浙江大学2006年高等代数试题解答

2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 一、()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，证明：()|()f x g x 。

（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明：1b 也是()f x 的根。

Proof ：（1）()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有以下两种情形：01()|()f x g x , 02 ((),())1f x g x =下证不可能是情形二。

（反证法）若不然为情形二，就是((),())1f x g x =则(),()[].()()()()1(*)u x v x P x s t u x f x v x g x ∃∈+=由已知条件，f 与g 有一公共复根（设为α），则()()0f g αα==，将α代入(*)中得到10=的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设b 是()f x 的任一根，下证1()0f b =。

证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编20P第42题.二、计算行列式210...000121...000........000 (012)n D =Solution:我们已经知道：1111,1(1),1n n n n αβαβαβαβαβαβαβαβαββαβαβ+++++⎧-≠⎪=+-⎨⎪+=⎩+在此结论中令1αβ==，知1n D n =+三、（1）A 是正定矩阵，C 是实对称矩阵，证明：∃可逆矩阵P .s t ,P AP P CP ''同时为对角形Proof: (1)A 正定，∴ ∃可逆矩阵T 使得T AT E '=，此时T CT '还是对称的，∴∃ 正交矩阵M 使得M T CTM ''为对角形，令P TM =，此时P AP E '=P CP '是对角形，得证！（2）由（1）知P ∃非异s.t 12n P AP E P ABP λλλ'=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩所以112n P BP λλλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故AB 正定⇔0,1,2,,i i nλ>=得证！！四、设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B A 与可交换的充分必要条件是B 是121,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换。

浙江大学2006年数学分析试题解答（一）1) 证明：我们{n x }是单调有界数列，首先证明它是单调递减的。

取1x n =,即有11log(1)1n n +≥+，这也就证明了{n x }是单调递减数列，然后证明它也是有界的。

所以{n x }是单调有界数列，极限存在。

2）解：由1)知{n x }的极限存在，我们令11lim lim 1log()2n n n x n n γ→∞→∞⎛⎫=+++-= ⎪⎝⎭ 则有：111log()(1)2n n γο+++=++，111log(2)(1)22n nγο+++=++， 所以 111lim ...lim(log 2(1))log 2122n n n n n ο→∞→∞+++=+=++。

2(15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的，证明:为线性函数.证明：首先证明()()()()()f b f a f x x a f a b a-≤-+-。

作函数()()()()()()()()f b f a G x f x x a f a x a x b b a ε-=---+---， 则()()0G a G b ==。

我们可以得到结论0()0.G x x ≤事实上假设存在一点，使得()1()0,G x x >则a,b 必有最大值点，不仿设其中之一为，1δ则存在，1δδ<使得当时 111111()(),()()f x f x f x f x δδ+≤-≤11111()()2()f x f x f x δδ++-≤有，k r 数列收敛于零,所以____1112()()2()lim 0,k k k kG x r G x r G x r →∞++--≤但是 1112()()2()lim 20,k k k k G x r G x r G x r ε→∞++--=>矛盾。

1。

解：由题意可知1123212233131231,1,1δλλλδλλλλλλδλλλ=++=-=++=== 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++=()()()()()()2212233121312312122324231g g g g g g λλλλλλδδδδδδδδδδ++=-+-+-+++=-()()()22123311223313212213g g g λλλδδδδδδδδδδδ=++++--++=-故()323p x x x x =--+2。

证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。

如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。

解：由于()111n nk jk k k j nD x xx =≤<≤=-∏∏，又可知()()12111111121111*********112111111n ni i i i i n n n n k j k i i i i i k k j nn n i i i i i n nnnn nnn nx x x x yx x x x y y x x x x x x x y x x x x y x x x x y -------=≤<≤-+++++--=--∏∏ 从而知()()()()1111111nn i n i i i i ijk k j nD yxx y δ+-----≤<≤-=--∏即()1ni ijk k j nD xx δ≤<≤=-∏，从而知()111nnn i i j k i i k j n D x x δ==≤<≤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∏ 4。

