112弧度制教学文档

1. 1任意角和弧度制1. 1.2弧度制一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算（5）角的集合与实数集人之间建立的一一对应关系.（6）使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制-一弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集人之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点：理解弧度制定义，弧度制的运用.在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、磅等不同的单位制。

不同的单位制能给解决问题带来方便。

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制-一弧度制.【探究新知】1.角度制规定：将一个周角分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360 度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？弧A3的长03旋转的方 向 ZAOB 的弧度 数 /A03的度 数 7ir 逆时针方向逆时针方向r 12r-2-71180° 180°2. 弧度制的定义［展示投影］把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 rad , 或1孤度，或1(单位可以省略不写).3. 探究:如图，半径为r 的圆的圆心与原点重合，角a 的终边与x 轴的正半轴重 合，交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如--2 n 等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的 弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角a 所对的弧长是/,那么a 的弧度数是 多少？ 角a 的弧度数的绝对值是：\a\=-，其中，Z 是圆心角所对的弧长，「是半径. 5. 根据探究中180° =兀rad 填空：1 =__ rad , Irad = __ 度显然，我们可以由此角度与弧度的换算了.6. 例题讲解例1.按照下列要求，把67°30'化成弧度：(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3. 14rad 换算成角度(用度数表示，精确到0. 001).注意：角度制与孤度制的换算主要抓住18O°=〃rad,另外注意计算器计算非特 殊角的方法.7.填写特殊角的度数与孤度数的对应表:度0°30°45°120°135°150°360°弧度71 y71~2713〃~2角的概念推广以后，在孤度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即孤度数等于这个实数的角)与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：(1) Z = a7? ; (2) S=-tz7?2 : (3) S = -IR.2 2其中R是半径，/是孤长，a(0 < tz < 2勿)为圆心角，S是扇形的面积.例4.利用计算器比较sinl.5和sin85°的大小.注意:弧度制定义的理解与应用，以及角度与弧度的区别.9.练习教材9.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗？(2)孤度制与角度制有何不同，你能熟练做到它们相互间的转化吗？五、评价设计1,作业：习题1. 1 A组第7,8,9题.2,要熟练掌握孤度制与角度制间的换算，以及异同.能够使用计算器求某角的各三角函数值.。

1.1.2 弧度制一、教学目标：1．理解1弧度的角的意义，了解弧度制的概念，领会定义的合理性；了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；2．在亲历知识的建构过程中，渗透数形结合、特殊到一般等思想方法；3．体验角度制与弧度制的区别、联系与转化，能进行角度与弧度的换算，牢记特殊角的弧度数。

二、教学重点与难点：1、教学重点：弧度制的概念；弧度与角度的换算2、教学难点：弧度制的概念 三、教学策略与手段：采用探究式教学，以问题串的形式引导学生得到弧度制的概念、深入理解概念并应用概念。

利用PPT 和几何画板课件静态动态相结合，展示1弧度的角，帮助学生深入理解概念。

六、教学基本流程：四、教学过程： （一）复习引入1、上节课我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。

这些角都是用“度”来度量的，这种用“度”作单位来度量角的制度称为角度制。

回忆一下，在角度制中，1度的角是如何定义的？弧长公式与扇形面积公式是什么？2、在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量重量时，可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制外，是否也能用不同的单位制呢？ （二）新课讲授问题一：圆心角︒=30n ，当半径r 为1，2，3，4时，计算圆心角n 所对弧长l 与半径r 的比值rl 。

（1）当圆心角不变，半径变化时，rl是定值；（比值是一个实数，因此是10进制，比角度的60进制用起来更习惯）（2）若半径不变，圆心角变化时，rl随圆心角的变化而变化。

因此，弧长与半径的比rl只与圆心角的大小有关，与半径大小无关，我们可以用这个比值来度量角，这就是度量角的另一种单位制——弧度制。

与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。

几何画板演示： （1）1弧度的角rl=1，此时l r =（是一个比︒60的角略小的角）。

〔三〕给出一般规律ɑ所对弧的长为L ，那么，角ɑ的弧度数的绝对值是|a|=rl 教师引导：继续观察上述表格，看一看∠AOB 的弧度数与∠AOB 的度数的符号有什么关系？〔建立角的集合与实数集之间的一一对应关系，而这种关系在表中很容易发现。

