浙江大学2016年高等代数

浙江大学
攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目高等代数（A卷）编号 601 注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或者草稿纸上均无效。

本试卷共计十道试题，每题满分15分；用E表示单位矩阵，矩
阵A的转置矩阵表示为.
1.如果），且n阶方阵A有一个
特征值等于1，证明都不是可逆矩阵。

2.解下列方程组：
3.设n阶方阵A的伴随矩阵为，当时，证明
.
4.设n阶方阵A满足证明是不可逆矩
阵。

5.设是欧式空间的常用基，
一个矩阵P被称为置换矩阵假如存在一个全排列阶
使得矩阵，例如
就是一个四阶置换矩阵，假如n方阵A的秩等于r，证明存在置换矩阵使得，其中的秩等于r。

6.设是实数域上三维线性空间，定
义，证明T是V上的线性变换，并求其特征值和特征向量。

7.设B是实数域上矩阵，，对任意一个大于零的
常数a，证明定义了一个内积使得成为欧式空间，其中表示列向量的转置，E表示单位矩阵。

8.试证明满足的n阶方阵A都相似于一个对角矩阵。

9.假设是半正定矩阵，证明满足的所有
组成的维子空间。

10.已知矩阵，求矩阵，使为
若当（）标准型。

浙江省2016年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。

题号12345答案ACAAC1.A 解析:取整函数[]x 的图像可知，[]x x x ≤<-1，所以[]01≤-<-x x ，所以函数[]x x -是有界函数，所以选项A 正确。

2.C 解析:选项A ：错，反例：3)(x x f =在0=x 处可导，且0)0(='f ，但却是非极值选项B 错，反例：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='0,00,1cos 1sin 2)(x x xx x x f ，明显)(x f '在0=x 处不连续选项C 对，因为针对于一元函数，可导必定可微，可微也必定可导选项D 错，反例：2)(x x f =，0)0(='f ，但却是非拐点3.A 解析:111011)]([)1()())(()]([)(x f f dx x f x f x x f d x dx x f x -'='-'='=''⎰⎰⎰2)01(3))0()1((3=--=--=f f ，可见选项A 正确。

4.A 解析:x ax b a b a x x n n n n n n n 1lim )(111=+⋅+=+++∞→ρ，令11)(<=x a x ρ，解得：()a a x ,-∈，因此收敛区间为：()a a ,-，收敛半径为：a R =。

故选A5.C 解析:特征方程为：012=++r r ，043)21(2=++r ，即：i r 2321±-=，因为i i +=+0ωλ不是012=++r r 的根，所以：0=k 。

所以sin '''++=y y y x x 的特解形式可设为：x d cx x b ax y cos )(sin )(*+++=，可见选项C 正确。

2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 一、()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，证明：()|()f x g x 。

（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明：1b 也是()f x 的根。

Proof ：（1）()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有以下两种情形：01()|()f x g x , 02 ((),())1f x g x =下证不可能是情形二。

（反证法）若不然为情形二，就是((),())1f x g x =则(),()[].()()()()1(*)u x v x P x s t u x f x v x g x ∃∈+=由已知条件，f 与g 有一公共复根（设为α），则()()0f g αα==，将α代入(*)中得到10=的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设b 是()f x 的任一根，下证1()0f b =。

证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编20P第42题.二、计算行列式210...000121...000........000 (012)n D =Solution:我们已经知道：1111,1(1),1n n n n αβαβαβαβαβαβαβαβαββαβαβ+++++⎧-≠⎪=+-⎨⎪+=⎩+在此结论中令1αβ==，知1n D n =+三、（1）A 是正定矩阵，C 是实对称矩阵，证明：∃可逆矩阵P .s t ,P AP P CP ''同时为对角形Proof: (1)A 正定，∴ ∃可逆矩阵T 使得T AT E '=，此时T CT '还是对称的，∴∃ 正交矩阵M 使得M T CTM ''为对角形，令P TM =，此时P AP E '=P CP '是对角形，得证！（2）由（1）知P ∃非异s.t 12n P AP E P ABP λλλ'=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩所以112n P BP λλλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故AB 正定⇔0,1,2,,i i nλ>=得证！！四、设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B A 与可交换的充分必要条件是B 是121,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换。

目　录2012年浙江大学601高等代数考研真题2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题2004年浙江大学341高等代数考研真题2003年浙江大学344高等代数考研真题2002年浙江大学365高等代数考研真题2001年浙江大学359高等代数考研真题2000年浙江大学226高等代数考研真题1999年浙江大学高等代数考研真题及详解2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明的行列式等于.二、设是阶幂零矩阵满足，.证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩.三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合.四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.五、设.当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵；求时矩阵的标准型.六、令二次型.求次二次型的方阵；当均为实数，给出次二次型为正定的条件.七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的.八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间.证明；证明若是有限维线性空间，则；举例说明，当时无限维的，可能有，且.九、令.求阶秩为的矩阵,使得（零矩阵）；假如是满足的阶矩阵，证明：秩.十、令是有限维线性空间上的线性变换，设是的不变子空间.那么，的最小多项式整除的最小多项式.。