解；由于11TT A E XYY X α=+=+=+从而()1当1α≠时，A 可逆()2由于当1α=时()()()111n T TE E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特征多项式为()11n λλ--故()1rank A n =-，又()()()1TTrank A E rank X Y rank YX-===从而()()rank A rank A E n =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化5。

目　录2012年浙江大学601高等代数考研真题2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题2004年浙江大学341高等代数考研真题2003年浙江大学344高等代数考研真题2002年浙江大学365高等代数考研真题2001年浙江大学359高等代数考研真题2000年浙江大学226高等代数考研真题1999年浙江大学高等代数考研真题及详解2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明的行列式等于.二、设是阶幂零矩阵满足，.证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩.三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合.四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.五、设.当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵；求时矩阵的标准型.六、令二次型.求次二次型的方阵；当均为实数，给出次二次型为正定的条件.七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的.八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间.证明；证明若是有限维线性空间，则；举例说明，当时无限维的，可能有，且.九、令.求阶秩为的矩阵,使得（零矩阵）；假如是满足的阶矩阵，证明：秩.十、令是有限维线性空间上的线性变换，设是的不变子空间.那么，的最小多项式整除的最小多项式.2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题浙江大学2009年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（360）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。

一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。

目　录2012年浙江大学601高等代数考研真题2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题2004年浙江大学341高等代数考研真题2003年浙江大学344高等代数考研真题2002年浙江大学365高等代数考研真题2001年浙江大学359高等代数考研真题2000年浙江大学226高等代数考研真题1999年浙江大学高等代数考研真题及详解2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明的行列式等于.二、设是阶幂零矩阵满足，.证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩.三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合.四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.五、设.当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵；求时矩阵的标准型.六、令二次型.求次二次型的方阵；当均为实数，给出次二次型为正定的条件.七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的.八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间.证明；证明若是有限维线性空间，则；举例说明，当时无限维的，可能有，且.九、令.求阶秩为的矩阵,使得（零矩阵）；假如是满足的阶矩阵，证明：秩.十、令是有限维线性空间上的线性变换，设是的不变子空间.那么，的最小多项式整除的最小多项式.。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A=|x ｜－1≤x ≤2|，B=|x|0≤x ≤4|，则A ∩B= （A ）．[0，2] （B ）．[1，2] （C ）．[0，4] （D ）．[1，4] （2）在二项式（x+1）6的展开式中，含x 3的项的系数是 （A ）．15 （B ）．20 （C ）．30 （D ）．40 （3）抛物线y 2=8x 的准线方程是 （A ）x=－2 （B ）x=－4 （C ）y=－2 （D ）y=－4 （4）已知,0log log 2121<<n m 则（A ）n ＜m ＜1 （B ）m ＜n ＜1 （C ）1＜m ＜n （D ）1＜n ＜m（5）设向量a ，b ，c 满足a+b+c=0，且a ⊥b ，|a|=1，|b|=2，则|c|2= （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）5 （6）函数f （x ）=x 3－3x 2+2在区间[－1，1]上的最大值是 （A ）－2 （B ）0 （C ）2 （D 4 （7）“a ＞0，b ＞0”是“ab ＞0”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （8）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别为（A ）2（B ）3（C ）5（D 7（9）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x ，表示的平面区域的面积是（A ）24（B ）4（C ）22（D ）2（10）对a 、b ∈R ，记⎩⎨⎧<≥=ba b ba ab a ,,|,|max 函数)(||2||,1||max )(R x x x x f ∈-+=的最小值是（A ）0（B ）21 （C ）23 （D ）3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