〕 （四）角度制与弧度制的换算360º = 2π rad 180º = π rad 学生回答公式，老师再次强调：必须熟记住180º = π rad ，这是知识的本源.只要记住方法弧度制与角度制的换算就会迎刃而解. 三、应用举例及课 堂练习约15分钟 课本第7页例题1：把67°30′化成弧度；补充：把〔1〕300 ，〔2〕-450化成弧度。

引导学生通过利用换算方法把度换算为弧度，在黑板上写出解题过程.〔强化弧度的表示.〕补充例题2：把(1)54π,(2) 2 化成角度。

引导学生解题，掌握弧度换算为角度的方法〔板书〕.并填写完下表.〔强化互化公式的应用〕再次阐述一一对应关系引入了弧度制之后，角和实数就存在了一一对应的关系〔阐明引入弧度制的优点之一.〕课堂练习：度 00300600 1200 1350 2700弧度4π2π65ππ2π2.将分针拨快15分钟，那么分针转过的弧度数是〔 〕 A -3π B 3π C -2π D 2π 3.5弧度的角所在的象限为〔 〕A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限〔对本节课的重点进行针对性的训练。

〕1，2，3题学生口答，教师多媒体展示，并再次强调互化的两种方法。

rad 01745.01801≈=︒π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；〖板书设计〗。

1、1、2 弧度制教学目标：知识目标1）理解 1 弧度的角的意义。

2）理解弧度制的定义，建立弧度制的概念。

能力目标1）掌握角度制与弧度制的换算公式并能熟练地进行角度制与弧度制的换算。

2）牢记特殊角的弧度数与角度数的互化。

情感目标通过弧度制一弧度角及弧度制定义的探索过程，培养学生主动探索、勇于发现的精神，渗透由特殊到一般的思想方法。

通过弧度制与角度制之间的联系及转化，渗透广泛联系，透过本质看问题的辨证唯物主义的思想。

重点：理解弧度的意义，正确进行弧度与角度的换算难点：弧度的概念，弧度制与角度制之间的关系教学方法：目标式教学课时：1 课时教学过程：一、复习引入和预习准备1.角分为几类？2.什么是象限角？什么是轴线角？3.与角终边相同的角的集合？第一象限角如何表示？二、创设情境，设置疑问初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的。

那么1 的角是如何定义的？规定周角的 1做为1 的角。

360我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它就可以计算弧长，公式为l =n r 。

180角度制是度量角的一种单位制。

单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制，古代常以人体的一部分作为长度的单位。

例如我国三国时期(公元三世纪初)王肃编的《孔子家语》一书中记载有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻。

”两臂伸开长八尺，就是一寻。

还有记载说：“十尺为丈，人长八尺，故曰丈夫。

”可见，古时量物，寸与指、尺与手、寻与身有一一对应的关系。

现在国际上通用的是国际单位制中的“米制” ，米的标准长度，等于光在真空中在 1/299792458 秒的时间间隔内所传播路径的长度。

“米制”教之“尺、寸……”应用起来要方便得多。

在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难。

那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来常识研究这种新单位制。

教学过程一、回顾复习1．把角的概念进行扩充后，角分为几类？2．角如何度量？1度的角是怎样定义的呢？这种用度作为单位来度量角的制度叫做角度制类似于长度，重量等都有不同的度量制，同样度量角，角度制也不是唯一的，本节课就来学一种新的度量角的制度——弧度制探究：（1）角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角α。

（2）在同心圆中，同一圆心角α所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，''-----=r r==弧AB 弧A B 即定值. （3）设n α︒=， AB 弧长为l ，半径为OA r =， 则22,360360r l l n n r ππ=⋅=⋅，可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与α的大小有关。