二〇〇七年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目： 高等代数 编号： 741一、（17分）设整系数的线性方程组为,证明该方程组对任意整数都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于． ),..2,1(,1n i b x a i j nj ij ==∑=n b b b ,..,,211±二、（17分）计算阶行列式, 其中．(1n n >)2−1211232341112...........................n n n n nn n ns s s s s s s s s s s s s s s −+−+⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠kn k k k x x x s +++=...21三、（17分）设矩阵,,A B C 满足有意义.求证： ABC ()()()AB BC B ABC +≤+秩秩秩秩.四、（17分）设s ξξξ,...,,21是某个齐次线性方程组的基础解系，而k ηηη,...,,21是该齐次线性方程组的个线性无关的解，并且k k s <s k −s ξξξ,...,,21.求证中必可取出个解，使得它们个k ηηη,...,,21一起构成原方程组的一个基础解系．五、（17分）设阶方阵(1n n >)A 满足其中,0652=+−E A A E 是阶单位矩阵．证明:n A 相似于对角矩阵；如果A 行列式等于是正整数).求与m n m m n m ,0(32<<−A 相似的对角矩阵． )(2R M V =六、（17分）假设22×是由实数域上所有矩阵构成的实数域上向量空间.1112,11A B λ−⎛⎞⎛==⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝1⎞⎟⎠λ,其中是参数. 是V 上的线性变换. （1）证明 AXB X =)(ϕ1−≠λ（2）当ϕ时,证明是可逆线性变换. 1−=λ（3）当ϕ时,求线性变换的核和值域.（4）在值域中取一组基,并把它扩充成V 的基,求线性变换ϕ在这组基下的矩阵．222211λλλλλλλλλ⎛⎞−⎜⎟−⎜⎜⎟+−⎝⎠λ七、（16分）求-矩阵⎟的初等因子和不变因子． 8111181111811118A −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠八、（16分）已知矩阵 123412341234(,,,)(,,,)(,,,)T f x x x x x x x x A x x x x =（1）求二次型； （2）用正交线性替换化二次型为标准型；),,,(4321x x x x f （3）证明定义了βαβαA T =),(α4R 4R 上的内积，其中βα,是的列向量，是T α的转置，并求在该内积下4R 的一组标准正交基；（4）求实对称矩阵B 使得A B k =,其中为正整数(只要写出k B 的表达式，不必计算其中的矩阵乘积)． 九、（16分）设, 其中是互不相同的整数．证明n a a a ,...,,211)()()()(22221+−⋅⋅⋅−−=n a x a x a x x f ()f x 是有理数域上的不可约多项式.。

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。

一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。

浙江大学2016数学专业复试真题(回忆版、不全)
castelu∗
2016-3-1823:08
请从以下七部分任选三部分作答，每题25分，共150分。

1.常微分方程
(a)p为何值时，边值问题y′′+2y′+py=0,y(0)=0,y(1)=0有非零解;若p(x)在(−∞,+∞)连续，
p(x)<1+π2，证明：边值问题y′′+2y′+p(x)y=0,y(0)=0,y(1)=0只有零解。

(b)证明初值问题解的存在和唯一性。

2.实变函数
(a)证明R n中的闭集可以表示成可列个开集的交，开集可以表示成可列个闭集的并。

(b)计算
lim
n→∞∫1
e−nx2d x,lim
n→∞
∫1
nx
1+n2x2
d x.
3.抽象代数
(a)群G的元数是n，它的一个子集是H，H的元数大于n
2
，证明由H生成的子群只能是G。

(b)K是域，K[x,y]是域上的二元多项式，证明x n y−1不可约。

4.复变函数
(a)叙述Morera定理并证明之（Cauchy定理的逆定理）。

(b)函数f(z)在实轴和虚轴上连续，在复平面其它区域解析，证明f(z)是整函数。

5.微分几何
(a)曲率，挠率，极小曲线，曲率线，待补充
6.计算方法
(a)LU分解，待补充
7.数学规划
(a)待补充
∗声明：今年考研复试期间，感谢H老师和其他老师的悉心指导，现已成功被浙大数学系录取，另外我已和本论坛坛友成为了2016届的同学，感谢这个论坛给我们提供这个平台！现将刚考完的试题回忆原创编辑回馈，转载请注明出处，若有版权纠纷可与我联系，谢谢！
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