1AA ECB1B1C1F2006年高等学校全国统一数学文试题（浙江卷）第⎺卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，查每小题做出的四个选择中，只有一道是符合要求的．1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = （ ）Ａ．[]02，Ｂ．[]12，Ｃ．[]04，Ｄ．[]14，2．在二项式()41x +的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）Ａ．15Ｂ．20 Ｃ．30Ｄ．403．抛物线28y x =的方程是（ ） Ａ．2x =-Ｂ．4x =- Ｃ．2y =-Ｄ．4y =- 4．已知1122log log 0m n <<，则（ ）Ａ．1n m <<Ｂ．1m n << Ｃ．1m n <<Ｄ．1n m <<5．设向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a b ⊥，1a =，2b =，则2c =（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．4 Ｄ．56．函数()3232=-+f x x x 在区间[]11-，上的最大值是（ ）Ａ．2-Ｂ．0 Ｃ．2Ｄ．47．“0a >，0b >”是“0ab >”的（ ）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件8．如图，正三棱柱111-ABC A B C 的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，11AC 的中点， 则EF 的长是（ ）Ａ．29．在平面直角坐标系中，不等式组20200+-⎧⎪-+⎨⎪⎩，，x y x y y ≤≥≥表示的平面区域的面积是（ ）Ａ．4Ｃ．210．对a b ∈R ，，记作{}max a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩，，，，．≥函数(){}()max 12f x x x x =+-∈R ，的最小值是 Ａ．0Ｂ．12Ｃ．32Ｄ．3二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，共16分．11．不等式102+>-x x 的解集是_________． 12．函数2sin cos 1y x x =-，x ∈R 的值域是_________．13．双曲线221-=x y m上的点到右焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于_________． 14．如图，正四面体ABCD 的棱长为1，平面α过棱AB ，且CD α∥， 则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是_________． 三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分． 15．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且134S S S ，，（1）求数列134S S S ，，的公式； （2）若34S =，求{}n a 的通项公式．16．如图，函数2ln(π)y x ϕ=+，x ∈R （其中02ϕπ≤≤）的图象与y 轴交于点(01)，．xA B C D P M N（1）求ϕ的值；（2）设P 是图象上的最高点，M N ，是图象与x 轴的交点，求PM 与PN17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，90AD BC BAD ∠=︒∥，，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N ，分别为PC PB ，的中点．（1）求证：PB DM ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角．18．甲、乙袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球．（1）若3n =，求取到的4个球全是红球的概率； （2）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n ． 19．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与过点(20)A ，，(01)B ，的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e =（1）求椭圆方程；（2）设1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121|||||2AT AF AF = 20．设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)(1)0f f >，求证：（1）方程()0f x =有实数；（2）21ba-<<-；（3）设12x x ，是方程()0f x =的两个实根，则122||33x x -<．2006年高等学校全国统一数学文试题（浙江卷）参考答案一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。

--------- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- ：---业---专---考---报---- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- -校---学---考线报封__密_-_--_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-：---号---证---考---准---_--_--_-_--_- -_ -_- -_--_-_--_--_-_--：---名---姓--------------------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷-------------------- 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷考试说明： 1、考试时间为150分钟； 2、满分为150分； 3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）若在连续，则曲线在处的切线方程为 . 3. 设函数，则其导数为＝ 5. 设，则曲线与直线，及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周，所得旋转体体积为 . 7. 微分方程的通解为若级数收敛，则的取值范围是二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）第 1 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------xarctanx=（）. x→-∞x+1ππ (A) (B) - (C) 1 (D) 不存在 221．lim2. 当x→0时，f(x)=x-sinx 是比 x的（）.(A) 高阶无穷小 (B)等价无穷小(C)同阶无穷小 (D)低阶无穷小 23.级数为（）. n=∞(A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C) 发散 (D)无法判断4.曲线y=x与直线y=1所围成的图形的面积为（）. (A) 223 (B) (C)344 (D)315.广义积分⎰+∞0xdx为（）. 3(1+x)(A) -1 (B) 0 (C)-1 (D)21 2三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题6分，共60分）1.⎰计算极限limx→0x0tantdtx2.第 2 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------2．计算函数y=x的导数 y'. 3 计算由隐函数 e=xlny确定的函数 y=f(x)的微分dy.第 3 页，共8页 y------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------4.判别正项级数5. 计算不定积分6. 求幂级数n=1∞+1)的敛散性. n2 n=0∑3∞nx2n的收敛半径与收敛区间.第 4 页，共8页--------- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- ：---业---专---考---报---- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- -校---学---考线报封__密_-_--_--_-_--_--_-_--_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-：---号---证---考---准---_--_--_-_--_- -_ -_- -_--_-_--_--_-_--：---名---姓--------------------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷-------------------- 7. 计算定积分⎰π20xsinxdx 8. 计算微分方程dyxdx=(1+y2)y(1+x2)满足初始条件 y(0)=1的特解. 9. 计算函数 y=sin(lnx)的二阶导数 y''.第 5 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------10. 将函数 y=lnx展成(x-1)的幂级数并指出收敛区间.四．综合题：（本题共4个小题，共30分）1. [本题7分] 设0<a<b，证明不等式 an-1bn-an<<bn-1n(b-a)(n=2,3, )第 6 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------22．[本题7分]设函数f(x)=x2-⎰f(x)dx，求f(x)在区间[0,2]上的最大0值与最小值.⎧3. [本题8分] 设f(x)=⎪⎨xαsin1x,x≠0，⎪⎩0,x=0试问α在什么范围时,（1）f(x)在点x=0连续；（2）f(x)在点x=0可导.第 7 页，共8页α为实数）（------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------x04．[本题8分] 若函数f(x)=⎰(x-t)f(t)dt+ex，求f(x).第 8 页，共8页------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷--------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷（A）参考答案及评分标准考试说明：1. 考试时间为150分钟；2. 满分为150分3. 答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4. 密封线左边各项要求填写清楚完整。