结论：可以用圆的半径作单位去度量角。

二新授1． 定义: 叫做1弧度的角，弧度记作rad 。

这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。

（今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad 可以略去不写）由定义可得圆心角的弧度制公式:注：(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；（2）1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的1360所对的圆心角的大小； （3）弧度制是十进制，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。

（5）角的概念扩充以后，无论是弧度制还是角度制，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系2．弧度制与角度制的换算思考：（1）周角是多少弧度？（2）︒1是多少弧度？1弧度是多少度？换算公式： 1rad=815730.57180'=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒π ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒1801πrad rad 01745.0≈.例1．（1）把11230︒'化成弧度（精确到0.001）；（2）把85π化成度.常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．例3．将下列各角化成2k π +α(k ∈Z ,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π； 631)2(π-．思考：-21是第几象限角？三．弧长公式与扇形面积公式：（1） 由即为弧长公式r l r l ⋅=⇒=||||αα（2）自己推导扇形的面积公式：lR S 21=.例4．（1）已知一个扇形的周长为498+π，圆心角为︒80，求这个扇形的面积.（2）已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.。

1.1.2弧度制一、教学目标：1．知识目标：（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。

2．能力目标：（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。

3．情感目标：（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点：重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；难点：理解弧度制与角度制的区别。

三、教学方法：通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。

从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。

通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。

四、教学过程：=定定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1的角，弧度记作rad。

这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。

角，又是角，同一个非零角180π= rad换算公式：rad=180⎛⎝180nπ⋅．特殊角的角度数与弧度数的对应表角的集合与实数集立起一种一一对应关系。

．把角度值n的一个“算法”：）给变量n近似值赋值；如果角度值秒”形式给出，为以“度”为单位的计算180π︒赋给变量a；计算na，赋值给变量，半径AB的长米）。

利用弧度制推导扇形2,1lr其是扇形的弧长，是扇形的半径。

1.1.2 弧度制 整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此根底上,通过具体的例子,稳固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定根底.三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣. 重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算. 教学难点:弧度的概念及其与角度的关系. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购置水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.推进新课 新知探究 提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定根底.讨论后教师提问学生,并对答复好的学生及时表扬,对答复不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角,即rl =1. 讨论结果: ①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关. ②能,用弧度制. 提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角. ②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180πrad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=(πa180)°,n°=n180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?的长OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr逆时针方向 2πr 逆时针方向R 1 2r -2-π0 180°360°活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究〞?其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=21lR. 的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 Π 180° 2πr 逆时针方向 2π 360° R 逆时针方向 1 57.3° 2r 顺时针方向 -2 -114.6° πr 顺时针方向 -π -180° 0 未旋转 0 0° πr 逆时针方向 Π 180° 2πr逆时针方向2π360°应用例如例1 以下诸命题中,真命题是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题. 答案:D点评:此题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念. 变式训练以下四个命题中,不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案:D例 2 将以下用弧度制表示的角化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-32. 活动:此题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k ∈Z },{β｜β2π=kπ,k ∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为: {β｜2kπ<β<2kπ+2π,k ∈Z }, {β｜2kπ+2π<β<2kπ+π,k ∈Z }, {β｜2kπ+π<β<2kπ+23π,k ∈Z },{β｜2kπ+23π<β<2kπ+2π,k ∈Z }.解:①415π-=-4π+4π,是第一象限角.②432π=10π+32π,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角. ④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k ∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比拟大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1 480°写成2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式; (2)假设β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π<2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π.(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+916π,k ∈Z . 又∵β∈［-4π,0),∴β1=92π-,β2=920π-.例3 0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终到达熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练根本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由,得7θ=2kπ+θ,k ∈Z ,即6θ=2kπ.∴θ=3k π. 又∵0<θ<2π,∴0<3kπ<2π. ∵k ∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π.点评:此题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角. 例4 一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回忆一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和稳固,并对答复好的学生进行表扬,对答复不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个根本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值. 解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S. 由,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=21l·r=21(a-2r)·r=-r 2+2a r=-(r-4a)2+162a .∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<2a. ∴当r=4a时,S max =162a .此时,l=a-2·4a =2a ,∴α=r1=2. 故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取最大值162a .点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练一个扇形的周长为98π+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 解:设扇形的半径为r,面积为S,由知道,扇形的圆心角为80×180π=94π, ∴扇形的弧长为94πr,由,94πr+2r=98π+4,∴r=2.∴S=21·94πr 2=98π.故扇形的面积为98π.点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用. 知能训练课本本节练习. 解答:1.(1)8π;(2)67m -;(3)320m . 点评:能进行角度与弧度的换算.2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.点评:能进行弧度与角度的换算. 3.(1){α|α=kπ,k ∈Z };(2){α|α=2π+kπ,k ∈Z }. 点评:用弧度制表示终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合. 4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.注意在用计算器求三角函数值之前,要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos0.75°之前,要将角模式设置为DEG(角度制);求cos0.75之前,要将角模式设置为RAD(弧度制). 5.3πm. 点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性. 6.弧度数为1.2.点评:进一步认识弧度数的绝对值公式. 课堂小结重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以效劳于社会,造福于人类. 作业①课本习题1.1 A 组6、8、10.②课后探究训练:课本习题1.1 B 组题.设计感想本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,开展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定根底.根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.。

