±3。
∴，∴x=3时分式值为零。
〔2〕∵(x+3)(x-1)=0分式无意义，
即x+3=0或x-1=0，∴x=-3或x=1时分式无意义。
说明：对于〔1〕也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=±3后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。
对于〔2〕当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或〞字的使用。
解：〔3〕∵(x+3)(x-1)≠0时分式有意义。
即x+3≠0且x-1≠0时，∴x≠-3且x≠1时分式有意义，
说明：对于〔3〕分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)≠0，当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x≠-3且x≠1，用“且〞字，而不用“或〞字。意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0，而使分式都会无意义。
例5，写出等式中未知的分子或分母：
〔1〕；〔2〕；〔3〕；
〔1〕分析：这类问题要从条件入手，根据分式的根本性质，分析变化的过程，如〔1〕右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。
解：，∴未知的分子是(x-y)2,
〔2〕分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。
解：=，未知的分母是b。
〔3〕∵a2+ab=a(a+b)〔将分子因式分解〕
∴〔比拟分子，发现分子、分母同乘以a〕
=，2ab即为所求的分母。
例6，把以下分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。
〔1〕；〔2〕；
〔1〕分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数根本性质，分子和分母同乘以15。
解：=。
〔2〕解：==
注：必须乘以分子和分母的每一项，防止发生(0.2a+3b)×10=2a+3b这样的错误。
例7，不改变分式的值，使以下分式中分子与分母不含“-〞号，〔1〕-；〔2〕-。