第 1 页 共 5 页浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题考试科目：高等代数科目代号：341注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！{},(,)0(,)0(,)0(,)0,0(,)i i i A B B A B A A B rankArank A b xA x A b x A B x A b i xA rankA rank A B =⇒=⇔==⇔=∀⇔=⇒===Q ：一、(15分)矩阵具有相同的行数，把的任意一列加到得到矩阵秩不变，证明:把的所有列同时加到上秩也不变.:法一：取的列向量的极大线性无关组，那么知道的任何列都可以由这些向量线性表（行出，从而得结论。

法二秩列秩矩阵证的秩）明而11121212221211121212221.....................(2)..................n n n n nn n n n x a xa x a x a x a x a x D a xa xa xD a xa x a xa xa x a x D a ++++++=+++++++++=+二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按的幂次排列的多项式把行列式的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变.)证明：(11112121112212212111212111121211122122121112212211112121......................................................n n nn nn n n nn n nn n nnn n nn na xa x a x a a a a a a xa xa x a a a a a a a a a xx x a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++---=++---------=+---111212121112212211,1112121............11...1..................(),n n nn nn niji j n n n nn nij n n ij ija a a a a a a a a a a a A xA x A a a a a a a A a A A a ≤≤⨯------=+=+---=∑为中的代数余子式。

攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 一、()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，证明：()|()f x g x 。

（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明：1b 也是()f x 的根。

Proof ：（1）()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有以下两种情形：01()|()f x g x , 02 ((),())1f x g x =下证不可能是情形二。

（反证法）若不然为情形二，就是((),())1f x g x =则(),()[].()()()()1(*)u x v x P x s tu x f x v x g x ∃∈+=由已知条件，f 与g 有一公共复根（设为α），则()()0f g αα==，将α代入(*)中得到10=的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设b 是()f x 的任一根，下证1()0f b =。

证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编20P 第42题.二、计算行列式210...000121...000........000...012n D =Solution:我们已经知道：1111,1(1),1n n n n αβαβαβαβαβαβαβαβαββαβαβ+++++⎧-≠⎪=+-⎨⎪+=⎩+在此结论中令1αβ==，知1nD n =+三、（1）A 是正定矩阵，C 是实对称矩阵，证明：∃可逆矩阵P .st,P AP P CP ''同时为对角形 Proof: (1)A 正定，∴ ∃可逆矩阵T 使得T AT E '=，此时T CT '还是对称的，∴∃ 正交矩阵M 使得M T CTM ''为对角形，令P TM =，此时P AP E '=P CP '是对角形，得证！（2）由（1）知P ∃非异s.t 12n P AP E P ABP λλλ'=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩所以112n P BP λλλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故AB 正定⇔0,1,2,,i i n λ>=得证！！四、设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B A 与可交换的充分必要条件是B 是121,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换。