1.1.2瓠度糾(1 )教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R —对应关系的概念。

教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制一角度制的定义。

二、提出课题：弧度制一另一种度量角的单位制它的单位是rad读作弧定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1 弧度的角。

如图：ZAOB=lradZAOC=2rad周角=2nrad1.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02.角a的弧度数的绝对值\a\=-（/为弧长，r为半径）r3.用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算抓住：360°二2兀rad 180°=K radTC・；1°= -- rad - 0.01745raJ180lrad =［型］-57.30° = 57°18'例一把6730'化成弧度解：67°30'=〔67丄］67°30'= —ra（7x67丄岔adI 2丿180 2 83例二把—加zzd化成度53 3超：—=—xl80° =108°5 5注意几点：1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行;2. 今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3 表示3rad sin 兀表示Tirad 角的正弦3. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）4. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能 在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

四、练习（P11练习1 2）例二用弧度制表示：1。

终边在x 轴上的角的集合 2。

终边在y 轴上的角的集合 3。

终边在坐标轴上的角的集合解：1。

终边在x 轴上的角的集合S i =[fi\/3 = k7t,k^Z}2。

1、1、2弧度制有人问：间中到老观有多远时，有人回答约80公里，但也有人回答约50英里，请问那一种回答是正 确的？（已知1英里=1. 6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所釆用的度量制不同，一个是公 里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生，另外一个就是我们这节课 要研究的角的另外一种度量制一-弧度制. 一、 【学习目标】1、 理解弧度的概念，会熟练的进行角度•弧度的转换；2、 能用弧度表示终边相同角的角；3、 熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.二、 【白学内容和要求及白学过程】1、阅读教材第6页内容，回答问题（弧度制）度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位 制.不同的单位制能给解决问题带来方便•角的度量是否也能用不同的单位制呢？ ＜1＞什么叫角度制，请简要复述之.结论:角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平 角等于180度，直角等于90度等等.＜2＞什么叫做弧度制，请简要复述之.结论:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作lsd ,或1弧度，或1 （单位可以省略不写）.如图所示：＜3＞半径为r 的圆的圆心与圆点重合，角Q 的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆于点A,终边与圆交于点 B.请在下列表格中填空.、v.弧的长OB 旋转的方向ZAOB 的弧度数 ZAOB 的度数7ir 逆时针方向180°2耐 逆时针方向 2 n360° r逆时针方向 157.5° 2r顺时针方向-2-115° JIr 顺时针方向 -7T-180° 0逆或顺时针 00°JIr逆时针方向 JI1 80°2 n r 逆时针方向2 n 360°结论:我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-7T, -2冗等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来 决定. 〈4〉如果一个半径为厂的圆的圆心角a 所对的弧长是/,那么a 的弧度数是多少？结论:角a 的弧度数的绝对值是：\a\ = l/r,其中，1是圆心角所对的弧长，厂是半径.角的正负主 要由角的旋转方向来决定注意:①在应用公式\a\ = l/r 求圆心角时，其结果是圆心角与弧度的绝对值.在物理学屮计算角速度 经常用到它，它的正负主要由角的旋转方向来决定；②这个公式可变形为l=\a\r. r = l/\a\（a^O ）f 在应用这两个公式吋，如果已知的角以“度”为单位，应先把它们化成弧度数后再计算•可以看岀，这些 公式各有各的用处.2、阅读教材第7页内容，回答问题（弧度制与角度制的转换）关系：1用角度制和弧度制來度量零角，单位不同，但量数相同（都是零）；用角度制和弧度制來度量任 一非零角，单位不同，暈数也不同.H ui B 巧以- 丈大，卜的■心A ■ 所MA 的flit 易华 &约比＜1足■一心2用度做单位不能省略，弧度的单位rad 可以省略； 3 度和弧度不能混用；4任何一个固定的角用角度制和弧度制都可以表示； 5角度制是60进制而弧度制是10进制； <5>角度制和弧度制应该怎样转换？结论:因为圆周的弧度数是2n,而在角度制下的度数是360,所以：360 =2 n rad, 180 rad, 1=( n/180 ) rad « 0. 01745rad.反过来有 lrad=( 180/n ) — 57. 30 =57°18 *. 一 般地，我们可以根据如图所示的公式进行命度与弧度的换算.v6>熟记下列特殊角的弧度数：0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°结论:角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯 一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这 个实数的角)与它对应.3、阅读教材例3,回答问题.(扇形弧长、面积公式) v7>利用弧度制证明下列关于扇形的公式：(1)/ = «7?;(2)5 = O.5aR 2;(3) S = 0.5//?.其中R 是半径,l 是弧长，a(O<a< 为圆心角,S 是扇形的面积.注意：扇形的而积S =n7r r2/360三、【综合练习与思考探索】练习一:(教材例1、2、4)例1、按照卜列耍求，把67 30'化成弧度:精确值；精确到0.001的近似值.将3. lArad 换算成角度(用度数表示,精 利用计算器比较sinl. 5和sin85°的大小 证明：一定人小的圆心角仪所对应的弧4注意:角度制与弧度制的换算主要抓住S S 练习二:教材第9页练习1、2、3、4、5. 注意:弧度制和角度制不能混用. 四、【作业】1、 必做题:习题1.1A 组6、7、8、9、10；2、 选做题:习题1. 1B 组1、2、3.五、【小结】理解弧度制，能熟练的进行弧度制9角度值的转换. 六、 【教学反思】木节知识比较碎，但是要抓住一个重点，就是角度与弧度的转换要让学生能熟练的运用公式进行转换. 七、 【课后小练】1、 已知扇形面积为S,扇形的周长是否冇最小值？若冇，求此最小值及取最小值时扇形的中心角是多少， 否则说明理山.(有，中心角为2,周长最小值为4席)2、 在直径为10cm 的轮子上有一长为6cm 的弦，P 为弦的小点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过 5s 后，点P 转过的弧长.(100cm)3、 在扇形AOB 中，扇形所对的中心角为直角，弧AB 的长为1,求此扇形的内切闘面积.4、 Z1和Z2的终边关于y=x 对称，若Z1为兀/6,则在()一4开间，满足要求的Z2等于—(兀/3, 7兀/3)5、 己知扇形的内切圆半径与扇形的半径之比为1： 3,则内切圆的而积与扇形的而积之比为多少?(2:3)6、 圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，则这段弧所对的圆心角是多少弧度？7、 已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的中心角是多少? (2或4)8、 一圆内切于屮心角为兀/3,半径为R 的扇形，则该圆的周长与该扇形的周长之比为多少？ 9、 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求此圆心角所夹扇形的面积.••: l c = j go rad 〜()• 017 45 rad:180°=IT rad1 rad ■(塑J57.30'例2、 例4、例5、 是唯一确定的，与半径大小无关。

1.1.2弧度制
一、教学任务
1.明确引入弧度制的必要性，理解新单位制的意义；
2.弄清1弧度的角的含义，理解弧度数的绝对值公式，并能熟练地进行角度与弧度的换
算；
3.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、
辩证统一的。

二、教学重、难点
重点: 使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算；
难点:弧度制定义的理解.
三、教学基本流程
四、教学设计
问题设计意图师生活动
1.创设情景：姚明在国内称的体重是140公斤，而到了美国称的体重则是306磅，到底是那个准确呢？
通过类比使学
生感受度量某个量
可以有不同的单位
制。

教师引导学生，
同一个量可以用不
同的单位制来度量，
由于单位制不同，所
以量值也不同。

由此会想到角
的度量是否也能用
不同的单位制呢？
2.在初中我们学习过角可以用度为单
回顾已有知识。

明确引进弧度制的
教师提出问题，
学生回答。

指出角度弧度数的绝对值公式
1弧度的角
弧度与角度的换算
简单应用
五、板书：。

第 2 课时：§弧度制【三维目标】：一、知识与技能1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数R之间可以建立起一一对应关系。

3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；二、过程与方法1.通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念，比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；2.以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.3.通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。

三、情感、态度与价值观1. 通过弧度制的学习，使学生理解并认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；2.在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；3.通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。

4.教师可以向学生介绍或让学生查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料，这有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性。

欧拉的有关事迹有助于陶冶学生情操，培养学生坚韧不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新精神。

【教学重点与难点】：重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。

难点：弧度的概念关键：弄清1弧度的角的含义是建立弧度概念的关键【学法与教学用具】：1. 学法：在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的转化一、教学目标：（一）、知识目标1.1.理解理解1弧度的角、弧度制的定义弧度的角、弧度制的定义..2.2.掌握角度与弧度的换算公式掌握角度与弧度的换算公式掌握角度与弧度的换算公式3.3.熟记特殊角的弧度数熟记特殊角的弧度数 （二）能力目标：1.熟练进行角度与弧度的换算熟练进行角度与弧度的换算2.2.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式这两个公式解题。

能灵活运用弧长公式、扇形面积公式这两个公式解题。

（三）、情感目标1．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力2．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．统一的，而不是孤立、割裂的关系．二、教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算．使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算． 三、教学难点：运用弧度制解决具体的问题．运用弧度制解决具体的问题． 四、教 具：多媒体、实物投影仪 五、教学过程 教学环节 教 学 内 容 师 生 互 动 设计意图设计意图复习引入复习在上节课中所讲过的角的概念推广，并回顾初中时表示角的大小的度量制是怎样定义。

的度量制是怎样定义。

教师提出问题：教师提出问题：1、正角、负角和0角又是怎样定义的？的？ 2、初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，那么1°的角是如何定义的？角是如何定义的？学生回答：1、我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，没做任何旋转时我们也认为形成一个角，叫0角 2、 定周角的3601作为1°的角°的角教师点评：我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制角的制度叫做角度制这种概念的优点是形象、直观，容易理解，弊端是角度与我们研究数学问题时所使用的数的集合“实数”不能吻合。

吻合。

弧度制【教学目标】①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【教学重难点】重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.【教学过程】〔一〕复习引入.复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：①初中的角是如何度量的度量单位是什么②1°的角是如何定义的弧长公式是什么③ 角的范围是什么如何分类的〔二〕概念形成初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制1．自学课本第7、8页.通过自学答复以下问题：(1)角的弧度制是如何引入的(2)为什么要引入弧度制好处是什么(3)弧度是如何定义的2．学生动手画图来探究：(1)平角、周角的弧度数(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系3．角度制与弧度制如何换算1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是：(1)0252 〔2〕0/1115 (3) 030 (4)'3067︒解：(1) π57 〔2〕π0625.0 (3) π61 (4)π375.0 变式练习：把以下各角从度化为弧度：(1)22 º30′ 〔2〕—210º (3)1200º。